Tùy theo mức độ không phụ thuộc thời gian của các biến ngẫu nhiên của quá trình tại các thời điểm ta có các mức độ dừng khác nhau.. Như vậy quá trình dừng bậc nhất có quy luật phân bố [r]
(1)CHƢƠNG
CHUỖI MARKOV VÀ QUÁ TRÌNH DỪNG
Các tượng diễn tự nhiên, xã hội có tính chất tất định (có tính quy luật, biết trước kết quả) có tính chất ngẫu nhiên (khơng biết trước kết quả) Mặc dù khơng thể nói trước tượng ngẫu nhiên xảy hay không xảy thực lần quan sát, nhiên tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên phép thử nhau, ta đáng giá khả xuất biến cố tương ứng rút kết luận khoa học tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu khả xuất hiện tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế
Trong học phần xác suất thống kê tìm hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên, biến nhận giá trị phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên Khi họ biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian ta có q trình ngẫu nhiên
Lý thuyết trình ngẫu nhiên lần nghiên cứu liên quan đến toán dao động nhiễu hệ vật lý Quá trình ngẫu nhiên mơ hình tốn học trình thực nghiệm mà phát triển bị chi phối quy luật xác suất Quá trình ngẫu nhiên cung cấp mơ hình hữu ích để nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác vật lý thống kê, viễn thơng, điều khiển, phân tích chuỗi thời gian, tăng trưởng dân số ngành khoa học quản lý
Các tín hiệu video, tín hiệu thoại, liệu máy tính, nhiễu hệ thống viễn thông, nhiễu điện thiết bị điện, số khách hàng đến điểm phục vụ, số chứng khốn thị trường chứng khốn… q trình ngẫu nhiên
Q trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng viễn thơng q trình Markov (q trình khơng nhớ, memoryless) q trình dừng
Chuỗi Markov q trình Markov có khơng gian trạng thái rời rạc, thời gian rời rạc Chuỗi Markov thường gặp toán chuyển mạch hệ thống viễn thơng
Tín hiệu viễn thơng, nhiễu khơng có tính Markov Các q trình q khứ có ảnh hưởng lớn đến tiến triển trình tương lại Tuy nhiên hàm trung bình khơng thay đổi hàm tương quan theo thời gian, q trình dừng Khi q trình dừng biểu diễn tín hiệu nhiễu biến đổi Fourier hàm tương quan q trình hàm mật độ phổ cơng suất tín hiệu nhiễu
Trong chương ta nghiên cứu cách khái quát khái niệm trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov thời gian rời rạc trình dừng
(2)4.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 4.1.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên
Các tín hiệu hệ thống thơng tin tín hiệu ngẫu nhiên ngồi thành phần mang tin cịn có tác động giao thoa ngẫu nhiên nhiễu thiết bị
Giả sử tín hiệu mà thời điểm t nhận giá trị phụ thuộc hệ biến cố E ii, N phép thử, tín hiệu nhận giá trị mẫu x t E( , i) thời điểm t biến cố Ei xảy Như x t E( , i) hàm mẫu trình ngẫu nhiên X t( ) Quá trình ngẫu nhiên X t( ) vừa phụ thuộc thời gian t, vừa phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên Ei
Một cách tổng quát trình ngẫu nhiên họ biến ngẫu nhiên X t( , ); t T xác định phép thử Các trình vừa phụ thuộc vào thời gian t Khi cố định tham số t X t( , ) biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên , các giá trị quan sát nhận đƣợc theo thời gian t đƣợc gọi hàm mẫu thể quá trình ngẫu nhiên Tập số T thƣờng biểu diễn tham số thời gian
Do tác động yếu tố ngẫu nhiên nên tín hiệu X t( , ); t T truyền q trình ngẫu nhiên Tín hiệu cụ thể nhận x t t( ); T hàm mẫu (một thể hiện) trình ngẫu nhiên X t( , ); t T.
t
1
( , ) x t E
) , (t E1 v
t
2
( , ) x t E
) , (t E1 v
t
3
( , ) x t E
) , (t E1 v
t
4
( , ) x t E
) , (t E1 v
1
t
1
t
1
t
1
t
2
t
2
t
2
t
2
t
x t E i( , ),1 i N x t E i( , ),2 i N
Quá trình ngẫu nhiên X t( )
(3)Để đơn giản cách viết người ta ký hiệu trình ngẫu nhiên X t t( ); T thay cho X t( , ); t T, hàm mẫu tương ứng ký hiệu x t t( ); T
4.1.2 Phân loại trình ngẫu nhiên
Có thể phân loại q trình ngẫu nhiên theo đặc trưng sau:
Không gian trạng thái,
Tập số thời gian T,
Quan hệ độc lập quy luật phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X t( ) 4.1.2.1 Phân loại trình ngẫu nhiên theo tập trạng thái E
Ta ký hiệu E tập tất giá trị X t( ), t T gọi không gian trạng thái trình, giá trị X t( ) gọi trạng thái
Nếu E tập đếm X t t( ); T gọi q trình có trạng thái rời rạc
Nếu E khoảng tập số thực X t t( ); T gọi trình thực trình trạng thái liên tục
Nếu E tập tập số phức X t t( ); T trình trạng thái phức
Nếu E k X t t( ); T trình trạng thái k-véc tơ 4.1.2.2 Phân loại trình ngẫu nhiên theo tập số T
Nếu T tập tập số nguyên (T ) trình X t t( ); T gọi q trình có thời gian rời rạc tham số rời rạc Trường hợp ta ký hiệu Xn thay cho X t( ) gọi dãy ngẫu nhiên
Nếu T [0; ) T X t t( ); T gọi trình có thời gian liên tục
4.1.2.3 Phân loại theo tính chất phân bố xác suất trình ngẫu nhiên a. Quá trình độc lập
Quá trình X t t( ); T gọi trình độc lập với thời điểm
1 n
t t t biến ngẫu nhiên sau độc lập
1
( ), ( ), , ( )n
(4)X nn, 1 trình ngẫu nhiên gọi quá trình Bernoulli Vậy trình Bernoulli q trình độc lập có khơng gian trạng thái rời rạc E 0,1 , thời gian rời rạc
1,2,
T
Một ví dụ mơ dãy mẫu q trình Bernoulli nhận cách gieo đồng xu liên tiếp Nếu mặt sấp xuất ta gán giá trị 1, mặt ngửa xuất ta gán giá trị Chẳng hạn
n
n x
MỈt xt hiÖn
1 10
1 0 1 1 S N N S S S N S S N
Dãy mẫu x nn, 1 nhận minh họa hình sau
b. Q trình có gia số độc lập:
Quá trình X t t( ); T gọi trình gia số độc lập gia số trình khoảng thời gian rời biến ngẫu nhiên độc lập Tức với cách chọn t1 t2 tn, biến ngẫu nhiên sau độc lập
2
( ) ( ), ( ) ( ), , ( )n (n )
X t X t X t X t X t X t (4.2) Đặc biệt với trình thời gian rời rạc {Xn} tính chất gia số độc lập dẫn đến dãy biến ngẫu nhiên Z0 X0,Zi Xi Xi1; i 1,2, độc lập Ngoài ta biết luật phân bố biến ngẫu nhiên Z0,Z1, ta biết luật phân bố Xn
Thật vậy, điều suy từ công thức phân bố tổng biến ngẫu nhiên độc lập
0
i i
X Z Z Z c. Quá trình gia số độc lập dừng
Quá trình gia số độc lập X t t( ); T gọi trình gia số độc lập dừng
n
x
1
0 2 10 n
(5), , ; s t s t h
: X t( )X s( ) X t( h)X s( h) độc lập có phân bố (4.3) Q trình Wiener (ví dụ 4.10) ví dụ q trình gia số độc lập dừng
d. Quá trình Martingal
Quá trình X t t( ); T gọi trình Martingal nếu:
Với thời điểm t1t2 tn tn1, với giá trị a a1, , ,2 anthì
1 1
EX t(n ) ( )X t a, , ( )X tn an an. (4.4) Q trình Martingal xem mơ hình mơ tả trị chơi may rủi, X t( ) số tiền người chơi thời điểm t Tính chất Martingal nói số tiền trung bình người chơi có thời điểm tương lai tn1 số tiền có thời điểm tn
không phụ thuộc vào có trƣớc khứ
Nếu X t t( ); 0 trình gia số độc lập với kỳ vọng X t t( ); 0 trình Martingal với thời gian liên tục (xem [8])
e. Quá trình Markov:
Quá trình X t t( ); T gọi trình Markov nếu:
Với thời điểm t1t2 tn, với giá trị a a1, , ,2 an cho trước, với thời điểm t tn với a ta có
( ) ( )1 1, , ( )n n ( ) ( )n n
P X t a X t a X t a P X t a X t a (4.5) Nghĩa qui luật phân bố xác suất tương lai phụ thuộc độc lập với q khứ Nói cách khác q trình Markov mơ tả hệ khơng có trí nhớ (memoryless)
Với t s; với tập giá trị A giá trị a ta ký hiệu
( , ; , ) ( ) ( )
p s a t A P X t A X s a (4.6) gọi hàm xác suất chuyển từ thời điểm s đến thời điểm t.
