[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP I
**********************
Ths.LÊ ðỨC VĨNH
GIÁO TRÌNH
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(2)
Chương : Phép thử Sự kiện
Những kiến thức giải tích tổ hợp sinh viên học chương trình phổ
thơng Tuy nhiên để giúp người học dễ dàng tiếp thu kiến thức của những chương kế tiếp giới thiệu lại cách có hệ thống kiến thức Phép thử ngẫu nhiên
và kiện ngẫu nhiên bước khởi đầu để người học làm quen với mơn học Xác suất Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức tối thiểu kiện ngẫu nhiên,
các phép toán về các sự kiện ngẫu nhiên, hệ ñầy ñủ các sự kiện ñồng thời chỉ ra cách
phân chia kiện ngẫu nhiên theo hệ ñầy ñủ Những kiến thức cần thiết
để người học tiếp thu tốt chương
I Giải tích tổ hợp
1.Qui tắc nhân: Trong thực tế nhiều để hồn thành một công việc, người ta phải thực dãy liên tiếp k hành ñộng
Hành ñộng thứ nhất: có 1 n1 cách thực hiện Hành động thứ hai: có 1 n2 cách thực hiện
Hành ñộng thứ k: có nk cách thực
Gọi n số cách hồn thành cơng việc nói trên, ta có: n = n1n2 nk
Qui tắc gọi là qui tắc nhân
Ví dụ:ðể từ thành phố A tới thành phố C phải qua thành phố B Có bốn phương tiện ñể ñi từ A tới B là: đường bộ, đường sắt, đường khơng và đường thuỷ Có
một hai phương tiện để từ B tới C ñường ñường thuỷ Hỏi có
cách từ A tới C?
ðể thực việc ñi từ A tới C ta phải thực dãy liên tiếp hai hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: chọn phương tiện từ A tới C có n1= cách
Hành ñộng thứ hai: chọn phương tiện đi từ B tới C có n2 = cách
Vậy theo qui tắc nhân, số cách ñi từ A tới C n= 4.2 = cách 2.Qui tắc cộng:
ðể hồn thành cơng việc người ta chọn k phương án Phương án thứ nhất: có n1 cách thực hiện
Phương án thứ hai: có n2 cách thực
Phương án thứ k: có nk cách thực
Gọi n là số cách hồn thành cơng việc nói trên, ta có:
(3)Qui tắc gọi qui tắc cộng
Ví dụ: Một tổ sinh viên gồm hai sinh viên Hà Nội, ba sinh viên Nam ðịnh và ba sinh
viên Thanh Hoá Cần chọn hai sinh viên tỉnh tham gia đội niên xung kích
Hỏi có cách chọn
Phương án thứ nhất: Chọn hai sinh viên Hà Nội có n1= cách
Phương án thứ hai: Chọn hai sinh viên Nam ðịnh có n2= cách
Phương án thứ ba: Chọn hai sinh viên Thanh Hố có n3= cách
Theo qui tắc cộng ta có số cách chọn hai sinh viên theo yêu cầu:
n = + + = cách 3.Hoán vị
Trước đưa khái niệm một hốn vị của n phần tử ta xét ví dụ sau:
Ví dụ: Có ba học sinh A,B,C được sắp xếp ngồi cùng một bàn học Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Có một các cách sắp xếp sau:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
Nhận thấy rằng: ðổi chỗ hai học sinh cho ta ñược cách xếp
khác Từ một cách sắp xếp ban ñầu, bằng cách ñổi chỗ liên tiếp hai học sinh cho ta ñưa cách xếp lại Mỗi cách xếp cịn gọi
một hoán vị ba phần tử A, B, C Tổng quát với tập hợp gồm n phần tử ta có định
nghĩa sau:
3.1 ðịnh nghĩa: Một hoán vị n phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử
3.2 Số hoán vị của n phần tử: Với tập gồm n phần tử ñã cho Số tất hoán vị n phần tử ký hiệu Pn.Ta cần xây dựng cơng thức tính Pn
ðể tạo hoán vị n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp n hành ñộng Hành ñộng thứ nhất: Chọn phần tử xếp đầu có n cách chọn
Hành ñộng thứ hai: Chọn phần tử xếp thứ 2 có n-1 cách chọn
Hành ñộng cuối: Chọn phần tử cịn lại xếp cuối có cách chọn Theo qui tắc nhân, số cách tạo hoán vị n phần tử
Pn = n.(n-1) 2.1= n!
