CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10 CHUYÊN hàm số

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Các toán hàm số tương đối nhiều kì thi chọn học sinh giỏi thi vào lớp chuyên THPT Trong chuyên đề này, ta quan tâm đến toán hàm số, bao gồm vấn đề sau đây: Tìm tập xác định, tập giá trị hàm số Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng Lập phương trình đường thẳng hay Parabol thỏa mãn điều kiện cho Tìm điểm đặc biệt: Điểm đồ hàm số qua, điểm đồ thị hàm số qua Biện luận tương giao đồ thị Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình Tìm điều kiện tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp tư kỹ làm toán hướng dẫn qua ví dụ sau: B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ DẠNG TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số b)y  a)y  x  x2  x2  3x  10  2x x  7x  10 Hướng dẫn giải a) Hàm số xác định  x   2  x  1   x  x   x x    x  1    x     x  3x  10    x   x    x   1  x  2  x   2   Chú ý: Ở này, học sinh hay bỏ sót giá trị x  biến đổi sai là:   x2 x2    x2   b)  2x  2x 0   x   x  x  7x  10  x   x  5 Ví dụ 2: Tìm tập giá trị hàm số: y  4x  12 (1) x  6x  10 Hướng dẫn giải Hàm số xác định với giá trị x, (1) tương đương với: y.x2   3y   x  10y  12  0(2) Phương trình (2) phải có nghiệm x Nếu y  x  Nếu y   '   y2   2  y  Do tập giá trị hàm số là: 2  y  DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 3: Cho hàm số: y    2x  x   x    x  3x  a) Tìm tập xác định hàm số b) Chứng minh y  , rõ dấu xảy x bao nhiêu? ( THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004) Hướng dẫn giải    x   x    x2 a) Hàm số xác định  x  3x   b) Ta có:  y  x    x  x    x   x  3x   y  Dấu xảy   x2   x   x  x2   x   x  3x  9 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  3x  12  3x2 Hướng dẫn giải: Điều kiện xác định: 2  x  y2   3  12  3x   3x  12  3x   48 2  4  y   max y  3khix  Mặt khác y  3x  12  3x2   y  3x  6  y  6,khix  2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y  3x8  12 x 2  Hướng dẫn giải: 12x y  3   max y  x  x  4x  Với x  ta có y   Mặt khác x  12 x4   x 4   x 4    y  khix   x   4 x x x DẠNG CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC Ví dụ 6: Chứng minh hàm số: y  x3  x2  x  m  đồng biến Hướng dẫn giải Với x1 ,x mà x1  x2 Xét y2  y1   x32  x13    x22  x12    x2  x1      x2  x1  x22  x1x  x12  x1  x2    x2  x1   x2  x1  1  x22  x12  1  Do y2  y1 Vậy hàm số cho đồng biến 2x2  x  Ví dụ 7: Chứng minh hàm số: y  nghịch biến với x > x 1 Hướng dẫn giải y  2x   với x1 ,x thỏa mãn  x1  x2 x 1       y1  y2   2x1   0    2x      x  x1  1  x  x  x  x       2      Do y1  y2 Từ suy hàm số nghịch biến với x  DẠNG LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HOẶC PARABOL Ví dụ 8: Tìm phương trình đường thẳng qua điểm I (0; 1) cắt parabol y  x2 hai điểm phân biệt M N cho MN  10 (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia HN năm học 2000 – 2001) Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + Xét phương trình x2 =ax+1  x2 -ax-1=0 (1)   a   Với a, (1) có hai nghiệm phân biệt nên (d) ln cắt (P) hai điểm phân M  x1;y1  ,N  x2 ;y2  Theo định lý Vi – ét: x1  x2  a,x1.x2  1 MN  10   x  x1    ax   ax1  1  40   a   1 a   