Như công thức (4.5) viết lại
( ) ( )1 1, , ( )n n ( , ; , )n n
P X t a X t a X t a p t a t A , A ,a (4.7) Q trình Markov với khơng gian trạng thái rời rạc gọi chuỗi Markov (hay xích Markov, Markov chains) Chuỗi Markov với thời gian rời rạc xét mục
(6) n 0, 1, , n n n
P X j X i X i X i P X j X i , i i0 1, , , ,i j E (4.8) f. Quá trình dừng (stationary)
Xét trình ngẫu nhiên X t t( ); T có thời gian T , ,
Nói cách khái qt q trình ngẫu nhiên q trình dừng tính chất thống kê q trình khơng phụ thuộc thời gian Các tính chất thống kê q trình xác định hàm phân bố đồng thời trình thời điểm Tùy theo mức độ không phụ thuộc thời gian biến ngẫu nhiên trình thời điểm ta có mức độ dừng khác
Quá trình dừng bậc nhất nếu: với h, với t1 Thai biến ngẫu nhiên
1
( )
X t X t(1h) có quy luật phân bố xác suất
Như q trình dừng bậc có quy luật phân bố xác suất thời điểm Do q trình dừng bậc có hàm trung bình hàm E ( )X t const
Quá trình dừng bậc hai nếu: với h, với t t1 2, Thai véc tơ ngẫu nhiên
X t( ), ( )1 X t2 X t(1h X t), (2 h)
có quy luật phân bố xác suất
Như X t( ), ( )1 X t2 X(0), (X t2t1) có cùngquy luật phân bố xác suất Nói cách khác hàm phân bố xác suất đồng thời trình dừng bậc hai khơng phụ thuộc thời điểm t t1 2, T mà phụ thuộc khoảng cách hai thời điểm t2t1
Trong chương trình Xác suất Thống kê ta biết FX Y, ( , )x y hàm phân bố xác suất đồng thời hai biến ngẫu nhiên X Y, ta xác định hàm phân bố xác suất thành phần theo công thức sau
, ,
( ) ( , ) lim ( , )
X X Y y X Y
F x F x F x y
Y( ) X Y, ( , ) lim X Y, ( , )
x
F y F y F x y
Do q trình dừng bậc hai trình dừng bậc Hơn E ( )X t const
E X t X t( ) ( ) phụ thuộc
Dựa vào kết này, ta mở rộng khái niệm dừng bậc hai theo nghĩa rộng
Dừng theo nghĩa rộng hay dừng hiệp phương sai (wide sense stationary or covariance stationary) thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) E ( )X t mconst
(7)KXX( ) EX t X t( ) ( ) (4.9) gọi hàm tự tương quan trình X t t( ); T
Quá trình dừng bậc hai trình dừng theo nghĩa rộng, điều ngược lại khơng Q trình dừng bậc N nếu: với t t1 2, , ,tN T, với h, hai véc tơ ngẫu nhiên
X t X t( ), ( ), ,, ( )1 X tN X t(1h X t), (2 h), ,, (X tN h)
có phân bố xác suất
Tương tự trường hợp trên, hàm phân bố xác suất biên véc tơ ngẫu nhiên N
chiều nhận từ hàm phân bố xác suất đồng thời Vì trình dừng bậc N trình dừng bậc k, với k N
Dừng theo nghĩa chặt (strictly stationary) trình dừng bậc Nghĩa là: Với N, với t t1 2, , ,tN T , với h 0; hai véc tơ ngẫu nhiên
X t( ), ( ), , ( )1 X t2 X tN X t(1h X t), (2h), , (X tN h)
có quy luật phân bố xác suất Nói riêng X t( ) có phân bố
Quá trình dừng theo nghĩa chặt gặp thực tế, trình dừng hiệp phương sai sử dụng nhiều Vì người ta gọi tắt trình dừng hiệp phương sai trình dừng
4.2 CHUỖI MARKOV
Xét trình Markov X t t( ); T có khơng gian trạng thái E đếm đƣợc
Tùy theo tập số T {0,1,2, } T (0; ) ta có tương ứng q trình Markov với thời gian rời rạc liên tục
Công thức xác suất chuyển (4.6) q trình Markov với khơng gian trạng thái rời rạc viết cụ thể
( , ; , ) ( ) ( ) , ; ,
p s i t j P X t j X s i t s i j E (4.10) Nếu xác suất chuyển (4.10) phụ thuộc vào t s, nghĩa với h
( , ; , ) ( , ; , )
p s i t j p sh i t h j (4.11) ta nói q trình Markov theo thời gian
4.2.1 Chuỗi Markov với thời gian rời rạc
Định nghĩa 4.1: Quá trình X nn, 0,1,2, với thời gian rời rạc đƣợc gọi chuỗi Markov thời gian rời rạc thỏa mãn hai điều kiện sau
(8)ii) Hàm xác suất chuyển theo thời gian, tức thoả mãn (4.11)
Từ trở ta xét chuỗi Markov với thời gian rời rạc ta gọi tắt chuỗi Markov
4.2.2 Ma trận xác suất chuyển
Giả sử X nn, 0,1,2, chuỗi Markov thời gian rời rạc có khơng gian trạng thái Eđếm Các phần tử E ký hiệu i j k, ,
Với i j, E; đặt
ij n n
p P X j X i P X j X i (4.12) khơng phụ thuộc vào n Đó xác suất để từ trạng thái i sau bƣớc chuyển thành trạng thái j
Định nghĩa 4.2: Ma trận P pij với pij xác định theo (4.12) đƣợc gọi ma trận xác suất
chuyển hay ma trận xác suất chuyển sau bƣớc chuỗi Markov X nn, 0,1,2, Các phần tử pij hàng ma trận xác suất chuyển thỏa mãn điều kiện
0
ij
p ; ij
j E
p
, i E (4.13) Nếu tập trạng thái E vơ hạn ma trận xác suất chuyển có vơ số hàng, vơ số cột tổng xác suất chuyển hàng công thức (4.13) tổng chuỗi số dương
Nếu tập trạng thái E hữu hạn, chẳng hạn E 1,2, ,m ma trận xác suất chuyển cơng thức (4.13) viết dạng
11 12
21 22
1
m m ij
m m mm
p p p
p p p
P p
p p p
(4.14)
0
ij
p ;
1
1
m ij j
p
, i 1, ,m (4.15) Ma trận vuông thỏa mãn điều kiện (4.15) gọi ma trận Markov ma trận ngẫu nhiên
4.2.3 Ma trân xác suất chuyển bậc cao, Phƣơng trình Chapman–Kolmogorov Đặt
(9)Định nghĩa 4.3: Ma trận vuông P( )k pij( )k
gọi ma trận xác suất chuyển sau k bƣớc Ký hiệu P(0) I, I ma trận đơn vị; P(1) P
Tương tự ma trận xác suất chuyển P, số hàng số cột P( )k vơ hạn khơng gian trạng thái E có vơ số đếm phần tử Nếu không gian trạng thái E hữu hạn ma trận xác suất chuyển sau k bước P( )k ma trận Markov (xem tập 4.8)
Định lý 4.1: Với n 0, ta có:
(n 1) ( )n ( )n
P PP P P (4.17) Từ suy
( )n n
P P (4.18) Chứng minh: Áp dụng công thức xác xuất đầy đủ với hệ đầy đủ biến cố A kk; E, Ak X1 k X0 i, ta có
( 1)
1
1 , 1
n
ij n
n k E
p P X j X i
P X j X i X k P X k X i
n 1 1 1 0
k E
P X j X k P X k X i
ik kj( )n
k E
p p
(do tính chất khơng nhớ chuỗi Markov) P(n1) PP( )n
Ta có pij(n1) P X n1 j X0 i
n 1 0 , n n 0
k E
P X j X i X k P X k X i
n 1 n n 0
k E
P X j X k P X k X i
ik( )n kj
k E
p p
(n 1) ( )n
P P P
Từ (4.17) suy P(2) PP P2, quy nạp ta có P( )n Pn với n 0,1,2, Từ công thức (4.18) đẳng thức Pn m P Pn m, n m, 0; ta có
(n m) ( ) ( )n m
P P P , n m, 0 ta viết phần tử tương ứng dạng
(n m) ( )n ( )m
ij ik kj
k
p p p (4.19)
(10)Phương trình Chapman-Kolmogorov giải thích quy luật chuyến trạng thái chuỗi Markov sau: hệ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j sau nm bước đạt cách chuyển từ trạng thái i sang trạng thái trung gian k n bước (với xác suất
( )n ik
p ) tiếp tục chuyển từ trạng thái k sang trạng thái j m bước (với xác suất pkj( )m ) Hơn nửa biến cố “chuyển từ trạng thái i sang trạng thái trung gian k n bước” biến cố “chuyển từ trạng thái k sang trạng thái j m bước” độc lập Vậy xác suất chuyển từ i sang j sau nm bước qua trạng thái i k j, , tích pik( )n pkj( )m Cuối xác suất chuyển từ i sang j có cách lấy tổng theo trạng thái trung gian
k, k chạy không gian trạng thái chuỗi 4.2.4 Phân bố xác suất hệ thời điểm thứ n
Giả sử khơng gian trạng thái có dạng E 0,1,2, Ma trận hàng
0
( )n p n( ) p n( ) p n( )
P , p nj( )P X n j, n0,1,2, (4.20) gọi ma trận phân bố xác suất hệ thời điểm n phân bố Xn
Các phần tử ma trận hàng P( )n thỏa mãn điều kiện
( ) 0; ( )
k k
k E
p n p n
0
(0) p (0) p (0) p (0)