4 Chỉnh hợp không lặp
4.1 ðịnh nghĩa: Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử cách xếp có
thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử ñã cho
Ví dụ: Có 5 chữ số 1, 2, 3, 4, Hãy lập tất cả các số gồm chữ số khác
Các số là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54 Mỗi số cách xếp có thứ tự gồm hai phần tử khác lấy từ
năm phần tử năm chữ số ñã cho Vậy mỗi số chỉnh hợp không lặp chập hai của năm
(4)4.2 Số các chỉnh hợp không lặp: Số chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử kí hiệu
là Akn Ta xây dựng cơng thức tính Akn
ðể tạo một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử ta phải thực hiện một dãy liên
tiếp k hành ñộng
Hành ñộng thứ nhất: chọn n phần tử ñể xếp ñầu: có n cách Hành ñộng thứ hai: chọn n-1 phần tử ñể xếp thứ 2: có n -1 cách
Hành ñộng thứ k: chọn n-k+1 phần tử để xếp cuối: có n-k+1 cách Theo qui tắc nhân: Số cách tạo chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử : Akn= n(n-1) (n-k+1)
ðể dễ nhớ ta sử dụng công thức sau: )! k n ( ! n ) k n ( ) k n ( ) k n ) ( n ( n ) k n ) ( n ( n Ak n − = − − + − − = + − − =
5 Chỉnh hợp lặp: ðể hiểu thế nào là một chỉnh hợp lặp ta xét ví dụ sau:
Ví dụ: Hãy lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3,
Các số là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44
Mỗi số trong các số nói là một cách sắp xếp có thứ tự gồm hai chữ số, mỗi chữ số có mặt đến hai lần lấy từ bốn chữ số ñã cho Mỗi cách xếp gọi
một chỉnh hợp lặp chập hai bốn phần tử Tổng qt hố ta có định nghĩa sau:
5.1 ðịnh nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử cách xếp có thứ tự
gồm k phần tử mà phần tử lấy từ n phần tử ñã cho có mặt nhiều lần
5.2 Số các chỉnh hợp lặp chập k:
Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ñược ký hiệu Aˆkn Ta đưa cơng thức
tính k n
Aˆ
ðể tạo chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ta phải thực dãy liên tiếp k
hành ñộng
Hành ñộng thứ nhất: chọn n phần tử xếp đầu có n cách
Hành ñộng thứ hai: chọn n phần tử xếp thứ có n cách
Hành ñộng thứ k: chọn n phần tử xếp thứ k có n cách Theo qui tắc nhân ta có: Aˆkn = nk
6.Tổ hợp: Các khái niệm ln để ý đến trật tự của tập hợp ta ñang quan sát Tuy nhiên thực tế có nhiều ta chỉ cần quan tâm tới các phần tử của tập của một
tập hợp mà khơng cần để ý đến cách xếp tập theo trật tự Từ ta
có khái niệm tổ hợp sau
(5)Ví dụ: Cho tập hợp gồm bốn phần tử {a,b,c,d} Hỏi có tập gồm hai phần tử?
Các tập {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
Vậy tập hợp gồm bốn phần tử {a,b,c,d} có sáu tập vừa nêu
6.2: Số tổ hợp chập k của n phần tử có ký hiệu là Ckn
Bằng cách ñổi chỗ phần tử cho nhau, tổ hợp chập k n phần tử có thểtạo k! chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử
Có Ckn tổ hợp chập k n phần tử tạo Akn chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử Vậy ta có :
)! k n ( ! k ! n ! k A C k n k n − = =
7.Tổ hợp lặp:
7.1 ðịnh nghĩa: Một tổ hợp lặp chập k n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự
gồm k phần tử, phần tử có mặt ñến k lần lấy từ n phần tử ñã cho
Ví dụ: Cho tập {a,b,c} gồm phần tử
Các tổ hợp lặp tập hợp {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c}
7.2 Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử ký hiệu là:. Cˆkn
Việc tạo một tổ hợp lặp chập k của n phần tử tương ñương với việc xếp k quả cầu
giống vào n ngăn kéo ñặt liền nhau, hai ngăn liên tiếp chung vách ngăn
Các vách ngăn trừ vách ngăn ñầu cuối xê dịch đổi chỗ cho Mỗi cách sắp xếp k quả cầu giống vào n ngăn là một cách bố trí n+k-1 phần tử ( gồm k quả
