Thu gän vµ s¾p xÕp c¸c ®a thøc trªn theo luü thõa gi¶m cña biÕn.[r]
(1)Chủ đề 1: Số hữu tỉ - số thực; đờng thẳng vng góc đờng thẳng song song Hàm số đồ thị; tam giác
Tiết 1; 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ
A Mục tiêu:
- Học sinh nắm vững quy tắc cộng, trừ số hữu tỉ, biết quy t¾c “chun vÕ” Q
- Häc sinh n¾m vững quy tắc nhân, chia số hữu tỉ
- Có kĩ làm phép tính cộng, trừ, nhân, chia hai số hữu tỉ nhanh,
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bµi tËp:
TiÕt 1:
Bµi 1: Cho hai sè hữu tỉ a
b c
d (b > 0; d > 0) chøng minh r»ng:
a NÕu a
b< c
d th× a.b < b.c
b NÕu a.d < b.c th× a
b< c d
Gi¶i: Ta cã: a
b= ad bd; c d= bc bd
a MÉu chung b.d > (do b > 0; d > 0) nên nếu: ad bd<
bc
bd da < bc b Ngợc lại a.d < b.c ad
bd< bc bd ⇒ a b< c d
Ta cã thÓ viÕt: a
b< c
d ⇔ad<bc
Bµi 2:
a Chøng tá r»ng nÕu a
b< c
d (b > 0; d > 0) th× a b<
a+c b+d<
c d
b H·y viÕt ba sè h÷u tØ xen 1
1
Giải:
a Theo bµi ta cã: a
b< c
dad<bc (1)
Thêm a.b vào vế cña (1) ta cã: a.b + a.d < b.c + a.b
⇒ a(b + d) < b(c + a) ⇒ a b<
a+c b+d (2)
Thêm c.d vào vế (1): a.d + c.d < b.c + c.d d(a + c) < c(b + d) ⇒a+c
b+d< c
d (3)
Tõ (2) vµ (3) ta cã: a
b< a+c b+d<
c d
b Theo c©u a ta lần lợt có:
(2)1 < −2 ⇒ −1 < −3 10 < −2 −1 < −3 10 ⇒ −1 < −4 13 < −3 10 VËy −1
3 < −4 13 < −3 10 < −2 < 1
Bài 2: Tìm số hữu tØ n»m gi÷a hai sè h÷u tØ
2004 vµ 2003 Ta cã:
2004< 2003⇒
1 2004<
1+1
2004+2003<
1 2003 2004< 4007 ⇒ 2004< 6011< 4007 2004< 6011 ⇒ 2004< 8013< 6011 2004< 8013 ⇒ 2004< 10017< 8013 2004< 10017 ⇒ 2004< 12021< 10017 Vậy số cần tìm là:
4007 ; 6011 ; 8013 ; 10017 ; 12021
Bài 3: Tìm tập hợp số nguyên x biết
45 9:2
5
18 −7<x<(3
5:3,2+4,5 31
45):(−21 2) Ta cã: - < x < 0,4 (x Z)
Nên số cần tìm: x {4;3;2;1}
Bài 4: Tính nhanh giá trị cđa biĨu thøc
P =
0,75−0,6+3
7+ 13 2,75−2,2+11
7 + 11 = 4− 5+ 7+ 13 11 − 11 + 11 + 11 13 = 3(1
4− 5+ 7+ 13) 11.(1
4− 5+ 7+ 13) = 11
Bµi 5: TÝnh M = [(
193 − 386)
193 17 +
33 34 ]:[(
7 2001+
11 4002)
2001 25 +
9 2] = (
17 − 34 +
33 34 ):(
7 25+ 11 50+ 2) = 4−3+33
34 :
14+11+225
50 =1:5=0,2
TiÕt 2:
Bµi 6: Tìm số hữu tỉ a b biết A + b = a b = a : b
Gi¶i: Ta cã a + b = a b ⇒ a = a b = b(a - 1) ⇒ a b=
(3)Ta l¹i cã: a : b = a + b (2)
KÕt hỵp (1) víi (2) ta cã: b = - ∈Q ; cã x = 2∈Q VËy hai số cần tìm là: a =
2 ; b = -
Bài 7: Tìm x biÕt: a − x −
2004=−
2003 b
5 9− x=
1 2004 x =
2003 −
2004 x =
5 9−
1 2004 x = 1338004
5341 4014012 16023 x = 10011 18036= 3337 6012
Bµi 8: Sè n»m
3
5 sè nµo? Ta cã:
3+ 5=
8
15 số cần tìm 15
Bài 9: Tìm x Q biết
a 11 12−(
2 5+x)=
2
3 ⇒x=
−3 20 b
4+ 4:x=
2 5⇒x=
−5 c (x −2).(x+2
3)>0⇒x>2 vµ x <
−2
Bài 10: Chứng minh đẳng thức
a
a(a+1)=
1
a−
1
a+1 ; b
2
a(a+1)(a+2)=
1
a(a+1)−
1
(a+1)(a+2)
a
a(a+1)=
1
a−
1
a+1 ; VP = a+1
a(a+1)− a a(a+1)=
1
a(a+1)=VT
b
a(a+1)(a+2)=
1
a(a+1)−
1
(a+1)(a+2)
VP = a+2
a(a+1)(a+2)−
a
a(a+1)(a+2)=
2
a(a+1)(a+2)=VT
Bµi 11: Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
1 2002+
2003 2001
2002 −2003=
1+2003(2001−2002)
2002 = 1−2003
2002 =
−2002 2002 =−1
TiÕt 3; 4; 5: §êng thẳng vuông góc, song song, cắt
A Mục tiªu:
(4)- Học sinh giải thích đợc hai đờng thẳng vng góc với đờng trung trực đoạn thẳng
- Rèn luyện kĩ sử dụng thớc thẳng, ê ke, đo độ để vẽ hình thành thạo xác Bớc đầu tập suy luận
B Chuẩn bị: Bảng phụ có ghi sẵn đề
C Bµi tËp TiÕt 3:
Bài 1: Chứng minh hai tia phân giác hai góc đối đình hai tia đối nhau?
Giải: Vẽ Ot tia phân giác gãc xOy t y
Ta cã: Oz vµ Ot hai tia phan giác hai z góc kỊ bï xOy vµ yOx/
do góc zOt = 900 = 1v (1)
Mặt khác Oz/ Ot hai tia phân giác x/ O x
cđa hai gãc kỊ bï y/Ox/ vµ x/ Oy
do z/Ot = 900 = 1v (2)
LÊy (1) + (2) = zOt + z/Ot = 900 + 900 = 1800 x/ y/
Mà hai tia Oz Oz/ không trùng nhau
Do Oz Oz/ hai tia phân giác đối nhau.
Bµi 2: Cho hai gãc kề bù xOy yOx/ Vẽ tia phân giác Oz xOy nửa mặt
phẳng bờ xx/ có cha Oy, vÏ tia Oz/ vu«ng víi Oz Chøng minh tia Oz/ tia
phân giác yOx/ t z/ y
Gi¶i: VÏ tia Ot tia phân giác yOx/ z
hai tia Oz Ot lần lợt hai tia
phân giác hai góc kề bù xOy yOx/
do đó: Oz Ot x/ x
cã: Oz Oz/ (gt)
Nªn hai tia Ot Oz trùng Vậy Oz/ tia phân giác góc yOz/
Bài 3: Cho hình vẽ
a O1 O2 có phải hai góc đối đỉnh không? x/ y
b TÝnh O1 + O2 + O3
Giải: n m a Ta có O1 O2 khơng đối đỉnh (ĐN)
b Có O4 = O3 (vì đối đỉnh)
O1 + O4 + O2 = O1 + O3 + O2 = 1800 y/ x
Bµi 4: Trên hình bên có O5 = 900
Tia Oc tia phân giác aOb
Tính c¸c gãc: O1; O2; O3; O4 a c
Giải:
O5 = 900 (gt)
Mà O5 + aOb = 1800 (kỊ bï)
Do đó: aOb = 900 b
(5)Nªn cOa = cOb = 450
O2 = O3 = 450 (đối đỉnh) c/
BOc/ + O
3 = 1800 ⇒ bOc/ = O4 = 1800 - O3
= 1800 - 450 = 1350
VËy số đo góc là: O1 = O2 = O3 = 450
O4 = 1350
Bài 5: Cho hai đờng thẳng xx/ y/ y cắt O cho xOy = 400 Các tia
Om On tia phân giác góc xOy vµ x/Oy/.
a Các tia Om On có phải hai tia đối khơng? b Tính số đo tất góc có đỉnh O
Gi¶i:
BiÕt: x/x yy/ = {O} x/ y
xOy = 400
n ∈ x/Oy/ n m
m ∈ xOy O a Om On đối
T×m b mOx; mOy; nOx/; x/Oy/ y/ x
Gi¶i:
xOy/; yOx/; mOx/
a Ta có: Vì góc xOy x/Oy/ đối đỉnh nên xOy = x/Oy/
Vì Om On tia phân giác hai góc đối đỉnh Nên nửa góc đơi
Ta cã: mOx = nOx/ hai góc xOy x/Oy kề bù
nªn yOx/ + xOy = 1800
hay yOx/ + (nOx/ + mOy) = 1800
yOx/ + (nOx/ + mOy) = 1800 (v× mOx = nOx/)
tức mOn = 1800 hai tia Om On đối nhau
b BiÕt: xOy = 400 nªn ta cã
mOn = mOy = 200; x/Oy/ = 400; nOx/ = nOy/ = 200
xOy/ = yOx/ = 1800 - 400 = 1400
mOx/ = mOy/ = nOy = nOx = 1600
TiÕt 4:
Bài 6: Cho hai góc AOB COD đỉnh O, cạnh gúc ny vuụng gúc vi
các cạnh góc Tính góc AOB cà COD hiệu chúng 900.
