Bài giảng Toán 1: Chương 1 - Nguyễn Anh Thi

Neáu z 6= 0 thì arg(z) ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát sai keùm moät boäi nguyeân cuûa 2π.. Baøi giaûng moân hoïc Toaùn 1 Nguyeãn Anh[r]

(1)

Bài giảng mơn học Tốn 1 Nguyễn Anh

Thi

Nội dung Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN

1 Số phức. 2 Ma trận.

Bài giảng mơn học Tốn 1

Nguyễn Anh Thi

(2)

Thi

1 Số phức.

2 Ma trận.

Chương 1

(3)

Thi Nội dung

Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN

1 Số phức. 2 Ma trận.

Noäi dung

1

Chương 1: SỐ PHỨC, MA TRẬN

(4)

Thi

1 Số phức.

2 Ma trận.

Số phức

•

Định nghĩa tập số phức

•

Dạng đại số số phức

•

Dạng lượng giác số phức

(5)

Thi

1 Số phức.

2 Ma trận.

Định nghóa

Đặt C tập hợp gồm cặp số

C = {(a, b)|a, b ∈ R}

Trên C ta định nghĩa hai phép toán (+) nhân (.) sau:

(

a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);

(

a, b).(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

(6)

Bài giảng môn học Toán 1 Nguyễn Anh

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Định nghóa

Mọi số phức z = (a, b) viết dưới

dạng đại số

z = a + ib

với a, b ∈ R i = (0, 1) Trong a gọi là

phần thực

(ký hiệu Re(z)), b gọi là

phần ảo

(ký hiệu Im(z)).

Ví dụ

(7)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Tính chất

1.

Dạng đại số số phức nhất, nghĩa là

a + ib = c + id ↔ a = c, b = d(a, b, c, d ∈ R)

Đặc biệt a + ib = ↔ a = b = 0.

2.

Với dạng đại số, phép tính số thực thực hiện

như phép tính thơng thường R với i

2

= −1

.

(8)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Định nghóa

Cho số phức z = a + ib Ta gọi

module

hay

giá trị tuyệt đối

của z, ký hiệu |z|, số thực không âm |z| =

√

a

2

+

b

2

.

Ví dụ

(9)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Về mặt tập hợp ta thấy C trùng với R

2

Do ta biểu

diễn số phức z = a + ib điểm M(a, b) mặt phẳng R

2

với hệ trục x0y.

(10)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Với số phức z = a + ib 6= r = |z| =

√

a

2

+

b

2

Khi đó

ta coù

cos ϕ =

a

r

; sin ϕ =

b

r

.

Định lý

Mọi số phức z 6= viết dưới

dạng lượng giác

(11)

Thi

1 Số phức.

2 Ma trận.

Ví duï

1 = cos + i sin 0;

i = cos

π

2

+

i sin

π

2

;

1 + i

√

3 = 2(

1

2

+

i

√

3

2

) = 2(cos

π

3

+

i sin

π

3

);

1 − i

√

3 = 2(

1

2

− i

√

3

2

) = 2[cos(−

π

(12)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Định lý

Cho số thực z, z

0

6= Khi đó

1

arg(zz

0

) = arg(

z) + arg(z

0

)

;

(13)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Hệ quả

Cho số phức z, z

0

6= dạng lượng giác

z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z

0

=

r

0

(cos ϕ

0

+

i sin ϕ

0

).

Khi đó

i.

zz

0

=

rr

0

[cos(ϕ + ϕ

0

) +

i sin(ϕ + ϕ

0

)]

;

(14)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Ví dụ

Viết số phức sau dạng lượng giác:

z

1

= (1 −

i)(

√

3 − i); z

2

=

1 − i

√

(15)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Định lý (Công thức Moivre)

Cho số phức z 6= dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Khi với số nguyên n ta có

(16)

Thi

1 Số phức.

2 Ma trận.

Ví dụ

(17)

Thi

1 Số phức.

2 Ma trận.

Căn số phức

Định nghóa

Căn bậc n > 0

của số phức u số phức z thỏa mãn z

n

=

u.

Định lý

Mọi số phức u 6= có n bậc n định bởi

z

k

=

n

√

r(cos

ϕ +

k2π

n

+

i sin

ϕ +

k2π

(18)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Căn số phức

Ví dụ

(19)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Căn số phức

Định lý

Phương trình bậc hai az

2

+

bz + c = với a, b, c ∈ C, a 6= 0,

ln ln có nghiệm định bỡi

z =

−b ±

√

∆

2a

,

trong ∆ = b

2

− 4ac, với quy ước

√

∆

là hai căn

(20)

Thi

1 Số phức.

2 Ma traän.

Căn số phức

Ví dụ

Giải phương trình phức