P ma trận phân bố thời điểm n0và gọi ma trận phân bố xác suất ban đầu
Định lý 4.2:Với mọi n, m 0:
( )
( )n (0)Pn
P P (4.21) (n1) ( )n P
P P (4.22)
( )
(nm) ( )n P m
P P (4.23)
Chứng minh:Từ định lý 4.1 ta suy điều tương đương Vì để chứng minh định lý 4.2 ta cần chứng minh (4.23) công thức chứng minh cách áp dụng công thức xác suất đầy đủ sau
( )
( ) ( ) m
j n m n n m n i ij
i E i E
p n m P X j P X i P X j X i p n p
(11)Ví dụ 4.2: Một mạng viễn thông gồm dãy trạm chuyển tiếp kênh viễn thông nhị phân cho sơ đồ sau, Xn ký hiệu mã số nhị phân đầu trạm thứ n
0
X ký hiệu mã số nhị phân đầu vào trạm
Đây mơ hình chuỗi Markov có khơng gian trạng thái E 0,1 , tập số
0,1, , ,
T n
Ma trận xác suất chuyển mạng viễn thông thường gọi ma trận kênh:
1
a a
P
b b
; 0 a 1, 0 b Trong a, b xác suất lỗi
Giả sử a 0,1, b0,2 phân bố xác suất đầu P X 0 0P X 0 10,5 (hai tín hiệu 0, đồng khả năng)
a.Tìm ma trận xác suất chuyển sau bước, b. Tìm phân bố xác suất trạm thứ hai Giải: a. (2) 0,9 0,1 0,9 0,1 0, 83 0,17
0,2 0, 0,2 0, 0, 34 0,66 P
b. (2) (0) (2) 0,5 0,5 0, 83 0,17 0,585 0, 415 0, 34 0,66
P
P P
Như có 58,5% tín hiệu 41,5% tín hiệu đầu trạm thứ hai, đầu vào trạm hai tín hiệu xuất đồng khả
4.2.5 Một số mơ hình chuỗi Markov quan trọng 4.2.5.1 Mơ hình phục vụ đám đơng
Xét mơ hình phục vụ đám đơng (lý thuyết hàng) Khách đến hàng chờ phục vụ theo nguyên tắc FIFO (first in first out) chu kỳ cửa hàng phục vụ khách Số khách đến chu kỳ thứ n biến ngẫu nhiên n Giả sử 1, 2, biến ngẫu nhiên độc lập phân bố xác suất với biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất
1a b a
1
n
X Xn 0
1 n
(12) k
P k a ; k 0,1,2, ; k 0; k
k
a a (4.24) Trạng thái hệ (cửa hàng) số khách xếp hàng chờ phục vụ thời điểm đầu chu kỳ (khi khách hàng vừa phục vụ xong) Nếu hệ trạng thái i sau chu kỳ hệ rơi vào trạng thái j
1 1,
0
i i
j
i
nÕu
nÕu (4.25)
Vì biến ngẫu nhiên n độc lập có phân bố với biến ngẫu nhiên Ký hiệu Xn số khách hàng thời điểm đầu chu kỳ thứ n, ta có
1
n n n
X X , ký hiệu X max(0, )X , Từ (4.24)-(4.25) suy
n u n u
n u n u
n u
1
0
1
0,
n
n n j i
n
j
j i
P j i i
P X j X i a j i
P j i
a i j
Õ Õ
Õ Õ
Õ
(4.26)
Vì trình đến n độc lập xác suất chuyển pij P X n1 j Xn i thỏa mãn điều kiện (4.7), biến ngẫu nhiên n có phân bố với biến ngẫu nhiên xác suất chuyển pij theo thời gian
Vậy X nn; 0,1, chuỗi Markov có ma trận xác suất chuyển xác định từ công thức (4.26)
0 3
0 0
a a a a
a a a a
a a a P
a a
4.2.5.2 Mơ hình kiểm kê (Inventory Model)
Giả thiết phải dự trữ kho loại hàng để đáp ứng nhu cầu liên tục khách hàng Hàng nhập kho cuối chu kỳ
( 1) ( )
lim n lim n
j n ij n ik kj k kj
k k
p p p p
Giả sử tổng số lượng hàng cần phải đáp ứng nhu cầu chu kỳ n biến ngẫu nhiên
n
(13)P kak ;ak 0 ( )0
,
inf ijn
i j p (4.27)
Mức hàng dự trữ kiểm kê cuối chu kỳ Cách nhập hàng vào số tiêu chuẩn s ( )jn inf ij( )n , ( )jn sup ij( )n
i i
m p M p (sS) sau: Nếu cuối chu kỳ lượng hàng dự trữ s tức khắc nhập hàng để có số hàng dự trữ S; Nếu hàng có s không cần nhập hàng Giả sử số nhu cầu chu kỳ không vượt
( )n inf ( )n , ( )n sup ( )n
j i ij j ij
i
m p M p , công thức (4.27) trở thành
0
1
S k k
a
Ký hiệu Xn lượng hàng có cuối chu kỳ M( )jn m( )jn 0 trước nhập hàng,
1
1
,
n n n
n
n n
X s X S
X
S X s
nÕu
nÕu (4.28)
Các trạng thái trình X nn, 0 số lượng hàng dự trữ: , , 2, 1, 0,1,2, , 1,
s S S S
trong giá trị âm nhu cầu chưa phục vụ mà đáp ứng sau nhập hàng Từ công thức (4.28) ta có
.
ij n n
P i j s i S
p P X j X i
P S j i s
nÕu
nÕu (4.29)
Ví dụ 4.3:Xét mơ hình kiểm kê phụ tùng thay thế, yêu cầu 0, đơn vị phụ tùng cần thay chu kỳ với phân bố xác suất sau
0 0, 3; 1 0,6; 2 0,1
P P P
và giả sử s 0;S 2
Không gian trạng thái E 1, 0,1,2
Ta có:
1
0 2,
2
ij n n
P i j i
p P X j X i
P j i
nÕu nÕu
1, n 1 n ( 1) ( )
p P X X P P ,
(14)
1,2 n n 2 0,
p P X X P P ,
2, n 1 n ( )
p P X X P ,
p2,0 P X n1 0 Xn 2P 2 0P20,1, p2,1 P X n11 Xn 2 1P 2 1P 10,6,
2,2 n n 2 0,
p P X X P P
Ma trận xác suất chuyển:
0, 0,1 0, 0, 0, 0,1 0, 0, 0,1 0, 0, 0, 0, 0,1 0, 0, P
4.2.6 Phân bố dừng, phân bố giới hạn, phân bố ergodic
Định nghĩa 4.4: P* p1 p2 đƣợc gọi ma trận phân bố dừng chuỗi Markov với
ma trân xác suất chuyển P thoả mãn điều kiện:
* * ( )
0, ( )
j j
j
P a
p p b
P P
(4.30)
Điều kiện (4.30-b) cần thiết để P* phân bố xác suất hệ thời điểm Điều kiện (4.30-a) suy P* P*P P* 2P P*Pn ; n
Như chuỗi Markov có phân bố dừng thời điểm n0 hệ có phân bố xác suất không thay đổi sau bước chuyển kể từ thời điểm n0 Đặc biệt phân bố đầu P*của chuỗi Markov thỏa mãn điều kiện (4.30) P*( )n P* với n, nghĩa phân bố xác suất hệ khơng thay đổi
Điều kiện (4.30-a) viết lại dạng
* *
t t t
P P P (4.31)
trong ma trận cột P*t ma trận chuyển vị ma trận hàng P*
(15)Định nghĩa 4.5:Ta nói chuỗi Markov với ma trân xác suất chuyển P có ma trận phân bố giới hạn p1 p2 thoả mãn điều kiện:
1) Với j tồn giới hạn lim ij( )n j
np p không phụ thuộc i, (4.32)
2) j , j
j E
p p
, (4.33)
Nếu điều kiện (4.33) thay 3) j , j
j E
p p
(4.34)
thì chuỗi Markov gọi có tính ergodic p1 p2 ma trận phân bố ergodic Nhận xét 4.1:
Nếu phân bố
0
n
X (ở thời điểm thứ n0) chuỗi phân bố dừng từ thời điểm trở phân bố xác suất chuỗi không thay đổi; nghĩa với mn0, Xm
0
n
X có phân bố xác suất
Phân bố giới hạn phân bố hệ đạt thời gian tiến đến vô Phân bố giới hạn phụ thuộc ma trận xác suất chuyển, không phụ thuộc phân bố đầu (ví dụ 4.5) Trong thực tế đến thời điểm trở ma trận xác suất chuyển có hàng nhau, lúc chuỗi đạt phân bố giới hạn Ví dụ 4.4 sau chứng tỏ với n 20 chuỗi đạt phân bố giới hạn
Phân bố ergodic phân bố giới hạn với xác suất dương trạng thái chuỗi Như lâu dài hệ nhận giá trị trạng thái với xác suất dương
Ví dụ 4.4: Có mạng điện thoại di động A, B, C khai thác thị trường Tỉ lệ chiếm lĩnh thị trường tương ứng 40%, 30% 30% Theo thống kê người ta thấy xác suất thay đổi mạng khách hàng quí (3 tháng) sau:
0, 0, 0,1 0,1 0, 0,1 0,1 0,2 0,
A B C
A P
B C
Áp dụng công thức (4.18) (4.21) ta tính phân bố thời điểm thứ n:
( )
( )n (0)Pn
P P trường hợp sau
n P(0) 0, 0, 0, 3,
n
0,6 0, 0,1 0,1 0, 0,1 0,1 0,2 0,7 P
(16)6 n
0,2125 0,5492 0,2383 0,1969 0,5648 0,2383 0,1969 0,5181 0,2853 P
P(6)P(0)P6 0,2047 0,5476 0,2477,
12 n 12
0,2002 0,5503 0,2495 0,2000 0,5506 0,2495 0,2000 0,5484 0,2516 P
P(12)P(0)P12 0,2001 0,550 0,2499,
18 n 18
0,2000 0,5500 0,2500 0,2000 0,5500 0,2500 0,2000 0,5499 0,2501 P
P(18)P(0)P18 0,2000 0,550 0,2500
20 n 20
0,2000 0,5500 0,2500 0,2000 0,5500 0,2500 0,2000 0,5500 0,2500 P
P(20) P(0)P20 0,20 0,55 0,25 Ta thấy n lớn xác suất cột gần đạt phân bố giới hạn n 20
Vậy thị trường đạt trạng thái ổn định với tỉ lệ chiếm lĩnh thị trường tương ứng 20%, 55% 25% Ta nhận thấy phân bố giới hạn phụ thuộc ma trận xác suất chuyển không phụ thuộc phân bố ban đầu