Giải: ở hình bên có COD nằm A
góc AOB giả thiÕt cã:
AOB - COD = AOC + BOD = 900 O C
ta l¹i cã: AOC + COD = 900
vµ BOD + COD = 900
suy AOC = BOD
VËy AOC = BOD = 450 B D
suy COD = 450; AOB = 1350
(6)A D a c
B b d C
Bài 8: Cho góc xOy tia Oz nằm góc cho xOz = 4yOz Tia phân
gi¸c Ot cđa góc xOz thoả mÃn Ot Oy Tính số đo gãc xOy A = 600; B = 900; C = 1200; D = 1500
Gi¶i: x t z V× xOy = xOz + yOz
= 4yOz + yOz = 5yOz (1) Mặt khác ta lại có:
yOt = 900 ⇔ 900 = yOz + yOt = yOz +
2 xOz = yOz +
2 4yOz = 3yOz ⇔ yOz = 300 (2) O y
Thay (1) vào (2) ta đợc: xOy = 300 = 1500
Vậy ta tìm đợc xOy = 1500
Bµi 9: Cho hai gãc xOy vµ x/ Oy/, biÕt Ox // O/x/ (cùng chiều) Oy // O/y/ (ngợc
chiều) Chứng minh r»ng xOy + x/Oy/ = 1800
Gi¶i:
Nèi OO/ th× ta cã nhËn xÐt y/ x/
Vì Ox // O/x/ nên O
1 = O/1 (đồng vị) x
V× Oy // O/y/ nªn O/
2 = O2 (so le)
khi đó: xOy = O1 + O2 = O/1 + O/2
= 1800 - x/O/y/ ⇔ xOy + x/O/y/ = 1800 y
TiÕt 5: A B
Bài 10: Trên hình bên cho biÕt
BAC = 1300; ADC = 500
Chøng tá r»ng: AB // CD C D
Gi¶i:
Vẽ tia CE tia đối tia CA E Ta có: ACD + DCE = 1800
(hai gãc ACD vµ DCE kỊ bï)
⇒ DCE = 1800 - ACD = 1800 - 500 = 1300
Ta có: DCE = BAC (= 1300) mà DCE BAC hai góc đồng vị
Do đó: AB // CD
Bài 11: Trên hình bên cho hai đờng thẳng x A y xy x/y/ phân biệt Hãy nêu cách nhận biết
xem hai đờng thẳng xy x/y/ song song
(7)Gi¶i:
Lấy A ∈xy ; B ∈ x/y/ vẽ đờng thẳng AB
Dùng thớc đo góc để đo góc xAB ABy/ Có hai trờng hợp xảy ra
* Góc xAB = ABy/
Vì xAB ABy/ so le nªn xy // x/y/
* xAB ABy/
Vì xAB ABy/ so le nên xy x/y/ không song song với nhau.
Vậy hai ssờng thẳng xy x/y/ cắt nhau
Bài 12: Vẽ hai đờng thẳng cho a // b Lấy điểm M nằm hai đờng thẳng a,
b Vẽ đờng thẳng c qua M vng góc với a b
Gi¶i:
Ta cã: c M A a
M
B b
c
Bài 13: Cho góc xOy đờng thẳng cắt hai cạnh góc cỏc im A, B
(hình bên)
a Các góc A2 B4 không? Tại sao?
b Các góc A1 B1 không? Tại sao?
Bi 14: Cho hai điểm A, B từ A B kẻ hai đờng thẳng a, b vng góc với
đoạn thẳng AB Hai đờng thẳng cắt điểm không? Tại sao? Bài 15: Cho õ tia phân giác góc vng aOb, Ox/ tia đối tia Ox.
a Chøng minh: x/Ob = x/Oa = 1350
b Cho Ob/ tia đối toa Ob Chứng minh: b/Ob = aOx.
TiÕt 6; 7: Luü thõa - tØ lÖ thøc
A Mơc tiªu:
- Học sinh nắm đợc luỹ thừa với số mũ tự nhiên - luỹ thừa luỹ thừa - Tích thơng hai luỹ thừa số
- Luü thõa cña mét tÝch - thơng
- Nắm vững hai tính chất tỉ lệ thức Thế tỉ lệ thức Các hạng tử tỉ lệ thức
- Bớc đầu biết vận dụng tính chất tỉ lệ thức vào giải tập
- Rốn k nng ỏp dng quy tắc luỹ thừa để tính giá trị biểu thức luỹ thừa, so sánh
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi sẵn đề bài:
C Bµi tËp
TiÕt 6:
Bµi 1: ViÕt sè 25 dới dạng luỹ thừa Tìm tất cách viÕt
Ta cã: 25 = 251 = 52 = (- 5)2
(8)a (x −1
2)
2
= ⇔x=1
2 b (2x - 1)3 = - = (- 2)3
⇒ 2x - = -
⇒ 2x = -
⇒ x = -
c (x+1
2)
2
=
16=
42 ⇔
x+1
2=
4⇒x=− ¿ x+1 2=−
4⇒x=− ¿ ¿ ¿
Bài 3: So sánh 2225 3150
Ta cã: 2225 = (23)75 = 875; 3150 = (32)75 = 975
Vì 875 < 975 nên 2225 < 3150
Bµi 4: TÝnh a 3-2
(23) −4
.(−11 2)
−3
=1
32 34
24.(− 23
33)=− b (
1 50)
−3
.104.
(54)
2.(
2 5)
4
=
(501 )
3
1 104
52
42 24
54 =50
3.
104 52
= 503 102
1 502=
50 100
c 4−(
4 3) 22 10+4
=
1
4 43 34
1 11 10
=
34−44 34
11 10
=−25 10
4 34.11 =−0,5
Bµi 5:
a HiƯu cđa hai sè (1 3)
4
vµ (1 4)
3
lµ:
A B
10000 ; C
7114 ; D 17
5184 ; E Không có
Giải: Ta có: (1 3)
4
- (1 4)
3
= 81−
1 64=
−17
5184 Vậy D b (1
5)
5
.x=(1
5)
8
:(1 5)
3
(9)A 1; B
5 ; C ( 5)
2
; D (1 5)
10
; E
(15)
6
Gi¶i: Ta cã: (1 5)
5
.x=(1
5)
5
⇒ x = Vậy A
TiÕt 7:
Bài 6: Lập tất tỉ lệ thức đợc từ đẳng thức sau: a (- 28) = (- 49) b 0,36 4,25 = 0,9 1,7
−49=
−28
0,36 0,9 =
1,7 4,25 hay
−7= −7 36 = 17 425
Bài 7: Chứng minh từ đẳng thức a d = b.c (c, d 0) ta có tỉ lệ thức a
c= b d
Gi¶i:
Chia hai vế đẳng thức ad = bc cho cd (c.d 0) ta đợc
a.d c.d=
b.c c.d⇒
a c=
b d
Bµi 8: Cho a, b, c, d , tõ tØ lÖ thøc a
b= c
d h·y suy tØ lÖ thøc a− b
a = c d
c
Giải:
Đặt a
b= c
d = k th× a = b.k; c = d.k
Ta cã: a− b
a =
b.k −b
bk =
b(k −1)
bk =
k −1
k (1) c − d
c =
d.k − d
dk =
d(k −1)
dk =
k −1
k (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: a− b
a = c −d
c
Bµi 9: Chøng minh r»ng: Tõ tØ lƯ thøc a
b= c
d (b + d 0) ta suy a b=
a+c b+d
Gi¶i:
Tõ a
b= c
d ⇒ a.d = b.c nhân vào hai vế với a.b
Ta cã: a.b + a.d = a.b + b.c ⇒ a(b + d) = b(a + c)
⇒ ab=a+c b+d
Bài 10: Tìm x tỉ lệ thức sau: a (1522
4−148
(10)b (85 30−83
5 18):2
2
3=0,01x: c [(63
5−3
14) 2,5]:(21−1,25)=x:5
Gi¶i:
a 0,2x =
8 0,3⇒x= 35
8 0,3:0,2⇒x=6,5625 b 0,01x
3=(85 30 −83
5 18) 0,08x=88
45 3⇒x= 88
45 :0,08⇒x=293 c x.(21−1,25)=(63
5−3
14).2,5 5 19,75x=327
70
35
6 ⇔19,75x=49,375⇒x=2,5
Bài 11: Tìm x biết a 2x+3
5x+2=
4x+5 10x+2
⇔ (2x + 3)(10x + 2) = (5x + 2)(4x + 5)
⇔ 2x2 + 4x + 30x + = 20x2 + 25x + 8x + 10 ⇔ 34x + = 33x + 10
⇔ x = b 3x −1
40−5x=
25−3x
5x −34
⇔ (3x - 1)(5x - 34) = (40 - 5x)(25 - 3x)
⇔ 15x2 - 102x - 5x + 34 = 1000 - 120x - 125x + 15x ⇔ 15x2 - 107x + 34 = 1000 - 245x + 15x2
⇔ 138x = 996
⇔ x =
Chủ đề 4: Tam giác
A Môc tiªu:
- Học sinh nắm đợc ba trờng hợp tam giác (c.c.c); (c.g.c); (g.c.g) - Rèn kĩ vẽ hình ba trờng hợp tam giác
- Rèn kĩ sử dụng thớc kẻ, compa, thớc đo độ để vẽ trờng hợp
- Biết sử dụng điều kiện tam giác để chứng minh hai tam giác
B ChuÈn bÞ:
(11)Bài 1: Cho tam giác EKH có E = 600, H = 500 Tia phân giác góc K cắt EH tại
D Tính EDK; HDK K
Gi¶i:
GT: ΔEKH ; E = 600; H = 500
Tia phân giác góc K Cắt EH t¹i D
KL: EDK; HDK E D H Chøng minh:
XÐt tam gi¸c EKH
K = 1800 - (E + H) = 1800 - (600 + 500) = 700
Do KD tia phân giác góc K nên K1 =
2 K = 70
2 =35
0
Góc KDE góc ngồi đỉnh D tam giác KDH Nên KDE = K2 + H = 350 + 500 = 850
Suy ra: KDH = 1800 - KED = 1800
Hay EDK = 850; HDK = 950
Bài 2: Cho tam giác ABC có B = C = 500, gọi Am tia phân giác cđa gãc ngoµi ë
đỉnh A Chứng minh Am // BC GT: Có tam giác ABC;
B = C = 500 A
Am tia phân giác góc ngồi đỉnh A KL: Am // BC
B C Chøng minh:
CAD góc tam giác ABC Nên CAD = B + C = 500 + 500 = 1000
Am tia phân giác góc CAD nên A1 = A2 =
2 CAD = 100 : = 500
hai đờng thẳng Am BC tạo với AC hai góc so le A1 = C = 500
nªn Am // BC
Bµi 3:
3.1 Cho ΔABC=ΔDEF ; AB = DE; C = 460 T×m F.
3.2 Cho ABC=DEF ; A = D; BC = 15cm Tìm cạnh EF 3.3 Cho ΔABC=ΔCBD cã AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
a T×m gãc ABD
b Chøng minh r»ng: BC DC
GT: ΔABC=ΔDEF ; AB = DE; C = 460.
