Bài 1. Cho là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành. Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cạnh đối diện không song song. Lấy điểm thuộc miền trong tam giác. Cho hình[r]
(1)A ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
2 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
3 BA ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN THẲNG HÀNG
4 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH
5 BA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỒNG QUY
B QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 10
1 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN 10
2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 11
3 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 11
4 CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG 12
C QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 12
1 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 12
2 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC VỚI NHAU 14
3 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU 15
4 GĨC 16
5 KHOẢNG CÁCH 18
6 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP 23
D THIẾT DIỆN CỦA HÌNH ĐA DIỆN 24
(2)A ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp 1
Cơ sở phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng cần thực hiện: - Bước 1: Tìm hai điểm chung và
- Bước 2: Đường thẳng giao tuyến cần tìm ( ) Bài tập áp dụng
Bài Cho điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành a) Tìm giao tuyến
b) Gọi trung điểm Tìm giao tuyến
Bài Cho hình bình hành điểm khơng nằm mặt phẳng chứa hình bình hành
a) Tìm giao tuyến
b) Gọi trung điểm Tìm giao tuyến ; Bài Cho hình chóp có đáy hình thang ( ) Tìm giao tuyến mặt phẳng:
a) ; b) ; c)
Bài Cho hình chóp có đáy tứ giác lồi ( )
a) Tìm giao tuyến mặt phẳng: , , b) Gọi trung điểm Tìm giao tuyến , c) Gọi thuộc cho thuộc cho Tìm giao tuyến với mặt phẳng , ,
Bài Cho hình chóp , đáy tứ giác có cạnh đối diện không song song Lấy điểm thuộc miền tam giác Tìm giao tuyến mặt phẳng sau:
a) ; b) ;
c) ; d)
Bài Cho hình chóp có đáy hình thang nhận cạnh làm đáy lớn Gọi trung điểm điểm tùy ý Tìm giao tuyến mặt phẳng sau:
a) ; b) ; c)
(3)a) ; b)
Bài Cho tứ diện với trung điểm cạnh Gọi hai điểm tùy ý , Tìm giao tuyến
Bài Cho bốn điểm không đồng phẳng Gọi trung điểm
a) Xác định giao tuyến
b) Cho hai điểm nằm Xác định giao tuyến
Bài 10 Cho tứ diện điểm thuộc miền tam giác Gọi tương ứng hai điểm cạnh cho không song song với
a) Tìm giao tuyến
b) Lấy điểm thuộc miền tam giác cho cắt Tìm giao tuyến
của
Bài 11 Cho hình chóp , đáy có cắt , cắt a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng ,
b) Tìm giao tuyến với mặt phẳng ,
Bài 12 Cho tứ diện Gọi điểm nằm với ,
Tìm giao tuyến
Bài 13 Cho tứ diện Gọi điểm cạnh ,
cho , , Tìm giao tuyến với
Bài 14 Cho hình bình hành khơng nằm mặt phẳng chứa hình bình hành Gọi trung điểm , , Tìm giao tuyến với mặt
phẳng , , ,
Bài 15 Cho hình bình hành khơng nằm mặt phẳng chứa hình bình hành Gọi trung điểm , điểm đối xứng với qua Tìm giao tuyến với mặt phẳng , ,
Bài 16 Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi có cạnh đối diện không song song điểm không nằm mặt phẳng Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:
(4)Bài 17 Cho tứ diện điểm bên tam giác , điểm bên tam giác Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng ,
Bài 18 Cho tứ diện Gọi trung điểm a) Tìm giao tuyến với
b) Gọi điểm cạnh , điểm cạnh Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Bài 19 Cho hình chóp Gọi điểm nằm cạnh , điểm nằm cạnh điểm nằm mặt phẳng Tìm giao tuyến với
Bài 20 Cho hình chóp Gọi điểm nằm Tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng , , Bài 21 Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi trung điểm Tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng
, ,
Bài 22 Cho tứ diện có trung điểm , điểm thuộc cho Tìm giao tuyến của:
a) ; b)
Bài 23 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm , điểm thuộc cho Tìm giao tuyến của:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f)
Bài 24 Cho hình chóp có đáy hình thang với đáy lớn Gọi trung điểm Tìm giao tuyến của:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e)
Bài 25 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm Tìm giao tuyến của:
a) ; b) ; c) ; d)
Bài 26 Cho tứ diện có nằm cạnh cho không song song với không song song với Tìm giao tuyến của:
(5)Bài 27 Cho hình chóp đáy hình thang đáy lớn Gọi trung điểm ,
điểm thuộc cho , điểm thuộc cho Tìm giao tuyến:
a) ; b) ; c)
Bài 28 Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Lấy thuộc
cho , Tìm giao tuyến của:
a) ; b) ; c) ; d)
Phương pháp 2
Tương tự phương pháp tìm điểm chung Lúc ta có hai trường hợp:
- TH1: Hai mặt phẳng theo thứ tự chứa hai đường thẳng mà giao tuyến cần tìm (tức )
- TH2: Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng mà Dựng song song với
giao tuyến cần tìm (tức ) Bài tập áp dụng
Bài Cho hình bình hành điểm khơng thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành Tìm giao tuyến của:
a) ; b)
Bài Cho hình chóp đáy hình bình hành a) Tìm giao tuyến ;
b) Lấy điểm thuộc Tìm giao điểm Tứ giác hình gì? Bài Cho tứ diện Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến
b) Tìm giao điểm Chứng minh tứ giác hình bình hành
Bài Cho tứ diện Trên lấy điểm cho Tìm giao tuyến
(6)a) Tìm giao tuyến ; b) Tìm giao tuyến
Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành a) Trên cạnh lấy điểm Tìm giao tuyến
b) Gọi trọng tâm tam giác , trung điểm Tìm giao tuyến
,
Bài Cho hai hình bình hành nằm hai mặt phẳng khác Gọi tâm Tìm giao tuyến của:
a) ; b)
Bài Cho hình bình hành tam giác nằm hai mặt phẳng khác Gọi
là trung điểm điểm thuộc cho Mặt phẳng qua song song với cắt mặt phẳng theo giao tuyến Tìm giao tuyến
Bài Cho hình bình hành tam giác nằm hai mặt phẳng khác Trên cạnh , lấy tùy ý Mặt phẳng qua song song với trung tuyến tam giác cắt mặt phẳng theo giao tuyến Tìm giao tuyến Bài 10 Cho hai hình vuông , nằm hai mặt phẳng khác Trên
lần lượt lấy cho Mặt phẳng qua song song với cắt Tìm giao tuyến với mặt phẳng ,
Bài 11 Cho hai hình bình hành , nằm hai mặt phẳng khác Trên lấy điểm Mặt phẳng qua điểm song song với Tìm giao tuyến
với mặt phẳng ,
Bài 12 Cho hình chóp Gọi hai điểm Mặt phẳng qua song song với
a) Tìm giao tuyến với b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng
Bài 13 Cho hình chóp Gọi hai điểm Mặt phẳng qua song song với
a) Tìm giao tuyến với mặt phẳng , , b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng
2 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp
(7)- Trường hợp 1: chứa đường thẳng cắt đường thẳng Khi đó:
d
I
d
I
- Trường hợp 2: không chứa đường thẳng cắt
+ Tìm ;
+ Tìm ;
Bài tập áp dụng
Bài Cho tứ diện có điểm trung điểm Lấy điểm thuộc ( không trung điểm ) Tìm giao điểm
Bài Cho tứ diện Trên cạnh lấy điểm cho không song song với Tìm giao điểm với mặt phẳng
Bài Cho tứ diện Trên cạnh lấy hai điểm tùy ý Gọi điểm thuộc miền tam giác Tìm giao điểm với cạnh của tứ diện
Bài Cho bốn điểm không đồng phẳng Gọi trung điểm Tìm giao điểm với
Bài Cho tứ diện Gọi điểm nằm cho
, Tìm giao điểm với
Bài Cho tứ diện Gọi điểm cạnh
sao cho , , Tìm giao điểm với
Bài Cho hình chóp Lấy điểm cho chúng khơng trùng với trung điểm đoạn Tìm giao điểm (nếu có) mặt phẳng
với đường thẳng ,
(8)Bài Cho bốn điểm không đồng phẳng Gọi theo thứ tự hai điểm tam giác Giả sử cắt Hãy xác định điểm
Bài 10 Cho tứ diện Trên cạnh lấy điểm Gọi điểm tùy ý tam giác
a) Tìm giao điểm ; giao tuyến với b) Tìm giao điểm với
Bài 11 Cho hình bình hành điểm nằm ngồi mặt phẳng a) Trên lấy điểm Tìm giao điểm với
b) Giả sử trung điểm Gọi trọng tâm tam giác Tìm giao điểm với mặt phẳng ,
Bài 12 Cho hình chóp
a) Trên lấy điểm Tìm giao điểm với
b) Trên phần kéo dài phía ta lấy điểm Gọi trọng tâm tam giác Tìm giao điểm với mặt phẳng , ,
Bài 13 Cho tứ diện Trên cạnh lấy điểm điểm thuộc miền tam giác Gọi giao điểm
a) Xác định điểm
b) Tìm giao tuyến với mặt tứ diện
Bài 14 Cho tam giác điểm không thuộc mặt phẳng Gọi trung điểm , trung điểm , trọng tâm tam giác
a) Tìm giao điểm với ; b) Tìm giao tuyến với
Bài 15 Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi có cặp cạnh đối khơng song song cho điểm
a) Trên lấy điểm Tìm giao điểm
b) Trên phần kéo dài phía ta lấy điểm Gọi trọng tâm tam giác Tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng , ,
Bài 16 Cho hình chóp có đáy hình thang với đáy lớn Gọi hai điểm thuộc Tìm giao điểm của:
a) ; b) ; c)
Bài 17 Cho hình chóp có đáy hình bình hành trung điểm a) Tìm giao điểm
(9)c) Gọi điểm thuộc Tìm giao điểm
Bài 18 Cho hình chóp có cạnh đối không song song Gọi điểm thuộc Tìm giao điểm của:
a) ; b) ; c)
Bài 19 Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi trung điểm trọng tâm tam giác
a) Tìm giao điểm b) Tìm giao điểm c) Tìm giao điểm
Bài 20 Cho hình chóp có trung điểm , lấy điểm thuộc cho điểm thuộc cho Tìm giao điểm của:
a) ; b) ; c)
Bài 21 Cho hình chóp có đáy tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song điểm thuộc Tìm giao tuyến của:
a) ; b) ; c)
Bài 22 Cho tứ diện có thuộc đoạn , thuộc đoạn nằm bên tam giác Tìm giao điểm của:
a) ; b) ; c)
Bài 23 Cho hình chóp có đáy hình thang đáy lớn Lấy nằm
a) Tìm giao tuyến ; b) Tìm giao tuyến ; c) Tìm giao tuyến ; d) Tìm giao điểm ; e) Tìm giao điểm
Bài 24 Cho hình chóp có đáy hình thang đáy lớn Lấy điểm thuộc đoạn , trung điểm , thuộc đoạn
a) Tìm giao điểm ; b) Tìm giao tuyến Bài 25 Cho hình chóp có đáy hình bình hành
a) Tìm giao tuyến ;
(10)Bài 26 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao tuyến
c) Tìm giao điểm Tứ giác hình gì?
Bài 27 Cho hình chóp có đáy hình thang đáy lớn Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao tuyến c) Tìm giao điểm d) Tìm giao điểm
e) Xác định thiết diện hình chóp với Thiết diện hình gì?
