ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG ðộng lực học chất lỏng nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển ñộng của chất lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng này trong mối quan h[r]
(1)1 Chương IV
ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG ðộng lực học chất lỏng nghiên cứu sở lý thuyết chuyển ñộng chất lỏng xây dựng phương trình vi phân mơ tả chuyển ñộng mối quan hệ với ngoại lực tác dụng
Chất lỏng lý tưởng bỏ qua ảnh hưởng tính nhớt, có nghĩa hệ số nhớt µ =0
1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ðỘNG - PHƯƠNG TRÌNH EULER
Xuất phát từ nguyên lý biến thiên ñộng lượng: Ngoại lực tác dụng lên hệ thống chất lỏng tốc ñộ thay ñổi ñộng lượng khối chất lỏng Ta có:
1 du
F grad p
dt ρ
− =
(4.1) Chiếu lên trục tọa độ, phương trình (1.1) trở thành:
1 1
x x
y y
z z
du p F
x dt du p F
y dt du p F
z dt
ρ ρ ρ
∂
− =
∂ ∂
− =
∂ ∂
− =
∂
(4.2)
Phương trình (4.1) (4.2) gọi phương trình vi phân chuyển ñộng Euler chất lỏng lý tưởng dạng vector hình chiếu tương ứng
2. BÀI TỐN ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
Trong trường hợp chất lỏng lý tưởng, khơng nén được, hệ phương trình Euler có ẩn u u ux, y, z áp suất p ðể giải hệ phương trình ta sử dụng thêm phương trình liên tục:
0 y
x u z
u u
divu
x y z
∂
∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
(4.3) ðể tích phân hệ phương trình trên, ta thêm vào ñiều kiện ñầu ñiều kiện
biên nó:
(2)2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
0 , ,
0 , ,
0 , ,
0 , ,
x y z
u f x y z u f x y z u f x y z p f x y z
= = = =
(4.4)
• ðiều kiện biên điều kiện xác định biên giới mơi trường lỏng xét biểu thị ñiều kiện cho mặt vật ñiều kiện xa vật rắn (coi ∞) ðiều kiện biên mặt vật rắn phải thỏa mãn ñiều kiện hạt lỏng không xuyên qua tách rời khỏi mặt vật rắn
- Khi vật rắn S ñứng yên, dịng chất lỏng lý tưởng chuyển động từ vơ ñến bao quanh vật ta có:
0 n S n S
u v
u ∞
=
= (4.5)
- Khi vật rắn S chuyển ñộng chất lỏng lý tưởng với vận tốc v chất lỏng ñược coi đứng n vơ cùng, ta có:
0 n S u u ∞ u∞
=
=
(4.6)
3. DẠNG LAMB – GROMECO CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER
Sau xếp phương x, ta ñược
( ) ( )
2
2
2
2 2
2
y y
x x x z x z x
x z y
x
z y y z
u u
du u u u u u u
p
F u u
x dt t x z y x y
u u
u rot u u rot u t x
ρ
∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
− = = + + + + − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
= + + −
∂ ∂
(4.7)
Ta biến ñổi tương tự cho phương y z Cuối ta ñược dạng Lamb – Gromeco phương trình Euler:
( )
2
1
2
du u u
F grad p grad rot u u
dt t
ρ
∂
− = = + + ∧
∂
(4.8) Tính chất đặc biệt phương trình vi phân chuyển động chất lỏng lý tưởng dạng Gromeco tồn dạng hiển vector xoáy vận tốc
4. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DƯỜNG DỊNG
Trong trường hợp tổng qt, phương trình vi phân chuyển động chất lỏng lý tưởng khơng tích phân ðể tích phân ñược, ta xét số trường hợp ñặc biệt
a. Tích phân Lagrange – Cauchy với chuyển động
(3)3
const rot u u grad F grad U
ρ
ϕ
=
=
=
=
(a)
với ϕ hàm vận tốc, U hàm lực khối đơn vị Khi đó:
( )
u
grad grad
t t t
ϕ ϕ
∂ = ∂ = ∂
∂ ∂ ∂
(b)
( )
1 p
gradp grad
ρ ρ
=
(c)
Thế (a), (b) (c) vào phương trình (4.8), ta thu
0
u p
grad U
t
ϕ
ρ
∂
+ + − =
∂
(4.9)
Tích phân (1.9) cho ta
( )
2
2
u p
U C t t
ϕ
ρ
∂
+ + − =
∂ (4.10)
với C t( ) xác ñịnh từ ñiều kiện biên
b. Tích phân Euler
Khi chất lỏng chuyển động dừng, (4.10) có dạng
2
u p
U Const
ρ
+ − = (4.11)
Khi lực khối trọng lực, U = −gz, (4.11) trở thành
2
u p
z Const
g + γ + = (4.12)
Gọi
2
2
u p
H z
g γ
= + + – ñộ cao thủy lực toàn miền chất lỏng
2
u
g – ñộ cao ño tốc p
γ – ñộ cao ño áp
z– ñộ cao ño mức
c. Phương trình Bernulli cho ñường dòng