CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10 CHUYÊN hàm số

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Các toán hàm số tương đối nhiều kì thi chọn học sinh giỏi thi vào lớp chuyên THPT Trong chuyên đề này, ta quan tâm đến toán hàm số, bao gồm vấn đề sau đây: Tìm tập xác định, tập giá trị hàm số Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng Lập phương trình đường thẳng hay Parabol thỏa mãn điều kiện cho Tìm điểm đặc biệt: Điểm đồ hàm số qua, điểm đồ thị hàm số qua Biện luận tương giao đồ thị Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình Tìm điều kiện tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp tư kỹ làm toán hướng dẫn qua ví dụ sau: B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ DẠNG TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số b)y = a)y = x − x + −x + 3x + 10 2 7− 2x x − 7x + 10 Hướng dẫn giải a) Hàm số xác định  x =  −2 ≤ x ≤ −1  x4 − x2 ≥ x x − ≥  x ≤ −1 ⇔ ⇔ ⇔ x =  −x + 3x + 10 ≥ ( x + 2) ( 5− x) ≥  x ≥ 1≤ x ≤ −2 ≤ x ≤   ( ) Chú ý: Ở này, học sinh hay bỏ sót giá trị ( ) x=0 biến đổi sai là: x2 x2 − ≥ ⇔ x2 − 1≥ − 2x − 2x ≥ 0⇔ ≥ 0⇔ x < x − 7x + 10 ( x − 2) ( x − 5) b) y= Ví dụ 2: Tìm tập giá trị hàm số: ≤ x≤ 4x − 12 (1) x − 6x + 10 Hướng dẫn giải Hàm số xác định với giá trị x, (1) tương đương với: y.x2 − 2( 3y + 2) x + 10y + 12 = 0(2) Phương trình (2) phải có nghiệm x Nếu Nếu y= y≠ thì x= ∆ ' = − y2 ≥ ⇒ −2 ≤ y ≤ Do tập giá trị hàm số là: −2 ≤ y ≤ DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y= ( ) 2x2 + x2 + ( x − 2) + x2 + 3x − Ví dụ 3: Cho hàm số: a) Tìm tập xác định hàm số b) Chứng minh y≤ , rõ dấu xảy x bao nhiêu? ( THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004) Hướng dẫn giải ( a) Hàm số xác định 3− y = b) Ta có: ( )  x2 + ( x − 2) ≥ ⇔ x≥  x + 3x − ≠  ) x2 + − x2 + x − + 9( x − 2) x + 3x − 2 = ( x2 + − x − x + 3x − ) ⇒ y≤ x2 + = x − ⇔ x = Dấu xảy 9± Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = 3x + 12 − 3x2 Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định: y2 = ( −2 ≤ x ≤ 3 + 12 − 3x2 ) ( ) ≤ 3x2 + 12 − 3x2 = 48 ⇒ −4 ≤ y ≤ ⇒ maxy = 3khix = Mặt khác y − 3x = 12 − 3x2 ≥ ⇒ y ≥ 3x ≥ −6 ⇒ miny = −6,khix = −2 y= Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: 3x8 + 12 (x ) +2 Hướng dẫn giải: 12x4 y = 3− ≤ 3⇒ maxy = x = x + 4x4 + y = 3− Với x≠ ta có x4 + Mặt khác 12 x4 + + x 4 + ≥ x4 + = ⇒ miny = khix4 = ⇔ x = ± 4 x x x DẠNG CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC Ví dụ 6: Chứng minh hàm số: y = x3 + x2 + x + m− Hướng dẫn giải đồng biến Với Xét x1,x2 mà ( x1 < x2 ) ( ) y2 − y1 = x32 − x13 + x22 − x12 + ( x2 − x1 ) ( ) = ( x2 − x1 ) x22 + x1x2 + x12 + x1 + x2 = = Do y2 > y1 ( x2 − x1 ) ( x2 + x1 + 1) + x22 + x12 + 1 > Vậy hàm số cho ln đồng biến Ví dụ 