Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O;R) tai M và N.Gọi S là giao điểm của 2 đườ[r]
(1)Bài : (2 điểm) Cho biểu thức P = (√a−√b)
+4√ab
√a+√b :
√ab a√b −b√a a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa rút gọn P
b/ Tính giá trị P a =
√
15−6√6+√
33−12√6 b = √24 Bài : (2 điểm)a/ Cho hệ phương trình
¿ x+my=3m mx− y=m2−2
¿{ ¿
Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2
2x y >
b/ Giải phương trình x2
x 1x +
x2 10 =
Bài : (2 điểm)
Một ô tô quãng đường AB dài 80 km thời gian định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh dự định 10 km/h, qng đường cịn lại tơ chạy chậm dự định 15 km/h Biết ô tô đến B quy định Tính thời gian tơ hết quãng đường AB
Bài : (3 điểm)
Gọi C điểm nằm đoạn thẳng AB (C A, C B) Trên nửa mặt phẳng có
bờ đường thẳng AB, kẻ tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I (I A),
tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P 1/ Chứng minh:
a/ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn b/ AI.BK = AC.BC
c/ APB vng
2/ Cho A, I, B cố định Tìm vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn
Bài : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008
ĐÁP ÁN
Bài 1: Cho biểu thức P = (√a−√b)
+4√ab
√a+√b :
√ab a√b −b√a a) P có nghĩa a > ; b > a b
P = a−2√ab+b+4√ab √a+√b ⋅
√ab(√a −√b)
√ab =
(√a−√b)2
√a+√b ⋅(√a −√b) = a b b) Với a =
√
15−6√6+√
33−12√6 =√
(3−√6)2+√
(3−2√6)2 == 3 √6 + 3 √6 = √6 + √6 3 = √6 Với b = √24 = √6
Do P = a b = √6 √6 = √6
Bài 2:
a) Cho hệ phương trình
¿
x+my=3m(1) mx− y=m2−2(2)
¿{ ¿
Từ(1) ta có x = 3m my (3) Thay (3) vào (2): m(3m my) y = m-2 3m2 m2y y = 2(m2 + 1) (m2 + 1)y = 2(m2 + 1)
Vì m2 + > với m nên y = 2(m
(2)Vậy nghiệm (x ; y) hệ phương trình (x = m ; y = 2) Để x2
2x y > m2 m > (m 1)2 ( √3 )2 > (m √3 ).(m 1+ √3 ) >
¿m−1−√3>0 m−1+√3>0
¿ ¿ ¿ m −1−√3<0
¿ m−1+√3<0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿m>1+√3 m>1−√3
¿ ¿ ¿ m<1+√3
¿ m<1−√3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
m>1+√3 ¿ m<1−√3
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy m > + √3 m < √3 hệ phương trình cho có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2
2x y >
b) Giải phương trình x2
x 1x +
x2 10 = (1) Điều kiện x Phương trình (1) (x2 +
x2 ) (x +
x ) 10 = (x2 +
x2 + ) (x +
x ) 12 =
(x + 1x )2 (x + 1x ) 12 = (*)
Đặt y = x + 1x Phương trình (*) trở thành : y2
y 12 = y1 = ; y2 =
Với y = x + 1x = x2 + 3x + = x1 = 3+√5
2 ; x1 =
3−√5 Với y = x + 1x = x2 4x + = x3 = + √3 ; x4 = √3
Các giá trị x vừa tìm thỏa mãn x
Vậy nghiệm số (1) : x1 = 3+√5
2 ; x1 =
3−√5
2 ; x3 = + √3 ; x4 = √3
Bài 3:
Gọi x (km/h) vận tốc dự định ô tô từ A đến B ( x> 15) Thời gian ô tô dự định từ A đến B 80x (h)
Vận tốc ô tô ba phần tư quãng đường AB x + 10 (km/h) Thời gian ô tô ba phần tư quãng đường AB 60x+10 (h) Vận tốc ô tô phần tư quãng đường AB x 15 (km/h)
Thời gian ô tô phần tư quãng đường AB 20x −15 (h) Ơ tơ đến B quy định nên ta có phương trình : 60x
+10 + 20
x −15 = 80
x
x
+10 +
x −15 =
x 3x(x 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x 15)
