Céng tõng vÕ ta ®îc.[r]
(1)đề thi tuyển sinh vào lớp 10 khối chun tốn chun lam sơn.
<Thêi gian lµm bài: 150 phút> Bài 1: Rút gọn thức
5+13+5+13Bài 2: Phân tích thành nh©n tư P = x ❑4 + 2006x
❑2 + 2005x + 2006
Bµi 3: Cho 50 sè d¬ng a ❑1 ; a ❑2 ;….; a ❑50 tho¶ m·n:
50+a1
+
50+a2
+ …
50+a50
= 49
50 Tìm giá trị lớn biểu thức:
P = a ❑1 a ❑2 … a ❑50
Bµi 4:
a) Cho sè x;y;z tho¶ m·n hƯ:
¿
x2 + 2y + =0 y2 + 2z + =0 z2 + 2x + 1=0
{ {
Tìm giá trị biểu thøc: A = x ❑2004 + y
❑2005 + z ❑2006
b) Gi¶i hƯ:
¿
x7 + y7 = (1) x11 + y11 = x4+y4 (2)
¿{
¿
Bµi 5:
a) Cho ABC có đờng cao BH không nhỏ cạnh AC, đờng cao CK
không nhỏ cạnh AB Tính gãc cña ABC
b) Chứng minh tam giác, khoảng cách từ trực tâm tới đỉnh hai lần khoảng cách từ giao điểm đờng trung trực tới cạnh đối diện
(2)Đ
¸p ¸n
đáp án đề thi tuyển sinh vo lp 10 chuyờn lam sn
Bài1: <2 điểm>
√
5+√
13+√
5+√13 NhËn thÊy A>2
√
13+√
5+√
13+√5 ( A ❑2 -5)
❑2 = 13 + A A ❑4 - 10A ❑2 - A + 12 =
(A 3)[(A+3)(A+1)(A-1)-1]=0 (*) Vì A>2, Nên (A+3)(A+1)(A-1)-1>0 (*) A-3 = A=3
Bài : <2điểm>
P = x4+ x3+ x2+ 2005(x2+ x + 1) – (x3- 1)
= x ❑2 ( x
❑2 + x +1) + 2005(x ❑2 + x +1) - (x-1)( x ❑2 + x + 1)
= (x ❑2 + x + 1)( x
❑2 - x + 2006)
Bài 3: <2 điểm>
Ta cã: 50+1a
+ 501
+a2 + …
1
50+a50 = 49 50
50+1a
1
=
50 -
50+a2 + 50 -
1
50+a3 +…+ 50 -
1 50+a50
= a2
50(50+a2) +…+
a50
50(50+a50) 49 49
√
a2a3 .a50 5049(50+a2) (50+a50)
(áp dụng bất đẳng thức côsi)
50+1a
1
49 50
49
√
a2a3 a50 (50+a2) (50+a50) T¬ng tù1 50+a2
49 50
49
√
a1a3a4 a50(50+a1)(50+a3) .(50+a50)
…
1 50+a50
49 50
49
√
a1a2a3 a49(50+a1)(50+a2) (50+a49)
50+a1
1
50+a2 …
50+a50
(
4950)
5050+a50¿ 49
¿
50+a2¿49 ¿
50+a1¿49¿ ¿
a1 49
a2 49
a50 49
¿
49
√¿
501 +a1
1
50+a2 …
50+a50
(
4950)
50 a
1a2 a50
(50+a1)(50+a2) (50+a50)
a ❑1 a ❑2 … a ❑50
(
5049
)
50 P
(
50 49)
50
đặt : A =
Ta cã: A ❑2 =
(3) P ❑max =
(
5049
)
50DÊu “=” x¶y khi:
50+a1 =
50+a2 =…=
50+a50
a
❑1 =a
❑2 =… =a
❑50 = 5049
Bµi 4:
Câu a) <1 điểm> Cộng vế ta đợc (x ❑2 + 2y + 1) + (y
❑2 + 2z + 1)+ (z ❑2 + 2x + 1) =
(x ❑2 + 2x + 1) + (y
❑2 + 2y + 1)+ (z ❑2 + 2z + 1) =
(x+1) ❑2 + (y+1)
❑2 + (z+1) ❑2 =0
¿
x=−1 y=−1 z=−1
¿{ {
¿
VËy A =
Câu b) <1 điểm>
Từ : x ❑7 + y
❑7 =1
x7=1− y7
¿
y7=1− x7
¿ ¿ ¿ ¿
(3)
Tõ: x ❑11+y11=x4+y4
x ❑7x4+y7y4=x4+y4 (4)
Thay (3) vào (4) ta đợc
x ❑4(1− y7)+y4(1− x7)=x4+y4
x ❑4y7+x7y4=0
x ❑4y4(x3+y3)=0 x =
y = y = - x
- Víi x = y =1
- Víi y = x =1
- Víi y = -x Thay vµo (1) ta cã: x ❑7− x7=1 v« lý
NghiƯm cđa hƯ lµ:
¿
x=0 y=1
;
¿x=1
y=0
¿{
¿
Bµi 5
(4)Ta cã ACBH
CK AC BH AB CK
CK = AC = BH = AB Điều xảy K A
H A Tức ABC vuông A, mà AC=AB ABC vuông cân A
Â= 90 0; B== 45
Câu b) <1điểm>
- Gọi O giao điểm đờng trung trực O tâm đờng trịn ngoại tiếp ABC
- Gọi H trực tâm ABC,
M trung điểm BC OM BC ta cần chứng minh cho AH = 2MO AO kéo dài cắt đờng tròn ngoại tiếp ABC K tứ giác BHCK hình
bình hành nên hai đờng chéo BC HK cắt trung điểm đờng mà M trung điểm BC nên M trung điểm HK
XÐt AKH cã OA = OK; MH = MK
OM đờng trung bình cuả AKH OM = AH
AH = 2OM.(§PCM)