7: Chứng minh hàm số: −2x2 + x + y= x−1 nghịch biến với x > Hướng dẫn giải y = −2x − 1+ x −1 với x1,x2 thỏa mãn 1< x1 < x2       y1 − y2 =  −2x1 − 1+ − − 2x − + = x − x + ( ) >0 ÷  ÷ 2  x1 − 1  x2 − 1  ( x1 − 1) ( x2 − 1)   Do y1 > y2 Từ suy hàm số nghịch biến với x>1 DẠNG LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HOẶC PARABOL Ví dụ 8: Tìm phương trình đường thẳng qua điểm I (0; 1) cắt parabol y = x2 hai điểm phân biệt M N cho MN = 10 (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia HN năm học 2000 – 2001) Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + Xét phương trình x2 =ax+1 ⇔ x2-ax-1=0 (1) ∆ = a2 + > Với a, (1) ln có hai nghiệm phân biệt nên (d) cắt (P) hai điểm phân M ( x1;y1 ) ,N ( x2;y2 ) Theo định lý Vi – ét: x1 + x2 = a,x1.x2 = −1 MN = 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( ax2 + 1− ax1 − 1) = 40 2 ( ) ( ) ⇔ ( a + 1) ( a + 4) = 40 ⇒ a = ⇔ a = ±2 2 ⇔ a2 + ( x2 − x1 ) = 40 ⇔ a2 + ( x1 + x2 ) − 4x1x2  = 40   2 Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ với m tham số khác điểm a) Hãy vẽ Parabol cắt ( P) cho parabol −1 x điểm M ( m;0) I ( 0;−2) ( P) b) Viết phương trình đường thẳng ( d) Oxy ( P) : y = ( d) hai điểm phân biệt qua hai điểm A,B M;I với độ dài đoạn Chứng minh AB > (THPT Chuyên ngoại ngữ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2001 - 2002) Hướng dẫn giải a) Học sinh tự vẽ hình (d) : y = b) Phương trình đường thẳng x − m Dễ thấy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt  −x12   −x22  A  x1; ÷,B x2; ÷      2 2 1  AB2 = ( x2 − x1 ) +  x22 − x12 ÷ = ( x1+ = x2 ) − 4x1x2  1+ ( x1 + x2 )     2  x1 + x2 = Theo định lí Vi-ét ta có: −4 ,x1x2 = −4 m Vậy   16  AB2 =  + 16÷ 1+ ÷ > 16 m  m  Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Gọi (d) đường thẳng qua nên Oxy I(0;−2) AB > , cho parabol (P) có phương trình có hệ số góc k x2 y= a) Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt b) Gọi H,K A,B k thay đổi theo thứ tự hình chiếu vng góc trục hồnh Chứng minh tam giác IHK I vuông (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải a) Đường thẳng (d) : y = kx − Xét phương trình ∆ ' = k2 + > x2 = kx − ⇔ x2 + 2kx − = k với , suy (1) có hai nghiệm phân biệt Vậy (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt ⇒ A(x1;y1),B(x2;y2 ) H(x1;0),K(x2;0) Vậy tam giác IKH x1x2 = −4 vuông nên A,B x1,x2 IH2 = x12 + 4,IK = x22 + 4,KH2 = ( x1 − x2 ) Theo Định lí Vi-ét (1) Khi IH2 + IK = x12 + x22 + = KH I DẠNG TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Ví dụ 11 Cho hàm số y = mx2 + 2(m− 2)x − 3m+ a) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị b) Tìm điểm mặt phẳng Oxy m mà đồ thị hàm số qua Hướng dẫn giải M(x0;y0) a) Giả sử điểm cố định mà đồ thị hàm số qua, đó: y0 = mx02 + 