4x2 35x = 4x2 20x 600 15x = 600 x = 40 (thỏa mãn điều kiện)
Do vận tốc dự định tơ 40 km/h
Vậy thời gian ô tô hết quãng đường AB 80 : 40 = (giờ)
Bài 4:
1 a/ P nằm đường trịn tâm O1
đường kính IC IPC = 900
Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù)
K
x y
(3) CPK = 900
Do CPK + CBK = 900 + 900 = 1800
Nên CPKB nội tiếp đường trịn tâm O2
đường kính CK
b/ Vì ICK = 900
C1 + C2 = 900 AIC vuông A C1 + A1 = 900 A1 + C2 có A = B = 900
Nên AIC BCK (g.g) AIBC=AC
BK AI . BK = AC . BC (1)
c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt chắn cung PC)
Trong (O2) có B1 = K1 (gnt chắn cung PC)
Mà I2 + K1 = 900 (Vì ICK vuông C) A1 + B1 = 900, nên APB vuông P
2/ Ta có AI // BK ( vng góc với AB, nên ABKI hình thang vng Do SABKI = 12 .AB.(AI + BK)
Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi Suy SABKI lớn BK lớn
Từ (1) có AI . BK = AC . BC BK = AC BCAI
Nên BK lớn AC BC lớn
Ta có (√AC−√BC)2≥0 AC + BC √AC BC √AC BC AC+2BC √AC BC AB2 AC BC AB
2 Vậy AC BC lớn AC BC = AB2
4 AC = BC = AB
2 C trung điểm AB
Vậy SABKI lớn C trung điểm AB Bài 5:
Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008
Cách :
Từ 1003x + 2y = 2008 2y = 2008 1003x y = 1004 10032 x
Vì y > 1004 10032 x > x < 20081003
Suy < x < 20081003 x nguyên x {1 ; 2}
Với x = y = 1004 10032 Z nên x = loại
Với x = y = 1004 1003 22 = Z+ nên x = thỏa mãn
Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1
Cách :
Vì x ; y số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 1003x < 2008 x < 20081003 < Do x Z+ x {1 ; 2}
Với x = 2y = 2008 1003 = 1005 y = 10052 Z+ nên x = loại
Với x = 2y = 2008 2006 = y = Z+ nên x = thỏa mãn
Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1
-P I
C B
A
2
1
1
O
(4)ĐỀ
Bài : (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10. a/ Chứng minh với m, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt
b/ Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 m thay đổi.
Bài : (2 điểm)
a/ Giải phương trình :
√
x+15+8√x −1+√
x+3+4√x −1=6b/ Chứng minh : Với a ; b khơng âm ta có a3 + b3
2ab √ab
Khi xảy dấu đẳng thức?
Bài : (2 điểm)
Một phịng họp có 360 ghế ngồi, xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp 400 nên phải kê thêm hàng ghế ngồi thêm hàng đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế ngồi
Bài : (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC
a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp xác định tâm I đường tròn
b/ Vẽ đường kính AK đường trịn (O ; R) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng c/ Giả sử BC = 34 AK Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R
Bài : (1 điểm)
Cho y = x2− x −1
x+1 , Tìm tất giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên GỢI Ý
-Bài 1:
a/ Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 nghiệm số
của phương trình: x2 = 4mx + 10
x2 4mx 10 = (1)
Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Do
Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 cắt hai điểm phân biệt.
