X,Y,Z là tổng số tấn thóc mà mỗi máy xay được.[r]
(1)ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DÃN CHẤM THI HSG THỰC HÀNH GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2007 - 2008
Đáp án Điểm
Câu 1.( điểm) a) Gọi số tiền vay người N đồng, lãi suất m% trến tháng, số tháng vay n, số tiền phải đặn trả vào ngân hàng hàng tháng A đồng
- Sau tháng thứ số tiền gốc lại ngân hàng là: N 100 m
– A đồng.
- Sau tháng thứ hai số tiền gốc lại ngân hàng là: [N 100
m
– A ] 100
m
– A = N
2 100 m
– A[ 100
m
+1]đồng.
- Sau tháng thứ ba số tiền gốc lại ngân hàng là:
{N 100 m
– A[ 100
m
+1]} 100
m
– A = N
3 100 m
– A[
2 100 m
+ 100
m
+1]
đồng
Tương tự : Số tiền gốc lại ngân hàng sau tháng thứ n : N 100
n
m
– A[
1 100 n m + 100 n m
+ + 100
m
+1] đồng.
Đặt y = 100 m
, thi ta có số tiền gốc lại ngân hàng sau tháng thứ n là:
Nyn – A (yn-1 +yn-2 + +y+1) Vì lúc số tiền gốc lẫn lãi trả hết nên ta có : Nyn = A (yn-1 +yn-2 + +y+1) A =
n
Ny
n n
y y y
= ( 1) n n Ny y y
Thay số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 tháng, y = 1,0115 ta có : A = 1.361.312,807 đồng
b) Nếu vay 50 triệu đồng ngân hàng khác với thời hạn trên, lãi suất 0,75% tháng tổng số tiền vay sau 48 tháng người phải trả cho ngân hàng khoản tiền là: 50000000 + 50000000 x 0,75% x 48 = 68 000 000 đồng
Trong vay ngân hàng ban đầu sau 48 tháng người phải trả cho ngân hàng khoản tiền là: 1.361.312,807 x 48 = 65 343 014,74 đồng Như việc vay vốn ngân hàng thứ hai thực khơng có lợi cho người vay việc thực trả cho ngân hàng
Câu 2.( điểm) Vì hai số gần có tận 39 100 139 ước số cho, nên ta thực phép thử cách ghép lệnh tính liên tiếp máy Casiô 500MS sau: Nhập 39 SHIFT STO A ALPHA A + 100 SHIFT STO A Đưa trỏ cuối dòng ấn: ALPHA : 3739071 ALPHA A ấn = liên tiếp
cho đến có kết thương nguyên, ta nhận thấy số : 4739 ước số 3739071 Câu ( điểm) Chia Chia P(x) cho x – a thương Q(x) dư R ta có : P(x) = (x – a )Q(x) +R P(a) = ( a – a ) Q(a) + R = R Như dư phép chia đa thức P(x)
khi chia cho nhị thức x – a giá trị đa thức P(x) x = a Do đó, P(x) cho x – 2, x – , x – có số dư 28, 42, 56 P(2) = 28, P(3) = 42, P(4) = 56 Đặt G(x) = P(x) – 14x , ta có :
(2) (2) 14.2 28 28 (3) (3) 14.3 42 42 (4) (4) 14.4 56 56
G P G P G P
G(x) = (x – 2)( x – 3)( x – )(x – a )
Suy :
( 18) ( 20)( 21)( 22)( 18 ) 166320 9240 (24) 22.21.20(24 ) 221760 9240
G a a
G a a
(2)P(-18) = 14.(-18) + 166320 + 9240a ( 18) (24) 388164
194082
P(24) = 14.24+221760-9240a 2
P P
Câu 4.( điểm)Số 30 7x y = 300307 + x y0 = 63.4766 + 49 +x y0 Vì 30 7x y 63 nên
49 +x y0 0 63 Vì 63 = 9.7 49 bội nên suy x y0 07 x y0 7 100x + y
7 2x +y 7 ( x; y ) = ( 0;7), ( 1; 5), ( 2; ) , ( 3; 1), ( 3; ), ( 4; 6), ( 5; ), ( 6; 2),
( 7; ), ( 8; 5), ( 9; 3)
Lần lượt thay cặp giá trị x y vào biểu thức
300307 1000 10 63
x y
Ta nhận thấy cặp số( x; y ) = ( 2; ), (7; 7) làm cho biểu thức nguyên Vậy số thoả yêu cầu toán : 302337 307377
Câu 5.( điểm) a) Phương trình cho có nghiệm x = 4 15 : 4 153a4 152b4 151 0
64 - 48 15+180 -15 15 + 31a – 8a 15 +4b - b 15 - = ( 31a +4b + 223 ) – ( 8a + b +63 ) 15 =
31a +4b + 243 = 31a +4b = - 243 8a + b + 63 = 8a + b = - 63
a b
b) Với a = - 9, b = phương trình (1) thành: x3 - 9x2 + 9x - =0 ( 1) tương đương với : ( x – )( x2 – x + ) =
1
8
x x x
Phương trình: x2 – x + = x2 – x +16 = 15 ( x – )2 = 15 x – = 15