Bài 28 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao điểm với c) Tìm giao điểm với
d) Tìm giao tuyến với Suy thiết diện hình chóp với
Bài 29 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao điểm c) Tìm giao tuyến
d) Gọi giao điểm Tìm giao điểm
Bài 30 Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi trung điểm
(11)f) Tìm thiết diện hình chóp Bài tập tổng hợp
Bài Cho hình chóp Gọi điểm thuộc miền tam giác a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
b) Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng
Bài Cho hai hình thang khơng phải hình bình hành có chung đáy lớn không nằm mặt phẳng
a) Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng ; b) Lấy đoạn Tìm giao điểm mặt phẳng
c) Chứng minh hai đường thẳng không cắt
Bài Cho hình chóp Gọi theo thứ tự trung điểm Lấy điểm đoạn cho
a) Tìm giao điểm mặt phẳng
b) Gọi trung điểm Tìm giao điểm
Bài Cho hình chóp , điểm thuộc , điểm thuộc a) Tìm giao điểm , giao điểm b) cắt , chứng minh thẳng hàng
c) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng
Bài Cho hình chóp , trọng tâm tam giác , trung điểm Tìm giao tuyến hai mặt phẳng:
a) ; b)
Bài Cho tứ diện Gọi trung điểm , điểm đoạn , Tìm giao điểm của:
a) b)
Bài Cho hình chóp có đáy tứ giác có cạnh đối khơng khơng song song Gọi điểm Giả sử cắt Tìm giao điểm chúng
Bài Cho hình chóp Gọi ba điểm cạnh Giả sử cắt Tìm giao điểm mặt phẳng với đường thẳng Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành trung điểm ; điểm cạnh
(12)b) Tìm giao tuyến với
c) Gọi giao điểm với Chứng minh trung điểm
Bài 10 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm ; điểm cạnh cho Tìm thiết diện tạo với hình chóp Bài 11 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm ; trung điểm cạnh
a) Tìm giao điểm với mặt phẳng b) Tìm giao tuyến với
c) Chứng minh đồng qui
Bài 12 Cho hình chóp có đáy tứ giác lồi trung điểm ; điểm cạnh cho
a) Tìm giao điểm với mặt phẳng
b) Tìm tiết diện tạo mặt phẳng với hình chóp
Bài 13 Hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi trung điểm trọng tâm tam giác
a) Tìm giao điểm với chứng minh nằm đường thẳng
b) Tìm giao điểm với Tính tỉ số
c) Tìm giao điểm với Tính tỉ số 3 BA ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN THẲNG HÀNG Phương pháp
Cơ sở phương pháp cần phải chứng minh ba điểm yêu cầu đề điểm chung hai mặt phẳng đó, tức là:
- Tìm ;
- Chỉ (chứng minh) qua ba điểm thẳng hàng Hoặc chứng minh đường thẳng qua thẳng hàng
d
(13)4 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp 1
Cơ sở phương pháp là:
Ta cần tìm hai điểm tùy ý , chứng minh hai điểm thẳng hàng với điểm cố định có sẵn khơng gian
qua điểm cố định
d
(cố định)
A B
I
d
(cố định)
I
Phương pháp 2
Cơ sở phương pháp là:
- Bước 1: Tìm đường thẳng cố định ngồi mặt phẳng cố định chứa di động - Bước 2: Tìm giao điểm
điểm cố định mà qua
5 BA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỒNG QUY Phương pháp 1
Cơ sở phương pháp ta cần chứng minh đường thẳng thứ qua giao điểm hai đường thẳng cịn lại
- Bước 1: Tìm
- Bước 2: Chứng minh qua đồng quy
Phương pháp 2
Cơ sở phương pháp ta cần chứng minh chúng đôi cắt dôi ba mặt phẳng phân biệt
- Bước 1: Xác định
(14)d1 d2 d3
I
B QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp
Cơ sở phương pháp cần thực hai bước cho định nghĩa
- Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng mặt phẳng hay hiểu điều hiển nhiên xảy chúng nằm hình phẳng
- Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba), hai đáy hình thang, hai cạnh đối hình bình hành… để khẳng định hai đường thẳng khơng có điểm chung
Suy điều phải chứng minh
a b
Bài tập áp dụng
Bài Cho tứ diện Gọi trọng tâm tam giác Chứng minh
Bài Cho hình chóp , có đáy hình thang với đáy lớn Gọi trung điểm
a) Chứng minh:
b) Tìm giao điểm với
c) Kéo dài cắt Chứng minh Tứ giác hình gì? Bài Cho tứ diện Gọi trung điểm , ,
(15)
b) Từ suy ba đoạn cắt trung điểm đoạn
Bài Cho hình chóp , có đáy hình bình hành Gọi điểm
nằm cho
a) Chứng minh:
b) Gọi giao điểm Chứng minh:
c) Qua dựng đường thẳng Tìm giao điểm với với
Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm
a) Chứng minh
b) Gọi trọng tâm tam giác , thuộc cho Chứng minh
Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành a) Tìm giao tuyến ;
b) Lấy điểm thuộc Tìm giao điểm Tứ giác hình gì? Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung
điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao tuyến
c) Tìm giao điểm Tứ giác hình gì?
