Hướng dẫn học sinh xây dựng, mở rộng bài toán hình học giải tích từ bài toán hình học phẳng

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT, kỳ thi tuyển sinh Đại học năm gần kỳ thi THPT quốc gia, tốn hình học giải tích mặt phẳng dạng tốn thƣờng xun có mặt gây khó khăn cho học sinh Đây phần tiếp nối hình học phẳng cấp THCS nhƣng đƣợc nhìn dƣới quan điểm đại số giải tích Nhƣ tốn hình học giải tích mặt phẳng mang chất tốn hình học phẳng Tuy nhiên nhiều học sinh cịn có tâm lý “bỏ ln, khơng đọc đề” với toán Một số khác quan tâm tới việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu chất hình học Chính em khơng phân loại đƣợc dạng tốn nhƣ chất nên nhiều toán tƣơng tự xuất nhiều đề thi dƣới cách cho khác mà học sinh không nhận đƣợc dạng làm Trƣớc thực trạng đó, tơi xin trình bày kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh xây dựng, mở rộng tốn Hình học giải tích từ tốn Hình học phẳng’' 1.2 Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nhằm giúp cho học sinh hiểu đƣợc chất hình học phẳng tốn hình giải tích, qua biết cách phân loại giải tốn hình giải tích 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 10A4, 10A7, 10A8 trƣờng THPT Lê Hoàn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách báo - Phƣơng pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh trình khai thác tập SGK -Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, nhiệm vụ trung tâm trƣờng học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò,qua giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em u thích ngại học mơn Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tƣ logic cách biến đổi Giáo viên cần định hƣớng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chƣơng trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đƣa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phƣơng pháp giải gặp tốn hình giải tích mặt phẳng 2.2 Thực trạng vấn đề Sau thời gian dạy học mơn Tốn phần hình học giải tích mặt phẳng trƣờng tôi, nhận thấy số vấn đề nhƣ sau: Vấn đề thứ nhất: Khi gặp tốn Hình học, em thƣờng lúng túng việc định hƣớng tìm lời giải đa số lựa chọn "con đƣờng" mị mẫm, thử nghiệm Có thử nghiệm đến kết quả, nhiên nhiều thời gian không nhận đƣợc chất toán Hơn kết sử dụng Hình học phẳng em lại đƣợc học từ cấp THCS nên để “lắp ghép” phần lại với nhau, sau kỳ nghỉ hè tâm lý “sợ” phần Hình học, điều không dễ thực Vấn đề thứ hai: Bài tập phần Hình học giải tích mặt phẳng đa dạng khó nên học sinh thƣờng lúng túng làm tập phần Vấn đề thứ ba: Trƣờng THPT Hồn trƣờng đóng địa bàn trung du, học sinh đại đa số em nơng dân có đời sống khó khăn Điểm chuẩn đầu vào trƣờng cịn thấp, học sinh có học lực trung bình chiếm 60% nên tƣ em nhiều hạn chế Nhiều em lúng túng việc vẽ hình, nhƣ việc xác định yếu tố liên quan, thƣờng dẫn đến kết sai -Hệ thực trạng Học sinh lớp dạy ban đầu thƣờng sợ lúng túng làm tốn hình giải tích mặt phẳng Năm học 2014-2015, sau học xong phần Hình học giải tích mặt phẳng, tơi tiến hành khảo sát lớp 10A4, 10A7, 10A8 thu