A = D; BC = 15cm
ΔABC=ΔCBD ; AD = DC; ABC = 800; BCD = 900
(12)3.3: a ABD = ? b BC DC Chứng minh:
3.1: ABC=DEF cạnh nhau, góc tơng ứng nên
C = F = 460
3.2 T¬ng tù BC = EF = 15cm 3.3:
a ΔABC=ΔCBD nªn ABD = DBC mà ABC = ABD + DBC nên ABC = 2ABD = 800 ⇒ ABD = 400
b ΔABC=ΔCBD nªn BAD = BCD = 900 vËy BC DC
Bài 4: a Trên hình bên có AB = CD
Chøng minh: AOB = COD
b A D
B C Cã: AB = CD vµ BC = AD
Chøng minh: AB // CD vµ BC // AD
Giải:
a Xét hai tam giác OAB OCD cã
AO = OC; OB = OD (cùng bán kính đờng trịn tâm (O) AB = CD (gt)
VËy ΔOAB=ΔOCD (c.c.c)
Suy ra: AOB = COD
b Nèi AC víi ta có: ABC CAD
hai tam giác có: AB = CD, BC = AD (gt); AC chung
nên ABC=CAD (c.c.c) BAC = ACD vị trí sã le
VËy BC // AD
TiÕt 9:
Bài 5: Cho tam giác ABC vẽ cung tròn tâm A bán kính BC Vẽ cung tròn t©m
C bán kính BA chúng cắt D (D B nằm khác phía AC) Chứng minh: AD // BC
Gi¶i: ΔABC=ΔCDA (c.c.c) A D ⇒ ACB = CAD (cỈp gãc t¬ng øng)
(Hai đờng thẳng AD, BC tạo với AC hai
gãc so le b»ng nhau) B C ACB = CAD nªn AD // BC
Bài 6: Dựa vào hình vẽ nêu đề tốn chứng minh ΔAOC=ΔBOC theo trờng
hỵp (c.g.c) B y
Giải: Cho góc xOy tia Ox lÊy ®iĨm A,
(13)Chøng minh: ΔAOC=ΔBOC
A x
Bài 7: Qua trung điểm M đoạn thẳng AB kẻ đờng thẳng vng góc với AB
Trên đờng thẳng lấy điểm K Chứng minh MK tia phân giác góc AKB
Gi¶i: K
ΔAKM=ΔBKM
⇒ AKM = BKM (cặp góc tơng ứng) Do đó: KM tia phân giác góc AKB
A M B
Bài 8: Cho đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB CA = CB, DA = DB Chứng minh
rằng CD đờng trung trực đoạn thẳng AB
Gi¶i:
Xét hai tam giác ACD BCD chúng có: CA = CB ; DA = DB (gt) c¹nh DC chung nªn ΔACD=ΔBCD (c.c.c)
từ suy ra: ACD = BCD
Gọi O giao điểm AB CD
Xét hai tam giác OAC OBD chóng cã: ACD = BCD (c/m trªn); CA = CB (gt) cạnh OC chung nên OAC=OBC OA = OB vµ AOC = BOC
Mµ AOB + BOC = 1800 (c.g.c)
⇒ AOC = BOC = 900 ⇒ DC AB
Do đó: CD đờng trung trực đoạn thẳng AB
Tiết 10:
Bài 9: Cho tam giác ABC hai điểm N, M lần lợt trung điểm cạnh AC, AB
Trên tia BN lấy điểm B/ cho N trung điểm BB/ Trên tia CM lấy điểm C/
sao cho M trung ®iĨm cđa CC/ Chøng minh:
a B/C/ // BC
b A trung điểm B/C/ C/
Gi¶i:
a XÐt hai tam giác AB/N CBN M N
ta cã: AN = NC; NB = NB/ (gt);
ANB/ = BNC (đối đỉnh)
VËy ΔAB❑N
=ΔCBN suy AB/ = BC B C
vµ B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC
Chứng minh tơng tự ta cã: AC/ = BC vµ AC/ // BC
Từ nmột điểm A kẻ đợc đờng thẳng song song với BC Vậy AB/
vµ AC/ trïng nªn B/C/ // BC.
b Theo chøng minh trªn AB/ = BC, AC/ = BC
Suy AB/ = AC/
Hai điểm C/ B/ nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ đờng thẳng AC
(14)Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E Tia phân giác góc D cắt AE điểm M, tia phân giác góc E cắt AD điểm M So sánh độ dài DN EM
H
íng dÉn :
Chøng minh: ΔDEN=ΔEDM (g.c.g)
Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tơng ứng)
Bài 11: Cho hình vẽ bên A B AB // HK; AH // BK
Chøng minh: AB = HK; AH = BK
Gi¶i:
Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K
⇒ A1 = K1 (so le trong)
AH // BK ⇒ A2 = K2 (so le trong)
Do đó: ΔABK=ΔKHA (g.c.g)
Suy ra: AB = HK; BK = HK
Bài 12: Cho tam giác ABC, D trung điểm AB, đờng thẳng qua D song song với BC cắt AC E, đờng thẳng qua E song song với BC cắt BC F, Chứng minh
a AD = EF
b ΔADE=ΔEFC A
c AE = EC Gi¶i:
a.Nèi D víi F DE // BF A EF // BD nªn ΔDEF=ΔFBD (g.c.g)
Suy EF = DB
Ta lại có: AD = DB suy AD = EF D E b.Ta có: AB // EF ⇒ A = E (đồng vị)
AD // EF; DE = FC nªn D1 = F1 (cïng b»ng B)
Suy ΔADE=ΔEFC (g.c.g) B F C
c ADE=EFC (theo câu b) suy AE = EC (cặp cạnh tơng ứng)
Tiết 11:
Bài 13: Cho tam giác ABC D trung điểm AB, E trung điểm AC vẽ F
sao cho E trung điểm DF Chứng minh: A a DB = CF
b ΔBDC=ΔFCD D F
E
c DE // BC vµ DE =
2 BC
Gi¶i: B C a ΔAED=ΔCEF
(15)b ΔAED=ΔCEF (c©u a)
suy ADE = F ⇒ AD // CF (hai gãc b»ng ë vÞ trÝ so le) AB // CF ⇒ BDC = FCD (so le trong)
Do đó: ΔBDC=ΔECD (c.g.c)
c ΔBDC=ΔECD (c©u b)
Suy C1 = D1 ⇒ DE // BC (so le trong) ΔBDC=ΔFCD ⇒ BC = DF
Do đó: DE =
2 DF nªn DE = BC
Bµi 14: Cho gãc tï xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn õ Oy Kẻ Ot
nm gia Ox v Oy) Trên tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy điểm A, B, C, D cho OA = OC OB = OD Chứng minh hai đờng thẳng AD BC vng góc với
Giải:
Xét tam giác OAD OCB cã t z OA = OC, O1 = O3 (cïng phơ víi O2)
OD = OB (gt) x C
VËy ΔOAD=ΔOCB (c.g.c) A D F
⇒ A = C mà E1 = E2 (đối đỉnh)
VËy CFE = AOE = 900 ⇒ AD Bc
O B y
Bài 15: Cho tam giác ABC trung điểm BC M, kẻ AD // BM AD = BM
(M D khác phía AB) Trung điểm AB I a Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng
b Chøng minh: AM // DB
c Trên tia đối tia AD lấy điểm AE = AD Chứng minh EC // DB
Gi¶i: D A E a AD // Bm (gt) ⇒ DAB = ABM
ΔIAD=ΔIBM cã (AD = BM; DAM = ABM
(IA = IB)
Suy DIA = BIM mµ
DIA + DIB = 1800 nªn BIM + DIB = 1800 B M C
Suy DIM = 1800
VËy ba điểm D, I, M thẳng hàng b AIM=BID (IA = IB, DIB = MIB)
ID = IM ⇒ BDM = DMA ⇒ AM // BD c AE // MC ⇒ EAC = ACM; AE = MC (AC chung)
VËy ΔAEC=ΔCMA (c.g.c)
(16)Bµi 16: hình bên có A1 = C1; A2 = C2 So sánh B D cặp đoạn
thẳng
Giải: B C Xét tam giác ABC tam giác CDA
chóng cã:
A2 = C2; C1 = A1 c¹nh Ac chung
VËy ΔABC=ΔCDA (g.c.g) A D Suy B = D; AB = CD Vµ BC = DA
Bài 17: Cho tam giác ABC tia phân giác góc B C cắt t¹i I Qua
I kẻ đờng thẳng song song với BC Gọi giao điểm đờng thẳng với AB, AC theo thức tự D E Chứng minh DE = BD
Gi¶i: A
DI // DC ⇒ I1 = B1 (so le)
BI đờng phân giác góc B ⇒ B1 = B2 D I E
Suy I1 = B2
Tam gi¸c DBI cã:
I1 = B2 ⇒ Tam gi¸c DBI c©n BD = BI (1) B
C
Chøng minh t¬ng tù CE = EI (2)
Tõ (1) vµ (2): BD + CE = DI + EI = DE
Bài 18: Cho tam giác ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC,
CA cho AD = BE = CF Chứng minh tam giác DEF tam giác
Gi¶i: A
Ta cã AB = BC = CA, AD = BE = CF
Nªn AB - AD = BC - BE = CA - CF D F Hay BD = CE = AF
Tam giác ABC A = B = C = 600 B E C ΔADF=ΔBED (c.g.c) DF = DE (cặp cạnh tơng ứng)
EBD=FCE (c.g.c) DE = EF (cặp cạnh tơng ứng)
Do đó: DF = DE = EF
Vậy tam giác DEF tam giác
TiÕt 12 - 16: D y sè b»ng - Lµm trònÃ
A Mục tiêu:
- Nm vng tớnh chất tỉ lệ thức, nhận biết đợc tỉ lệ thức số hạng tỉ lệ thức
- Vận dụng vào giải toán
- Nắm vững tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng
- Nắm vững vân dụng thành thạo quy ớc làm tròn số
B Chun b: Bng ph ghi đề
C Bµi tËp:
(17)Bài 1: Tìm hai số x y biết x 2=
y
5 vµ x + y = -
Gi¶i: Ta cã x 2=
y
5=
x+y
2+5= −21
7 =−3
x
2=−3⇒x=−6
y
5=−3⇒y=−15
Bài 2: So sánh số a, b c biÕt r»ng a
b= b c=
c a
Gi¶i: Ta cã: a
b= b c=
c a
Bài 3: Tìm số a, b, c biÕt r»ng a 2=
b
3=
c
4 vµ a + 2b - 3c = - 20
Gi¶i: a
2= 2b
6 = 3c
12=
a+2b −3c
2+6−12 = −20
−4 =5
⇒ a = 10; b = 15; c = 20
Bài 4: Tìm sè a, b, c biÕt r»ng a 2=
b
3=
c
4 vµ a2 - b2 + 2c2 = 108
Gi¶i: a 2= b 3= c 4⇒ a2 = b2 = c2
16 ⇒
a2 4= b2 = c2 32=
a2−b2+2c2
4−9+32 =
108 27 =4 Từ ta tìm đợc: a1 = 4; b1 = 6; c1 =
A2 = - 4; b2 = - 6; c2 = -
Bµi 5: Chøng minh r»ng nÕu a2= bc (víi a b, a c) th× a+b
a− b= c+a c −a
Gi¶i: tõ a2 = bc ⇒a c=
b a=
a+b c+a=
a− b c − a⇒
a+b a− b=
c+a c − a
TiÕt 13:
Bài 6: Ngời ta trả thù lao cho ba ngời thợ 3.280.000 đồng Ngời thứ làm
đợc 96 nông cụ, ngời thứ hai làm đợc 120 nông cụ, ngời thứ ba làm đợc 112 nông cụ Hỏi ngời nhận đợc tiền? Biết số tiền đợc chia tỉ lệ với số nông cụ mà ngời làm đợc
Giải: Gọi số tiền mà ngời thứ nhất, thứ hai, thứ ba đợc nhận lần lợt x, y, z (đồng) Vì số tiền mà ngời đợc nhận tỉ lệ với số nông cụ ngời làm đợc nên ta có:
x 96= y 120= x 112=
x+y+z
96+120+112=
3280000
328 =10000 Vậy x = 960.000 (đồng)
y = 1.200.000 (đồng) z = 1.120.000 (đồng)
(18)Bµi 7: Tỉng kÕt häc kú líp 7A cã 11 học sinh giỏi, 14 học sinh 25 học sinh trùng bình, học sinh HÃy tính tỉ lệ phần trăm loại học sinh lớp
Giải: Số học sinh lớp 7A là: 11 + 14 + 25 = 50 (häc sinh) Sè häc sinh giái chiÕm: 11 : 50 100% = 22%
Sè häc sinh kh¸ chiÕm: 14 : 50 100% = 28%
Sè häc sinh trung b×nh chiÕm: 25 : 50 100% = 50%
Bµi 8: T×m x biÕt a 2x+3
5x+2=
4x+5
10x+2⇔2x+3(10x+2)=5x+2(4x+5)
⇔20x2+4x+30x+6=20x2+25x+8x+10 ⇔34x+6=33x+10⇔x=4
b 3x −1 40−5x=
25−3x
5x −34⇔3x −1(5x −34)=40−5x(25−3x)
⇔15x2−102x −5x+34=1000−120x −125x+15x2 ⇔138x=966⇔x=7
Bµi 9: Ba sè a, b, c khác khác số thoả mÃn điều kiện a
b+c= b a+c=
c a+b
TÝnh giá trị biểu thức P = b+c
a + a+c b + a+b c Gi¶i:
Theo đề ta có: a
b+c= b a+c=
c
a+b thêm vào phân số ta có: a
b+c+1= b a+c+1=
c
a+b+1⇔
a+b+c b+c =
a+b+c a+c =
a+b+c a+b ⇔(a+b+c)
b+c=(a+b+c)
1
a+c=(a+b+c)
1
a+b
Vì a, b, c ba số khác khác nên đẳng thức xảy
a+b+c=0⇒{a+b=−c|{b+c=−a| Thay vào P ta đợc P = b+c
a + a+c b + a+b c = − a a + − b b + − c
c =(−1)+(−1)+(−1)=−3
VËy P = -
Tiết 14:
Bài 10: Tìm x biÕt (4−3
4):(2 3−1
1
9)=31x:(45 10 63−44
25 84 )
x=(4−3
4).(45 10 63 −44
25 84):[(2
1 3−1
1
9) 31]= 13 217 252 : 310 = 13 217 28
9 310=
13
4 10= 13 160
⇒x=13
(19)Bµi 11: TØ sè chiỊu dµi vµ chiỊu rộng hình chữ nhật
2 Nếu chiều dài hình chữ nhật tăng thêm (đơn vị) chiều rộng hình chữ nhật phải tăng lên đơn vị để tỉ số hai cạnh không đổi
Giải: Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật lần lợt a, b Khi ta có
a b=
3
2⇒2a=3b
Gọi x (đơn vị) phải thêm vào chiều rộng
a+3
b+x=
3
2⇔2a+6=3b+3x
mµ 2a = 3b ⇒ 3b + = 3b + 3x ⇔ x =
Vậy thêm vào chiều dài (đơn vị) phải thêm vào chiều rộng (đơn vị) tỉ số chiều dài chiều rộng
2
Bài 12: Giá trị (làm tròn đến hàng đơn vị) biểu thức M = 1,85 x 4,145
A 7,6 B C 7,66 D E Không có kết
Bài 13: Giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) biểu thức
H = 20,83 : 3,11 lµ
A 6,6 B 6,69 C 6,7 D 6,71 E 6,709
Bài 14: Giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) biểu thức
N = 1,854 35
19,827 lµ
A B 3,3 C 3,27 D 3,28 E 3,272
Bài 15: Thực phép tính làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai
[0,(3)+1,(5)−0,(21)].11 38=[
3 9+1
5 9−
21 99 ]
11 83= 166 99 11 83=
9=0,(2) Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai đợc 0,22
TiÕt 15:
Bài 16: Tìm x, gần xác đến chữ số thập phân: 0,6x 0,(36) = 0,(63)
⇔0,6x.36 99=
63
99 ⇔0,6x= 63 99
99
63⇔0,6x=
⇔x=7
4: 10 ⇔x=
7
5 3⇔x=
35
12=2,91(66)
Lấy xác đếm số thập phân x 2,9
Bµi 17: TÝnh
2+ a 0,4(3) + 0,6(2)
2− 2+
1 0,5(8):
50 53= 39 90+ 56 90 2− 53 90 :50 53= 13 30+ 14 − ¿39+140−135
90 =
44 90=
(20)b 31
4
49−[2,(4) 11 ]:(−
42
5 ) (= 1) c [0,(63)+0,(36)]:[3
9 3+ 231 999
333
77 ]=1:(1+1)=
Bµi 18: Chøng tá r»ng
a 0,(37) + 0,(62) = Ta cã: 0,(37) = 37
99 0,(62) = 62 99 Do đó: 0,(37) + 0,(62) = 37
99 + 62 99 =
99 99=1 b 0,(33) =
Ta cã: 0,(33) = 33 99=
1 Do đó: 0,(33) =
3.3=1
Bài 19: Tìm số hữu tỉ a b biÕt r»ng hiƯu a - b b»ng th¬ng a : b hai
lần tổng a + b
Giải: Theo đề ta có: a - b = 2(a + b) = a : b (1)
Tõ a - b = 2a + 2b ⇒ a = - 3b hay a : b = - (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: {a −b=−3| (3)
Từ (3) ta tìm đợc: a = (−3)+(−1,5)
2 =−2,25 b = - 1,5- (- 2,5) = 0,75
Vậy hai số a, b cần tìm để lập đợc
a - b = a : b = a( a+ b) lµ: a = - 2,25; b = 0,75
Bài 20: Có 16 tờ giấy màu loại 2.000 đồng; 5.000 đồng 10.000 đồng trị giá
loại tiền Hỏi loại có tờ?