x = 15 Do phương trình cho có ba nghiệm, khơng tính tổng qt ta gọi
ba nghiệm : x1 = 1, x2 = + 15 , x3 = – 15 Khi ta có Sn = +
n
x +
n
x Đặt Tn =
n
x +
n
x Để ý x2+ x3 = x2x3 = 1,nên ta có : Tn+2 = (x2+ x3 )(
n
x +
n
x
) – ( x2
n
x
+x3
n
x
) = Tn+1 – x2x3(
n
x +x3n
) = Tn+1 – Tn Như Tn+2 = Tn+1 – Tn (*) Để ý : T0 = 2, T1 = nên từ (*) ta có T n Z, n N Sn Z, n N – ( đpcm)
c) Từ (*) ta nhận thấy Tn+2 Tn ( mod 8) T2007 T2005 T2003 T1=8 0( mod 8) S2007 = + T2007 ( mod 8) Vậy số dư chia S2007 cho
Câu ( điểm) Tổng hệ số đa thức Q(x) giá trị đa thức x = Gọi tổng hệ số đa thức A, ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264 Để ý :
264 = 32
= 42949672962 Đặt 42949 = X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2 Tính máy kết hợp với giấy ta có:
X2.1010 = 4 6 0 0 0 0 0
2XY.105 = 5 8 0 0 0
Y2 = 4 6
A = 4 4 7 5 6 Câu 7.( điểm) Gọi số ngày thực xay thóc ba máy theo thứ tự a,b,c ngày; số máy thực xay ngày m,n,p giờ, công suất máy theo thứ tự x,y,z / X,Y,Z tổng số thóc mà máy xay Ta có : X = xam, Y = ybn, Z = cpz Vì số ngày thực xay ba máy tỉ lệ với 6,7 8; số xay tỉ lệ với 4,5, 6; công suất ba máy lại tỉ lệ nghịch với 9, 7, nên ta có :
1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ
1đ
1đ 0,5đ
1đ 1đ 1đ 1đ 2đ
1đ 1đ
(3)6 a b c
(1) ; m n p
(2) 9x = 8y = 7z (3)
Từ (3) suy x:y:z =
1 1 : :
9 7 = 56:63:72 56 63 72
x y z
(4) Từ (1),(2),(4) ta có :
xam ybn cpz
6.4.567.5.63 8.6.72 1344 2205 3456
X Y Z
( 5) Theo ta lại có máy I xay máy II số thóc 861 nên ta có : Y – X = 861(6) Áp dụng tính chất dãy tỉ số
bằng , từ (5) (6) ta có :
861 1344 2205 3456 2205 1344 861
X Y Z Y X
1334 2205 3456 X
Y Z
Vậy Số thóc xay ba máy theo thứ tự : 1334 tấn, 2205 tấn, 3456 Câu 8.( điểm) Chia 77 cho 52 ta được:
77
52=1,480769231 Như ta có chữ số thập phân chắn số
77
52là: 4,8,0,7,6,9,2,3 Ta tìm chữ số thập phân số cho cách sửa lại hình máy tính thành:
77 – 52 x 1,48076923 ấn = kết quả: 0,00000004 Chia cho 52 ta :
0,076923076 Ta có thêm chữ số phần thập phân só cho là: 0,7,6,9,2,3,0,7
Ta có : 77
52 =1,4807692307692307
Tiếp tục tìm dư phép chia vừa cách sửa lại hình máy tính thành: 4-52 x 0,07692307 ấn = ta số : 0,00000036 Tiếp tục chia 36 cho 52 ta có kết quả: 0,692307692 Ta có thêm chữ số phần thập phân số cho : 6,9,2,3,0,7,6,9
Ta lại có: 77
52=1,4807692307692307692307692 Đến ta nhận thầy
77
52= 1,48(076923) Chu kỳ có chữ số.
2007 ( mod 6) 20072008 32008 (mod ) Vì 32008 = ( – )2008 ( mod 6) Như
vậy tính từ khởi đầu chu kỳ trở chữ số thứ 20072008 chữ số thứ chu kỳ và tính từ dấu phẩy trở chữ số thứ 20072008 chữ số 0.
Câu 9.( điểm) Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số cho biến X,B,C Viết vào hình máy dãy lệnh:
X=X+1: A = 1 X : B = B + A : C = (CB thực ấn phím = liên tiếp X
= 30, lúc ta có kết gần xác đến chữ số thập phân S là: S 3,960077
Câu 10 ( điểm)
1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ
1đ
0,5đ
1đ 1đ 1đ 3đ 1đ
1đ
1đ 2đ
(4)Gọi ,, góc tạo đường thẳng y =
2x+5, y = -2x+3 y =
3x -1 với Ox ta có : tg = 2; tg( 180o - ) = t =
1
3 Sử dụng máy tính có chức tính góc có tỉ số lượng giác cho trước, ta tính được:
63o26’5,82”, 180o - 63o26’5,82”
18o26’5,82”
A = 180o - 2 = 53o7’48,37” B = - 63o26’5,82” - 18o26’5,82” = 45o C = 180o – (A + B ) 81o52’11,64”
Ghi chú: Thí sinh có cách giải khác, lập luận chặt chẽ , lôgich kết câu thì vẫn cho điểm tối đa câu đó.