Ví dụ sau minh họa thêm điều
Ví dụ 4.5: Về bình đẳng giáo dục nhóm chủng tộc
Trên sở báo cáo điều tra dân số văn phòng điều tra dân số Hoa kỳ năm 1960, hai tác giả Lieberson Fuguitt (1967) xác định ma trận chuyển trình độ học vấn hai hệ so sánh tình trạng học vấn nhóm niên độ tuổi 20-24 với trình độ học vấn bố họ:
Nghĩa xác suất để người có trình độ ĐH với điều kiện người bố ĐH 0,43 xác suất để người có trình độ ĐH với điều kiện người bố ĐH 0,34 …
Hai tác giả đồng ý có hai loại bất lợi nhóm chủng tộc dân tộc Loại bất lợi thứ bắt nguồn từ nguồn gốc chủng tộc dân tộc mà kết có khác ma trận chuyển nhóm người da trắng nhóm người da mầu Ngay phân biệt chủng tộc bị loại bỏ cịn loại bất lợi thứ hai vị trí xã hội thu nhập người da mầu thấp nhiều so với người da trắng Nói cách khác ma trận chuyển học vấn hai hệ
P
Dưới ĐH ĐH
Dưới ĐH ĐH
Trên ĐH
Trên ĐH 0,43 0,34 0,23 0,10 0,36 0,54 0,05 0,15 0,80
(17)P (ma trận xác suất chuyển) xem hai nhóm điều kiện ban đầu P(0)
(phân bố đầu) khác
Hai tác giả cho xem ma trận chuyển P hai nhóm da trắng da mầu có xuất phát điểm khác Nghĩa trình độ học vấn thời điểm ban đầu (năm 1960) hai nhóm chủng tộc khác
Chẳng hạn năm 1960: Tỷ lệ trình độ học vấn ĐH, ĐH, ĐH nhóm chủng tộc da trắng tương ứng là: 46%, 31%, 23% Tỷ lệ trình độ học vấn ĐH, ĐH, ĐH nhóm chủng tộc da màu tương ứng là: 75%, 16%, 09%
Vậy phân bố đầu nhóm chủng tộc da trắng P(1) 0, 46 0, 31 0,23, phân bố đầu nhóm chủng tộc da màu P(1) 0,75 0,16 0, 09
Áp dụng công thức (4.21) ta tính phân bố xác suất hệ Chẳng hạn tỉ lệ trình độ học vấn hệ
Da trắng:
0,43 0,34 0,23
(2) 0, 46 0, 31 0,23 0,10 0,36 0,54 0,24 0, 30 0, 46 0,05 0,15 0,80
P
Da màu:
0,43 0,34 0,23
(2) 0,75 0,16 0, 09 0,10 0,36 0,54 0, 34 0, 33 0, 33 0,05 0,15 0,80
P
Tiếp tục tính tốn ta kết trình bày bảng sau, số khác bảng tỷ lệ % khoảng cách mà hai nhóm cần phải thay đổi để đạt phân bố trình độ học vấn
% Dưới
ĐH % ĐH
% Trên ĐH
Chỉ số % khác
(1960)
Da trắng 46 31 23
29
Da mầu 75 16 09
(2)
P Da trắng 24 30 46 13
Da mầu 34 33 33
(3)
P Da trắng 16 26 58
Da mầu 20 28 52
(4)
P Da trắng 12 23 64
Da mầu 14 25 61
(5)
P Da trắng 11 22 68
Da mầu 11 23 66
(6)
P Da trắng 10 22 68
Da mầu 11 22 67
(7)
P Da trắng 10 21 69
Da mầu 10 22 68
(8)
P Da trắng 10 21 69
(18)Như không phụ thuộc vào xuất phát điểm, sau hệ nhóm người cộng đồng có trình độ học vấn theo tỷ lệ 10% ĐH, 21% ĐH 69% ĐH
Các định lý sau cho quan hệ phân bố giới hạn phân bố dừng, điều kiện tồn phân bố ergodic
Định lý 4.3: Nếu tồn phân bố giới hạn phân bố dừng nhất
Chứng minh:Giả sử p1 p2 phân bố giới hạn, với j ta có:
( 1) ( )
lim n lim n
j n ij n ik kj k kj
k k
p p p p p p
1 2
p p p p P
Do p1 p2 phân bố dừng Ngược lại giả sử p1 p2
phân bố dừng chuỗi Markov
(2) ( )n
j k kj k kj k kj
k k k
p p p p p p p
( )
lim n
j n k kj k j j
k k
p p p p p p
Nghĩa phân bố giới hạn phân bố dừng
Định lý 4.4:Nếu chuỗi Markov có khơng gian trạng thái hữu hạn chuỗi ergodic tồn n0 cho ( )0
,
min ijn
i j p
Nhận xét 4.2: 1) Phân bố dừng nghiệm hệ phương trình tuyến tính (4.30), cụ thể:
1
0,
j j
j
x x x x P
x x
hay
1
2
0,
t
j j
j
x x
P x x
x x
(4.35)
Hệ phương trình (4.35) vơ nghiệm, nghiệm có vơ số nghiệm Do đó, cách tương ứng chuỗi Markov khơng tồn phân bố dừng, có phân bố dừng có vơ số phân bố dừng
Giải hệ phương trình (4.35) cho trường hợp ví dụ 4.5 ta thu phân bố dừng tương ứng P* 0,20 0,55 0,25
2) Từ định lý 4.3 4.4 ta thấy chuỗi Markov hữu hạn trạng thái với ma trận xác suất chuyển P pij thỏa mãn điều kiện tồn n0 cho ( )0
,
min ijn
i j p chuỗi
(19)Ví dụ 4.6: Xét chuỗi Markov ví dụ 4.2, ma trận xác suất chuyển 1 a a P b b
, 0a b, 1
Theo định lý 4.4 chuỗi Markov có tính ergodic với phân bố ergodic nghiệm hệ phương trình (theo nhận xét 4.2-2)
1 1
1 2 2 2 1 1 b
a b x x x
ax bx a b
a b x x
x x a
x
x x a b
Mặt khác tính trực tiếp ma trận chuyển sau n bước
1 1
(1 )
1
n
n a a b a n a a
P a b
b b a b b a b b
(4.36)
Vì 1 a b (1 a b)n 0 n Vậy
( )
lim n
n
b a
a b a b
P
b a
a b a b
Đế chứng minh (4.36) ta tính theo cách sau: Quy nạp theo n
Sử dụng cơng thức: ABBA
0
( )
n
n k k n k n
k
A B C A B
cách đặt
1
1
a a a a
P
b b b b
; A a a Ak ( a b)k 1A
b b
0 1
( )
n n n
n k k k k k k
n n n
k k k
P C A I C A I C a b A
(1 ) 1 (1 )
( )
n b a n a a
I a b A a b
b a b b
a b a b
(20)0,128 0, 872 0, 663 0, 337 Na
P Pa
Na Pa
Phân bố giới hạn (cũng phân bố dừng) chuỗi Markov 0,663
( ) 0, 423
0, 872 0,663
P Na
,
0, 872
( ) 0,568
0, 872 0,663
P Pa
Vậy có khoảng 42,3% nguyên âm 56,8% phụ âm tác phẩm 4.3 QUÁ TRÌNH DỪNG
4.3.1 Hàm tự hiệp phƣơng sai hàm tự tƣơng quan trình dừng
Giả sử X t t( ); I trình dừng với giá trị trung bình m hàm tự tương quan ( )
X
K , nghĩa là:
1) m t( )E ( )X t mconst,
2) Hàm tự tƣơng quan: KXX(t s) EX s X t( ) ( ) ; s t, I Hoặc KXX( ) EX t X t( ) ( )
Hàm tự tương quan có tính chất sau Định lý 4.5:
1) KXX( ) KXX( )
2) KXX( ) KXX(0)EX t( )2 EX(0) ,2 t
Nếu X t( ) tín hiệu ngẫu nhiên thìKXX(0)EX t( )2 gọi lượng trung bình tín hiệu
Hai hàm tƣơng quan chéo hai trình X t t( ); I, Y t t( ); I định nghĩa ký hiệu
( ; ) E ( ) ( )
XY
R s t X s Y t , RYX( ; )s t E ( ) ( )Y s X t ; s t, I (4.37) Hai trình dừng X t t( ); I, Y t t( ); I gọi dừng liên kết nhau hàm tự tương quan chéo phụ thuộc khoảng cách hai thời điểm, nghĩa
( ; ) E ( ) ( ) ( )
XY XY
R t t X t Y t R
Trường hợp RXY( ;t t)EX t Y t( ) ( ) 0 ta nói hai trình X t( ), Y t( ) trực giao
(21)1) RXY( ) RYX( )
2) | ( ) | (0) (0) (0) (0)
2
XY XX YY XX YY
R R R R R
Nhận xét 4.3:
1) Ý nghĩa vật lý hàm tự tương quan KXX( ) trình dừng thể phụ thuộc lẫn hai biến ngẫu nhiên trình X t( ) lấy hai thời điểm cách đơn vị thời gian Vì rõ ràng trình X t( ) thay đổi nhiều theo thời gian hàm tự tương quan giảm nhanh từ giá trị cực đại KXX(0) tăng Sự giảm nhanh hàm tự tương quan đặc trưng thời gian khơng tương quan 0, giá trị cho
0
trị tuyệt đối KXX( ) nhỏ mức ý nghĩa, thường chọn 1% giá trị cực đại KXX(0)
2) Giả sử trình X t t( ); I có hàm trung bình m t( )E ( )X t mconst hàm tự tương quan EX s X t( ) ( ) phụ thuộc vào t s, hàm tự hiệp phương sai
cov( ( ), ( ))X s X t E X s( )m X t( )m EX s X t( ) ( )m
cũng phụ thuộc vào ts, nghĩa tồn hàm ký hiệu CX( ) , cho ( ) cov( ( ), ( )); ,
XX
C ts X s X t s t I (4.38) ( )
XX
C gọi hàm tự hiệp phương sai trình dừng X t t( ); I
Vì định nghĩa q trình dừng theo nghĩa rộng trình thỏa mãn hai điều kiện sau:
1’) m t( )E ( )X t mconst,
2’) hàm tự hiệp phương sai RXX( , )s t cov( ( ), ( ))X s X t phụ thuộc vào ts; ,
s t I
Rõ ràng hai định nghĩa trùng m t( )E ( )X t 0, t Ví dụ 4.8:Giả sử U, V hai biến ngẫu nhiên thoả mãn
EU EV 0, varU varV 2, cov( , )U V 0
Khi q trình X t( )UcostVsint , số, trình dừng với hàm tự tƣơng quan KX( ) 2cos.