b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = 10
F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 x1x2 = 16m2 + 10 10
Dấu “ = ” xảy 16m2 =
m =
Vậy GTNN F = 10 m =
Bài 2:
a/ Giải phương trình:
√
x+15+8√x −1+√
x+3+4√x −1=6 Điều kiện x
√
x −1+2√x −1 4+16+√
x −1+2√x −1 2+4=6 √
(√x −1+4)2+√
(√x −1+2)2=6 √x −1+4+√x −1+2=6 2√x −1+6=6 √x −1=0 x = x = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm phương trình x =
b/ Với a , b ta có: (√a −√b)2≥0 a + b √ab Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2
(5)Dấu “ = ” xảy a = b Vậy với a, b khơng âm ta có a3 + b3
2ab √ab
Bài 3:
Gọi x (hàng) số hàng ghế ban đầu phòng họp (x nguyên, dương) Do 360x (ghế) số ghế ban đầu hàng
x + (hàng) số hàng ghế lúc dự họp phòng họp Do 400x+1 (ghế) số ghế lúc dự họp hàng
Khi dự họp hàng kê thêm ghế ngồi, ta có phương trình : 400
x+1 360
x = x
2
39x + 360 =
Giải phương trình x1 = 24 ; x2 = 15 Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện
Vậy ban đầu phịng họp có 24 hàng ghế, hàng có 15 ghế ngồi Hoặc ban đầu phịng họp có 15 hàng ghế, hàng có 24 ghế ngồi
Bài 4:
a/ Ta có BD CE hai đường cao cua ABC
Nên BEC = BDC = 900
Suy BCDE nội tiếp đường trịn
b/ Ta có BH // CK (cùng vng góc với AC) Và CH // BK (cùng vng góc với AB) Nên BHCK hình bình hành
Do hai đường chéo BC HK giao trung điểm đường
Mà I trung điểm BC I trung điểm
củaHK Nên H, I, K thẳng hàng c/ Gọi F giao điểm AH BC Ta có ABF ∽ AKC (g.g) ABAK=BF
KC AB. KC = AK. BF (1) Và ACF ∽ AKB (g.g) ACAK=CF
KB AC. KB = AK. CF (2) Cộng (1) (2) theo vế ta có: AB. KC + AC. KB = AK. BF + AK. CF
= AK.(BF + CF) = AK.BC
Mà BC = 34 AK AB. KC + AC. KB = AK 34 AK = 34 AK2 = 34 .(2R)2 = 3R2 Bài 5:
Với x ta có y = x
2
− x −1
x+1 = x + x+1
Với x Z x + Z Để y Z x+11 Z x + { ; 1} x + = x = (thỏa mãn điều kiện)
x + = x = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy y có giá trị nguyên x = ; x =
ĐỀ 3 Câu I: (3 điểm)
1) Giải phương trình sau: a) 5.x 45 0 b) x(x + 2) – = 2) Cho hàm số y = f(x) =
2
x
a) Tính f(-1) ; b) Điểm M
2;1
có nằm đồ thị hàm số khơng ? Vì ?Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức
D
B A
O
F I
H
(6)P =
4 a a
1
a a a
với a > a 4.
Câu III: (1 điểm)
Tổng số công nhân hai đội sản xuất 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ
2
3 số công nhân đội thứ hai Tính số cơng nhân đội lúc
đầu
Câu IV: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM AC.
3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2.
Câu V: (1 điểm)Cho biểu thức :
B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 Tính giá trị B x =
1
2
Giải Câu I:
1) a) 5.x 45 0 5.x 45 x 45 : 5 x 3.
b) x(x + 2) – = x2 + 2x – =
’ = + = ' 6 Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x
1,2 = 1
2) a) Ta có f(-1) =
2
( 1)
2
b) Điểm M
2;1
có nằm đồ thị hàm số y = f(x) =2
x
2 Vì
2f
2
Câu II:
1) Rút gọn: P =
4 a a
1
a a a
=
a a a a
a
a a 2 a 2
=
a a 2
a a 2
a
a a
=
6 a
a a
2) ĐK: ’ > + 2m > m >
1
Theo đề :
2
2 2
1 2
1 x x 5 x x x x 5
2
1 2
1 x x x x 2x x 5
Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m
+ 4m2 + + 4m = 4m2 + 4m = 4m(m + 1) = m = m = -1.
Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m) Vậy m =
Câu III:
Gọi số công nhân đội thứ x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai 125 – x (người)
Sau điều 13 người sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ lại x – 13 (người) Đội thứ hai có số cơng nhân 125 – x + 13 = 138 – x (người)
Theo ta có phương trình : x – 13 =
2
(7) 3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 x = 63 (thoả mãn).
Vậy đội thứ có 63 người
Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người)
Câu V:
Ta có x =
2
2
1 1
2 2 2
x2 =
3 2
; x3 = x.x2 =
5
; x4 = (x2)2 =
17 12 16
; x5 = x.x4 =
29 41 32
Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – =
29 41 32
+
17 12 16
-
5
+
2
- =
29 41 34 24 25 35 20 20 16
= -1
Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009
Câu IV:
M F
E
D
B O C
A
3) Xét hai tam giác ACF ECB có góc C chung , A E 90 0 Do hai tam giác ACF ECB đồng dạng
AC EC
CE.CF AC.CB
CF CB (1).
Tương tự ABD AEC đồng dạng (vì có BAD chung, C ADB 180 0 BDE ).