2  a   x  x1   40  a   x1  x   4x1x   40   2    40  a   a  2 Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P  : y  1 x điểm M  m;0  với m tham số khác điểm I 0; 2  a) Hãy vẽ Parabol  P  b) Viết phương trình đường thẳng  d  qua hai điểm M;I Chứng minh  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A,B với độ dài đoạn AB  (THPT Chuyên ngoại ngữ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2001 - 2002) Hướng dẫn giải a) Học sinh tự vẽ hình b) Phương trình đường thẳng (d) : y  x  m  x12   x22  Dễ thấy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A  x1;  ,B  x ;       2 2 1  AB2   x2  x1    x 22  x12    x1   x   4x1x  1   x1  x      2  Theo định lí Vi-ét ta có: x1  x2   16  4 ,x1x  4 m  Vậy AB2    16     16 nên AB  m  m  x2 Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) có phương trình y  Gọi (d) đường thẳng qua I(0; 2) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A,B k thay đổi b) Gọi H,K theo thứ tự hình chiếu vng góc trục hồnh Chứng minh tam giác IHK vng I (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007) Hướng dẫn giải a) Đường thẳng (d) : y  kx  Xét phương trình x2  kx   x  2kx   (1)  '  k   với k , suy (1) có hai nghiệm phân biệt Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A,B b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x  A(x1;y1 ),B(x2 ;y2 ) H(x1;0),K(x2 ;0) Khi IH2  x12  4,IK  x22  4,KH2   x1  x2  Theo Định lí Vi-ét x1x2  4 nên IH2  IK  x12  x22   KH2 Vậy tam giác IKH vuông I DẠNG TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Ví dụ 11 Cho hàm số y  mx2  2(m  2)x  3m  a) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m b) Tìm điểm mặt phẳng Oxy mà đồ thị hàm số qua Hướng dẫn giải a) Giả sử M(x0 ;y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua, đó: y0  mx02  2(m  2)x0  3m  với m x2  2x0     (x02  2x0  3)m   4x0  y0     M(1; 3) / M(3;13)  4x  y   0  b) Giả sử điểm có tọa độ (x0 ;y0 ) điểm mà đồ thị hàm số qua x  y0  3 Khi phương trình (1) khơng có nghiệm m   x0  3  y0  13 Ví dụ 12 Cho đường thẳng (d m ) có phương trình: a) Chứng minh đường thẳng (d m ) qua điểm cố định b) Tìm m để khoảng cách từ điểm A(1; 2) đến (d m ) lớn Hướng dẫn giải a) Giả sử đường thẳng (d m ) ln qua M(x0 ;y0 ) Khi với y0  (2m  1)x0  4m  với m, Hay với (2x0  4)m   x0  y0  với m 2x0   x0     M(2;1) 3  x0  y0  y0  b) Hạ AH vng góc với (d m ) , AH khoảng cách từ A đến (d m ) AH  AM Vậy AH lớn AM AM vng góc với (d m ) Phương trình đường thẳng y  x  1, vng góc với 1(2m  1)  1  m  DẠNG BIỆN LUẬN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : 2x  y  a  parabol (P) : y  ax2 (a  0) a) Tìm a để  d  cắt P hai điểm phân biệt A,B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung b) Gọi x A ,x B hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  x A  x B x A x B (Vòng 1, THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2005 – 2006) Hướng dẫn giải a) Xét phương trình ax2  2x  a  ax2  2x  a  (1)  d  cắt  P  hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt   '   a  Kết hợp với điều kiện  a  ta có Khi (1) có hai nghiệm dương nên A,B nằm bên phải trục Oy  x A  x B    T  2a   2 b)  a a x A x B  a  Vậy T  2 a  Ví dụ 14 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng: (d1 ) : y  x  ; (d2 ) : y  x  ; (d3 ) : y  ax  a  a  Tìm a để (d1 ) cắt (d ) điểm thuộc (d ) (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008) Hướng dẫn giải Dễ thấy (d1 ) cắt (d ) M(1;0) M  (d3 )  a  a  a    4a  (a  1)3  a  a   a  Ví dụ 15 Cho parabol (P) :y  x2 đường thẳng (d) : y  mx  1 a) Chứng minh đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt với giá trị b) Gọi A(x1;y1 ) B(x2 ;y2 ) giao điểm (d) (P) Tìm giá trị lớn biểu thức: M  (y1  1)(y2  1) (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010) Hướng dẫn giải a) Xét phương trình x2  mx   x2  mx   (1)   m2   với nên(1) có hai nghiệm phân biệt , suy  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A(x1;y1 ) B(x2 ;y2 ) b) Theo định lí Vi-ét: x1  x2  m,x1x2  1 M  (y1  1)(y2  1)  (x12  1)(x22  1)  x12x22  2x1x2  (x1  x2 )2   m2  Vậy maxM  m  DẠNG DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1Bài Tìm m đề phương trình sau có nghiệm: 2x  2x   x    x    m    Hướng dẫn giải Đặt t  2x  1  t  , ta được: x 1 t  4t   m   t  4t    m  (t  2)2   m Đặt k  t  3  k  1   k  ,ta có: k   m Do để phương trình có nghiệm   m    m  Ví dụ 17 Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  2(m  1)x2  (6  m)x  10m  12 cắt trục Ox ba điểm phân biệt Hướng dẫn giải Ta có: y  (x  2)(x2  2mx  5m  6) Để đồ thị hàm số cho cắt trục Ox ba điểm phân biệt phương trình m    m  6 x2  2mx  5m   phải có hai nghiệm phân biệt khác    10  m   DẠNG CÁC BÀI TOÁN KHÁC Ví dụ 18 Cho hàm số f(x)  Xét dãy hàm số f1 (x)  f(x) ; f2  f f1 (x) ; 1 x f3 (x)  f f2 (x); Tìm f2020 (x) Hướng dẫn giải Ta có: ; 1 x x 1   f2 (x)  f  f1 (x)  f    ;  x 1 x  1 1 x  x 1 f3 (x)  f  f2 (x)  f    x;   x  1 x 1 x f3 (x)  f  f3 (x)  f1 (x) f1 (x)  f(x)   1  x n  3k   Ta có: fn (x)  x n  3k x 1  n  3k   x Vậy f2020(x)  1 x BÀI TẬP Bài Tìm giá trị m để x thuộc [-1;2] thuộc tập xác định hàm số: y  m   x  m(x  3)  Hướng dẫn giải Đặt f(x)  (m2  1)x  m(x  3)  Khi f(x)  với x   1;2 thì:  f(1)  m  2m    2  m   2m  5m    f(2)   x2 Bài Tìm giá trị lớn hàm số y  x  2x  2002 (THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2001 – 2002) Hướng dẫn giải - Nếu x  y  - Nếu y  y  1 2002  x x thì: x Đặt t  2 2002  2001     2002t  2t   2002  t    x x  2002  2002 Từ suy max y  2001 t   x  2002 2002 2002 Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: a) y | 2x  |  | 2x  1|  | 2x  1|  | 2x  | x  16 b) y  ,x  x(x  2)(x  2) Hướng dẫn giải a) y  2x   2x   2x   2x   (3  2x)  (1  2x)  (2x  1)  (2x  3)   Min y   2x,  2x, 2x  1, 2x  dấu  1 x 2  Chú ý: Đây tốn đặc biệt, khơng đặc biệt ta xét khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối b) Ta có y  (x  4)2  8x x  8x    x(x  2)(x  2) x x 4 Vậy y  x   48 10 Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: a) y  b) y  x  8x  x2  32  2x  x  Hướng dẫn giải a) (y  1)x2  8x  y   (1) y 1 x   Nếu y  (1) phương trình bậc hai ẩn x Phương trình có nghiệm 1  y   '  16  (y  1)(y  7)    y  b) Hàm số xác định x2  2x   Do   (x  1)2    2 Vậy max y  16 x   2, y  16 x  1 Bài Cho hàm số y  x2  (2m  1)x  3m  a) Với giá trị m, tìm giá trị nhỏ hàm số b) Khi m thay đổi, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Hướng dẫn giải 2m   