(22)Từ giả thiết EU EV 0, varU varV 2 E(U2)E(V2)2, 0cov( , )U V E(UV) (E )(E ) U V E(UV)0
EX s X t( ) ( ) EUcoss V sins UcostVsint
EU2cosscost V 2sinssint UV cosscost sinssint
2
cosscost UE sinssint VE cosscost sinssint EUV
2cosscostsinssint2cos (ts)
Vậy X t( ) trình dừng với hàm tự tương quan KXX( ) 2cos
Ví dụ 4.9: Tín hiệu ngẫu nhiên hình sin X t( )Acos0t , A, hai biến ngẫu nhiên độc lập, A có phƣơng sai hữu hạn có phân bố đoạn 0;2, 0 là
hằng số X t( ) trình dừng với hàm tự tương quan
2
( ) cos
2
XX
K , với
2 E A2
Giải: biến ngẫu nhiên có phân bố đoạn 0;2
với hàm mật độ
0
( ) 2
u f u
nÕu
nếu ngược lại
2
0 0 0
0
1
E cos cos( ) ( ) cos( ) sin( )
2 u
t t u f u du t u du t u
E ( )X t EAcos t E A E cos t (vì A, độc lập E cos 0t 0)
EX s X t( ) ( ) E Acos s Acos t
2
0 0
EA cos(s ) cos(t ) E A E cos(s ) cos(t )
1
E cos( ) cos( ) E cos ( ) cos ( )
2
s t s t t s
0
1 1
E cos ( ) E cos ( ) cos ( )
2 s t t s t s
(23)Do q trình ngẫu nhiên hình sin trình dừng với hàm tự tương quan
2
1
( ) cos
2
XX
K
Ví dụ 4.10: (Q trình Wiener) Q trình W t t( ), 0 đƣợc gọi trình Wiener với tham số 2 thoả mãn tính chất sau:
a. W(0)0
b. Với 0 s t W t( )W s( ) biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn
2
( 0; (ts))
N
c.W t t( ), 0 trình với gia số độc lập, nghĩa với 0 t1 t2 tn biến ngẫu nhiên: W t( )2 W t( ),1 W t( )3 W t( ), ,2 W t( )n W t(n1) là độc lập
Như vậyW t t( ), 0 trình có: m t( )E ( )W t 0 t
,
t s
, giả sử st:
( , ) E ( ) ( ) E ( ) ( ) ( ) ( ) r s t W s W t W s W s W t W s
2
EW s( ) E W s( ) W(0) W t( ) W s( )
2s E W s( ) W(0) E W t( ) W s( ) 2s
(do gia số độc lập E ( )W s 0 ) Do r s t( , )2min( , )s t
Vậy trình Wiener trình gia số độc lập dừng (thỏa mãn điều kiện 4.3) trình dừng Quá trình Wiener biểu diễn chuyển động Brown, mô tả chuyển động hạt môi trường chất lỏng
4.3.2 Đặc trƣng phổ trình dừng
Đối với hệ thống tuyến tính tất nhiên tín hiệu tất nhiên người ta sử dụng hai phương pháp phân tích theo miền thời gian theo miền tần số
Các tính chất phổ tần số tín hiệu tất nhiên x t( ) nhận từ biến đổi Fourier (xem chương 2)
( ) ( ) i t f ( ) X f x t e x t dt
F
(24)
1
( ) ( ) i t f ( )
x t X f e X f df
F
Một cách tự nhiên ta tìm cách sử dụng hai phương pháp cho trường hợp tín hiệu ngẫu nhiên q trình dừng
Biểu diễn phổ tín hiệu tất nhiên nhận từ biến đổi Fourier tín hiệu Mặc dù phép biến đổi Fourier có vai trò quan trọng việc đặc trưng phổ tín hiệu ngẫu nhiên Tuy nhiên khơng thể tính trực tiếp biến đổi Fourier tín hiệu ngẫu nhiên, phép biến đổi khơng tồn hầu hết hàm mẫu trình Vì phân tích phổ q trình ngẫu nhiên địi hỏi tỉ mỉ phân tích tín hiệu tất nhiên
Mặt khác ta biểu diễn cơng suất q trình ngẫu nhiên dạng hàm theo tần số thay theo hiệu điện (đẳng thức Parseval 2.92 định lý lượng Rayleigh 2.109-2.110), biểu diễn tồn Trong mục ta xét đến hàm gọi mật độ phổ công suất
A Mật độ phổ cơng suất
Xét tín hiệu q trình ngẫu nhiên X t t( ); , có hàm mẫu x t( ) Với T 0 xét: ( ) ( )
0
T
x t t T
x t
t T
nÕu nÕu
Đặt biến đổi Fourier x tT( ) X fT( ) F x tT( )
( ) ( ) i2 ft T ( ) i2 ft .