AB AE
AD.AE AC.AB
ADAC (2).
Từ (1) (2) AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2.
ĐỀ
C©u 1: (2 ®iÓm) cho biÓu thøc P=
[
√x −√yx√y+y√x+
√x+√y
x
√
y − y√x]
√
x3 y
x+y −
2y x − y
Chng minh P nhận giá trị nguyên vơí x,y thoả mÃn điều kiện x> 0,y> 0,và xy
Câu 2: (3 điểm ) 1) Gi¶i PT:
√x+1+3
√x+2=1+
√
3 x2+3x+21) Ta có FAB 90 0(Vì FA AB)
BEC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn (O)) BEF 90 FAB FEB 180 0.
Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai góc đối 1800).
2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên
AFB AEB
sđAB Trong đường tròn (O) ta có
AEB BMD
sđBD
Do AFB BMD Mà hai góc vị trí so le nên AF // DM Mặt khác AF
(8)2) Tìm x,y số nguyên thảo mãn đẳng thức x ❑2 - xy –y +2 = 0 Câu : (3 điểm )
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB C điểm cung AB Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đờng thẳng qua hai điểm A K cắt (O)tại điểm M ( M≠A ) Kẻ CH vng góc với AM H Đơng thẳng OH cắt đờng thẳng BC N , đờng thẳng MN cắt (O) D (D≠M )
1) CM : Tứ giác BHCM hình bình hành 2) CM: ΔOHC vµ ΔOHM b»ng 3) CM : điểm B,H,D thẳng hàng Câu 4: ( điểm )
Tìm tất nghiệm nhỏ h¬n -1 cđa PT
x+1¿2 ¿ ¿ x2+x
2 Câu :( 1điểm )
Cho a,b số không âm thoả mÃn a2
+b22 > Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc M=a
√
3b(a+2b)+b√
3a(b+2a)
HÕT
SỞ GD- ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007-2008 Môn thi: Toán
Ngày thi: 27/6/2007
Thời gian làm bài: 30 phút (không kể phát đề) PHẦN THI TRẮC NGHIỆM:
1 Hai đường thẳng:y(2 m x m2) 5 y mx 3m 7song song với giá trị m là:
a/1 b/ c/ –2 d/ –1
2 Phương tình bậc hai 3x2 4x m
có hai nghiệm x x1, thoả x13x2thì giá trị m là:
a/ m = b/ m = c/ m = d/ m=2
3 Phương trình
1
2007 2006 2005 2004
x x x x
có nghiệm là:
a/ x2007 b/ x2007 c/ x2008 d/ x2008
4 Cho hàm số y = ax2 , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số Điểm sau điểm thuộc đồ thị hàm số trên?
a/ A(1;
1
) b/ B(1;
1
2) c/ C(
1
;1) d/ D(
1 2;1)
5 Đồ thị hàm số y = ax +b qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) giá trị a b là: a/ a = -2; b = b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = d/ a =2;b = -3
6 Phương trình bậc hai x2
1 2
x 0 có hai nghiệm là:a/ 2; 1 b/ 2;1 c/ 2;1 d/ 2; 1
7 Giá trị biểu thức
1
7
bằng:
(9)a/ b/ -4 c/ 2 d/ 2
8 Hệ phương trình
2007 2007
x y
x y
có nghiệm là:
a/
1; 2007 1
b/
2007 1;1
c/
2007;1
d/
1; 2007
9 Cho hàm số y
1 2007
x2008, x x 1 2007 giá trị y là:a/ b/ -2 c/ 2 2007 d/ 2007
10 2006 2007 xxác định a/
2007 2006
x
b/
2007 2006
x
c/
2006 2007
x
d/
2006 2007
x
11.Cho đường tròn (O; cm), dây AB = cm Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến dây AB Độ dài đoạn thẳng OH là:
a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm
12.Cho đường thẳng a điểm O cách a cm Vẽ đường trịn tâm O bán kính cm Số điểm chung đường thẳng a đường tròn (O) là:
a/ b/ c/ d/
13.Một hình thang ABCD (AB // CD) có Bˆ2Cˆ số đo Bˆ là:
a/ 800 b/ 1000 c/ 1200 d/ 600
14.Cho tam giác ABC vuông A có AB 3AC Ta có sinBˆ bằng:
a/
3
3 b/
3
2 c/
2
2 d/
1
15.Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Aˆ 800
Số đo Cˆbằng:
a/ 800 b/ 600 c/ 1200 d/ 1000
16.Biết O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AB=BC=AC Số đo góc AOB bằng:
a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300
17.Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Diện tích xung quanh hình trụ là: a/ 24 cm2
b/ 96 cm c/ 12 cm d/ 48 cm
18.Biết điểm A thuộc đường trịn đường kính BC Khi số góc BAC bằng:
a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600
19.Biết độ dài đường tròn 12cm Vậy diện tích hình trịn bằng:
a/ 36 2 cm2
b/ 24 cm c/ 144 cm d/ 36 cm
20.Các khẳng định sau, khẳng định đúng?