Gi¶i:
Gọi số tờ giấy bạc loại 2.000; 5.000; 10.000 theo thứ tự x, y, z (x, y, z ∈ N) Theo đề ta có: x + y + z = 16 2000x = 5000y = 10000z
Biến đổi: 2000x = 5000y = 10000z
⇒2000x
10000 = 5000y
10000 =
10000z
10000 ⇒
x
5=
y
2=
z
1 Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng
x
5=
y
2=
z
1=
x+y+z
5+2+1=
16 =2
Suy x = 2.5 = 10; y = 2.2 = 4; z = 2.1 =
VËy số tờ giấy bạc loại 2.000đ; 5.000đ; 10.000đ theo thứ tự là: 10; 4; Tiết 16 - 18: Định lý Pitago - trêng hỵp b»ng nahu cđa
hai tam giác vuông
A Mục tiêu:
(21)- Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài cạnh tam giác vuông biết độ dài hai cạnh
- Biết vận dụng định lý đảo định lý Pitago để nhận biết tam giác vuông - Nắm đợc trờng hợp hai tam giác vuông, vận dụng định lý Pitago để chứng minh trờng hợp cạnh huyền - cạnh góc vng hai tam giác vng
- Vận dụng để chứng minh độan thẳng nhau, góc
- RÌn lun kh¶ phân tích, tìm cách giải trình bày toán chứng minh hình học
B Chun b: Bng phụ ghi đề
C Bµi tËp
TiÕt 16: A D
Bài 1: Trên hình vÏ bªn cho biÕt A B AD DC; DC BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm
13 15 12 Tính độ dài đoạn thẳng BC
Gi¶i:
V× AH BC (H ∈ BC) B H C
AH BC; DC BC (gt) ⇒ AH // DC mà HAC DCA so le Do đó: HAC = DCA
Chøng minh t¬ng tù cịng cã: ACH = DAC Xét tam giác AHC tam giác CDA cã
HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC Do đó: ΔAHC=ΔCDA (g.c.g) ⇒ AH = DC Mà DC = 12cm (gt)
Do đó: AH = 12cm (1)
Tam giác vuông HAB vuông H theo định lý Pitago ta có:
AH2 +BH2 = AB2 ⇒ BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25 ⇒ BH = (cm) (2)
Tam giác vuông HAC vuông H theo định lý Pitago ta có:
AH2 + HC2 = AC2 ⇒ HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92 ⇒ HC = (cm)
Do đó: BC = BH + HC = + = 14 (cm)
Bài 2: Cho tam giác vuông cân đỉnh A MA = cm; MB = cm; góc AMC =
1350 Tính độ dài đoạn thẳng MC. A
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bời Am không chøa ®iĨm D
(22)AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 B C
Xét tam giác ADC AMB cã: AD = AM D
DAC = MAB (hai gãc cïng phơ víi A gãc CAM); AC = AB (gt)
Do đó: ΔADC=ΔAMB (c.g.c) ⇒ DC = MB
Tam giác vuông AMD vuông A D
nªn MD2 = MA2 + MC2 (pitago)
Do đó: MD2 = 22 + 22 = 8 B C
Tam giác MDC vuông M nên DC2 = MD2 + MC2 (Pitago)
Do đó: 32 = + MC2 ⇒ MC2 = - = ⇒ MC =
Bài 3: Tam giác ABC có phải tam giác vuông hay không cạnh AB; AC;
BC tØ lƯ víi
a 9; 12 vµ 15 b 3; 2,4 vµ 1,8 c 4; vµ d ; √2 vµ
Gi¶i: a AB
9 = AC 12 =
BC
15 =k⇒{AB=9k⇒AB
2
=81k2|{AC=12k⇒AC2=144k2|
AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2
Vậy tam giác ABC vuông ë A b AB
4 = AC
6 = BC
7 =k⇒{AB=4k⇒AB
2
=16k2|{AC=6k⇒AC2=36k2| ⇒ AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2 49k2 = BC2
Vậy tam giác ABC không tam giác vuông c Tơng tự tam giác ABC vuông C (C = 900)
d Làm tơng tự tam giác ABC vuông cân (B = 900)
Tiết 17:
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kỴ AH BC
Chøng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Gi¶i: A
áp dụng định lý Pitago vào tam giác vng Tam giác ABH có H = 900
⇒ AB2 = AH2 + HB2 ⇒ AB2 - HB2 = AH2 ΔAHC cã H = 900 ⇒ AC2 = AH2 + HC2 ⇒ AC2 - HC2 = AH2
⇒ AB2 - HB2 = AC2 - HC2 B H C ⇔ AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Bµi 5: Cho tam giác ABC có A góc tù Trong cạnh tam giác ABC
cạnh c¹nh lín nhÊt? A
(23)* Kẻ AD AB tia AD nằm tia AB vµ AC
⇒ BD < BC (1)
Xét tam giác ABD vuông A BD2 = AB2 + AD2 ⇒ AB2 < BD2
⇒ AB < BD (2) B E D C Tõ (1) vµ (2) suy ra: AB < BC
* Kẻ AE AC tia AE nằm hai tia AB vµ AC
⇒ EC < BC (3)
Xét tam giác AEC vuông A
EC2 = AE2 + AC2 ⇒ AC2 < EC2 hay AC < EC (4)
Tõ (3) (4) suy ra: AC < BC Vậy cạnh lớn nhÊt lµ BC
Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC Từ B kẻ đờng vng góc với AB từ C
kẻ đờng vng góc với AC Hai đờng cắt M Chứng minh a ΔAMB=ΔAMC
b AM đờng trung trực đoạn thẳng BC
Gi¶i: A
a Hai tam giác vuông ABM ACM cạnh huyÒn AM chung
AB = AC (gt)
b Do ΔAMB=ΔAMC ⇒ A1 = A2 B C
Gọi I giao điểm AM BC
Xét hai tam giác AIB AIC M A1 = A2 (c/m trên); AB = AC
(Vì tam giác ABc cân A); AI chung nên AIB=AIC (c.c.c)
Suy IB - IC; AIB = AIC
mµ AIB + AIC = 1800 (2 gãc kỊ bï nhau)
Suy AIB = AIC = 900
VậyAM BC trung điểm I đoạn thẳng BC nên AM đờng trung trực đoạn thẳng BC
Bài 7:
a Cho tam giác ABC cân A, kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh AD tia phân giác góc A
b Cho tam giác ABC cân A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB Gọi K giao điểm BD CE Chứng minh AK tia phân giác góc A
Giải: A
a Xét hai tam giác vuông CDB ADC có canh AD cạnh chung; AB = AC
⇒ ΔADB=ΔADC (c¹nh hun - c¹nh góc vuông)
BAD = CAD (cặp góc tơng øng)
Do đó: AD tia phân giác góc A B D C
b Híng dÉn A
(24)⇒ AD = AE (cặp cạnh tơng ứng)
ADK=AEK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) E D
A1 = A2
Do Ak tia phan giác góc K B C
TiÕt 18:
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt đờng trung trực
của BC I Kẻ IH vuông góc với đờng thẳng AB, kẻ IK vng góc với đờng thẳng AC Chứng minh BH = CK A
Giải:
Gọi M trung điểm BC ta cã: K
ΔAMI=ΔCMI (c.g.c) B M
V× BM = CM; IM chung; M1 = M2 C
⇒ IB = IC (cặp góc tơng ứng) H
ΔAHI=ΔAKI (c¹nh hun - gãc nhän) I ⇒ IH - IK
ΔIHB=ΔIKC (c¹nh hun - c¹nh gãc vuông) BH = CK
Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông A có AB
AC=
4 BC = 15cm Tìm
độ dài AB; AC B
Gi¶i:
Theo đề ta có: AB
3 = AC
4 ⇒ AB2
9 = AC2 16
Theo tính chất dãy tỉ số A C định lý Pitago ta có:
AB2 =
AC2 16 =
AB2+AC2
9+16 =
BC2 25 =
152 25 =9 Suy ra: AB2 = 9.9 = 92 ⇒ AB = cm
AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122 ⇒ AC = 12 cm
Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm
Bài 10: Chứng minh tam giác ABC vẽ giấy ô vuông hình bên tam
giác vuông cân
Gi¶i: B
Gọi độ dài cạnh ô vuông Theo định lý Pitago ta có:
AB2 = 12 + 22 = + = 5 C
BC2 = 12 + 22 = + = 5 A
AC2 = 12 + 32 = + = 10
Do AB2 = BC2 nªn AC = AB
Do AB2 + BC2 = AC2 nªn ABC = 900
Vậy tam giác ABC vuông cân B
(25)a NÕu AB =
2 BC th× C = 300 C
b NÕu C = 300 th× AB =
2 BC
Gi¶i:
Trên tia đối tia AB đặt AD = AB Nối CD ta có:
ΔBAC=ΔDAC (c.g.c) ⇒ CB = CD (1) B A
D
a NÕu AB =
2 BC vµ AB = AD = BD Th× BC = BD (2)
Tõ (1) vµ (2) suy CB = BD
Vậy tam giác BCD ⇒ BCA = ACD =
2 BCD = 2.60
0
=300
b CB = CD Tam giác CBD cân NÕu BCA = 300; BCD = 60=0
suy tam giácBCD ⇒ BD = BC
⇒ 2AB = BC ⇒ AB = BC
Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE AC CF AB Biết BE = CF = 8cm độ
dài đoạn thẳng BF BC tỉ lệ với a Chứng minh tam giác ABC tam giác cân b Tính độ dài cạnh đáy BC
c BE CF cắt nhao O Nối OA EF Chứng minh đờng thẳng AO trung
trực đoạn thẳng EF A
Giải:
a ΔBFC=ΔCEB v× E = F = 900
BE = CF, Bc c¹nh chung E F
⇒ FBC = ECB ⇒ tam gi¸c ABC c©n O
b Theo đề đoạn thẳng BF BC B C tỉ lệ với
Ta cã: BF =
BC ⇒
BF2 =
BC2 25 =
BC2−BF2 25−9 =
FC2 16 =
82 16=4
⇒ BC2
25 =4⇔BC
2
=25 4=100⇒BC=10 cm
c Tam gi¸c ABC cân AB = AC mà BF = EC ( ΔBFC=ΔCEB )
⇒ AF = AE
AFO=AEO (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
FAO = EAO ⇒ ΔFAI=ΔEAI (V× AF = AE ; FAI = EAI)
⇒ IF = IE (1)
vµ FIA = EIA mµ FIA + EIA = 1800
nªn FIA = EIA = 900 ⇒ AI EF (2)
(26)Tiết 19; 20: Một số toán đại lợng tỉ lệ nghịch, tỉ lệ thuận
A Mơc tiªu:
- Hiểu đợc công thức đặc trng hai đại lợng tỉ lệ thuận, hai đại lợng tỉ lệ nghịch
- Biết vận dụng cơng thức tính chất để giải đợc toán hai đại lợng tỉ lệ thuận, hai đại lợng tỉ lệ nghịch
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bµi tËp:
TiÕt 19:
Bµi 1:
a BiÕt tØ lƯ thu©n víi x theo hƯ sè tØ lƯ k, x tØ lƯ thn víi z theo hÖ sè tØ lÖ m (k 0; m 0) Hái z cã tØ lƯ thn víi y kh«ng? HÖ sè tØ lÖ?