4m  16m  21    a) y   x  x   b) y  (m  2)2     y    m  4m  21   5 Vậy giá trị nhỏ hàm số đạt giá trị lớn 5 m  Bài Cho hàm số y  f(x)  x2  2(2m  1)x  2m2  8m  16 a) Với giá trị m, tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) theo m b) Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ giá trị lớn f(x) Hướng dẫn giải 11 a) f(x)   x2  2(2m  1)x  (2m  1)2   (2m  1)2  2m  8m  16   x  (2m  1)  2m2  4m  17  2m  4m  17 Vậy với m, giá trị lớn hàm số 2m2  4m  17 b) 2m2  4m  17  2(m  1)2  15  15 Do giá trị lớn hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ 15 m = 1 Bài Cho hàm số y  f(x)  (2m  1)x   m Tìm m để f(x)  với x thỏa mãn 1  x  Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y  f(x) đường thẳng Vậy f(x)  với x  1;2 f(1)  6  3m     1  m  f(2)  3m   Bài Chứng minh rằng: a) Hàm số y  f(x)  5x11  x3  x2  5x  2m  15 đồng biến x  2x  nghịch biến với  x  x 1 b) y  Hướng dẫn giải a) y  f(x)  g(x)  h(x), Với g(x)  5x11 hàm số đồng biến h(x)  x3  x2  5x  2m  15 Với x ,x2 x1  x2 mà ta có: h(x2 )  h(x1 )  x32  x13  x22  x12  5x2  5x1  (x2  x1 )(x22  x1x2  x12  x2  x1  5)  (x  x1 ) (x  x1 )2  (x  1)2  (x1  1)2  8  Do h(x1 )  h(x2 ) với x1  x2  y  h(x) hàm số đồng biến Tổng hai số đồng biến hàm số đồng biến nên y  f(x) hàm số đồng biến b) Với x1 ,x thỏa mãn  x1  x2  ta có: 12 y2  y1  x  x1  1  x2  x1     (1  x2 )(1  x1 )    (x  x1 ) 1    (x  x1 )  0  (x  1)(x1  1)   (x  1)(x1  1)  Với  x1  x2  Vậy hàm số nghịch biến (0;1) Bài Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số: y  x   x 1  x   x 1 Hướng dẫn giải y  ( x   2)2  ( x   3)2  x 1   2 x    x   hay y  1  2 x   với  x  : Hàm số nghịch biến;  x  10 : Hàm số không đổi; x  10 : Hàm số đồng biến Bài 10 Cho tam giác ABC có A(3;1) Phương trình đường trung tuyến BM,CN tương ứng 2x  y   x   Lập phương trình cạnh tam giác ABC Hướng dẫn giải Trọng tâm G(1;1) Lấy E đối xứng với A qua G E(1;1) Đường thẳng BE qua E song song với CG là: x  1, B(1; 3), Từ tìm C(1;5) Phương trình cạnh AB,AC,BC tương ứng là: y  x  2;y   2x;y  4x  1 Bài 11 Cho đường thẳng  d  có phương trình: y  x  Lập phương trình đường thẳng  d’ đối xứng với  d  qua đường thẳng y  x Hướng dẫn giải Xét phương trình: x2  x  x  3 y  3 13  A(3;3) giao điểm đường thẳng (d) đường thẳng () : y  x Lấy A(0;2)  (d) Đường thẳng (d*) qua B(0;2) vng góc với () có dạng: y  x  Hoành độ giao điểm H (d*) () nghiệm phương trình: x   x  x   y   H(1;1) Gọi B ' điểm đối xứng B qua H, suy B'(0;2) Phương trình đường thẳng (d ') qua A(3;3) B'(2;0) y  3x  Bài 12 Cho parabol (P) : y  x2  Lập phương trình đường thẳng  d  qua M(1;3) cho  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A,B M trung điểm AB Hướng dẫn giải Đường thẳng (d) qua M, không song song với Oy có dạng y  k(x  1)  Xét phương trình x2   kx  k   x2  kx  k   (1)   (k  2)2  12  nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A,B với x A ,x B nghiệm (1) Để M trung điểm AB xA  xB  2xM  k  2.