a/ Trong đường trịn, hai dây cách tâm b/ Trong đường trịn, dây nhỏ dây gần tâm c/ Trong đường trịn, dây gần tâm dây nhỏ
d/ Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây âý
PHẦN THI TỰ LUẬN Câu 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức A
1
1 :
1 1
x x
x x x x x x
với x0và x1
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tính giá trị biểu thức A x 4
c/ Tìm giá trị x để A > Câu 2: (1,5 điểm)
(10)a/ Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng toạ độ b/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị
Câu 3: (1 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0
a/ Chứng minh phương trình cho ln ln có nghiệm với m b/ Xác định m để hai nghiệm phương trình cho thoả hệ thức x12x22 10
Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm C đường thẳng AB cho B trung điểm đoạn thẳng OC Kẻ tiếp tuyến CD, CE đường tròn (O) M N
a/ chứng minh tứ giác CDOE tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b/ chứng minh tam giác CDE tam giác c/ Chứng minh CD2 = CM.CN.
d/ Tính đọ dài cung DOE diện tích hình tròn ngoại tiếp tư giác
ĐỀ Bài 1( 2,0 điểm) Các câu đây,sau câu có nêu phương án trả lời ( A,B,C,D) Bài 2( 1,5 điểm)
Cho biểu thức P =
2
1 :
1
x x x
x x x x
với x
1 Rút gọn P Tìm x để P < Bài (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 + 2mx + m – = 0 Giải phương trình m =
2 Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương
Bài ( 3,0 điểm)
Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O;R) tai M N.Gọi S giao điểm đường thẳng BM AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H Hãy chứng minh:
1 Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK = HA.HM KM tiếp tuyến đường tròn (O;R)
3 Ba điểm H,N,B thẳng hàng Bài ( 1,5 điểm)
Giải hệ phương trình
2
6 12
xy y
xy x
2.Giải phương trình x3.x4 = 2x4 – 2008x + 2008.
ĐỀ CHÍNH THỨC
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/06/2008
Bài 1: (2 điểm)
1) Giải phương trình: x
x2
+x+1+ 2x x2
(11)2) Giải hệ phương trình:
¿
2x√y+y√x=3√4y −3 2y√x+x√y=3√4x −3
¿{ ¿ Bài 2: (2 điểm)
1) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 ab + bc + ca ≤
Chứng minh rằng: < a + b + c ≤
2) Cho số nguyên dương n Chứng minh A = + 2
√
28n2+1 số nguyên A
số phương Bài 3: (2 điểm)
1) Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x2 + 2y2 – z2
2) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm số x
1 x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c =
Tính giá trị biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc + 3
Bài 4: (4 điểm)
Cho hai đường tròn (O1; R1) (O2; R2) với R1>R2 cắt hai điểm A B cho số đo góc O1AO2 lớn 900.Tiếp tuyến đường tròn (O1) A cắt đường tròn (O2) C khác A, tiếp tuyến đường tròn (O2) A cắt đường tròn (O1) D khác A Gọi M giao điểm AB CD
1) Chứng minh: BABD =BC BA=
AC AD
2) Gọi H, N trung điểm AD, CD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC
3) Tính tỉ số MCMD theo R1 R2
4) Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O1) (E tiếp điểm, E khác A) Đường thẳng CO1 cắt đường tròn (O1) F (O1 nằm C F) Gọi I hình chiếu vng góc A đường thẳng EF J trung điểm AI Tia FJ cắt đường tròn (O1) K Chứng minh đường thẳng CO1 tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC
5)
Thêi gian làm :150 phút
( Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Bài 1: Rút gọn biÓu thøc sau :
P = 2√x+3√2 √2x+2√x −3√2−6+
2x 6
2x+2x+32+6
Bài 2: Giải phơng trình hệ phơng trình sau:
a)
¿ 2x2− y2=1 xy+x2=2
¿{ ¿
b) √1− x+√4+x=3
Bµi 3: Chøng minh r»ng :
¿ 2007 2009 ¿
3(1+√2)+ 5(√2+√3)+
1
7(√3+√4)+⋯+
1
(12)Bài 4 : BC dây cung không đờng kính đờng trịn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H
a) Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng b) Gọi A' trung điểm BC, chứng minh AH = 2OA'
c) Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, chøng minh : R.AA1 = AA'.OA'
d) Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trí A để tổng (EF + FD +
DE) lín nhÊt
Bài 5 : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi
Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
M· ký hiƯu: Híng dÉn chÊm
HD01T- 08 - TS10CT Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ
Bài 1: (2,5 điểm)
Có : A =
¿ 2√x+3√2
√2x+2√x −3√2−6=
2√x+3√2
√x(√2+2)−3(√2+2) ¿
cho 0,25 ®iĨm
A = 2√x+3√2
(√2+2) (x 3) cho 0,25 điểm
Tơng tự có:
B = √2x −6
√2x+2√x+3√2+6=
√2x −6
(√x+3) (2+√2) cho 0,25 ®iĨm
Từ ⇒ Tập xác định x x ≠9 cho 0,25 điểm
Ta cã P = A+B = 2√x+3√2
(√2+2) (√x −3)+
√2x −6
(√x+3) (2+√2)
= (2√x+3√2) (√x+3)+(√2x −6) (√x −3)
(√x+3) (√x −3)(2+√2) cho 0,5 ®iĨm
= 2x+6√x+3√2x+9√2+x√2−6√x −3√2x+18
(x −9)(2+√2) Cho 0,25 ®iĨm
= (x+9)(2+√2)
(x −9)(2+√2)= x+9
x −9 Cho 0,25 ®iĨm
VËy P = x+9
x −9 Víi x vµ x Cho 0, 25 điểm Bài 2 ( 4,5 điểm)
a, Tõ hÖ
¿ 2x2− y2=1 xy+x2=2
¿{ ¿
xy +x ❑2=4x2−2y2 ⇔3x2−xy−2y2=0 (*)
- Nếu y = ta đợc : ¿ x2=1
2 x2=2 ¿{
¿
hệ vô nghiệm cho 0,25 điểm
- NÕu y ≠ ta cã : (*)
(
xy)
2 − x
(13)
x y=1
¿ x y=−
2 ¿ ¿ ¿ ¿
¿ x=y 2x2− y2=1
¿{ ¿
hay
¿ x=−2
3y 2x2− y2=1
¿{ ¿
Giải hệ đầu ta đợc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) Hệ sau vô nghiệm
Vậy hệ cho có nghiệm x = y = x = y = -1 b) Điều kiện - x Phơng trình tơng đơng với : (vì vế không âm)
5+2
√
4−3x − x2=9
√
4−3x − x2=2 4- 3x - x2 = x2 +3x = x(x + 3) = x = x = -3 Vậy phơng trình có nghiƯm x = hc x = -3
Bài 3 : (3điểm)
Ta có với n th×
2
(2n+1)(√n+√n+1)=
2(√n+1−√n)
√
4n2+4n+1
cho 0,5 ®iĨm
< 2(√n+1−√n)
2
√
n(n+1) = n−1
√n+1 cho 0,5 ®iĨm
Từ ta có : Sn =
1 3(1+√2)+
1
5(√2+√3)+⋯+
2
(2n+1)(√n+√n+1)
< 1-
¿
1−
√
n2+4n+4 ¿√n+1=1−
√4n+4 ¿
cho 0,75 ®iĨm
= 1-
n+2= n
n+2 cho 0,5 ®iÓm
VËy Sn < n
n+2 cho 0,25 điểm áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 < 2007
2009 điều phải chứng minh ( 0,5 ®iĨm)
Bài 4 : Hình vẽ cho 0,25 điểm
a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC
Có E, F nhìn BC dới góc vng nên E, F thuộc đờng trịn đờng kính BC
Cho 0,25 ®iÓm
gãc AFE = gãc ACB (cïng bï gãc BFE) cho 0,25 ®iĨm
AEF đồng dạng ABC (g.g) cho 0,25 điểm
b) Vẽ đờng kính AK Có BE AC (gt)
KC AC (V× gãc ACK = 90 ❑0 ) cho 0,25 ®iĨm
A x
E A1
F
O H B
D
C A'
(14)⇒ BE // KC cho 0,25 điểm
Tơng tự CH // BK cho 0,25 ®iĨm
Do tứ giác BHCK hình bình hành cho 0,25 điểm
HK đờng chéo nên qua trung điểm A' đờng chéo BC ⇒ H, A', K thẳng hàng
cho 0,25 điểm
Xét tam giác AHK có A'H = A'K
OA = OK cho 0,25 ®iĨm
Nên OA' đờng trung bình
⇒ AH = A'O cho 0,25 ®iĨm
c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng tỉ số trung tuyến tơng ứng, tỉ số bán kính đờng trịn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có:
cho 0,25 ®iĨm
AEF đồng dạng ABC ⇒ R R ' =
AA'
AA1 cho 0,25 ®iĨm
Trong R bán kính đờng trịn tâm O
R' bán kính đờng trịn ngoại tiếp AEF cho 0,25 điểm
cũng đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm
⇒ R AA ❑1 = R' AA' = AH
2 AA' cho 0,5 ®iĨm
= AA' OA'
2 = AA' OA' cho 0,25 ®iĨm
VËy R.AA1 = AA' OA' cho 0,25 ®iĨm
d, Trớc hết ta chứng minh OA EF vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O
Ta cã OA Ax cho 0,25 điểm
Vì góc xAB = Gãc BCA mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt)
⇒ gãc EFA = gãc xAB cho 0,25 ®iĨm
⇒ EF// Ax cho 0,25 ®iĨm ⇒ OA EF cho 0,25 ®iĨm
Chøng minh tơng tự có OB DF OC ED
Ta cã S ❑ABC = S ❑OEAF + S ❑OFBD +S ❑ODCE
=
2 OA EF +
2 OB FD +
2 OC.DE cho 0,25 ®iĨm
=
2 R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R)
⇒ R (EF + FD + DE) = S ❑ABC cho 0,25 ®iĨm
⇒ EF + FD + DE = 2SABC R
Nªn EF + FD + DE lín nhÊt ⇔ S ❑ABC lín nhÊt cho 0,25 ®iĨm
L¹i cã S ❑ABC =
2 BC.h (h đờng vng góc hạ từ A đến BC) S ❑ABC lớn
h lín nhÊt ABC tam giác cân A điểm chÝnh gi· cđa cung AB lín
cho 0,25 điểm Bài 5: (3 điểm)
Vì a, b, c cạnh tam giác có chu vi nên ta có: < a; b, c ¿ ¿ ¿
(cho 0,25 ®iÓm)
a - ¿¿
¿ ; b - ¿ ¿
¿ 0; c-1 ¿ ¿
¿ cho 0,25 ®iĨm
( a -1) (b -1) (c -1) ¿¿ ¿
( ab - a - b +1) ( c -1) ¿¿
¿ cho 0,25 ®iÓm
abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - ¿¿
(15) 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) ¿¿
¿ cho 0,25 ®iĨm
2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 ¿¿
¿ cho 0,25 ®iĨm
2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) ❑2 ¿¿
¿ cho 0,5 ®iĨm
2abc - 2(ab + ac + bc) + a ❑2 + b
❑2 + c ❑2 +2(ab + ac + bc)
¿ ¿
¿ (cho 0,25 ®iĨm)
2abc + a ❑2 + b
❑2 + c ❑2 ¿ ¿
¿ (®pcm) cho 0,25 điểm Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ
MÃ ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán
Thời gian lµm bµi :150 phó Bµi 1:
a, Chøng minh ab ta luôn có
|
a+b2 +√ab|
+|
a+b
2 −√ab
|
= |a|+|b|b, Phân tích đa thức M = a 10+a5+1 thành nhân tử Bài 2:
a, Giải hệ phơng trình
x+y¿2.y=2 ¿
(x+y)(x2−xy+y2)=1 ¿
¿ ¿ b, cho x, y vµ x + y = Chøng minh 8(x ❑4 + y
❑4 ) + xy1 5
Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax ❑3+bx2+cx+d
a) Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x số 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên
b, Đảo lại số 6a; 2b; a + b + c ; d số ngun đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x không? sao?