b Biết cạnh tam giác tỉ lệ với 2, 3, chu vi 45cm Tính cạnh tam giác
Gi¶i:
a y tØ lƯ thn víi x theo hƯ sè tØ lƯ k th× x tØ lƯ thn víi y theo hƯ sè tØ lƯ
k
nªn x =
k y (1)
x tØ lƯ thn víi z theo hƯ sè tØ lƯ m th× x tØ lƯ thn víi x theo hƯ sè tØ lƯ
m nªn z =
1
m x (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: z =
m
1
k y =
1
mk y nªn z tØ lƯ thn víi y, hƯ sè tØ lƯ lµ
mk
b Gọi cạnh tam giác lần lợt a, b, c Theo đề ta có: a
2=
b
3=
c
4 a + b + c = 45cm
áp dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng
a
2=
b
3=
c
4=
a+b+c
2+3+4=
45 =5
a
2=5⇒a=2 5=10;
b
3=5⇒b=3 5=15;
c
4=5⇒c=4 5=20
VËy chiỊu dµi cđa cạnh lần lợt 10cm, 15cm, 20cm
Bài 2: Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Viết công thức biểu
thị phụ thuộc chu vi C hình chữ nhật chiều rộng x
Giải: Chiều dài hình chữ nhật 2x
(27)Do ú trờng hợp chu vi hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều rộng
Bµi 3: Học sinh lớp cần phải trồng chăm sóc 24 bàng Lớp 6A có 32
häc sinh; Líp 6B cã 28 häc sinh; Líp 6C có 36 học sinh Hỏi lớp cần phải trồng chăm sóc bàng, biết số bàng tỉ lệ với số học sinh
Giải:
Gọi số bàng phải trồng chăm sóc lớp 6A; 6B; 6C lần lợt x, y, z VËy x, y, z tØ lÖ thuËn víi 32, 28, 36 nªn ta cã:
x
32=
y
28=
z
36=
x+y+z
32+28+36=
24 96=
1
Do số bàng lớp phải trồng chăm sóc là: Lớp 6A: x=1
4.32=8 (c©y) Líp 6B: y=1
4 28=7 (c©y) Líp 6C: z=1
4.36=9 (c©y)
Bài 4: Lớp 7A 1giờ 20 phút trồng đợc 80 Hỏi sau lớp 7A trng c bao
nhiêu
Giải:
Bit 1giờ 20 phút = 80 phút trồng đợc 80
= 120 phút 120 phút trồng đợc x
⇒ x = 80 120
80 =120 (cây) Vậy sau lớp 7A trồng đợc 120
Bài 5: Tìm số cố ba chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ
theo : :
Gi¶i:
Gọi a, b, c chữ số số có chữ số phải tìm Vì chữ số a, b, c không vợt chữ số a, b, c đồng thời
Nªn a + b + c 27
Mặt khác số phải tìm bội 18 nên A + b + c = 18 27 Theo giả thiết ta có: a
1=
b
2=
c
3=
a+b+c
6 Nh vËy a + b + c ⋮
Do đó: a + b + c = 18 Suy ra: a = 3; b = 6; c =
Lại số chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số phải tìm là: 396; 936
TiÕt 20:
Bµi 6:
a BiÕt y tØ lƯ thn víi x, hƯ sè tØ lƯ lµ
(28)b BiÕt y tØ lƯ nghich víi x, hƯ sè tØ lƯ lµ a, x tØ lƯ nghÞch víi z, hƯ sè tØ lƯ Hỏi y tỉ lệ thuận hay nghịch với z? HƯ sè tØ lƯ?
Gi¶i:
a y tØ lƯ thn víi x, hƯ sè tØ lƯ lµ nªn: y = 3x (1)
x tØ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ 15 nªn x z = 15 ⇒ x = 15
z (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: y = 45
z VËy y tØ lệ nghịch với z, hệ số tỉ lệ 45
b y tØ lƯ nghÞch víi x, hƯ sè tỉ lệ a nên y = a
x (1)
x tØ lƯ nghÞch víi z, hệ số tỉ lệ b nên x = b
z (2)
Tõ (1) vµ (2) suy y = a
b.x
VËy y tØ lƯ thn víi z theo hƯ sè tØ lƯ a
b
Bµi 7:
a BiÕt x y tỉ lệ nghịch với và x y = 1500 Tìm số x vµ y
b Tìm hai số x y biết x y tỉ lệ nghịch với và tổng bình phơng hai số 325
Gi¶i:
a Ta cã: 3x = 5y ⇔
x = y
=k⇒x=1
3k ; y=
5k⇒x.y= 15 k
2
mµ x y = 1500 suy 15 k
2
=1500⇔k2=22500⇔k=±150
Với k = 150 x=1
3 150=50 y=
5 150=30 Víi k = - 150 x=1
3.(150)=50 y=
3.(150)=30 b 3x = 2y ⇔
x =y
=k⇒x=1
3k ; y= 2k x2 + y2 = k
2
9 +
k2
4 = 13k2
36 mµ x
2 + y2 = 325
suy 13k
2
36 =325⇔k
2
=325 36
13 =900⇔k=±30 Víi k = 30 th× x =
3k=
3.30=10; y= 2k=
1
2 30=15 Víi k = - 30 th× x =
3k=
3.(−30)=−10; y= 2k=
1
2.(−30)=−15
Bài 8: Học sinh lớp 9A chở vật liệu để xây trờng Nếu mi chuyn xe bũ ch 4,5 t
thì phải 20 chuyến, chuyến chở ta phải chuyến? Số vật liệu cần chở bao nhiêu?
(29)Khi lng mi chuyến xe bò phải chở số chuyến hai đại lợng tỉ lệ nghịch (nếu khối lợng vật liệu cần chuyên chở không đổi)
Mỗi chuyến chở đợc Số chuyến
4,5t¹ 20
6t¹ x?
Theo tỉ số hai đại lợng tỉ lệ nghịch viết
4,5= 20
x ⇒x=
20 4,5
6 =15 (chuyÕn)
VËy chuyến xe chở tạ cần phải chở 15 chuyến
Bài 9: Cạnh ba hình vuông tỉ lệ nghịch với : : 10 Tỉng diƯn tÝch ba h×nh
vng 70m2 Hỏi cạnh hình vng có độ dài bao nhiờu?
Giải:
Gọi cạnh ba hình vuông lần lợt x, y, z Tỉ lệ nghịch với : : 10
Thì x, y, z tØ lƯ thn víi 5;
1 6;
1 10 Tøc lµ:
x
1
= y
1
= z
1 10
=k⇒x=1
5k ; y= 6k ; z=
1 10 k x2 + y2 + z2 = k
2
25+
k2
36+
k2
100=k
2
(251 + 36+
1
100)=70⇒k=30 VËy c¹nh hình vuông là: x =
5.k=
5 30=6 (cm); y= 6.k=
1
6 30=5 (cm)
z=
10 k=
10 30=3 (cm)
Chủ đề 2: Quan hệ yếu tố tam giác Các đờng đồng quy
tam giác - Biểu thức đại số
Tiết 21 - 24: Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác
A Môc tiªu:
- Nắm vững nội dung hai định lý, vận dụng đợc chúng tình cần thiết, hiểu đợc phép chứng minh định lí
- Biết vẽ hình u cầu dự đốn nhận xét tính chất qua hình vẽ - Biết diễn đạt định lí thành tốn với hình vẽ, giả thiết kết luận
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
(30)Bài 1:
a So sánh góc tam gi¸c PQR biÕt r»ng PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm b So sánh cạnh tam gi¸c HIK biÕt r»ng H = 750; K = 350
Giải:
a Từ hình vẽ bên ta có: PQ = RP P PQR cân Q ⇒ R = P
QR > PR ⇒ P > Q (quan hệ cạnh góc đối diện)
vËy R = P > Q Q R b I = 1800 - (750 + 350) = 1800 - 1100 = 700
H > I > K ⇒ IK > HK > HI (quan hệ cạnh góc đối diện)
Bài 2: Cho tam giác ABC Chứng minh AB + AC > BC
Gi¶i:
Trên tia đới tia AB lấy điểm D D
cho AD = AC
Ta có: AD = AC ⇒ ΔADC cân đỉnh D
⇒ ADC = ACD (1) A
Tia CA nằm hai tia CB CD Do đó: BCD > ACD (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: BCD > ADC B C XÐt tam gi¸c DBC cã BCD > BDC
suy DB > BC (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) (3) mà DB = AB + AD = AB + AC (4)
Tõ (3) vµ (4) ta cã: AB + AC > BC
Bài 3: Cho tam giác ABC, A = 900 Trên tia đối tia AC lấy D cho AD <
AC Nèi B víi D Chøng minh r»ng: BC > BD B
Giải:
Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AD Ta cã: AE < AC (V× AD < AC)
Nên E nằm A C
Mµ BA DE vµ DA = AE D A E C
⇒ ΔBDE cân đỉnh B
⇒ BDE = BEA
Ta có: BEA > BCE (BEA góc ngồi tam giác BEC) Do đó: BDC > BCD
XÐt tam gi¸c BDC cã: BDC > BCD
Suy ra: BC > BD (quan hệ góc cạnh đối diện mt tam giỏc)
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm cạnh BC So sánh
BAM MAC A
Gi¶i:
Vẽ tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA
(31)MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (M TĐ cạnh BC)
Do đó: ΔMAB=ΔMDC (c.g.c) D
Suy ra: AB = CD; BAM = MDC
Ta cã: AB = CD; AB < AC ⇒ CD < CA
Xét tam giác ADC có: CD < AC ⇒ MAC < MDC (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác)
Mµ MAC < MDC vµ BAM = MDC Suy ra: MAC < BAM
TiÕt 22:
Bµi 5: Cho tam giác ABC vuông A, tia phân giác góc B cắt AC D So sánh
cỏc di AD, DC B
Giải:
Kẻ DH BC H
ΔABD=ΔHBD (c¹nh hun - gãc nhän) A D C ⇒ AD = DH
DHC vuông H DH < DC
DHC (cạnh góc vuông nhỏ cạnh huyền) suy ra: AD < DC
Bµi 6: Chøng minh r»ng nÕu mét tam giác vuông có góc nhọn 300 thì
cạnh góc vng đối diện với nửa cnh huyn
Giải:
Xét tam giác ABC có A = 900; B = 300
CÇn chøng minh: AC =
2 BC B Trªn BC lÊy ®iĨm D cho CD = CA
Tam giác ACD có: C = 600, AD = AC = CD D
Tam gi¸c ABD cã B = 300; A
2 = 300
nên tam giác
suy AD = BE Do đó: AC =
2 BC A C
Bài 7: Cho tam giác ABC cã A = 850, B = 400
a So sánh cạnh tam giác ABC
A AB < BC < AC C AB < AC < BC B BC < AC < AB D AC < AB < BC
(32)A CE < CB < CD C CD < CE < CB B CB < CE < CD D CD < CB < CE
Giải: a Chọn D
Vì C = 1800 - (A + B) = 1800 - (85 + 40) = 55
Khi nhận thấy B < C < A ⇔ Ac < AB < BC b Chọn D
Bài 8: Cho tam giác ABC tia phân giác góc D cắt AC D So sánh độ dài
AB vµ BC, biÕt BDC tï
Gi¶i:
Để so sánh độ dài AB BC ta cần so sánh hai góc C A Theo giả thiết ta có: BDC tù
D1 > 900 ⇔ 2D1 > 1800
Trong tam gi¸c ABD ta cã: D1 = A + B2 (1) B
Trong tam gi¸c BCD ta cã: D1 + B1 + C1 = 1800 (2)
Công theo vế (1) (2) ta đợc: 2D1 + B1 + C = A + B2 + 1800
⇔ A - C = 2D1 - 1800 >
⇒ A > C ⇔ BC > AB A D C
TiÕt 23:
Bµi 9: Cho gãc xOy = 600, ®iĨm A n»m góc xOy Vẽ điểm D cho Ox là
đờng trung trực AB Vẽ điểm C cho Oy đờng trùng trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai?
