Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *************** CHU MINH TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI – 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *************** Chu Minh TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội – 2011 MỤC LỤC Mở đầu ……………………………………………………………… Chương Các giản đồ phân kỳ vòng 1.1 S-matrận giản đồ Feynman 1.2 Hàm Green hàm đỉnh 1.3 Bậc hội tụ giản đồ Feynman …………………… Chương Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên 2.1 Giản đồ phân cực photon ………… ……… 15 2.2 Giản đồ lượng riêng electron …….… 22 2.3 Hàm đỉnh bậc ba ………………… ……… … 27 2.4 Đồng thức Ward –Takahashi ………………… 32 Chương Tái chuẩn hóa điện tích khối lượng QED 3.1 Tái chuẩn hóa điện tích …….………………… 35 3.2 Tái chuẩn hóa khối lượng ……… ……………… 39 3.3 Tái chuẩn hóa giản đồ vịng QED …… 47 Kết luận ………………………… …………… …………… 49 Tài liệu tham khảo ……………………………….……………… 50 Phụ lục Phụ lục A Metric giả Euclide …… 52 Phụ lục B Phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên ………………………………………………… 57 Phụ lục C Khử phân kỳ mơ hình Lint = gf 65 MỞ ĐẦU Những thành tựu điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng điện tích cho phép tính tốn q trình vật lý phù hợp tốt với số liệu thu từ thực nghiệm, với độ xác đến bậc số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn a = e2 = Trong lý thuyết trường 4p 137 tương tác QED lý thuyết xây dựng hồn chỉnh Mơ phương pháp tính tốn q trình vật lý QED người ta xây dựng cơng cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) – lý thuyết tương tác hạt quark - gluon, tương tác yếu hay lý thuyết thống dạng tương tác lý thuyết điện yếu tương tác mạnh gọi mơ hình chuẩn [6, 7, 13, 18] Việc tính q trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, khơng chứa vịng kín) ta khơng gặp tích phân phân kỳ, tính bổ lượng tử bậc cao cho kết thu được, ta gặp phải tích phân kỳ vùng xung lượng lớn hạt ảo, tương ứng với giản đồ Feynman có vịng kín hạt ảo Các giản đồ diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý trường tham gia tương tác quan niệm hạt điểm khơng có kích thước khơng tích Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính tốn nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu cho q trình vật lý hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trường nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu giải Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng electron Kraumer – Bethe, sau tác giả Schwinger Feynman Tomonaga thực hóa QED [13,20] Cách xây dựng chung S - ma trận phân loại phân kỳ Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát triệt tiêu phân kỳ số hạng tái chuẩn hóa chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, giúp ta giải hợp lý phần phân kỳ tính tốn, kết ta thu hữu hạn cho biểu thức đặc trưng cho tương tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã thời gian sống hạt Khi so sánh, kết thu phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trưng trình vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên phương pháp R - toán tử N.N Bogoliubov khởi xướng [14] Mục đích luận văn Thạc sĩ vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại cách điều chỉnh thứ nguyên hạt ảo gần vịng kín minh họa q trình tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron QED bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho trình vật lý Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục - Chương I: Các giản đồ phân kỳ vòng Chương dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận quy tắc Feynman để mô tả trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày hàm Green photon, electron, hàm đỉnh QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp trình bày mục 1.3 - Chương II: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ nguyên QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lượng riêng photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ lượng riêng electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh bậc thấp Đồng thức Ward –Takahashi được chứng minh đồ thị mục 2.4 - Chương III: Tái chuẩn hóa QED Trong chương ta tái chuẩn hóa cho giản đồ vòng QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh cách định tính: việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý khối lượng vật lý electron Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED gần vịng - Phần kết luận tóm tắt kết thu luận văn thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính tốn cho lý thuyết trường tương tự Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất bốn thành r phần véctơ - chiều ta chọn thực A = A 0, A gồm thành phần thời gian ( ) thành phần không gian, số m = (0,1, 2, 3),và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ - chiều ký hiệu thành phần với số Chương Các giản đồ phân kỳ vòng Trong chương giới thiệu vắn tắt luận điểm lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, giản đồ phân kỳ thường gặp gần vòng 1.1 S - ma trận giản đồ Feynman Biên độ xác suất trình tán xạ xác định yếu tố S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ trạng thái đầu trạng thái cuối trình vật lý: ( S = T exp i ò L int (x )d 4x ) (1.1) Trong Lint (x ) = N (J m(x )Am(x )) = e0N (y (x )g my (x )Am(x )) Lagrangian tương tác điện từ, e điện tích “trần” electron Mỗi đỉnh tương tác có ba đường vào ra, có đường photon, hai đường electron hay positron Sử dụng phép khai triển hàm mũ e z = ¥ zn z2 = + z + + ta có å n! 2! n= thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dạng: S = S (0) + S (1) + S (2) + = = + iT ò Lint (x )d x + (i )2 T 2! òL int (x )L int (y )d 4xd 4y + (1.2) Yếu tố ma trận trận q trình vật lý biểu diễn dạng: < f | S | i > = dfi + i (2p ) d4 (Pf - Pi )M f i (1.3) Ở < i | < f | véctơ trạng thái đầu cuối hệ, M f i biên độ xác suất dời chuyển, có ý nghĩa việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn xung lượng q trình vật lý Thay cơng thức (1.2) vào < f | S | i > ta có: < f | S | i > = < f | S (0) | i > + < f | S (1) | i > + < f | S (2) | i > + = < f | | i > + iT < f | (i )2 + T < f | 2! òL int òL int (x )d 4x | i > + (1.4) (x )L int (y )d 4xd 