Bài Cho hình chóp có đáy hình thang đáy lớn Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao tuyến c) Tìm giao điểm d) Tìm giao điểm
e) Xác định thiết diện hình chóp với Thiết diện hình gì?
Bài Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung
điểm
(16)b) Tìm giao điểm với c) Tìm giao điểm với
d) Tìm giao tuyến với Suy thiết diện hình chóp với
Bài 10 Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao điểm c) Tìm giao tuyến
d) Gọi giao điểm Tìm giao điểm
Bài 11 Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi trung điểm
a) Tìm giao tuyến b) Tìm giao tuyến c) Tìm giao điểm với d) Chứng minh song song e) Tìm giao điểm
f) Tìm thiết diện hình chóp
Bài 12 Cho hình chóp Gọi trung điểm Cho a) Tìm giao điểm
b) Chứng minh Tứ giác hình gì? c) Tìm giao tuyến
d) Tìm giao điểm
Bài 13 Cho hình chóp đáy hình bình hành tâm Gọi trung
điểm
a) Tìm giao điểm ; tìm giao điểm b) Tìm giao điểm
(17)2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp 1
Cơ sở phương pháp dùng điều kiện cần đủ để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
- Bước 1: Quan sát quản lí giả thiết tìm đường thẳng ưu việt chứng minh - Bước 2: Kết luận
d
Phương pháp 2
Cơ sở phương pháp dùng định lý phương giao tuyến song song - Bước 1: Chứng minh
mà
- Bước 2: Kết luận
d
3 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp 1
Cơ sở phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song là:
- Bước 1: Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt mặt phẳng
- Bước 2: Kết luận theo điều kiện cần đủ Phương pháp 2
(18)- Bước 2: Lần lượt chứng minh - Bước 3: Kết luận
b' a' b
a I
J
4 CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG Phương pháp
Cơ sở phương pháp chứng minh đường thẳng , , … đồng phẳng là:
- Bước 1: Chứng minh , , … đôi cắt song song với mặt phẳng
- Bước 2: Kết luận đồng phẳng
d1
d3
d2
d1
d3 d2 I
C QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp 1
Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta chứng minh vng góc với hai đường thẳng cắt nằm
b a d
I
(19)
Sử dụng tính chất: , mà
d
I K
Phương pháp 3
Nếu hai mặt phẳng , vng góc với cắt theo giao tuyến , đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng
d
Phương pháp 4
Nếu hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba
d
.
Phương pháp 5
(20)
d
2 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC VỚI NHAU Phương pháp 1
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc mặt phẳng
d
Phương pháp 2
Sử dụng tính chất:
(21)Sử dụng tính chất , mà
d
l
3 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU Phương pháp 1
Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng
d
a
.
Phương pháp 2
Nếu đường thẳng song song mặt phẳng , mà đường thẳng vng góc mặt phẳng , vng góc với đường thẳng
d
a
4 GÓC
(22)Bước 1: Tìm điểm tùy ý (có thể lấy đường thẳng ) Từ dựng hai tia song song với góc
Bước Tính số đo góc định lý tính chất hình học phẳng hay định lý cơsin
Chú ý: góc hai đường thẳng không lớn
a
b a'
b' O
4.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp
Để xác định góc đường thẳng mặt phẳng ta thực sau: Bước 1: Xác định hình chiếu vng góc xuống mặt phẳng + Tìm giao điểm
+ Dựng hình chiếu vng góc xuống (chọn đường thẳng qua vuông góc với )
Bước 2: Góc đường thẳng góc đường thẳng mặt phẳng Tính số đo góc hệ thức lượng tam giác vuông
O
A
H
4.3 Góc hai mặt phẳng
Để xác định góc hai mặt phẳng ta làm sau: Phương pháp 1
(23)
a b
Phương pháp 2
Xác định giao tuyến
Lấy điểm Trong dựng Trong dựng Khi góc hai đường thẳng góc hai mặt phẳng
b
a I
Phương pháp 3
Xác định giao tuyến
Trong lấy điểm Dựng hình chiếu xuống mặt phẳng Từ dựng
Khi góc góc hai mặt phẳng
b
a I
A
H Phương pháp 4
Xác định giao tuyến Chọn mặt phẳng
(24)Khi góc hai đường thẳng góc hai mặt phẳng