2(m− 2)x0 − 3m+ với m x02 + 2x0 − = ⇔ (x + 2x0 − 3)m+ 1− 4x0 − y0 = ⇔  ⇒ M(1;−3) / M(−3;13) 1− 4x0 − y0 = b) Giả sử điểm có tọa độ (x0;y0) điểm mà đồ thị hàm số khơng thể qua Khi phương trình (1) khơng có nghiệm Ví dụ 12 Cho đường thẳng (dm) b) Tìm để khoảng cách từ điểm x0 = −3  y0 ≠ 13 có phương trình: a) Chứng minh đường thẳng m x = m⇔  y0 ≠ −3 (dm) qua điểm cố định A(−1;−2) đến (dm) lớn Hướng dẫn giải a) Giả sử đường thẳng Khi với Hay với (dm) qua y0 = (2m− 1)x0 − 4m+ (2x0 − 4)m+ 3− x0 − y0 = M(x0;y0) với m, với m 2x − = x = ⇔ ⇔ ⇒ M(2;1) − x − y = y = 0   b) Hạ AH vng góc với (dm) AH , khoảng cách từ A đến (dm) AH ≤ AM Vậy AH lớn AM Phương trình đường thẳng AM vng góc với (dm) y = x −1 , vng góc với 1(2m− 1) = −1⇔ m = DẠNG BIỆN LUẬN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độ parabol a) Tìm Oxy , cho đường thẳng (d) :2x − y − a2 = (P): y = ax2(a > 0) a để ( d) cắt P hai điểm phân biệt A,B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung b) Gọi T= xA ,xB hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức: + xA + xB xA xB (Vòng 1, THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2005 – 2006) Hướng dẫn giải a) Xét phương trình ( d) cắt ( P) ax2 = 2x − a2 ⇔ ax2 − 2x + a2 = (1) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ a < Kết hợp với điều kiện nằm bên phải trục b) Oy 0< a< ta có Khi (1) có hai nghiệm dương nên  xA + xB = > ⇒ T = 2a + ≥ 2 a  a xA xB = a > A,B Vậy minT = 2 a= Ví dụ 14 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng: (d3) : y = −ax + a3 − a2 − (d2) : y = x − ; Tìm a để (d1) cắt (d2) (d1): y = −x + ; điểm thuộc (d3) (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải Dễ thấy (d1) cắt (d2 ) M ∈ (d3) ⇔ −a + a3 − a2 − Ví dụ 15 Cho parabol M(1;0) 3 = ⇔ 4a = (a + 1) ⇔ a = a + 1⇔ a = (P):y = x2 đường thẳng a) Chứng minh đường thẳng ( d) cắt −1 (d) : y = mx + parabol ( P) hai điểm phân biệt với giá trị b) Gọi A(x1;y1) biểu thức: B(x2;y2 ) giao điểm (d) (P) Tìm giá trị lớn M = (y1 − 1)(y2 − 1) (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải a) Xét phương trình ∆ = m2 + > x2 = mx + ⇔ x2 − mx − 1= (1) với nên(1) có hai nghiệm phân biệt , suy hai điểm phân biệt A(x1;y1) B(x2;y2 ) ( d) cắt ( P) b) Theo định lí Vi-ét: x1 + x2 = m,x1x2 = −1 M = (y1 − 1)(y2 − 1) = (x12 − 1)(x22 − 1) = x12x22 + 2x1x2 − (x1 + x2 )2 + = −m2 ≤ Vậy maxM = m= DẠNG DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1Bài Tìm m đề phương trình sau có nghiệm: 2x  2x   x2 + 1÷ − x2 + − 5+ m =   Hướng dẫn giải t= Đặt 2x ⇒ −1≤ t ≤ x +1 , ta được: 2 t2 − 4t − 5+ m = ⇔ t − 4t + = 9− m ⇔ (t − 2) = − m Đặt k = t− −3 ≤ k ≤ −1⇒ 1≤ k2 ≤ Do để phương trình có nghiệm 1≤ 9− m ≤ ⇔ ≤ m ≤ Ví dụ 17 Tìm m để đồ thị hàm số trục Ox ,ta có: k2 = 9− m y = x3 − 2(m+ 1)x2 + (6 − m)x + 10m− 12 cắt ba điểm phân biệt Hướng dẫn giải Ta có: y = (x − 2)(x2 − 2mx − 5m+ 6) Để đồ thị hàm số cho cắt trục Ox ba điểm phân biệt phương trình 10    (1− x2)(1− x1) − 1 = (x2 − x1) 1− = (x − x )   ⇒ (d) M, nên phương trình hai điểm phân biệt trung điểm AB (1) y = k(x + 1) + (1) có hai nghiệm phân biệt A,B với xA ,xB nghiệm xA + xB = 2xM ⇔ k = 2.