cầu n-1 vách ngăn) theo thứ tự từ phải sang trái Cách bố trí khơng đổi cầu
đổi chỗ cho vách ngăn ñổi chỗ cho Cách bố trí thay đổi
cầu và các vách ngăn đổi chỗ cho Ta có (n+k-1)! cách bố trí n+k-1 phần tử (gồm k cầu n-1 vách ngăn) Số cách ñổi chỗ k cầu k! , số cách ñổi chỗ n-1 vách ngăn (n-1)! Vậy ta có số tổ hợp lặp chập k n phần tử là:
nk k k n C n k k n C 1 )! ( ! )! ( ˆ − + = − − + =
Ví dụ: Tại trại giống gà có ba loại gà giống A, B, C Một khách hàng vào ñịnh mua 10 Hỏi có cách mua ( giả sử số lượng giống gà A, B, C
loại của trại ñều lớn hơn 10)
Ta thấy cách mua 10 gà tổ hợp lặp chập 10 phần tử Vậy số cách mua là: Cˆ103 = C1012 = 66
8 Nhị thức Newton
Ta có:
2 1 2 2 2 b a C b a C b a C b ab a ) b a ( + = + + = + +
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3 =C30a3b0 +C13a2b1 +C32a1b2 +C33a0b3
Mở rộng ra:
(a+b)n =Cn0anb0 +C1nan−1b1+ +Cknan−kbk + +Cnna0bn Công thức gọi công thức nhị thức Newton
(6)Trọng lượng mảnh ñối chứng X 55,8 53,3 30,1 51,0 37,8 68,8
Trọng lượng mảnh thực nghiệm Y 60,4 58,7 28,9 48,0 39,7 68,8 X 57,7 59,1 49,4 35,4 42,7 21,2 28,3 57,3 42,4 Y 56,8 40,6 57,3 44,3 32,2 47,7 77,0 55,1 66,1 Biết X, Y biến chuẩn Với mức ý nghĩa α = 0,05 Hãy xây dựng cặp giả thuyết
đối thuyết thích hợp đưa kết luận
23.ðiều tra 320 gia đình có 5 ta có các số liệu sau:
Số trai X
Số gia đình ni 18 56 110 88 40
Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết ñối thuyết H0: Số trai X ~ B(5, 0,5 )
H1: Trái với H0
24 Số tai nạn giao thông xảy mỗi ngày X tại một thành phố ñược ghi bảng sau:
X
ni 10 32 46 35 20 1
Với mức ý nghĩa α = 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết : Số tai nạn giao thông không xảy ngày tuân theo luật Poisson
25 Chiều cao X của dầu sau 6 tháng tuổi quan sát ñược cho ở bảng sau:
X 24 - 30 30 - 36 36 - 42 42 - 48 48 - 54 54 - 60 60 - 66
ni 12 24 35 47 43 32
Với mức ý nghĩa α = 0.05 kiểm định giả thuyết X có phân phối chuẩn
26. Một lồi hoa hồng có 4 màu : đỏ, hồng, bạch và vàng Với mẫu gồm 200 hoa
hồng thuộc lồi hoa ta có bảng số liệu sau:
Màu hoa ñỏ hồng bạch vàng
Số hoa 27 65 75 33
Với mức ý nghĩa 0,05 kiểm ñịnh giả thuyết H0 : Các màu hoa ñỏ, hồng, bạch, vàng
theo tỉ lệ : : : 1.
27 Chi phí về văn hố X (ðơn vị 100000đ/năm) chi phí vềđi lại Y
(ðơn vị 100000 đồng/năm) 15 gia đình cho bảng sau:
X 12 6,5 6,2 8,8 4,5 7,0 7,1 20 15 7,5 8,5 10,9 8,2 10,5 Y 5,9 6,7 4,5 4,8 10 5,5 5,2 15 7,0 4,0 5,5 8,2 5,4 8,4 7,0 Sử dụng tiêu chuẩn dấu kiểm định giả thuyết: X Y có qui luật xác suất với mức ý nghĩa 0,05
28 Mức tiêu thụ xăng của loại xe A, B, C ( lít/100km) lần lượt X , Y, Z Người ta
(7)Y : 9,4 7,5 6,9 8,9 9,4 10 8,1 Z : 7,1 8,4 7,0 9,8 8,7 10 7,9 8,2
Với mức ý nghĩa 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Kruskal – Wallis kiểm ñịnh giả thuyết: Mức tiêu thụ xăng loại xe nói có qui luật xác suất
29. Một mẫu điều tra lương của cơng nhân một nhà máy may X1, lương của công nhân
nhà máy chế biến hải sản X2, lương công nhân nhà máy sản xuất dày da xuất X3
và lương vủa công nhân nhà máy chế biến hàng nông sản X4 khu chế suất cho
bảng số liệu sau: (ðơn vị 100000 ñồng/tháng) X1 : 8,5 8,8 7,9 8,5 9,2 9,5 8,3
X2 : 9,0 9,1 8,7 8,6 9,4 9,2 8,5 9,1
X3 : 10 9,4 9,2 8,6 8,7 8,1 9,9
X4 : 8,1 8,8 8,6 9,0 9,2 7,8 8,7 8,9 9,1
Ở mức ý nghĩa 0,05 sử dụng tiêu chuẩn Kruskal – Wallis kiểm ñịnh giả thuyết: Mức lương công nhân bốn nhà máy
30. Chiều cao X của một mẫu ngẫu nhiên của 12 sinh viên nam tại Hà nội 14 sinh viên
nam thành phố Hồ Chí Minh cho bảng số liệu sau:
X: 1,65 1,72 1,60 1,68 1,59 1,75 1,77 1,66 1,78 1,80 1,56 1,70
Y: 1,59 1,61 1,64 1,70 1,68 1,57 1,55 1,78 1,72 1,77 1,60 1,64 1,62 1,77