(1)  2 5 Bài 13 Cho tam giác ABC , cạnh AB có phương trình y  x  , đường cao 2 22 AH,BK tương ứng có phương trình y  x  , y  x  Hãy lập phương 4 7 trình cạnh AC,BC Hướng dẫn giải  y  x    B(4; 2) Tọa độ điểm B nghiệm hệ:   22 y  x  7 Do BC  AH nên phương trình cạnh BC có dạng y  BC qua B nên ta có 2  16 22 bb 3 14 4 x  b Tương tự ta có phương trình cạnh AC : y  x  Bài 14 Cho M(x1;y1 ),N(x2 ;y2 ),P(x3;y3 ) tương ứng tọa độ trung điểm cạnh BC,AC,AB tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A,B,C Hướng dẫn giải a) Hai đồ thị cắt A(1;1) , B(2;4)  5 Trung điểm I AB có tọa độ I   ;   2 b) Phương trình đường thẳng IM y  x  y  x  Tọa độ điểm M nghiệm hệ  y  x   13  13    13  13  M1  ; ;  M   2 2     Bài 15 Cho hàm số: y  x2 y  x  a) Xác định tọa độ giao điểm A,B đồ thị hàm số cho tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB , biết điểm A có hồnh độ dương b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số cho tam giác AMB cân M (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2007 – 2008) Bài 16 Cho parabol (P) : y  x2 đường thẳng (d) : y  (m  2)x  a) Chứng minh  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A,B b) Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ c) Chứng minh AOB tam giác vng Hướng dẫn giải a) Phương trình x2  (m  2)x   ln có hai nghiệm phân biệt b) A(x1,(m  2)x1  1);B(x2 ,(m  2)x2  1) AB2  (x2  x1 )2  (m  2)2 (x2  x1 )2  (m  2)2  1 (x  x1 )2  (m  2)2  1 (x1  x2 )2  4x1x   (m  2)2  1 (m  2)2    Suy AB  m  15 c) A(x1; x12 ),B(x2 ; x22 ) nên phương tình đường thẳng OA : y  x1x OB : y  x2x Ta có: (x1 )(x2 )  x1x2  1 nên OA  OB Bài 17 Cho hai đường thẳng: (d1 ) : y  (2m2  1)x  2m  , (d2 ) : y  m2x  m  với m tham số a) Tìm tọa độ giao điểm I (d1 ),(d2 ) theo m b) Khi m thay đổi, chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải  m  3m  m   ,  m2   m 1  a) Tọa độ giao điểm I (d1 ), (d ) I  b) Ta có: 3(m  1) y1  x1   3  I thuộc đường thẳng có phương trình y  x  m2  Bài 18 Cho parabol (P) : y  x2 đường thẳng (d) : y  mx  m3  , với m tham số Tìm tất giá trị m để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x Với giá trị m độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền ? (Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải Xét phương trình: x2  mx  m2   x2  mx  m2   (1) (d) cắt P hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt:  2  m  Theo định lí Vi-ét ta có x1  x2  m,x1.x2  m2  Theo yêu cầu đề ta phải có x1,x2  x12  x 22  16  m   Do m  m  (x1  x )2  2x1x   Bài 19 Cho điểm A  2;4  Tìm điểm B thuộc parabol cho tam giác OAB vuông A Hướng dẫn giải Phương trình cạnh OA y  2x Phương trình cạnh AB y  x   25  Tọa độ điểm B  ;  2  Bài 20 a) Cho hàm số y  x2  2x  m2  6m  13 Tìm điểm trục Oy mà đồ thị hàm số qua b) Chứng minh đường thẳng  d  có phương trình y  x  m2  2m  ln cắt parabol có phương trình y  x2  x  hai điểm phân biệt A,B trung điểm I đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải M(0;b) thuộc Oy mà đồ thị hàm số qua  b  m2  6m  13  (m  3)2   Vậy điểm thuộc Oy có tung độ nhỏ đồ thị hàm số qua b) Phương trình hồnh độ giao điểm x2  2x  m2  2m    '  m2  2m  10  (m  1)2   với m, đường thẳng cắt parapol (P) hai điểm phân biệt A,B I trung điểm AB x1  x A  xB  Vậy điểm I thuộc đường thẳng x  Bài 21 Cho parabol (P) : y  x2 đường thẳng  d  qua A 1;2  có hệ số góc k 17 a) Chứng minh với k đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt b) Với k  , chứng minh  d  cắt  P  hai điểm nhận A làm trung