4y | i > + Sử dung khai triển (1.4), cụ thể hạt trạng thái đầu trạng thái cuối ta viết biểu thức tường minh cho số hạng khai triển nhiễu loạn cho trình sau: tán xạ electron (hay positron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon electron, hay hủy cặp electron – positron q trình tán xạ khơng đàn tính, v.v Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ không gian xung lượng: Hạt trạng thái Thừa số yếu tố ma trận Electron trạng thái đầu Electron trng thỏi cui ổm ữ ử2 ỗỗ ữ u r (p ) ữ ỗố p ữ ứ ổm ữ ử2 ỗỗ ữ u r (p ) ữ ỗố p ữ ứ (2p ) 1 (2p ) Yếu tố giản đồ Positron trạng thái đầu Positron trạng thái cuối Photon trạng thái đầu (2p ) ổm ữ ử2 ỗỗ ữ u r (- p ) ữ ỗố p ứ ữ 1 (2p ) ổm ữ ử2 ỗỗ ữ u r (- p ) ữ ữ ỗố p ứ 1 hay trạng thái cuối (2p ) Thế điện từ Amext (k ) Chuyển động ngược lại ® ) Chuyển động photon i S ( p) = tổng m pˆ + m p2 - m i = (2p ) D mn (k ) = g mn k2 (2p ) hai đỉnh Đỉnh với số lấy = pˆ - m (2p ) electron từ ® (hay positron theo chiều 2k e ml (k ) (4) ie g m (2p ) d (p - p1 - k ) 1.2 Hàm Green hàm đỉnh Trong QED giản đồ Feynman sau đây: - Các phần lượng riêng photon - Các phần lượng riêng của electron - Các phần đỉnh - Phần tán xạ photon – photon diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý Các giản đồ liên quan đến việc tính số hạng bổ bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể tính hàm Green photon, hàm Green electron hàm đỉnh lý thuyết tương tác trường electron – positron với trường điện từ Hàm Green hai điểm tổng giản đồ liên kết yếu mà thành phần giản đồ liên kết mạnh1 hạt Hàm Green photon, xác định công thức: G mn (x - y ) = i < T éêAm(x )An (y )ù ú0 > ë û (1.5) | > véctơ trạng thái chân không trường tương tác, cịn Am(x ) An (y ) tốn tử trường điện từ biểu diễn Heisenberg Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt đường không tách thành hai giản đồ - Giản đồ gọi giản đồ tối giản (irreducible diagramms) n 2p W(n ) = ỉn ữ Gỗỗ ữ ỗố ữ ữ ứ S ph thuộc vào tham số m ( m có thứ nguyên thứ nguyên khối lượng) đưa vào suy luận từ bảo toàn thứ ngun chung [3] ngồi cịn sử dụng ngoại suy số cơng thức tích phân khác sử dụng phương pháp khử phân kỳ thơng thường trước Cơng thức tích phân dạng Gauss có dạng: i p2 ỉia m2 ữ - ib ữ = ỗỗỗ e a ữ ỗố p ữ ứa e ũ d pe n i (ap + 2bp ) (B.2) Sử dụng tích phân việc phương pháp tham số hóa Feynman [12], có: i regJ l (D ) = p ò (p l - D) l+ ỉm2 ÷ (- 1) G(l + e - 2) = ỗỗỗ ữ ữ ỗố p ÷ D l + e- ø e dnp (B.3) Đối với trường Spinơ ta phải tổng quát hóa để gộp ma trận Dirac:Tất biến đường xung lượng véctơ n - thành phần Các hàm truyền hạt có spin - với xung lượng gồm ma trân g cấp n thường phản giao hoán {g , g } = 2g m v mv , m = 0,1, , n - (B.4) = - 1, m = 1, 2, n - (B 5) g 00 = 1, g mm 59 Chú ý gmv g mv = n , giản đồ ta xét n = Chúng ta xem xét trường hợp giản đồ có vịng [9,10] Biên độ q trình vật lý khơng gian n - chiều phương pháp biểu diễn dạng tích phân: A (n , pi ) = ị d nk n (2p ) f (n , k , Pi ), (B.6) Ở Pi xung lượng ngoài, vector vật lý chiều thơng thường Trong tính toán f (n , k , Pi ) phải lưu