(−1) = −2 17 (1) Bài 13 Cho tam giác AH,BK ABC , cạnh AB có phương trình y= tương ứng có phương trình trình cạnh AC,BC y = x+ 5 −2 22 x+ y = x− 4 7 , , đường cao Hãy lập phương Hướng dẫn giải Tọa độ điểm Do BC BC ⊥ AH qua B B nghiệm hệ: nên phương trình cạnh −2 = nên ta có BC tam giác có dạng ABC tương ứng tọa độ trung điểm cạnh Tìm tọa độ điểm Hướng dẫn giải a) Hai đồ thị cắt I Trung điểm AB A(1;1) B(−2;4) M , có tọa độ b) Phương trình đường thẳng Tọa độ điểm −4 x + b AC : y = x − 2 M(x1;y1),N(x2;y2),P(x3;y3) Bài 14 Cho y= 16 −22 + b⇒ b = 3 Tương tự ta có phương trình cạnh BC,AC,AB  y = 5x + ⇒ B(−4;−2)  − 22 y = x−  7  5 I  − ; ÷  2 IM nghiệm hệ y = x + y = x +  y = x 18 A,B,C  1− 13 7− 13  M1  ; ÷ ÷ 2   y = x2 Bài 15 Cho hàm số: a) Xác định tọa độ giao điểm trung điểm I đoạn thẳng b) Tìm tọa độ điểm M y = −x + A,B AB  1+ 13 7+ 13  M  ; ÷ ÷ 2   đồ thị hàm số cho tọa độ , biết điểm A có hồnh độ dương thuộc đồ thị hàm số cho tam giác AMB cân M (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2007 – 2008) Bài 16 Cho parabol a) Chứng minh b) Tìm m (P): y = −x2 ( d) cắt để độ dài đoạn c) Chứng minh AOB AB đường thẳng ( P) (d) : y = (m− 2)x − hai điểm phân biệt A,B nhỏ tam giác vuông Hướng dẫn giải a) Phương trình b) x2 + (m− 2)x − 1= ln có hai nghiệm phân biệt A(x1,(m− 2)x1 − 1);B(x2,(m− 2)x2 − 1) AB2 = (x2 − x1)2 + (m− 2)2.(x2 − x1)2 = (m− 2)2 + 1 (x2 − x1)2 = (m− 2)2 + 1 (x1 + x2 )2 − 4x1x2  = (m− 2)2 + 1 (m− 2)2 + 4 ≥ Suy c) AB = m= A(x1;−x12),B(x2;−x22 ) OB: y = −x2x Ta có: nên phương tình đường thẳng (−x1)(−x2 ) = x1x2 = −1 Bài 17 Cho hai đường thẳng: với m nên OA : y = −x1x OA ⊥ OB (d1) : y = (2m2 + 1)x + 2m− (d2 ) : y = m2x + m− , tham số 19 a) Tìm tọa độ giao điểm b) Khi m I (d1),(d2 ) thay đổi, chứng minh điểm I m theo ln thuộc đường thẳng cố định (Vịng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải I a) Tọa độ giao điểm (d1), (d2)  −m− −3m2 + m−  I , ÷ m2 +   m +1 b) Ta có: y1 + x1 = −3(m2 + 1) = −3 ⇔ I m2 + Bài 18 Cho parabol thuộc đường thẳng có phương trình (P) : y = x2 đường thẳng m tham số Tìm tất giá trị hồnh độ x1,x2 Với giá trị m giác vng có độ dài cạnh huyền để ( d) cắt y = −x − (d): y = mx − m3 + ( P) , với m hai điểm phân biệt có độ dài cạnh góc vng tam ? (Vịng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải Xét phương trình: (d) cắt P x2 = mx − m2 + ⇔ x2 − mx + m2 − = (1) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt: ⇔ −2 < m < Theo định lí Vi-ét ta có x1 + x2 = m,x1.x2 = m2 − Theo yêu cầu đề ta phải có x1,x2 > 20 x12 + x22 = Do Bài 19 Cho điểm A ( −2;4)  m >  ⇔ m= m −  (x1 + x2 )2 − 2x1x2 =  Tìm điểm B thuộc parabol cho tam giác OAB A vng Hướng dẫn giải Phương trình cạnh Phương trình cạnh Tọa độ điểm OA AB là y = −2x y = x +  25 B ; ÷ 2  Bài 20 a) Cho hàm số y = x2 − 2x + m2 − 6m+ 13 Tìm điểm trục Oy mà đồ thị hàm số qua b) Chứng minh đường thẳng cắt parabol có phương trình điểm I đoạn thẳng AB ( d) có phương trình y = x2 − x − y = x + m2 + 2m+ hai điểm phân biệt A,B trung thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải M(0;b) thuộc Oy mà đồ thị hàm số qua ⇔ b = m2 − 6m+ 13 = (m− 3)2 + ≥ Vậy điểm thuộc Oy có tung độ nhỏ đồ thị hàm số khơng thể qua b) Phương trình hồnh độ giao điểm x2 − 2x − m2 − 2m− = 21 ∆ ' = m2 + 2m+ 10 = (m+ 1)2 + > parapol I (P) với AB xA + xB = x1 = x = I Vậy điểm thuộc đường thẳng Bài 21 Cho parabol (P) : y = x2 a) Chứng minh với đường thẳng ln cắt A,B hai điểm phân biệt trung điểm m, đường thẳng k ( d) qua ( d) đường thẳng A ( 1;2) ln cắt có hệ số góc ( P) k hai điểm phân biệt b) Với k=2 , chứng minh ( d) cắt ( P) hai điểm nhận A làm trung điểm (THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ), năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải a) (d) có phương trình Phương trình y = kx + − k x2 − kx − + k = có ∆ = (k − 2)2 + > với k nên ln có hai nghiệm biệt b) Khi (d) cắt k = 2, d: y = 2x (P) hai điểm O(0;0) Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ điểm BC Oxy Phương trình cạnh 2x + 6y + = M(2;4) A trung điểm cho tam giác AB,AC Tìm tọa độ điểm nên ABC tương ứng A,B,C Gọi OM M ( −1;1) x+ y− 2= trung Hướng dẫn giải Dễ thấy  15 −7  A  ; ÷ 4 4 Gọi N trung điểm 22 AC MN song song với AB phương trình đường thẳng MN là:  − 3 x + y = ⇒ N  ; ÷ 4  (P) : y = Bài 23 Cho parabol qua M có hệ số góc k a) Tìm b) Tìm điểm ( d) để k để A,B ( d) −1 x điểm M(0;2) Gọi ( d) đường thẳng k ( P) cắt tiếp xúc ( P) A,B hai điểm phân biệt thỏa mãn AB = 12 có hồnh độ số dương (THPT Chun Đại học Sư phạm TP Hồ Chí minh, năm học 2008 – 2009) Hướng dẫn giải a) (d) (d) qua M có hệ số góc k: tiếp xúc với (P) y = kx + phương trình x2 + 2kx + = 0(1) có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = k2 − = ⇔ k = ±2 b) (d) cắt (P) hai điểm nghiệm dương phân biệt A,B phân biệt có hồnh độ dương ⇔ (1) có hai ⇔ k < −2 A(x1;kx1 + 2),B(x2;kx2 + 2) với x1 + x2 = −2k,x1x2 = AB2 = (x2 − x1)2 + k2(x2 − x1)2 = (k2 + 1)(x2 − x1)2 = (k2 + 1) (x2 + x1)2 − 4x1x2  = (k2 + 1)(4k2 − 16) = 144 ⇒ k2 = −5 (loại) k2 = ⇒ k = ±2 Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ parabol Oxy Vậy k = −2 cho đường thẳng (P) : y = (k − 1)x2,k > 