đƣợc kết nhƣ sau: Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8.5 5-6.5 3.5-4.5 0-3 46 15 21 10A7 41 12 18 10A8 43 10 16 12 Lớp Sĩ số 10A4 Từ thực tế trên, với kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy thân, viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm giúp em phân loại nắm vững phƣơng pháp giải dạng tốn tính thể tích khối chóp, có tƣ tốt để tìm lời giải cho tốn, qua thêm u phân mơn Hình học khơng gian nói riêng mơn Tốn nói chung 2.3 Giải vấn đề Bài toán gốc 1: Cho đường cao kẻ từ B C ABC nội tiếp đường tròn tâm Chứng minh IA I Gọi M ,N chân MN A M N I B C Chứng minh: - Kẻ tiếp tuyến Ax xAC sdAC ABC - Mà ABC AHK ( tứ giác KHCB nội tiếp) vị trí so le nên Ax // HK Lại có Xây dựng tốn giải tích: Chọn AO nên Hai góc AHK AO HK có A(1;-2), B(1;2), C(-2;1) ta tính ABC AC: x+y+1=0; đường trịn ngoại tiếp Ax xAC có tâm O(0;0), bán kính ABC R , chân đường cao kẻ từ B C M(-1;0), N(1;1), trực tâm H(;) Ta xây dựng thành tốn giải tích sau: Bài toán 1.1: Cho ABC cao kẻ từ B C ABC nội tiếp đƣờng tròn (C): x y Biết chân đƣờng M(-1;0), N(1;1) Xác định tọa độ đỉnh A,B,C biết hoành độ A dƣơng Giải: A M N I B C Lập đƣợc phƣơng trình OA( qua O vng góc MN) OA : x y A OA (C ) Giải hệ x A nên A(1;-2) Lập đƣợc phƣơng trình AB (qua A N) Lập đƣợc phƣơng trình AC ( qua A M) AB: x-1=0 AC: x+y+1=0 Lập đƣợc phƣơng trình BM ( qua M vng góc AM) B AB BM B (1 ; ) Lập đƣợc phƣơng trình CN( qua N vng góc AN) C AC CN BM: x-y+1=0 CN:y-1=0 C ( ;1 ) Bài toán 1.2: Cho nội tiếp đƣờng tròn (C): ABC x y qua K(2;-3) Gọi M, N chân đƣờng cao kẻ từ B C đỉnh A,B,C biết MN có phƣơng trình Bài tốn 1.3: Cho ABC x 2y , đƣờng thẳng AC ABC Xác định tọa độ hoành độ A dƣơng nội tiếp đƣờng tròn O(0;0) Gọi M(-1;0), N(1;1) chân đƣờng cao kẻ từ B C ABC Xác định tọa độ đỉnh A,B,C biết A nằm đƣờng thẳng 3x+y-1=0 Giải: Giả sử A(a;1-3a) Ta có AO MN AO MN A (1 ; ) Lập đƣợc phƣơng trình AC ( qua A M) AC: x+y+1=0 Lập đƣợc phƣơng trình AB ( qua A N) AB: x-1=0 Lập đƣợc phƣơng trình BM ( qua M vng góc AM) B AB BM B (1 ; ) Lập đƣợc phƣơng trình CN( qua N vng góc AN) C AC CN BM: x-y+1=0 CN: y-1=0 C ( ;1 ) Mở rộng: Hướng : Cho ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm I , trực tâm H Đƣờng thẳng AH cắt đƣờng tròn D cắt BC M Ta có M trung điểm HD Bài toán 1.4: Cho x - 3y ABC trực tâm H(0;1).đƣờng thẳng BC có phƣơng trình Biết đƣờng trịn ngoại tiếp ABC qua E(2;-1), F(-1;-2) Tìm tọa độ điểm A,B,C Giải: A I N H B M C D Lập đƣợc phƣơng trình AH (qua H vng góc BC) Gọi M Gọi D AH M ( BC AH ; ) 5 M trung điểm HD (C ) D( Lập đƣợc phƣơng trình đƣờng trịn ngoại tiếp (C): A x AH y 2 11 ; ) 5 ABC ( qua điểm D,E,F) (C ) A (1 ; ) Đƣờng thẳng BC cắt (C) B C Hướng Cho AH: 3x+y-1=0 ABC B (1 ; ) C ( ;1 ) nội tiếp đƣờng tròn tâm I , trực tâm H, đƣờng kính AA'.Gọi M trung điểm BC ta có tứ giác BHCA' hình bình hành Bài tốn 1.5 Cho ABC AH IM nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính AD, M(3;-1) trung điểm BC Đƣờng cao kẻ từ B ABC qua E(-1;-3), điểm F(1;3) nằm đƣờng thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A viết phƣơng trình cạnh BC biết D(4;-2) Giải: Gọi H trực tâm điểm HD Ta có tứ giác BHCD hình bình hành nên M trung ABC H ( ;0 ) A F I H E C B M D Lập đƣợc phƣơng trình BH (qua H E) BH : x y Lập đƣợc phƣơng trình DC (qua D song song với BH) Lập đƣợc phƣơng trình AC (qua F vng góc với BH) Tọa độ C AC DC BC : y AH AC Bài toán 1.6 Cho H ( 1; ) AC : x y AH 0 Lập đƣợc phƣơng trình AH (qua H vng góc với BC) A y C ( ; 1) Lập đƣợc phƣơng trình BC (qua M C) Tọa độ DC : x : x A ( ;2 ) ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm I ( ;1 ) bán kính R=5, trực tâm , độ dài BC=8 Viết phƣơng trình BC Giải: A I N H B M C D Kẻ đƣờng kính AD ta đƣợc tứ giác BHCD hình bình hành bình AH AHD MI AH Gọi A(x;y) Ta có: IM AI CI BM A ( 1; ) D (5; 3) M (2; ) Lập đƣờng phƣơng trình BC ( qua M vng góc với AH) Bài toán 1.7 Cho MI đƣờng trung nội tiếp đƣờng tròn tâm ABC I ( ;0 ) BC : y , trực tâm H ( ;1 ) , A (3; 7) Xác định tọa độ C biết C có hồnh độ dƣơng Giải: Tƣơng tự ta có AH MI nên M(-2;3) Đƣờng thẳng BC qua M vng góc với AH BC : y Đƣờng trịn (C) tâm I bán kính IA có phƣơng trình (x Tọa độ B,C giao BC đƣờng tròn (C) , ta đƣợc 2) y C( 74 65 ; ) ( xC ) Bài toán 1.8 Cho hình chữ nhật ABCD Qua B vẽ đƣờng thẳng vng góc với AC H Gọi E,F,G lần lƣợt trung điểm đoạn thẳng CH, BH AD Biết E( 17 ; 29 5 ) ; F ( 17 ; ) ; G (1 ; ) Tìm tọa độ tâm đƣờng trịn ngoại tiếp ABE Giải B A F G H E C D ABE có F trực tâm, gọi I tâm đƣờng tròn ngoại tiếp điểm AB ta có EF ABE , M trung IM EF đƣờng trung bình HCB AG FE A (1 ;1 ) Đƣờng thẳng AE: 2x-y-1=0 Đƣờng thẳng AB ( qua A vng góc với EF) AB: y-1=0 Đƣờng thẳng BH ( qua F vuông góc với AE) BH: x+2y-7=0 B Giải BH EF AB B ( ;1 ) M ( ;1 ) đƣợc I(3;3) IM Bài tốn gốc Cho hình vuông ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh BC CD Chứng minh AM BN Xây dựng toán giải tích: Chọn hình vng ABCD có tọa độ đỉnh A(-4;0) M ( ;2 ) ; ; B (0;4 ) ; N (2; ) C ( ;0 ) ; D (0; ) Ta tính trung điểm cạnh BC CD Phương trình đường thẳng AM: x-3y+4=0; BN: 3x+y-4=0, tọa độ giao điểm H AM BN H ( ; ) Ta xây dựng thành tốn giải tích sau: Bài tốn 2.1 Cho hình vng ABCD có đỉnh điểm cạnh BC CD Gọi H ( ; ) B ;4 Gọi M, N lần lƣợt trung giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD, biết điểm A nằm đƣờng thẳng : x 2y Giải B A H M C D A : x 2y A( 2a N 4; a ) AH BH a A ( ;0 ) Lập đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng AM (đi qua A H) Gọi M(3m-4; m) MB AB m I AC 3y M ( ;2 ) C ( ;0 ) BD Ta có I trung điểm AC BD Vậy : x AM M trung điểm BC Gọi AM ; B ( ; ) ; C ( ;0 ) ; A(-4;0) I ( ;0 ) D (0; ) D (0; ) Bài tốn 2.2 Cho hình vng ABCD có đỉnh điểm cạnh BC CD; Điểm H ( ; ) A ;0 Gọi M, N lần lƣợt trung giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD, biết điểm A nằm đƣờng thẳng : x 2y N : x 2y HN AH Giải Gọi a D (xD ; y D.) N ( 2a 4; a ) N (2; ) AD DN AD DN Giải hệ ta đƣợc D(0;-4) D( ; ) Lập đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng AN (qua A N) D H hai phía đƣờng thẳng AN nên D(0;-4) N trung