T T
T
X f x t e dt x t e dt
Năng lượng x t( ) khoảng (T T, )
2
( ) ( ) ( )
T T
T
T T
E T x t dt x t dt
Áp dụng đẳng thức Parseval ta có:
2
( ) ( ) ( ) ( )
T
T
T T
T
E T x t dt x t dt X f df
Chia cho 2T ta ta cơng suất trung bình P T( ) x t( ) khoảng (T T, )
2 ( )
1
( ) ( )
2
T T
X f
P T x t dt df
T T
(25) ( )2
T
X f
T mật độ phổ cơng suất tín hiệu khoảng (T T, ) Tuy nhiên ( )2
2
T
X f
T biến ngẫu nhiên tính tốn theo hàm mẫu Mật độ phổ cơng suất tính theo giá trị trung bình (kỳ vọng)
( )2
T
X f
T T
2
1
lim E ( ) lim E ( )
2
T
T
XX T T
T
P X t dt X f df
T T
(4.39)
2
1
lim E ( ) E ( )
2
T XX T
T
P X t dt A X t
T
(4.40) kí hiệu định nghĩa
1 lim
2
T T T
A dt
T
(4.41) (xem định nghĩa 4.7 công thức 4.52-4.53)
Ta định nghĩa mật độ phổ công suất trình, viết tắt PSD (Power Spectral Density),
1
( ) lim E ( )
2 T
XX f T T X f
(4.42)
Từ công thức (4.31), (4.42) ta có cơng thức tính cơng suất ( )
XX XX
P f df
Trường hợp trình X t t( ); trình dừng
2
EX t( ) RXX(0)X const, PXX AEX t( )2 X2
Ví dụ 4.11: Xét q trình ngẫu nhiên X t( )Acos 2 f t0 , trong A f0 hai số, biến ngẫu nhiên có phân bố khoảng0;/ 2
Ta tính trực tiếp cơng suất trung bình tín hiệu:
2
2 2
0
E ( ) E cos E cos
2
A A
X t A f t f t
/2 2
0 0
0
2
E cos cos sin
2
f t f t d f t
(26)
1
sin sin cos sin sin
2 f t f t f t 2 f t
/2
2 2
2
0
0
2
E ( ) cos sin
2 2
A A A A
X t f t d f t
2
0
1
E ( ) lim sin
2 2
T
XX T
T
A A A
P A X t f t dt
T
Cũng tính qua mật độ phổ công suất sau:
2
0
( ) ( ) ( ) cos
T T
i ft i ft i ft
T T
T T
X f X t e dt X t e dt A f t e dt
0
2 ( ) ( )
2
T T
i f f t i f f t
i i
T T
A A
e e dt e e dt
0
0
sin ( ) sin ( )
2 ( ) ( )
i f f T i f f T
ATe ATe
f f T f f T
( )2 2 2 2 cos 2
T
X f A T
, 0 0
sin ( ) sin ( )
;
2 ( ) ( )
f f T f f T
f f T f f T
Vì E cos2 0,
2 2
0
sin ( ) sin ( )
E ( )
2 T 2 ( ) ( )
f f T f f T
A T T
X f
T f f T f f T
Sử dụng kết (Lathi, 1968: An Introduction to Random Signals and Communication Theory, International Textbook, Scranion, Pennsylvania p.24)
2
sin
lim ( )
T T aT a aT
(4.43)
Ta có
2
0
1
( ) lim E ( ) ( ) ( )
2 T
XX T
A
f X f f f f f
T
Áp dụng công thức (3.24) ta
2 0 ( ) ( ) ( ) XX A
f f f f f
Vậy ( ) ( 0) ( 0)
4
XX XX
A A
P f df f f f f df
(27)3. XX( f) XX( )f trình thực
4. XX( )f df A EX t( )2
5. XX( )f ei2 f df A RXX(t , )t
;XX( )f A RXX(t , )t e i2 f d
(4.44) Chứng minh:
Từ công thức (4.42) suy tính chất
Tính chất suy từ tính chất phép biến đổi Fourier, công thức (2.107-3) Ta chứng minh công thức (4.44):
Theo công thức (4.42): ( ) lim E ( )2
2 T
XX f T T X f
Mặt khác ( ) ( ) ( )
T
i ft i ft
T T
T
X f x t e dt x t e dt
Do 2
1 2
1
( ) lim E ( ) ( )
2
T T
i ft i ft
XX T
T T
f X t e dt X t e dt
T
2 ( )
1 2
1
lim E ( ) ( )
T T
i f t t T
T T
X t X t e dt dt T
1 2
EX t X t( ) ( ) RXX( , )t t với T t1 T T t2 T
2
2 ( )
1 2
1
( ) lim ( , )
2
T T
i f t t
XX T XX
T T
f R t t e dt dt
T
Đổi biến số lấy tích phân 1
2 2
t t dt dt
t t t t d dt
( ) lim ( , )
2
T t T
i f
XX T XX
T t T
f R t t dte d
T
lim ( , )
2 T i f XX T T
R t t dt e d T
Mặt khác lim ( , ) ( , )
2
T
XX XX
T
T
R t t dt A R t t
T
Vậy XX( )f A RXX(t , )t e i2 f d
(28)Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta có ( ) i2 f ( , ) XX f e df A RXX t t
b Biểu diễn phổ trình dừng
Định nghĩa 4.6: Giả sử X t t( ); I trình dừng với hàm tự tƣơng quan KXX( ) Nếu tồn PXX( )f cho:
1/2 1/2
( ) in f ( )
XX XX
K n e f df
P I (4.45)
2
( ) i f ( )
XX XX
K e f df
P I (4.46)
PXX( )f đƣợc gọi mật độ phổ trình dừng X t t( ); I
Định lý 4.6: 1) Trường hợp thời gian rời rạc I : Nếu XX( )
n
K n
tồn mật độ phổ
2
( ) in f ( )
XX XX
n
f e K n
P (4.47)
2) Trường hợp thời gian liên tục I : Nếu KXX( ) khả tích tuyệt đối tồn mật độ phổ
2
( ) i f ( )
XX f e KXX d
P (4.48)
Như hàm mật độ phổ biến đổi Fourier hàm tự tương quan hàm tự tương quan biến đổi Fourier ngược mật độ phổ
1
( ) ( ) , ( ) ( )
XX f KXX KXX XX f
P F F P (4.49)
Định lý 4.7 (Định lý Wiener - Khintchine): Mật độ phổ cơng suất PSD q tình dừng
X t t( ); I có giá trị trung bình E ( )X t 0 mật độ phổ trình biến đổi Fourier hàm tự tương quan:
1
( ) lim E T( )
XX f XX TT X f
P ta có PXX XX( )f df
(29)2
( ) i f ( , )
XX f e df A RXX t t
; XX( )f A RXX(t , )t e i2 f d
( )
X t trình dừng RXX(t , )t KXX( ), t A R XX(t , )t KXX( ) , từ tính phép biến đổi Fourier cơng thức (4.49) suy PXX( )f XX
Ví dụ 4.12: Xét trình ngẫu nhiên X t( )Acos 2 f t0 , f0 hai số; ,
A hai biến ngẫu nhiên độc lập, A có phƣơng sai hữu hạn E A2 2
có phân bố
đều đoạn 0;2 (xem ví dụ 4.9)
Hàm tự tương quan ( ) 2cos(2 0 )
XX
K f ; Theo công thức (4.49), (4.50) (3.26) ta ( ) ( ) 2cos(2 0 ) 2 ( 0) ( 0)
2
XX XX f KXX f f f f f
P F F
Ta tính trực tiếp cơng suất trung bình tín hiệu sau:
2
2 2
0
E ( ) E cos E cos
2
A A
X t A f t f t
2
2 2
0
1
cos
2 2 f t d
2
0
1
E ( ) lim ( ) ( )
2 2
T
XX T
T
P A X t dt f f f f df
T
Có thể tính trực tiếp mật độ phổ công suất sau:
2
0
( ) ( ) ( ) cos
T T
i ft i ft i ft
T T
T T
X f X t e dt X t e dt A f t e dt
0 0 2 2
2 2
T i f t i f t T T
i f f t i f f t
i ft i i
T T T
e e A A
A e dt e e dt e e dt
Ta có
0 0
0
2 2
2
0 0
sin
2
T
T i f f t i f f T i f f T
i f f t
T T
f f T
e e e
e dt
i f f i f f f f
0 0
0
2 2
2
0 0
sin
2
T
T i f f t i f f T i f f T
i f f t
T T
f f T
e e e
e dt
i f f i f f f f
0
0
sin ( ) sin ( )
( )
2 ( ) ( )
i i
T f f T f f T
X f ATe ATe
f f T f f T
(30) ( )2 2 2 2 cos 2
T
X f A T
, 0 0
sin ( ) sin ( )
;
2 ( ) ( )
f f T f f T
f f T f f T
Vì E cos2 0,
2 2
0
sin ( ) sin ( )
E ( )
2 T 2 ( ) ( )
f f T f f T
T T
X f
T f f T f f T
Sử dụng kết (Lathi, 1968), công thức (4.43)
2
sin
lim ( )
T T aT a aT
, ta
2
0
1
( ) lim E ( ) ( ) ( )
2 T
XX f T T X f f f f f
Áp dụng công thức (3.24) ta
2
0
1
( ) ( ) ( )
2
XX f f f f f
Vậy mật độ phổ công suất ( ) ( 0) ( 0)
XX f f f f f
Nhận xét 4.4:
1. Ta kiểm tra cơng thức (4.43) cách hàm
2 sin T aT aT
thỏa mãn điều kiện (3.1), (3.2) sau:
Khi t 0,
2 sin T T aT aT aT
(thỏa mãn điều kiện 3.1)
Ta có
2 sin u du u
(ví dụ 2.63),
2
sin sin
( )
T tT tT
dt d Tt
tT tT
(thỏa mãn điều kiện 3.2)
2. Từ cơng thức (4.42) ta có: giá trị hàm mật độ phổ diện tích giới hạn đồ thị hàm tự tương quan, XX(0) KXX( ) d
P
3. Giá trị bình phương trung bình q trình dừng diện tích giới hạn đồ thị hàm mật độ phổ E X t( )2 E X(0)2 KXX(0) XX( )f df
P
4. Hàm mật độ phổ hàm chẳn nhận giá trị không âm
( ) ( )
XX f XX f
P P ; PXX( )f 0 với f
(31)trình ngẫu nhiên khơng dừng (khơng có mật độ phổ) có mật độ phổ cơng suất
Ví dụ 4.13: Xét q trình tín hiệu cực với liệu nhị phân X t( )
( ) n ( b)
n
X t A g t nT
, (4.51)
trong g t( ) xung mẫu ( )
0 2,
b b
t T g t
t T
nÕu
nÕu b
T chu kỳ bít
An dãy biến ngẫu nhiên độc lập biểu diễn liệu nhị phân Các biến ngẫu nhiên n
A có phân bố rời rạc nhận hai giá trị 1 đồng khả Vậy
n 1 n 1 /
P A P A ; E 0; var E 12 ( 1)21 1;
2
n n n
A A A
covA An, m EA An mEAn E Am 0
, n m
Đặt T (2N 1)Tb trình X tT( ) trình (4.40)
( ) N ( )
T n b
n N
X t A g t nT
( ) ( ) ( ) ( ) b ( ) b
N N N
i nT i nT
T T n b n n
n N n N n N
X f X t A g t nT A G f e G f A e
F F
trong G f( )F g t( ) Tbsinc T fb (ví dụ 2.63, công thức 2.111)
2 ( )
,
E ( ) E ( ) b
N
i n m T
T n m
n m N
X f G f A A e
( ) 2
,
( ) E b ( ) ( ) (2 1)
N N
i n m T n m
n m N n N
G f A A e G f G f N
Vậy mật độ phổ công suất PSD
2
2
2
( ) (2 1) ( )
1
lim E ( ) lim sinc
(2 1)
T b b
T T
b b
G f N G f
X f T T f
T N T T
Tuy nhiên E ( ) ( ) E n ( b) m ( b)
n m
X t X t A g t nT A g t mT
E n m ( b) ( b) ( b) ( b)
n m n
A A g t nT g t mT g t nT g t mT
(32)trong ( ) ( ) / /
b b b b
b b
t nT T t nT T
g tnT g t mT
nÕu vµ
nếu ngược lại
Điều chứng tỏ EX t X t( ) ( )
phụ thuộc vào thời điểm t nên q trình
( )
X t khơng dừng
Ví dụ 4.14: (Sóng ngẫu nhiên nhị phân) Xét trình ngẫu nhiên X t t( ); gồm bit bit thoả mãn điều kiện sau:
1) Bit biểu diễn xung chữ nhật với biên độ a a volt với độ rộng xung T giây
2) Các hàm mẫu (sample functions) không đồng giả thiết thời điểm xuất phát xung thứ td xảy đồng khả khoảng từ đến T Điều có nghĩa tdlà giá trị mẫu biến ngẫu nhiên Td có phân bố đoạn 0;T
3) Trong khoảng thời gian xung (n1)T t td nT, hai bit đồng khả xuất hiện, nghĩa X t( ) nhận giá trị a a suốt khoảng xung với xác suất X t( ) X s( ) độc lập t s, khoảng xung thời gian khác
Ta có: t; E ( )X t a 2 ( a) 20 Hàm tự tương quan: R t tX k i( , ) EX t X t( ) ( )k i * Nếu tk ti T X t( ),k X t( )i độc lập, R t tX k i( , )EX t X t( ) ( )k i 0
* Nếu tk ti T giả sử X t( ),k X t( )i có trễ td X t( ),k X t( )i xung tk ti T td
Vậy
2
E ( ) ( )
0
d k i
k i d
a t T t t
X t X t t
nÕu
nếu ngược lại
d
t
a
a
1
T
t
(33)Áp dụng công thức xác suất đầy đủ
2
2
0
E ( ) ( ) ( )
k i k i
d
T t t T t t
k i
k i T d d d
t t a
X t X t a f t dt dt a
T T
Đặt tk ti Hàm tự tương quan
2 1
( )
0
XX
a T
K T
T
nÕu
nÕu
Mật độ phổ công suất ( ) ( ) 1 -i2 f sinc (2 )
XX f KXX a T e d a T fT
π τ τ
T
-T
P F
Ví dụ 4.15: Nhiễu trắng (White Noise) mô tả trình dừng (theo nghĩa rộng) mà mật độ phổ công suất số ( )
2
WW
N f
P
Hệ số để nửa công suất ứng với tần số dương nửa ứng với tần số âm N0 có đơn vị watt/ hertz Từ cơng thức (4.42) ta có hàm tự tương quan nhiễu trắng
1 0
( ) ( )
2
WW
N N
K
F
Như hàm tự tương quan nhiểu trắng tỉ lệ với hàm delta tập trung 0 với số tỉ lệ
2 N
Do KWW( ) 0 0, nói cách khác hai mẫu hai thời điểm khác nhiễu trắng khơng tương quan
Q trình nhiễu trắng khơng phải q trình vật lý có thực có cơng suất
Trong quang học, mật độ phổ lượng ánh sáng trắng không đổi P( ) = số với tần số (Năng lượng ánh sáng trắng phân bố theo tần số ) Vì nhiễu với mật độ phổ số gọi nhiễu trắng
0 f
2
0
N
( ) WW f
P KWW( )
) ( ) (N0
Hình 4.5: Mật độ phổ hàm tự tƣơng quan nhiễu trắng
(34)4.4 TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN VÀ TÍNH CHẤT ERGODIC
Định nghĩa 4.7: Trung bình theo thời gian hàm số x t( ),t định nghĩa ký hiệu
1
( ) lim ( )
T T
T
A x t x t dt
T
(4.52)
Toán tử
1 lim
2
T T
T
A dt
T
(4.53)
gọi tốn tử trung bình theo thời gian Toán tử A tương tự toán tử kỳ vọng E (trung bình theo tập hợp) biến ngẫu nhiên Thực tốn tử trung bình theo thời gian theo hàm mẫu x t( ) trình ngẫu nhiênX t( )ta trung bình theo thời gian hàm tự tương quan theo thời gian xác định sau
1
( ) lim ( )
T T
T
x A x t x t dt
T
(4.54)
1
( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )
RXX T
T
T
A x t x t x t x t dt
T
(4.55) Trung bình theo thời gian trùng với trung bình theo tập hợp gọi tính ergodic Q trình ngẫu nhiên có tính ergodic gọi trình ergodic Quá trình dừng trình ergodic
E ( )
x X t m RXX( ) RXX( ) EX t X t( ) ( )
Giả thiết Ergodic cho trung bình theo thời gian cấp trùng với trung bình theo tập hợp cấp tương ứng Giả thiết đáng tiếc số nhà kỹ thuật đầu kỷ 20 tin tưởng Khoảng năm 1931 hai nhà toán học G D Birkhoff (Mỹ) A Ia Khintchine (Nga) chứng minh trung bình theo thời gian ln tồn điều kiện để trùng với trung bình tập hợp
Định lý sau cho điều kiện cần đủ để trung bình theo thời gian trùng với trung bình theo tập hợp
Định lý 4.8: Quá trình dừng thời gian rời rạc X n n( ); 0 với hàm tự hiệp phương sai ( )
XX
C n ergodic
0
1
lim ( )
n XX nnm C m
(35)2 0
1
lim ( )
T T XX
TT C ts dtds (4.57)
Hệ 4.10: Quá trình dừng X t t( ); với hàm tự hiệp phương sai CXX( ) ergodic
0
1
lim ( )
T
XX T
t
C t dt
T T
(4.58) Hệ 4.11: Nếu limCXX( )
trình X t t( ); ergodic
Ví dụ 4.16: Xét q trình ngẫu nhiên X t( )Acos(0t ) Trong A, 0 hai số là biến ngẫu nhiên có phân bố đoạn 0;2 với hàm mật độ
1
0
( ) 2
u f u
nÕu
nếu ngược lại
0
E X t( ) E Acos( t ) A cos( t u f u du) ( )
0
cos( )
2
A t u du
RXX( ,t t)EX t X t( ) ( ) EAcos(0t ) cos( (A 0t ) )
2
0
E cos (2 ) cos
2 A t 2
0 0
E cos (2 ) E cos cos
2 A A t
Như X t( ) trình dừng với hàm tự hiệp phương sai
2
0
( ) cos
2
XX
A
C
2
0 0
0 0 0 0
0 0
0
sin sin cos
1
1 cos
2
T
T T T
A A
d
T T T T
0 0
0 0
sin sin cos
0
T T T
A T T T
Theo hệ 4.10 X t( ) trình dừng thoả mãn điều kiện (4.58) q trình ergodic
Ta kiểm chứng điều cách tính trực tiếp sau: Vì q trình tuần hồn theo thời gian với chu kỳ 0
0
2
T
(36)0
0
0 0 0
sin( )
1
cos( ) E ( )
T T
t
A t dt A X t
T T
0
2 2
0 0
1
cos ( ) (0) E ( )
2
T
XX
A
A t dt K X t
T
Nhận xét 4.5: Tính ergodic dạng hạn chế tính dừng thật khó khăn để kiểm tra xem tình vật lý cụ thể giả thiết ergodic thỏa mãn Dù thường giả thiết trình ergodic để đơn giản hóa Trong giới thực, buộc lòng phải làm việc với hàm mẫu trình ta nhận hàm mẫu trình Khi ấy, dù muốn hay không ta nhận giá trị trung bình, hàm tự tương quan theo thời gian Từ giả thiết ergodic ta xem giá trị nhận thống kê trình Nhiều người cảm thấy khó chấp nhận lời bàn luận này, nhiên cần phải nhớ rằng, lý thuyết để mơ hình hóa điều xảy giới thực
CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP CHƢƠNG
4.1 Quá trình ngẫu nhiên X t t( ); I hàm số biến số t Đúng Sai
4.2 Mọi q trình có gia số độc lập trình Markov Đúng Sai
4.3 Chuỗi Markov trình Markov X t t( ); I có khơng gian trạng thái E đếm Đúng Sai
4.4 Ma trận xác suất chuyển sau n bước chuỗi Markov tích n lần ma trận xác suất chuyển bước chuỗi Markov
Đúng Sai
4.5 Nếu tồn phân bố giới hạn phân bố dừng Đúng Sai
4.6 Mọi chuỗi Markov có hữu hạn trạng thái tồn phân bố dừng phân bố ergodic
Đúng Sai
4.7 Hàm trung bình m t( )E ( ),X t t I trình ngẫu nhiên ( )