Bài 4: Cho tam giácABC vuông A, D điểm cạnh huyền BC, E điểm đơí xứng với D
qua AB, G làgiao điểm AB với DE, từ giao diểm H AB với CE hạ HI vuông góc với BC I tia CH, IG cắt K Chứng minh KC tia phân giác góc IKA
Bài 5: Chứng minh phơng trình
x ❑6 - x
❑5 + x ❑4 - x ❑3 + x ❑2 - x + 34 =
Vô nghiệm tập hợp sè thùc
M· ký hiƯu: Híng dẫn chấm
Câu 1:(2 điểm)
1) Phân tích x2 thành tích
2) x = có nghiệm phơng trình x2 – 5x + = kh«ng ?
Câu 2:(1 điểm)
1) Hm s y = - 2x + đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox, Oy
(16)Tìm tích hai số biết tổng chúng 17 Nếu tăng số thứ lên đơn vị số thứ hai lên đơn vị tích chúng tăng lên 45 n v
Câu 4:(1,5 điểm)
Rút gọn biểu thøc: P =
2
:
a b ab
a b a b
víi a, b 0 vµ a ≠ b
Câu 5:(5 điểm)
Cho tam giác ABC cân B, đờng cao AD, BE cắt H Đờng thẳng d qua A vng góc với AB cắt tia BE F
1) Chøng minh r»ng: AF // CH 2) Tø giác AHCF hình ?
Câu 6:(1 điểm)
Gọi O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm đờng tròn (O) với cạnh BC, CA, AB lần lợt D, E, F Kẻ BB’ vng góc với OA, AA’ vng góc với OB Chứng minh rằng: Tứ giác AA’B’B nội tiếp bồn điểm D, E, A’, B’ thẳng hng
Câu 7:(1 điểm)
Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa A = (2x – x2)(y – 2y2) víi x 2 y
1
I Phần trắc nghiệm (4, điểm)
Chọn ý câu sau ghi vào giấy làm bài.Ví dụ: Nếu chọn ý A câu ghi 1A
Câu Giá trị biểu thức (3 5)2 bằng
A 3 B 3 C 2 D 5
Câu 2. Đường thẳng y = mx + song song với đường thẳng y = 3x khi
A m = 2 B m = 2 C m = 3 D m = 3
Câu x 7 x bằng
A 10 B 52 C 46 D 14
Câu 4 Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2
A ( 2; 8) B (3; 12) C ( 1; 2) D (3; 18)
Câu Đường thẳng y = x cắt trục hoành điểm có toạ độ là
A (2; 0) B (0; 2) C (0; 2) D ( 2; 0)
Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có A.
AC sin B
AB
B.
AH sin B
AB
C.
AB sin B
BC
D.
BH sin B
AB
Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h Diện tích xung quanh hình trụ bằng
A r2h B 2r2h C 2rh D rh
Câu 8. Cho hình vẽ bên, biết BC đường kính đường trịn (O), điểm A nằm đường thẳng BC, AM tiếp tuyến (O) M MBC· =650.
Số đo góc MAC bằng
A 150 B 250 C 350 D 400
II Phần tự luận(6,0 điểm) Bài 1.(1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: M=2 5- 45+2 20;
1
N
3 5 5
-= - ì
- +
-ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ
ố ứ .
b) Tổng hai số 59 Ba lần số thứ lớn hai lần số thứ hai Tìm hai số đó.
Bài 2.(1,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2 - 5x + m = (1) với x ẩn số a) Giải phương trình (1) m = 6.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 x2 x1 6.
Bài (3,0 điểm)
A
B O
C M
(17)Cho đường trịn (O) đường kính AB 6cm Gọi H điểm nằm A B cho AH = 1cm. Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB, đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB).
a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp. b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tgABC· .
c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O).
d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x2 + 3x – = 0 (1)
b) x4 – 3x2 – = 0 (2)
c)
2x y (a) 3x 4y (b)
(3)
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –x2 đường thẳng (D): y = x – một hệ trục toạ
độ
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính
Câu 3: Thu gọn biểu thức sau: a) A = 3 3 b) B =
x x .x x 2x x x x x x
(x > 0; x ≠ 4).
Câu 4:Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số)
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để
2
1 2
x x x x 7.
Câu 5: Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D
a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I , B nằm đường tròn c) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác góc CHD