a b
Phương pháp 5 Sử dụng công thức diện tích hình chiếu 5 KHOẢNG CÁCH
5.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta cần xác định hình chiếu điểm đường thẳng Điểm thường dựng theo hai cách sau:
- Trong mặt phẳng vẽ Khi đó:
- Dựng mặt phẳng qua vng góc với Khi đó:
M
H
5.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho điểm mặt phẳng Gọi hình chiếu xuống Khi gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Phương pháp 1
Bước 1: Chọn mặt phẳng qua vng góc với Bước 2: Xác định giao tuyến
Bước 3: Trong mặt phẳng kẻ Vậy
d
M
(25)Phương pháp 2
Giả sử biết ,
- Nếu
- Nếu cắt
M
H
A
K
I M
H
A
K
5.3 Khoảng cách hai đường thẳng Khoảng cách hai đường thẳng :
- Nếu cắt trùng - Nếu song song với
'
H
M K
N
5.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng :
- Nếu cắt nằm
- Nếu
H M
5.5 Khoảng cách hai mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng
- Nếu cắt
(26)
M
H 5.6 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo đường thẳng cắt cắt
đồng thời vng góc với
Đoạn gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo
' N
M
Phương pháp
Chọn mặt phẳng chứa đường thẳng song song với Khi
.
'
H M
Phương pháp 2
Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách cần tìm
'
Phương pháp Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn
(27)Bước 2: Trong mặt phẳng kẻ
Khi đoạn vng góc chung
'
I
J
Trường hợp 2: chéo mà không vng góc với Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa song song với
Bước 2: Dựng hình chiếu vng góc xuống cách lấy điểm dựng đoạn , lúc đường thẳng qua song song với
Bước 3: Gọi , dựng
Khi đoạn vng góc chung
'
d N H
K M
Hoặc
Bước 1: Chọn mặt phẳng
Bước 2: Tìm hình chiếu xuống mặt phẳng
Bước 3: Trong mặt phẳng , dựng , từ dựng đường thẳng song song với cắt , từ dựng
Khi đoạn vng góc chung
d
'
M H
I
(28)6 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mặt cầu qua đỉnh hình chóp Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp góc vng
- Quản lý giả thiết tìm đỉnh có sẵn nhìn hai đỉnh cố định cịn lại hình chóp đỉnh góc vng
- Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có đường kính khoảng cách hai điểm cố định Tâm mặt cầu trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cố định, bán kính nửa độ dài nối hai điểm cố định
A I B
D
C E
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trục đường trịn mặt phẳng trung trực
- Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Từ dựng đường thẳng vng góc với mặt đáy (gọi là trục đường tròn)
- Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên tùy ý có tính ưu việt cho giả thiết (thường dựng đường trung trực cạnh bên mặt phẳng chứa cạnh bên trục đường trịn) - Bước 3: Tìm Suy tâm mặt cầu
- Bước 4: Khoảng cách từ tâm đến đỉnh tùy ý hình chóp bán kính mặt cầu
M
O S
A
B C I
Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hai trục đường trịn
- Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Từ dựng đường thẳng vuông góc với mặt đáy
- Bước 2: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác mặt bên Từ dựng đường thẳng vng góc với mặt bên
(29)- Bước 4: Khoảng cách từ tâm đến đỉnh tùy ý hình chóp bán kính mặt cầu
O2
O1 S
A B
C I
D THIẾT DIỆN CỦA HÌNH ĐA DIỆN
Dạng 1: Thiết diện hình đa diện xác định mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng
Dạng 2: Thiết diện hình đa diện xác định mặt phẳng qua điểm song song với hai đường thẳng
Dạng 3: Thiết diện hình đa diện xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng
Dạng 4: Thiết diện hình đa diện xác định mặt phẳng qua điểm song song với mặt phẳng
Dạng 5: Thiết diện hình đa diện xác định mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng
Dạng 6: Thiết diện hình đa diện xác định mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng