ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I Môn: TOÁN - LỚP 12 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: ( 7 ĐIỂM ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 5 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1), tìm tham số m để phương trình: 2 3t - 3.4 t + 5 = m (t là ẩn) có nghiệm. Câu II: (2 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 - 8x 2 + 15 trên đoạn [-1; 3]. 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x 2 .e 4x b) y = e x .ln(2 + sinx) Câu III: (1 điểm) Giải các phương trình sau: 1) 2 x x 1 4 64 − + = . 2) 33 log x log (x 2) 1 + − = Câu IV: (2 điểm) Cho hình lăng trụ đều tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh đáy là 2a, cạnh bên là a. 1. Chứng minh hai khối tứ diện ABDA’ và CBDC’ bằng nhau. 2. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. 3. Gọi M là trung điểm của cạnh A’D’, S là tâm của hình vuông ABCD. Tính theo a thể tích của khối chóp S.MB’C’D’. II. PHẦN RIÊNG: ( 3 ĐIỂM ) A. Phần dành cho học sinh học theo sách Toán 12 nâng cao Câu Va: (3 điểm) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 x x 2 y x 2 − − = + biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x + y - 2 = 0. 2. Giải phương trình: 2 6 ln x 2 2 log e 5.log x + = . 3. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 2 . Tính theo a diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD đã cho. B. Phần dành cho học sinh học theo sách Toán 12 chuẩn Câu Vb: (3 điểm) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 4 y x 1 − = − biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x - 4y = 0. 2. Giải phương trình: 2x xlog2 6 2 5.10 + = . 3. Cho hình chóp đều tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 2 . Tính theo a diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD đã cho. ………. Hết ………. ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x 3 - 3x 2 + 5. 1. Tập xác định: ¡ . 2. Sự biến thiên: a)Giới hạn tại vô cực: 333 x x x x 3 5 3 5 lim y lim x (1 ) ; lim y lim (1 ) x x x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ = − + = −∞ = − + = +∞ . 0,25 b) Bảng biến thiên: y’ = 3x 2 - 6x = 3x(x - 2); y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 0,25 BBT: x -∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + 5 +∞ y -∞ 1 Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞); nghịch biến trên (0; 2). x CT = 2, y CT = 1; x CĐ = 0, y CĐ = 5. 0,50 3. Đồ thị: y’’ = 6x - 6; y’’ = 0 ⇔ x = 1. - Đồ thị nhận điểm uốn I(1; 3) làm tâm đối xứng. - Đồ thị đi qua (-1; 1), (3; 5). 0,50 2 Dựa vào đồ thị (C) … Đặt x = 2 t > 0, phương trình đã cho thành: x 3 - 3x 2 + 5 = m. Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = m có điểm chung với đồ thị (C) của hàm số (1) trên khoảng (0; +∞). Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) trên khoảng (0; +∞) ta có các giá trị của m cần tìm là: m ≥ 1. 0,50 II 2,00 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và … Hàm số y = x 4 - 8x 2 + 15 liên tục trên đoạn [-1; 3]. Ta có y’ = 4x 3 - 16x = 4x(x 2 - 4). 2 y' 0 x 0,x 2 x 0 4x(x 4) 0 1 x 3 1 x 3 x 2 1 x 3 = = = ± = − = ⇔ ⇔ ⇔ − < < − < < = − < < 0,50 y(-1) = 8; y(0) = 15; y(2) = -1; y(3) = 24. 0,25 Vậy [-1; 3] [-1; 3] Min y y(2) 1; Max y y(3) 24= = − = = . 0,25 2 Tính đạo hàm của các hàm số: a) y = x 2 .e 4x . Tập xác định: ¡ . y’ = (x 2 )’.e 4x + x 2 .(e 4x )’. 0,25 = 2x.e 4x + x 2 .(4x)’.e 4x = 2x.e 4x (1 + 2x). 0,25 b) y = e x .ln(2 + sinx). Tập xác định: ¡ . y’ = (e x )’.ln(2 + sinx) + e x .(ln(2 + sinx))’ 0,25 = e x .ln(2 + sinx) + e x . (2 sinx)' 2 sinx + + = e x .ln(2 + sinx) + e x . cosx 2 sinx+ 0,25 III 1,00 1 Giải phương trình: 2 x x 1 4 64 − + = . Tập xác định: ¡ . 2 x x 1 4 64 − + = ⇔ 2 x x 1 3 4 4 − + = 0,25 ⇔ x 2 - x + 1 = 3 ⇔ x = -1 hoặc x = 2. 0,25 y x 5 2 3-1 O 3 1 1 2a a M S C D A D' B' C' A' B … Hết … Ghi chú: Trong từng câu, học sinh có thể làm theo cách khác, giáo viên tùy theo mức độ để cho điểm hợp lí. . và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x 3 - 3x 2 + 5. 1. Tập xác định: ¡ . 2. Sự biến thiên: a)Giới hạn tại vô cực: 3 3 3 x x x x 3 5 3 5 lim y lim x (1 ) ; lim. điểm) Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 5 (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1), tìm tham số m để phương