điểm CD nên C(4;0) Gọi I AC BD Ta có I trung điểm AC BD Vậy A(-4;0) ; B ( ; ) ; C ( ;0 ) ; AN : x 2y I ( ;0 ) D (0; ) Mở rộng: Hướng : Cắt hình vng thành hình thang có cạnh AB=2CN : 10 Bài tốn 2.3 Cho hình thang vng ABCD (vng B C) có AB = BC=2CD đỉnh A Gọi M trung điểm cạnh BC; Điểm ;0 H ( ; ) giao điểm AM BD Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình thang, biết điểm D nằm đƣờng thẳng x 2y Giải A D H C B D : x HD AH Ta có 2y a tan D ( 2a M 2; a ) D (2; ) BAM BM BH BA AH BH AH Lập đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng BH(đi qua H vng góc với AH) BH : x Gọi B (b ;4 y 3b ) BH Từ BH AH B ( ;4 ) Vì H nằm B D Gọi Vậy C (xC ; yC.) A(-4;0) Ta có Hoặc B( ; ) B ( ;4 ) CD ; B ( ; ) ; C ( ;0 ) ; BA C ( ;0 ) D (2; ) Hướng : Dựng thêm điểm mới: Bài tốn 2.4 Cho tam giác ABC vng B có BC = 2BA Điểm trung điểm cạnh AC Gọi N điểm cạnh BC cho BN M BC 2; ; Điểm 11 H ( ; giao điểm AN BM Xác định tọa độ đỉnh tam giác ) ABC, biết điểm N nằm đƣờng thẳng x 2y Giải C M H N B N : x HN HM 2y a N ( 2a A 6; a ) N ( 2;2 ) Gọi C(m:n) Do M trung điểm AC nên A(4-m;-4-n) Có BN BC BN NC B( m ; n ) Đƣờng thẳng AN ( qua H N): x-3y+4=0 Đƣờng thẳng BM ( qua H M): 3x+y-4=0 Ta có Vậy A AN m B BM n C (8; ) A ( ; ); B ( ; ) ; A ( ; ); B ( ; ) C ( ; ) Hướng 3: Cắt hình vng thành hình chữ nhật Bài tốn 2.5 Cho hình chữ nhật ABCD có BC = 2BA Gọi cạnh BC cho BE BC ; Điểm H ( ; ) E ;1 điểm giao điểm BD AE Xác định 12 tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm B nằm đƣờng thẳng x 2y Giải D C H B A B : x BH HE BE 2y a BC B( 2a E 6; a ) B ( ;2 ) EC C ( 2; ) BE Đƣờng thẳng AE (qua H E): 3x y Đƣờng thẳng BD (qua B H): x 3y Gọi A b ;4 3b Ta có AB B Ta có AD BC Vậy AE b A (0 ;4 ) D ( ;0 ) ; A ( ; ); B ( ; ) C ( ; ) Hướng 4: Từ cos ;D( ;0 ) BC NBC Ta có: BN Bài tốn 2.6 Cho hình vng ABCD Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BC CD; Điểm H ( ; ) giao điểm BN AM Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết phƣơng trình đƣờng thẳng BC : x y điểm C có hồnh độ dƣơng Giải 13 B A H M C D Ta có N cos Gọi VTPT BH n (a; b) BH Đƣờng thẳng BH BC tạo với góc n BH n a BC cos 3b n BH n a BC b TH1: Với a=3b phƣơng trình BH: 3x+y-4=0 B BH BC B ( ;4 ) Gọi M(c;4-c) ta có BC MH M trung điểm BC BH c Ta có AB TH2: Với x 3y d A ( ;0 ) D (0; ) phƣơng trình BH: b x 3y B BH BC 28 B( 16 Gọi M(c;4-c) AM BC a M ( ;2 ) C ( ;0 ) Đƣờng thẳng AM (đi qua H M): Gọi A(3d-4;d) BC ; ) ta có MH BH c M ( M trung điểm BC C( ; 24 ) ; ) (loại) 14 Vậy ; B ( ; ) ; C ( ;0 ) ; A(-4;0) Hướng 5: Từ BH D (0; ) Ta đƣợc BN Bài tốn 2.7 Cho hình vng ABCD có đỉnh B ;4 Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BC CD; đƣờng thẳng AM qua điểm E ;3 Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vng; biết N có tung độ âm nằm đƣờng thẳng x 2y Giải B A E H M C D N x 2y N (2 a a Ta có EH BH a N 6; a ) 33 10 N ( ; ); H ( ; ) Đƣờng thẳng AM (đi qua H E): Gọi M (3b 4; b ) BC NC b 3y AM M trung điểm BC b x C (6b 8;2 b 4) TH1: Với b=2 M ( ;2 ) C ( ;0 ) D (0; ) A ( ;0 ) 15 TH2: Với b Vậy A ( ; ;0 ) M ( ; ; B ;4 ) C( 5 C ( ; ); D ( ; ) ; ) D( 24 12 ; A( 28 ; ) A( 16 28 ; 16 ); B ( ; ); C ( ) ; ); D ( 24 ; 12 ) Bài toán 2.8 Cho hình vng ABCD Gọi M, N lần lƣợt trung điểm cạnh BC CD; Điểm H ( ; ) giao điểm AM BN Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết điểm B thuộc đƣờng thẳng thẳng x 2y x 2y , N thuộc đƣờng Giải B A H M C D B x 2y B (8 N x 2y N (2b BH a N 2a; a) 6; b ) BN B ( ; ); N ( ; ) b Đƣờng thẳng AM (đi qua H vng góc với BN) Gọi M(3c-4;c) BC NC : x 3y AM M trung điểm BC c AM C (6 c 8;2 c 4) c TH1: Với c=2 M ( 2;2 ) C ( ;0 ) D (0; ) A ( ;0 ) 16 TH2: Với c C( Vậy A ( ;0 ) ; B ;4 ; ; ) D( 24 ; 12 5 C ( ; ); D ( ; ) ) A( 28 ; 16 A( 28 ) ; 16 ); B ( ; ); C ( 5 ; ); D ( 24 5 ; 12 ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Năm học 2015-2016, sau áp dụng kinh nghiệm vào việc dạy cho Học sinh, đẫ thu đƣợc số kết khả quan: Lớp Sĩ số Điểm Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7-8.5 5-6.5 3.5-4.5 0-3 10A5 45 18 18 10A7 43 13 20 Kết cho thấy hiệu việc thực sáng kiến vào dạy học, qua tạo niềm tin hứng thú Học sinh việc học phân mơn Hình học nói chung hình học giải tích mặt phẳng nói riêng Kết luận, kiến nghị -Kết luận: Hình học giải tích mặt phẳng nội dung quan trọng chƣơng trình mơn tốn lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhƣng học sinh lại mảng tƣơng đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài đƣợc kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10 luyện thi vào Đại học cho học sinh lớp 12, đƣợc học sinh đồng tình đạt đƣợc kết quả, giúp HS hiểu nâng cao khả giải tốn hình học giải tích mặt phẳng -Kiến nghị: Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thƣ viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trƣờng cần tổ chức bổi trao đổi phƣơng pháp giảng dạy Có tủ sách lƣu lại tài liệu chuyên đề bồi dƣỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề 17 Học sinh cần tăng cƣờng trao đổi, học nhóm nâng cao chất lƣợng học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ngƣời khác Trịnh Tấn Hưng 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao – NXB Giáo dục Các đề thi Đại học Bộ giáo dục đào tạo Các đề thi thử trƣờng toàn quốc Một số trang Web toán học 19 MỤC LỤC Nội dung Phần Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1 1.2 Mục đích ngiên cứu 1.3 Đối tƣợng nghiên cứu 1.4 phƣơng pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề 1 2 2.3 Giải vấn đề 2.4 Hiệu SKKN 17 Kết luận Tài liệu tham khảo 17 19 20 ... kiến vào dạy học, qua tạo niềm tin hứng thú Học sinh việc học phân mơn Hình học nói chung hình học giải tích mặt phẳng nói riêng Kết luận, kiến nghị -Kết luận: Hình học giải tích mặt phẳng nội dung... Học sinh lớp dạy ban đầu thƣờng sợ lúng túng làm tốn hình giải tích mặt phẳng Năm học 2014-2015, sau học xong phần Hình học giải tích mặt phẳng, tơi tiến hành khảo sát lớp 10A4, 10A7, 10A8 thu... cao khả giải toán hình học giải tích mặt phẳng -Kiến nghị: Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thƣ viện để nghiên cứu học tập