điểm (THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ), năm học 2007 - 2008) Hướng dẫn giải a) (d) có phương trình y  kx   k Phương trình x2  kx   k  có   (k  2)2   với k nên ln có hai nghiệm biệt b) Khi k  2, d : y  2x (d) cắt (P) hai điểm O(0;0) M(2;4) nên A trung điểm OM Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC Gọi M  1;1 trung điểm BC Phương trình cạnh AB,AC tương ứng x  y   2x  6y   Tìm tọa độ điểm A,B,C Hướng dẫn giải  15 7  Dễ thấy A  ;  Gọi N trung điểm AC MN song song với AB phương 4   3   4  trình đường thẳng MN là: x  y   N  ; Bài 23 Cho parabol (P) : y  1 x điểm M(0;2) Gọi  d  đường thẳng qua M có hệ số góc k a) Tìm k để  d   P  tiếp xúc b) Tìm k để  d  cắt  P  hai điểm A,B phân biệt thỏa mãn AB  12 điểm A,B có hồnh độ số dương (THPT Chuyên Đại học Sư phạm TP Hồ Chí minh, năm học 2008 – 2009) Hướng dẫn giải a) (d) qua M có hệ số góc k: y  kx  (d) tiếp xúc với (P) phương trình x2  2kx   0(1) có nghiệm kép 18   '  k    k  2 b) (d) cắt (P) hai điểm A,B phân biệt có hồnh độ dương  (1) có hai nghiệm dương phân biệt  k  2 A(x1;kx1  2),B(x2 ;kx2  2) với x1  x2  2k,x1x2  AB2  (x2  x1 )2  k (x2  x1 )2  (k  1)(x2  x1 )2  (k  1) (x2  x1 )2  4x1x2   (k  1)(4k  16)  144  k  5 (loại) k   k  2 Vậy k  2 Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y  2x  k  2k 1 parabol (P) : y  (k  1)x2 ,k  a) Tìm k để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A,B Chứng minh A,B nằm bên phải trục Oy b) Gọi x1 ,x hoành độ điểm A,B tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x1  x x1.x Hướng dẫn giải a) Phương trình (k  1)x2  2x  (k  1)2  có hai nghiệm phân biệt   1  (k  1)2   k  Kết hợp với điều kiện ta có  k  A(x1;y1 ),B(x2 ;y2 ) x1  x   x1x2  k   k 1 Do x1  0,x2  nên A,B bên phải trục Oy b) M  1   2(k  1)   2 x1  x2 x1x2 k 1 Suy Min M  2 k   Bài 25 Cho hàm số y  x2 có đồ thị  P  hai điểm A,B thuộc  P  có hồnh độ 1 a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Vẽ đồ thị  P  tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB  P  cho tam 19 giác AMB có diện tích lớn Hướng dẫn giải a) A(1;1),B(2;4) phương trình đường thẳng AB y  x  b) Gọi (d) : y  x  m đường thẳng song song với AB (d) tiếp xúc với (P) phương trình x2  x  m có nghiệm kép  m   1 1 Khi M  ;  tiếp điểm (d) (P) tam giác AMB có diện tích lớn 2 4 Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : 2kx   k  1 y  a) Với giá trị k đường thẳng  d  song song với đường thẳng y  3x Khi tĩnh góc tạo  d  tịa Ox b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến  d  lớn (THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2004-2005) Hướng dẫn giải a) Nếu k  (d) trở thành x  không song song với đường thẳng y  3x Nếu k  y  2k x , k 1 k 1  2k  k    k  2 (d) song song với y  3x   0  k    Góc nhọn tạo (d) với tia Ox  tan      600 b) Khoảng cách từ O đến (d) lớn k    Bài 27 Cho hàm số y  m2  3m  x Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A 1,1 Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số qua A  m2  3m  Đặt t  3m  1, với m  20 1 ,t  0,  m   3t ta có   (m  t)(m  t  3)  t   3m    m  t (do m  t   ) Khi ta có m2  3m    m   13  13 ,m  2 Bài 28 Chứng minh đồ thị hàm số y  mx3  2mx2  1  m  x   2m qua ba điểm cố