tâm tới tương thích với phương trình (A.4) (A.5) Tất thao tác khác, tích phân, đối xứng hóa biến số, tịnh tiến xung lượng thực làm phương pháp khử phân kỳ thông thường [12,13,14] Kết quả, A (n , Pi )chúng ta cần tính tốn tích phân sau: I (n , m ) = ò d nk n (2p ) ék - L + i e ù êë ú û m (B.7) Tích phân (B.7) tồn cho giá trị n < 2m I (n , m ) = i 1- 2m n (2 p ) L2 n- m ỉ ÷ Gỗỗm - n ữ ỗố ữ ữ ứ G(n ) (B.8) Theo phương pháp G’t Hoof-Vieltman đề xướng [8], vế phải cơng thức (8) tính đến cho trường hợp tích phân khơng tồn (7) Các tích phân phân kỳ cực giá trị n = Các tích phân khác xác định tương tự: 60 ò ò d nk (k m - 2pk + l ) k md n k (k m ổ ỗỗm - n ữ ữ G n çè ÷ n- m 2÷ ø 2 = ip l p ( ) G(m ) = ip - 2pk + l ) n ổ nử ữ Gỗỗm - ữ ỗố ữ 2ữ ứ G(m ) (l - p n- m 2 ) (B 9) pm Như việc xem xét yếu tố ma trận không gian n chiều, người ta xác định vùng hội tụ mặt n - chiều, mà yếu tố ma trận tổng quát hóa xác định tốt Các biểu thức cho phép ta xác định yếu tố ma trận vùng lân cận n = 4, sau ta mở rộng giải tích Bằng cách làm tích phân giữ lại giá trị ban đầu, tính chất unita, tính chất nhân bảo tồn cách hình thức Các phép lấy tích phân d n - 1K thực từ tọa độ đến tọa độ cầu kéo theo K (n -2) biến số góc Nhận thấy phương trình biến đổi K = K cos q1 K = K sin q1 cos q2 K = K sin q1 sin q2 cos q3 K n - = K sin q1 sin q2 sin q3 sin qn - cos qn - K n - = K sin q1 sin q2 sin q3 sin qn - sin qn - £ qi £ p i = 1, 2, 3, , n - £ qn - £ 2p Jacobian cần thiết cho ta 61 (B.10) n- òd K = ò K n- sin n - q1 sinh n - q2 sin qn - sin qn - 3d q1d q2 d qn - 2s K (B 11) p.K = EK - p K cosq = K E (1 - b cos q) (B 12) Vì biểu thức dấu tích phân mà ta quan tâm phụ thuộc vào K q , góc p n-1 thành phần K véctơ, qua hệ thức liên hệ p ò sin m qd q = ổ1 ữ Gỗỗ (m + 1)ữ ữ ữ çè2 ø p ỉ1 ÷ Gçç (m + 2)÷ ữ ữ ỗố2 ứ (B 13) M nú a n n- 2p n- d K = ũ ổ1 Gỗỗ n ỗố2 p dK ửũ ũ ữ 1÷ ÷ ÷ ø K n- sin n - qd q (B.14) Hay qua biến x = cosq n- 2p ịd K ỉ1 ữ ỗ Gỗ n - 1ữ ữ ữ ỗố2 ø ò dx K n- n- 2 (1 - x ) (B.15) - Để minh họa phương pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên xem xét mơ hình tốn học tương tác đơn giản L int = gj Trong g - số tương tác, cịn j trường thực vơ hướng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mơ hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: 62 I (k ) : i p2 ò dp (m - p - i e) éêëm - (p - k ) - i éúû (B.16) Tích phân (B.16) ảnh Fourrier tích hai hàm truyền với biến số chập nhau: I (k ) = 16p 2i ò e ikx éêDc (x )ù dx ú ë û (B.17) Các tích Dc (x ) cơng thức (B.17) chứa hàm kỳ dị suy rộng dạng d (l ), l - (trong l = x ) [5] Vì vậy, cơng thức (B.17) khơng phải đại lượng xác định Xét mặt toán học phải tiến hành định nghĩa lại đại lượng (B.17) Ở có hai cách giải vấn đề này: Tính tích phân (B 17) phương pháp điều chỉnh thứ nguyên nhờ phép chuyển tới a - biểu diễn [5], ta tìm I (k ) ® regeJ (k ) = i m2 e p2 dnp ò 2 é 2 (m - p ) êëm - (p - k ) ùúû ¥ i 3m2 e d a d b e i b k - i ( a + b )m ò d n pe i ( a + b ) p + 2i b pk ò p e ¥ ab ỉi m2 i k - i ( a + b )m dadb ÷ a+b ỗ = - ỗỗ ữ e ũ 2- e ữ ỗố p ữ ứ (a + b ) = 2 ỉi m2 ÷ = - ỗỗỗ ữ ữ ỗố p ữ ứ e Ơ da ò dx ò a 1- e e iaz ( x ,k 2 ) (B 18) 63 Sử dụng công thức (A.2) nhận ổm2 dx ữ ỗ ữ rege (k ) = - ỗỗ ữ G(e) ũ e ỗố e ữ 2ù ø é m x x k ( ) ú ëê û e (B.19) Bây cần phải bỏ điều chỉnh hóa áp dụng lúc đầu tích phân (A.10) Điều có nghĩa là, phải cho e ® + sử dụng hệ thức: G(e) ® - C + O (e) ; (C = 0, 5772 ) , e ® + e (B.20) Chúng ta nhận kết + I huuhan (k ), e regeI (k ) ® - (B.21) Trong ém - x (1 - x )k ù ú+ ln p + C (k ) = ò dx ln êê ú m êë ú û I huuhan (B.22) Như vậy, phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân (B.16) (phân kỳ lơga vùng tử ngoại) có cực e - tách thành phần riêng Ta viết: I (k ) = I kidi + I (k ) huuhan (B.23) Áp dụng phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên thu æ1 ö ÷ So sánh với phương pháp cắt xung lượng lớn kết I kidi = - ln p + c - ỗỗ ữ ữ ỗốe ữ ứ ổm2 ổm2 ỗỗ ữ ữ ữ phn k d I kidi = - + ln ỗỗỗ ữ , cịn phương pháp Pauli-Villars I = ln ÷ ữ kidi ỗỗốM ứ ữ ữ ỗốL ứ 64 Trong sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tránh việc đưa vào khối lượng điều chỉnh lớn M2 hay tham số điều chỉnh lớn L để khử tích phân phân kỳ theo xung lượng 65 Phụ lục C Khử phân kỳ mơ hình L int = gf Trong tất mơ hình tương tác hạt bản, xét mặt tốn học dẫn đến hai mơ hình tương tác bản: mơ hình tự tương tác hạt vô hướng thực L int = gf Mơ hình tương tác đơn giản, cho phép ta thực tính tốn cụ thể, chi tiết Qua ví dụ L int = gf ta minh họa rõ ràng phương pháp khử phân kỳ, sử dụng lý thuyết trường lượng tử C.1 Giản đồ lượng riêng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mơ hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: I (k ) : i p2 ò dp (m - p - i e) éêëm - (p - k ) - i eùúû (C.1) Tương ứng với giản đồ vòng Feynman với hai đường vơ hướng (xem hình C.1) Hình C.1 66 Chuyển từ chiều sang n chiều ( với n = - 2e ) ta viết: I (k ) ® regeJ (k ) = i m2 e p2 dnp ò (m - p )(m - ( p - k )2 ) i m2 e dnp = ò p ( p - m )(( p - k )2 - m ) (C.2) Áp dụng cơng thức tham số hóa Feynman = ab 1 ò dx [ax + b(1 (C.3) x )]2 Với a = ( p - k )2 - m 2, b = p - m Ta i m2 e regeJ (k ) = p dnp ò dx ò {[( p - k )2 - m ]x + ( p - m )(1 - x )}2 i m2 e dnp = ò dx ò p {p - 2pkx + k 2x - m }2 (C.4) Áp dụng tích phân: n ị (p Với m = 2, d p = (- 1)m i p m - 2pk '+ l ) l = k 2x - m 2, 2e regeJ (k ) = im p2 n ) G(m ) G(m - m- (k ' - l ) n k ' = kx ta ò (- n 1)2 i p n n ) G(2) G(2 - 67 2 2 2- {k x + m - k x } n i 2m2 e G( e) = ( p )2- e dx ò 2 p {m - x (1 - x )k }e e é ù m ú = - G( e) ò dx ê êp {m - x (1 - x )k } ú ë û (C.5) Sử dụng công thức khai triển: a e = + e ln a Ta có: é ù é ù m2 m2 ê ú = + e ln ê ú= êp {m - x (1 - x )k } ú êp {m - x (1 - x )k } ú ë û ë û ép {m - x (1 - x )k } ù ém - x (1 - x )k ù ú= - e ln ê ú- e ln p = - e ln ê 2 ê ú ê ú m m ë û ë û e G( e) = - g + O ( e) e (C.6) Trong g = 0.5772 số Euler Mascheroni 2ù íï ü é ỉ1 ư1 ïì - e ln êm - x (1 - x )k ú- e ln p ùùý ữ regeJ (k ) = - ỗỗ - g + O ( e)ữ dx ũ ù ữ ỗốe ỳ ữ ùù m2 ứ0 ỷ ợù ỵ Cho e ® 0+ ta có + I huu han ( e) e regeJ (k ) = Trong ém - x (1 - x )k ù ê ú+ ln p + g dx ln ò ê ú m ë û I huu han ( e) = 68 (C.7) Như phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân ( phân kỳ loga vùng tử ngoại) có cực phần riêng 69 tách thành e C.2 Giản đồ đỉnh Hình C.2 Bằng cách xét bậc hội tụ giản đồ suy biểu thức tích phân tương ứng với giản đồ hội tụ Thật vậy: K = 3 N e + N p - = + - > 2 Do hàm đỉnh hội tụ Bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta chứng minh giản đồ hội tụ sau: Giản đồ đỉnh tương ứng với tích phân sau G(p, k ) = ip òm dq 1 ´ ´ - q m - (q + k )2 m - (q - p )2 (C.8) Trong tam giác liên quan đến đỉnh có ba đường – đường có xung lượng q - hàm truyền vơ hướng , đường khác có xung lượng m - q2 70 (q + k )- hàm truyền vơ hướng , cịn đường cịn lại có xung lượng (q - p )- hàm m - (q + k ) truyền vô hướng m - (q - p ) Viết lại tích phân (C.8) dạng: ip dq 1 ´ ´ 2 - q m - (q + k ) m - (q - p )2 i dq 1 = 2ò ´ ´ 2 p q - m (q + k ) - m (q - p ) - m G(p, k ) = òm (C.9) Áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: G( p, k ) ® regeI ( p, k ) = i m2 e = p d nq ò (q2 - m )[(q + k )2 - m ][(q - p)2 - m ] (C.10) Sử dụng cơng thức tham số hóa Feynman: 1- x 1 = 2ò dx ò dy abc [a(1 - x - y ) + bx + cy ]3 0 (C.11) Với: a = q2 - m ;b = (q + k )2 - m ; c = (q - p)2 - m Ta có: a(1 - x - y ) + bx + cy = = (q - m )(1 - x - y ) + [(q + k )2 - m ]x + [(q - p)2 - m ]y (C.12) = q - 2q( py - kx ) + k 2x + p 2y Tích phân (C.10) viết lại: 71 2i m2e regeI ( p, k ) = p2 1- x ò dx ò dy ò d q [q n - 2q( py - kx ) + k 2x + p 2y ]3 (C.13) Áp dụng cơng thức: n ị (p d p = (- 1)m i p m - 2pk '+ l ) n n ) G(m ) G(m - m- (k ' - l ) n (C.14) Với : m = 3; l = k 2x + p 2y ; k ' = py - kx Ta được: 2e regeI ( p, k ) = 2i m p2 1- x ò dx ò dy (0 1)3 i p n n ) ´ G(3) G(3 - ´ 3- [( py - kx )2 - k 2x - p 2y ] n 1- x p 2- e G(1 + e) = 2m ò dx ò dy 2 p [( py - kx ) - k 2x - p 2y ]1+ e 0 1+ e 1- x ỉ p m ÷ ÷ = ũ dx ũ dy G(1 + e) ỗỗỗ ữ ữ ỗốp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ø m 2e 0 72 (C.15) Khai triển ỉ1 ÷ G(1 + e) = eG( e) = e ỗỗ - g + O ( e)ữ = (1 - eg + eO ( e)) ÷ ÷ çèe ø (C.16) ỉ ư÷ m2 çç ÷ ççèp [( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ứữ ữ ổ m2 ữ ỗ ữ = + (1 + e) ln ỗỗ ữ ữ ỗốp [( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ø æp [( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ư÷ ÷ = - (1 + e) ln ỗỗỗ ữ ỗố m2 ứữ (C.17) 1+ e 1- x p regeI ( p, k ) = ò dx ò dy (1 - eg + eO ( e))´ m 0 æp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]÷ ựü ïíï ïý ữ ỡ - (1 + e) ln ỗỗỗ ữ ữ ùù ỗố m ứùùỵ ợ (C.18) Cho e ® 0+ ta thấy tích phân hữu hạn p regeI ( p, k ) = m æp[( py - kx )2 - k 2x - p 2y ]ử ùớù ùỹ ữ ùý ỗỗ ữ dx dy ln ỡ ũ ũ ù ữ ỗỗố ữ m ứùùỵ 0 ùợ 1- x (C.19) Kết luận: với tốn hàm đỉnh hạt vơ hướng tích phân (C.8) khơng phân kỳ mà lượng hữu hạn xác định (C.19) 73 ... vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều. .. HỌC TỰ NHIÊN *************** Chu Minh TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC... đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ nguyên QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lượng riêng