t I
X t
biến
ngẫu nhiên
Đúng Sai
4.8 Trung bình theo thời gian trình ngẫu nhiên ( )
t I
X t
1
( )
T
T
x t dt
T , ( )
x t hàm mẫu ( )
t I
X t
(37)Đúng Sai
4.9 Hàm tự tương quan trình dừng ( )
t I
X t
, hàm biến theo thời gian
Đúng Sai
4.10 Mật độ phổ trình dừng biến đổi Fourier hàm tự tương quan Đúng Sai
4.11 Hàm tự tương quan trình dừng biến đổi Fourier mật độ phổ trình
Đúng Sai
4.12 Q trình dừng có hàm trung bình hàm nên trung bình theo thời gian trung bình theo tập hợp
Đúng Sai
4.13 Cho trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc
1
n n
X
, biến ngẫu nhiên Xn độc
lập, có phân bố với hàm phân bố F xX( ), kỳ vọng phương sai 2 a. Tìm hàm phân bố đồng thời ( ,X X1 2, ,Xn)
b. Tìm hàm trung bình EXn c. Tìm hàm tự tương quan Xn d. Tìm hàm tự hiệp phương sai Xn 4.14 Cho chuỗi Markov
1
n n
X
với không gian trạng thái E 0,1,2 ma trận xác suất
chuyển
0,1 0,2 0,7 0,9 0,1 0, 0,1 0, 0,1 P
Biết phân bố xác suất ban đầu:
0 0 0, 3; 1 0, 4; 2 0,
p P X p P X p P X
a. Tính P X 0 0,X1 2,X2 1
(38)4.15 Giả sử
11 12
21 22
1
m m ij
m m mm
p p p
p p p
P p
p p p
ma trận Markov, (là ma trận thỏa mãn
điều kiện pij 0;
1
1
m ij j
p
, i 1, ,m)
Chứng minh Pn ma trận Markov, với số tự nhiên dương n 4.16 Cho chuỗi Markov
1
n n
X
với không gian trạng thái E 0,1,2 ma trận xác suất
chuyển
0,1 0,2 0,7 0,2 0,2 0,6 0,6 0,1 0, P
a. Tính ma trận xác suất chuyển bước
b. Tính P X 3 1X1 0; P X 3 1X0 0 c. Tìm phân bố dừng
4.17 Xét tốn truyền điện gồm tín hiệu 0, thơng qua kênh có nhiều trạm trạm nhận sai tín hiệu với xác suất khơng đổi (0,1) Giả sử X0 tín hiệu truyền Xn tín hiệu nhận trạm n Cho biết X nn; 0,1,2, lập thành chuỗi Markov với ma trận xác suất chuyển
1
1
P
a. Tính P X 0 0,X1 0,X2 0
b. Tính P X 0 0,X1 0,X2 0 P X0 0,X1 1,X2 0 c. Tính P X 5 0 X0 0
4.18 Xét chuỗi Markov với không gian trạng thái E a b c d, , , ma trận xác suất chuyển 0,1 0, 0,2 0,
0,2 0.3 0,2 0, 0, 0, 0,1 0,1 0,2 0,1 0, 0, P
(39)a. Tìm xác suất chuỗi theo đường đi: b a b c b a b. Tính P X 1a X, 3 c X, 4 b X, 5 a X0 b
c. Tính P(5)
d. Tính P X 5 a X0 b
e. Tìm P(5) biết P(0) 0,2 0, 0, 0,1
4.19 Xét chuỗi Markov với không gian trạng thái E 0,1 ma trận xác suất chuyển
1
a a
P
b b
, 0 a 1, 0 b
Giả sử phân bố đầu P X 0 0P X 0 10,5 a. Tìm phân bố dừng
b. Tìm phân bố Xn c. Tìm phân bố giới hạn
4.20 Xét mơ hình kiểm kê phụ tùng thay với s 0 S 3 mức để nhập hàng với n lượng hàng khách yêu cầu chu kỳ n Biết
n 0 0, 4; n 1 0, 3; n 2 0,
P P P với n
Xác định ma trận xác suất chuyển chuỗi Markov Xn , Xn số phụ tùng cịn lại cuối chu kỳ n
4.21 Hai công ti A B cung cấp cho thị trường loại sản phẩm Hiện công ti A
chiếm 60% công ti B chiếm 40% thị phần Mỗi năm A 2/3 thị phần cho
B B 1/2 thị phần cho A Tìm tỉ lệ thị phần hai công ti chiếm sau hai năm
4.22 Mỗi người dân thị trấn N có ba nghề (A, B, C) Con họ nối tiếp
nghề cha với xác suất tương ứng (3 / 5, / 3, 1/ 4) Nếu không theo nghề cha chúng chọn hai nghề cịn lại với xác suất Hãy tìm:
a. Phân bố theo nghề nghiệp dân cư thị trấn hệ tiếp theo, hệ có tỉ lệ theo nghề nghiệp 20% có nghề A, 30% có nghề B 50% có nghề C
b. Phân bố giới hạn theo nghề nghiệp dân cư thị trấn hệ tương lai xa
4.23 Cho trình ngẫu nhiên X t( )A0sin(0t ), A0,0 hai số biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố khoảng , Xét trình ngẫu nhiên
2
( ) ( ) Y t X t
a. Tìm hàm tự tương quan Y t( )
(40)c. X t( )và Y t( ) có phải hai q trình dừng khơng?
d. X t( )và Y t( ) có phải hai q trình dừng liên kết khơng?
4.24 Cho trình ngẫu nhiên Y t( )X t( )cos(0t ); biên độ X t( ) q trình dừng, tần số góc 0 không đổi pha biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố khoảng , , X t( ) độc lập
a. Tìm hàm trung bình E ( )Y t b. Tìm hàm tự tương quan Y t( ) c. Y t( ) có phải q trình dừng khơng?
4.25 Cho trình ngẫu nhiên X t( )Acos(0t)Bsin(0t), 0 số; A
B hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng 0, khơng tương quan, có phương sai 2 Chứng minh X t( ) trình dừng (theo nghĩa rộng) không dừng theo nghĩa chặt
4.26 Cho ( )
t I
X t
trình dừng với hàm trung bình E ( )X t m t, Chứng minh
rằng ( )
t I
Y t
, Y t( )X t( )m q trình dừng có hàm trung bình E ( )Y t 0, t
hàm tự tương quan KYY KXX
4.27 Cho ( )
t I
X t
q trình cấp có tính chất E ( )X s EX s X s( ) ( t) không
phụ thuộc vào s Chứng minh ( )
t I
X t
trình dừng
4.28 Cho ( )
t I
X t
trình dừng với hàm tự tương quan KXX( ) Chứng minh
( )
t I
Y t
, Y t( )X t( 1) X t( ) trình dừng Tìm hàm trung bình hàm
tự tương quan
4.29 Cho biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố khoảng 0,2 , A0,0 hai số Chứng minh X t( )A0sin(0t ) trình dừng Tìm hàm tự tương quan Q trình X t( ) có phải trình ergodic?
4.30 Cho biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đoạn 0,2, R biến ngẫu
nhiên liên tục có hàm mật độ
2
2
2 ,
( )
0 ,
r R
r
e r
f r
r
nÕu
nÕu
(41)
4.31 Cho A biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(0;2) Đặt X t( )Acos( )t a. Tìm hàm mật độ xác suất X(0) X(1)
b. Quá trình ( )
t I
X t
có phải q trình dừng theo nghĩa khơng?
4.32 Cho Z1 Z2 hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất
1
1
2
P Z P Z Đặt X t( )Z1cost Z2sint, số Chứng minh ( )
t I
X t
trình dừng Tìm hàm tự tương quan
4.33 Cho hai trình dừng X t( ), Y t( ) có trung bình 0, độc lập có hàm tự tương quan RXX( ) e , RYY( ) cos(2 )
a. Tìm hàm tự tương quan tổng W t1( )X t( )Y t( ) b. Tìm hàm tự tương quan hiệu W t2( )X t( )Y t( ) c. Tìm hàm tương quan chéo W t1( )và W t2( )
4.34 Cho trình ngẫu nhiên X t( )A0cos(0t ), A0,0 hai số biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố khoảng 0,
a. X t( ) có phải q trình dừng khơng? b. Tìm cơng suất X t( )
c. Tìm mật độ phổ cơng suất mật độ phổ X t( )
4.35 Cho trình ngẫu nhiên X t( )Acos(0t)Bsin(0t), 0 số a. Chứng minh A B hai biến ngẫu nhiên có kỳ vọng 0, khơng tương quan, có phương sai X t( ) trình dừng
b. Tìm hàm tự tương quan X t( ) c. Tìm mật độ phổ công suất X t( )
4.36 Cho trình dừng ( )
n
X n
có trung bình E ( )X n 2 hàm tự tương quan
1 ( )
7
n X
K n
Tìm mật độ phổ
4.37 Cho W t( )là trình Wiener với tham số 2 Đặt X t( )e W et ( 2t), 0 số Chứng minh X t( ) trình Gauss dừng với hàm tự tương quan
2
( ) t
XX
(42)4.38 Cho trình dừng ergodic X t( ) có mật độ phổ
1
( ), ( )
0 ,
XX
B f f B
f
nÕu
nếu ngược lại
P
Tìm hàm tự tương quan
4.39 Tìm mật độ phổ trình dừng có hàm tự tương quan RXX( ) Pcos (4 0 ), P, 0 hai số Tìm cơng suất q trình
4.40 Tìm cơng suất trung bình hai q trình dừng có mật độ phổ công suất tương ứng sau a.
2 4
24 ( )
1 16
XX
f f
f
P
b.
2 2
24 ( )
1
YY
f f
f