định ba điểm thẳng hàng Hướng dẫn giải Giả sử đồ thị hàm số qua điểm cố định có tọa độ (x0 ;y0 ) với m đó: y0  mx03  2mx02  (1  m)x0   2m với m    x02   x0    x0   y0  với m  (x0  1)(x0  2)    (x0 ;y0 )   1;2  , 1;4  ,  2;1  3  x0  y0  Vậy đồ thị hàm số qua ba điểm A  1;2  ,B 1;4  ,C  2;1 Dễ thấy ba điểm A,B,C thuộc đường thẳng y  x  Bài 29 Cho hàm số y  x3   m  1 x2  12m  15 x  16m  30 Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt Hướng dẫn giải Ta có: y  (x  2)(x2  2mx  8m  15) Đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt phương trình (x  2)(x2  2mx  8m  15)  có ba nghiệm phân biệt (x  2)(x2  2mx  8m  15)  có hai nghiệm phân biệt khác m   m  8m  15  m     11 4  4m  8m  15   m  Bài 30 Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ dương: y  x3  3 m  1 x2   m2  4m  1 x  4m  m  1 21 Hướng dẫn giải Ta có: y   x   x2   3m  1 x  2m2  2m  Đồ thị cắt Ox ba điểm có hồnh độ dương phương trình x2   3m  1 x  2m2  2m  có hai nghiệm dương phân biệt khác  m    (m  1)2    2m  2m    m  1 m      m  3m   m  22   3m  1  2m  2m   1  m   Bài 31 Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox bốn điểm phân biệt: y  x 1   m  Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số cắt trục Ox bốn điểm phân biệt  Phương trình x    m  có bốn nghiệm phân biệt Vẽ đồ thị hàm số y  x    m  y  m  từ ta có:  m     m  Bài 32 Cho hàm số f  x   x2  2x    x  x    m  18 Tìm m để f  x   vpwos giá trị x thoản mãn 2  x  Hướng dẫn giải Đặt t    x   x  ,  t  Khi f  x   với 2  x   A  t  4t  10  m với  t  A  t   t  , chứng minh với  t   A  Vậy 10  m   m  10 2x3  5x  8x  Bài 33 Cho hàm số y  Tìm điểm đồ thị có tọa độ x 1 nguyên Hướng dẫn giải 22 Ta có: y  2x2  3x   x 1 x nguyên, y nguyên  x  1 Vậy đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ nguyên là:  2;10 , 0;2 ,  4;26 ,  2;18 x3  2x  7x  Bài 34 Cho hàm số y  Tìm điểm đồ thị có tọa độ x2  nguyên Hướng dẫn giải y  x2 4x  4x  ,y  Z  A   Z x 3 x 3 A  4x  1  Z  16x2  49  Z  16   Z x 3 x 3 Khi x2  ước 49  x  2 Thử lại ta có x  , suy M 1;2  điểm cần tìm Bài 35 Tìm hàm số y  f  x  biết: a) f  a  1  a  5a  15   2 b) f  a    a  với a  a a  21  Hướng dẫn giải a) f  a  1   a  2a  1  3 a  1  11   a  1  3 a  1  11 Do f  x   x2  3x  11 2  2  b) f  a     a    25, f(x)  x2  25 a  a  xf  x  1  g  x  1  2x  x  1  11  Bài 36 Tìm hàm số f  x  ,g  x  cho:       2x  10x f    xg    x x  x với x  0,x  23 Hướng dẫn giải  u  1 f(u)  g(u)  2u2  2u  11  Đặt u = x+1, v  , ta có:  10 x f(v)  g(v)    v v   x  1 f  x   g  x   2x  2x  11  Hay  10 f  x   g(x)  2x   x x  Giải hệ phương trình trên, ẩn f  x  g(x) ta : f  x   2x  1,g  x   x  10 với x  0,x  24 ...   2 x    x   hay y  1  2 x   với  x  : Hàm số nghịch biến;  x  10 : Hàm số không đổi; x  10 : Hàm số đồng biến Bài 10 Cho tam giác ABC có A(3;1) Phương trình đường trung...  Do tập giá trị hàm số là: 2  y  DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 3: Cho hàm số: y    2x  x   x    x  3x  a) Tìm tập xác định hàm số b) Chứng minh y... vuông I DẠNG TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Ví dụ 11 Cho hàm số y  mx2  2(m  2)x  3m  a) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m b) Tìm điểm mặt phẳng Oxy mà đồ thị hàm số