23 (d) : y = 2x − k2 + 2k − a) Tìm A,B k ( d) để ( P) cắt nằm bên phải trục b) Gọi x1,x2 hai điểm phân biệt Oy A,B Chứng minh hồnh độ điểm A,B M= tìm giá trị nhỏ biểu thức: + x1 + x2 x1.x2 Hướng dẫn giải a) Phương trình (k − 1)x2 − 2x + (k − 1)2 = ∆ = −1− (k − 1)2 > ⇔ k < A(x1;y1),B(x2;y2 ) Do x1 > 0,x2 > M= b) A,B nên >0 k −1 x1x2 = k − > bên phải trục Oy 1 + = 2(k − 1) + ≥ 2 x1 + x2 x1x2 k −1 Suy Min M=2 k = 1+ Bài 25 Cho hàm số độ −1 y = x2 b) Vẽ đồ thị AMB ( P) có đồ thị ( P) hai điểm A,B thuộc AB tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB có diện tích lớn A(−1;1),B(2;4) có hoành Hướng dẫn giải a) ( P) a) Viết phương trình đường thẳng giác 1< k < Kết hợp với điều kiện ta có x1 + x2 = có hai nghiệm phân biệt phương trình đường thẳng 24 AB y = x + ( P) cho tam b) Gọi (d) (d) : y = x + m tiếp xúc với Khi (P)  1 M ; ÷  4 đường thẳng song song với x = x+ m AB phương trình tiếp điểm (d) (P) có nghiệm kép tam giác AMB ⇔ m= − có diện tích lớn Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ a) Với giá trị k b) Tìm , cho đường thẳng đường thẳng Khi tĩnh góc tạo k Oxy ( d) tịa ( d) Ox ( d) : 2kx + ( k − 1) y = song song với đường thẳng y = 3x để khoảng cách từ gốc tọa độ đến ( d) lớn (THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2004-2005) Hướng dẫn giải a) Nếu Nếu k =1 k≠1 (d) y= trở thành x=1 không song song với đường thẳng −2k x+ , k −1 k −1  −2k  k − = ⇒ k = 2−   ≠0  k − ( (d) song song với Góc nhọn tạo y = 3x y = 3x (d) b) Khoảng cách từ O với tia đến ( Ox (d) α tan lớn ) α = ⇔ α = 600 y = m2 − 3m+ x Bài 27 Cho hàm số 25 ) Tìm k= m để đồ thị hàm số qua điểm A ( 1,1) Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số qua ta có ⇒ m= t (do A 1= m − 3m+ Đặt t = 3m+ 1, m≥ với −1 ,t ≥ 0, m2 − 1= 3t ⇒ (m− t)(m+ t + 3) = 2 t − = 3m m+ t + > ) m2 − 3m− = ⇒ m = Khi ta có 3− 13 3+ 13 ,m = 2 Bài 28 Chứng minh đồ thị hàm số y = mx3 + 2mx2 + ( 1− m) x + 3− 2m qua ba điểm cố định ba điểm thẳng hàng Hướng dẫn giải Giả sử đồ thị hàm số qua điểm cố định có tọa độ y0 = mx03 + 2mx02 + (1− m)x0 + 3− 2m ( ) ⇔ x02 − ( x0 + 2) + x0 + 3− y0 = với với (x0;y0) với m đó: m m (x0 − 1)(x0 + 2) = ⇔ ⇒ (x0;y0 ) ∈ { ( −1;2) ,( 1;4) ,( −2;1) } 3+ x0 − y0 = Vậy đồ thị hàm số qua ba điểm Dễ thấy ba điểm A,B,C Bài 29 Cho hàm số thị hàm số cắt Ox A ( −1;2) ,B( 1;4) ,C ( −2;1) thuộc đường thẳng y = x + y = x3 − 2( m+ 1) x2 + ( 12m− 15) x − 16m+ 30 ba điểm phân biệt 26 Tìm m để đồ Hướng dẫn giải Ta có: y = (x − 2)(x2 − 2mx + 8m− 15) Đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt phương trình (x − 2)(x2 − 2mx + 8m− 15) = (x − 2)(x2 − 2mx + 8m− 15) = có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác m <  m − 8m− 15 >  m> ⇔   11 4 − 4m+ 8m− 15 ≠  m ≠  Bài 30 Tìm độ dương: m để đồ thị hàm số sau cắt trục ( Ox ba điểm phân biệt có hồnh ) y = x3 − 3( m+ 1) x2 + m2 + 4m+ x − 4m( m+ 1) Hướng dẫn giải Ta có: y = ( x − 2) x2 − ( 3m+ 1) x + 2m2 + 2m Đồ thị cắt Ox ba điểm có hồnh độ dương phương trình x2 − ( 3m+ 1) x + 2m2 + 2m = có hai nghiệm dương phân biệt khác  m ≠ ∆ = (m− 1)2 >   2m + 2m >   m < −1  m ≠ ⇔ ⇔  ⇔ 3m + > m >  m>   22 − ( 3m+ 1) + 2m2 + 2m ≠  −1  m >  Bài 31 Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox bốn điểm phân biệt: y = x − − − m+ 27 Hướng dẫn giải Ox Đồ thị hàm số cắt trục x − − = m− bốn điểm phân biệt ⇔ Phương trình có bốn nghiệm phân biệt Vẽ đồ thị hàm số y = x − − = m− y = m− từ ta có: < m− < ⇔ < m < Bài 32 Cho hàm số f ( x) = x2 − 2x + ( − x) ( x + 2) + m− 18 vpwos giá trị x thoản mãn −2 ≤ x ≤ Tìm m để f ( x) ≥ Hướng dẫn giải Đặt ( − x) ( 2+ x) , t= Khi f ( x) ≥ A = t( − t) , Vậy với ≤ t ≤ −2 ≤ x ≤ ⇔ A = −t2 + 4t ≥ 10 − m chứng minh với 0≤ t ≤ với ≤ A ≤ 10− m≤ ⇔ m ≥ 10 Bài 33 Cho hàm số 2x3 − 5x2 + 8x − y= x −1 Tìm điểm đồ thị có tọa độ nguyên Hướng dẫn giải y = 2x2 − 3x + 5+ Ta có: x ≤ t ≤ nguyên, y x−1 nguyên 3M( x − 1) Vậy đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ nguyên là: { ( 2;10) ,( 0;2) ,( 4;26) ,( −2;18) } 28 y= Bài 34 Cho hàm số x3 − 2x2 + 7x − x2 + Tìm điểm đồ thị có tọa độ ngun Hướng dẫn giải y = x − 2+ 4x − 4x − ,y ∈ Z ⇔ A = ∈ Z x +3 x +3 A.( 4x − 1) ∈ Z ⇔ Khi x2 + Thử lại ta có 16x2 − 49 ∈ Z ⇔ 16 − ∈ Z x +3 x +3 ước 49 x= , suy Bài 35 Tìm hàm số a) b) ⇒ x = ±2 M ( 1;2) y = f ( x) điểm cần tìm biết: f ( a + 1) = a2 + 5a + 15 2  f  a − ÷ = a2 + a a + 21  với a≠ Hướng dẫn giải a) ( ) f ( a + 1) = a2 + 2a + + 3( a + 1) + 11= ( a + 1) + 3( a + 1) = 11 Do f ( x) = x2 + 3x + 11 b) 2  2  f  a − ÷ =  a − ÷ + 25, a  a  Bài 36 Tìm hàm số f(x) = x2 + 25 f ( x) ,g( x) cho: 29 xf ( x + 1) + g( x + 1) = 2x( x + 1) + 11    1   − 2x − 10x f − xg =   ÷  x÷ x     x x ≠ 0,x ≠ với Hướng dẫn giải Đặt u = x+1, Hay v= , x ta có: ( u − 1) f(u) + g(u) = 2u2 − 2u + 11   10 f(v) − g(v) = − −  v v ( x − 1) f ( x) + g( x) = 2x2 − 2x + 11   10 f ( x) − g(x) = 2x − − x x  Giải hệ phương trình trên, ẩn f ( x) g(x) f ( x) = 2x − 1,g( x) = x + 10 30 ta : x ≠ 0,x ≠ với ... ≤ Do tập giá trị hàm số là: −2 ≤ y ≤ DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y= ( ) 2x2 + x2 + ( x − 2) + x2 + 3x − Ví dụ 3: Cho hàm số: a) Tìm tập xác định hàm số b) Chứng minh... − − 3)2 = x −1− + x −1− hay với 1≤ x < : Hàm số nghịch biến; ≤ x ≤ 10 x ≥ 10 : Hàm số không đổi; : Hàm số đồng biến ABC Bài 10 Cho tam giác BM,CN tương ứng tam giác −2 x − +  y = 1  2 x... (x1 + 1)2 + 8 > Do h(x1) < h(x2 ) ⇒ y = h(x) nên hàm số đồng biến Tổng hai số đồng biến hàm số đồng biến y = f(x) b) Với với x1 < x2 x1,x2 hàm số đồng biến thỏa mãn y2 − y1 = x2 − x1 + < x1