A §óng B Sai
b TÝnh sè ®o gãc BOC
A 600; B 900; C 1200; D 1500
Gi¶i: a Chän A
Vì OA = OB (vì Ox đờng trung trực AB) OA = OC (vì Oy đờng trung trực AC) Do đó: OB = OC
b Chọn C tam giác OAB cân O nên O1 = O2
Tam giác OAC cân O nên O3 = O4
Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 + O3)
= 2(xOy) = 600 = 1200
VËy ta cã: BOC = 1200
Bµi 10:
a Cho tam giác ABC tam giác A1B1C1 có AB = A1B1 AC = A1C1 vµ
BC > B1C1 So sánh số đo hai góc A A1
Giải: Theo giả thiết ta có: AB = A1B1; AC = A1C1 vµ BC > B1C1
Thì A > A1 (quan hệ cạnh đối diện tam giác)
b Cho hai tam giác ABC A1B1C1 có AB = A1B1 AC = A1C1 vµ A > A1 Chøng
minh r»ng BC > B1C1
Giải: Xét tam giác ABC tam gi¸c A1B1C1
(33)Suy ra: BC > B1C1 (quan hệ cạnh góc đối diện tam giác)
Bài 11: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Lấy điểm M tia đối tia
MA So sánh độ dài CD BD A
Gi¶i:
Ta lần lợt nhận thấy
Với hai tam giác ABM ACM có:
MB = MC (vì M trung điểm BC) M
AM chung; AB < AC B C Do đó: M1 < M2 ⇔ M3 < M4
Víi hai tam gi¸c BDM vµ CDM cã
MB = MC (M lµ trung ®iĨm cđa BC) D DM chung; M3 < M4
Do đó: CD < BD
Bµi 12: Cho tam gi¸c ABC víi BC > AB Tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC
tại D Chøng minh CD > DA
Gi¶i:
LÊy K cạnh BC cho BK = BA
Có DKB DAB B
Cạnh DB chung; B1 = B2 (Vì BD
tia phân giác ABC)
BK = BA (theo cách lÊy ®iĨm K) K VËy ΔDKB = ΔDAB (c.g.c)
Suy ra: D1 = D2; DK = DA
Mặt khác: CKD góc tam A D C giác KDB nên CKD > D1 (1)
D2 góc tam giác DBC nên D2 > BCD (2)
V× D1 = D2 ; tõ (1) vµ (2) suy CKD > BCD
Trong tam giác KCD K > C nên CD > DK hay CD > DA
TiÕt 24:
Bài 13: Cho tam giác ABC (AC > AB) A tù, đờng cao AH (đờng AH BC)
trung tuyến AM (đờng AM qua trung điểm M cạnh BC) Chứng minh: a BAM > MAC
b H nằm B M
Giải: A
a Trên tia AM lấy điểm D cho M trung điểm AD, dễ dàng
chứng minh đợc ΔAMB=ΔDMC (c.g.c)
(34)Trong ΔACD cã : AC > DC AC > AB (gt) B H M C
Vµ AB = DC (c/m trªn) Nªn D > MAC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy BAM > MAC D
b AC > AB ⇒ HC > HB (H thuộc đoạn thẳng BC A góc tù MB = MC) suy ra: BM > BH VËy H nằm hai điểm B M
Bi 14: Cho tam giác MNP biết MP > MN, MD đờng trung tuyến thuộc cạnh
NP Trªn tia MD lấy điểm E cho D trung điểm ME Chøng minh MEP > EMP
Gi¶i:
ΔMDN=ΔEDP (c.g.c)
DN = DP
Dm = DE M
MDN = EDP (đối đỉnh) Suy ra: MN = EP
Mµ MP > MN ⇒ MP > EP
Trong tam giác MEP, MP đối diện với MEP N D P EP đối diện với EMP
Do đó: MEP > EMP E
Bài 15: Tính chu vi tam giác cân ABC biÕt
a AB = 5cm; AC = 12cm b AB = 7cm; AC = 13cm
Gi¶i:
Tam giác ABC cân có AB = 5cm; AC = 12cm cạnh đáy Ab Thật cạnh bên AB = 5cm cạnh bên BC = 5cm
Nh vËy ta cã: AB + BC = 10cm < CA = 12cm
điều vơ lí (trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba)
Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = + 2.12 = 29 cm b Có thể xảy hai trờng hợp
- Nếu AB = 7cm cạnh đáy AB = BC = 13cm cạnh bên - Nếu chu vi tam giác ABC bằng: + 2.13 = 33 cm
- Nếu AB = BC = 7cm cạnh bên AC = 13cm cạnh đáy Chu vi tam giác ABC là: 13 + 2.7 = 27 cm
Bài 16: Cho tam giác ABC biÕt C = B
2=
A
3
a Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông A tính số đo góc B, gãc C
b Kẻ đờng cao AH Chứng minh B = HAC; C = BAH
(35)a C 1=
B
2=
C
3=
A+B+C
1+2+3 =
1800 =30
0 (¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau)
VËy A =30
0⇒
A=900 nên tam giác ABC tam giác vuông A b Vì AH BC nên H = 1v suy B + BAH = 1v
Vì BAH + HAC = 1v suy B = HAC (2 góc phụ nhau) Tơng tự ta chứng minh đợc C = BAH
TiÕt 25 - 28: Quan hệ yếu tố tam giác
A Mơc tiªu:
- Học sinh nắm đợc khai niêm đờng vng góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên
- Học sinh hiểu đợc định lí quan hệ đờng vng góc đờng xiên, đờng xiên hình chiếu chúng
- Nắm vững quan hệ độ dài cạnh tam giác, từ biết đợc ba đoạn thẳng có độ dài nh khơng thể ba cạnh tam giác
- Có kĩ vận dụng kiến thức để giải tốn hình học - Rèn luyện kĩ vẽ hình chứng minh hình học
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bµi tËp TiÕt 25:
Bµi 1: Cho tam giác ABC có A = 900 Trên hai cạnh AB, AC lần lợt lấy hai điểm D
và E Chøng minh r»ng DE < BC
Gi¶i: B
Nèi D vµ C ta cã: AE, AC lần lợt hình
chiu ca cỏc hỡnh xiên DE, DC D đờng thẳng AC
mà AE < AE (Vì E thuộc cạnh AC)
Suy ra: DE < DC (quan hệ đờng xiên A E C hỡnh chiu ca nú)
Mặt khác: AD; AB lần lợt hình chiếu
ca cỏc ng xiên DC, BC đờng thẳng AB mà AD < AB (D thuộc cạnh AB) Suy ra: DC < BC (quan hệ đờng xiên hình chiếu nó)
Ta cã: DE < DC; DC < BC ⇒ DE < BC
Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) vÏ AH vu«ng gãc víi BC (H thuéc BC) Chøng
minh r»ng AH + BC > AB + AC B
Gi¶i:
Trên tia BC lấy điểm D cho BD = AB H Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AH
(Vì AB < BC nên D nằm B C, D AH < AC nên E nằm A C)
Tam giác ABD cân đỉnh B (Vì BD = AB) A E C
(36)⇒ Ta cã: BAD + DAE = BAD + HAD = 900
Do đó: DAE = HAD
Xét tam giác HAD tam giác EAD có: AH = AE; HAD = DAE; Ad cạnh chung Do đó: ΔHAD=ΔEAD (c.g.c)
⇒ AHD = AED
mµ AHD = 900 nªn AED = 900
Ta có: DE AC ⇒ DC > EC (quan hệ đờng xiên đờng vng góc) Do đó: AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AC
VËy AH + BC > AB + AC
Bài 3: Cho tam giác ABC, AB > AC vẽ BD AC; CE AB (D ∈ AC; E
AB) Chøng minh r»ng AB - AC > BD - CE
Giải: A
Trên cạnh BC lấy điểm F cho AF = AC, E
V× AB > AC nên E nằm A B G VÏ FG AC, FH BD (G ∈ Ac; H ∈ BD) F
Ta cã: FG AC; BD AC (gt)
⇒ FG // BD B
C
XÐt Δ GFD (FGD = 900); Δ HDF (DHF = 900)
Cã DF chung
GFD = HDF (v× FG // BD)
Do đó: ΔGFD=ΔHDF (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra: FG = HD; GD = FH
XÐt Δ GAF (AGF = 900); Δ EAC (AEC = 900)
Cã:AF = AC; GAF (cãc chung)
Do đó: ΔGAF=ΔEAC (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra: FG = CE
Do vËy: FG = CE = HD
Ta có: FH BD nên FB > BH (quan hệ đờng xiên đờng vng góc) Suy ra: AB - AC > BD - HD
Hay AB - AC > BD - CE
Bài 4: Cho tam giác cân ABC đỉnh A Từ điểm D cạnh AB vẽ đờng thng
song song với BC cắt cạnh AC E Chøng minh r»ng BE >
2 (DE + BC)
Gi¶i:
VÏ BH DE (H ∈ DE), EN BC (N BC) XÐt Δ HBE (BHE = 900) vµ Δ NEB (ENB = 900)
BE cạnh chung, HBE = NEB (vì DE // BC) A Do đó: ΔHBE=ΔNEB (cạnh huyền - góc nhọn)
(37)NEC + ECN = 900 ( Δ NEC cã N = 900)
mà DBC = ECN ( Δ ABC cân đỉnh A)
suy ra: HBD = NEC B N C XÐt Δ HBD vµ Δ NEC cã:
DHB = CNE ( = 900); BH = EN (theo c/m trªn)
NBD = NEC (c/m trªn)
Do đó: ΔHBD=ΔNEC (g.c.g) ⇒ HD = NC
Mà BH DE suy BE > HE (quan hệ đờng xiên đờng vng góc) Do đó: BE + BÊ > HE + MB
Mµ HE + BN = DE + HD + BN = DE + NC + BN = DE + BC Nªn BE + BE > DE + BC ⇒ 2BE > BC + DE ⇒ BE >
2 (DE + BC)
TiÕt 26:
Bài 5: Cho tam giác ABC cân A, điểm D nằm B C Chứng minh độ
dµi AD nhỏ cạnh bêb tam giác ABC A
Giải:
Kẻ AH BC
- Nếu D trùng H AD < AC AH < AC (đờng vng góc nhỏ đờng xiên)
- NÕu D kh«ng trïng H B H D C Giả sử D nằn H C, ta cã HD < HC
Suy ra: AD < AC (hình chiếu nhỏ đờng xiên nhỏ hơn)
Vậy AD nhỏ cạnh bên tam giác ABC A
Bµi 6:
a.Cho hình vẽ bên AB > AC E (H1) Chứng minh EB > EC
b Cho hình vé bên B H C Chứng minh r»ng: BD + CE < AB + AC A
Gi¶i: E D (H2)
a AB > AC ⇒ HB > HC(đờng xiên lớn đờng chếu lớn hơn)
HB > HC ⇒ EB > EC B C b (H2) Tam giác ABD vuông D BD < AB
Tam giác ADE vuông E suy ra: CE < AC Suy ra: BD + CE < AB + AC
Bài 7: Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C (BD không vuông góc víi AC),
gọi E F chân đờng vng góc kẻ tùe A C đến đờng thẳng BD So sánh AC với AE + CF
Gi¶i: A
Híng dÉn: D F Xét tam giác ADE vuông E
(38)Xét tam giác CDF vuông F B C CF < CD (2)
Tõ (1) vµ (2) AE + CF < AD + CD = AC
Bài 8: Cho tam giác ABC, M trung ®iĨm cđa BC
Chøng minh r»ng: AB + AC > 2AM
Gi¶i:
Trên tia đối MA lấy điểm D cho MD = MA Xét Δ MAB Δ MDC có:
MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) A
MB = MC (gt)
Do đó: ΔMAB=ΔMDC (c.g.c)
⇒ AB = DC
Xét tam giác ADC có: B M C CD + AC > AD (bất đẳnh thức tam giác)
Do đó: AB + AC > AD mà AD = 2AM
Suy ra: AB + AC > 2AM D
TiÕt 27:
Bài 9: Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam gi¸c Chøng minh r»ng: MB +
MC < AB + AC
Gi¶i: A
Vẽ đờng thẳng BM cắt AC D D
V× M tam giác ABC nên D nằm A vµ C Suy ra: AC = AD + DC
Xét tam giác ABD có: DB < AB + AD B C (bất đẳng thức tam giác)
⇒ MB + MD < AB + AD (1)
Xét tam giác MDC có: MC < DC + MD (2) (bất đẳng thức tam giác) Công (1) với (2) vế với vế ta có:
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
⇒ MB + MC < AB + (AD + DC) ⇒ MB + MC < AB + AC
Bài 10: Cho tam giác ABC có AB > AC; AD tia phân giác góc BAC
(D BC) M điểm nằm đoạn thẳng AD Chøng minh r»ng MB - MC < AB - AC
Giải: Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AC A v× AB > AC, nên E nằm A B Suy ra: AE + EB = AB E M
⇒ EB = AB - AE = AB - AC
XÐt Δ AEM vµ Δ ACM cã: AE = AC B D C
(39)Do đó: ΔAEM=ΔACM (c.g.c)
Suy ra: ME = MC
Xét tam giác MEB có MB - ME < EB (bất đẳng thức tam giác) Do đó: MB - MC < AB - AC
Bµi 11: Cho tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh r»ng:
a NÕu A = 900 th× AM =
2 BC b NÕu A > 900 th× AM <
2 BC c NÕu A < 900 th× AM >
2 BC TÝnh chÊt: thõa nhËn
Nếu hai tam giác có hai cạnh tơng ứng từnmg đơi nhng góc xen chúng khơng cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn
Gi¶i:
Vẽ tia đối tia MA tia lấy điểm D cho MD = MA
Suy AD = 2AM A
XÐt Δ MAB vµ Δ MDC cã:
MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (gt)
Do đó: Δ MAB = Δ MDC (c.g.c) B M C Suy ra: AB = DC; BAM = CDM
Ta cã: BAM = CDM
mµ BAM vµ CDM (so le trong) nªn AB // CD ⇒ BAc + ACD = 1800
Vận dụng vào tính chất xÐt Δ ABC vµ Δ CDA cã: AB = CD; AC c¹nh chung
Do đó:
a BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nªn
ACD = 900 ⇒ BAC = ACD ⇒ BC = AD ⇒ AM =
2 BC b BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nªn
ACD < 900 ⇒ BAC > ACD ⇒ BC > AD ⇒ AM <
2 BC c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nªn
ACD > 900 ⇒ BAC < ACD ⇒ BC < AD ⇒ AM >
2 BC Tom lại: Nếu A = 900 AM =
2 BC Nªu A > 900 th× AM <
(40)NÕu A < 900 th× AM >
2 BC
Bài 12: Trong trờng hợp sau trờng hợp ba cạnh tam gi¸c
a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m
Giải:
a Đúng v×: + 10 > 12 b Sai v×: + < 3,3 c Sai v×: 2,2 = 1,2 +
TiÕt 28:
Bài 13: Cho tam giác ABC có AB = 4cm; AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết
rằng độ dài số nguyên (cm)
Gi¶i: A
Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC
⇒ - < BC < + C B
⇒ < BC <
Do độ dài cạnh BC số nguyên (cm) nên BC = 4cm
Bµi 14:
a TÝnh chu vi tam giác cân có hai cạnh 4m 9m
b Cho tam giác ABC điểm D nằn B C Chứng minh AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC
Giải:
a.Cạnh 4m khơng thể cạnh bên cạnh 4m cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh
(9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác
Vậy cạnh 4m cạnh đáy thoả mãn < + A Chu vi tam giác là: + + = 22m
b XÐt tam gi¸c ABD cã: AD < AB + BD (1)
XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2) B D C Céng tõng vÕ cđa (1) vµ (2)
2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB+AC+BC
2
Bài 15: Độ dài hai cạnh tam giác 7cm, 2cm Tính độ dài cạnh cịn lại
biÕt r»ng sè ®o cđa nã theo xentimÐt số tự nhiên lẻ
Gii: Gi dài cạnh lại x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
(41)Bµi 16: Cho tam giác ABC trung tuyến Am góc B > C H·y so s¸nh hai gãc
AMB AMC A
Giải:
Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB AMC có AM cạnh chung
MB = MC nhng AC > AB B M C Nªn AMC > AMB
Tiết 29: Biểu thức đại số:
A Mơc tiªu:
- Hiểu đợc khai niệm vế biểu thức đại số
- Biết cách tính giá trị biểu thức đại số, biết cách trình bày lời giải toán
- Rèn luyện kĩ làm “Biểu thức đại số”
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bµi tËp TiÕt 29:
Bài 1: Viết biểu thức đại số biểu diễn a Một số tự nhiên chẵn
b Mét sè tự nhiên lẻ c Hai số lẻ liên tiếp d Hai số chẵn kiên tiếp
Giải:
a 2k; b 2x + 1; c 2y + 1; 2y + 3; d 2z; 2z + (z ∈ N)
Bµi 2: Cho biĨu thøc 3x2 + 2x - Tính giá trị biểu thức x = 0; x = - 1; x =
1
Giải:
Tại x = ta có 3.0 + 2.0 - = - T¹i x = - ta cã - - = T¹i x =
3 ta cã +
2
3 - = 3+
2 31=0
Bài 3: Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc a 2a+5
3a−6 víi a = - 1; b 2y+
2y −1 víi y = c (a −b)
2−1
a2−1 víi a = 1
4 ; b =
4 ; d
(y+2)2
2y + y
y+2 víi y =
(42)a Ta cã: (−2)+5
−3−6=
−9=−
3 ; b = - 9,5
T¬ng tù c d 379
84
Bµi 4:
a Víi giá trị biến giá trị biểu thøc 2x+1
5 b»ng 2; - 2; 0; b Với giá trị biến giá trị cđa biĨu thøc sau b»ng 0;
x+1
7 ; 3x+3
5 ;
2x(x+1)
3x+4 ;
3x(x −5) x −7
Gi¶i:
a 2x+1
5 = ⇔ 2x + = 10 ⇔ x = 4,5 2x+1
5 = - ⇔ x = - 5,5 2x+1
5 = ⇔ x = - 2x+1
5 = ⇔ x = 9,5 b x+1
7 =0⇔x+1=0⇔x=−1 ;
3x+3
5 =0⇔x=−1 2x(x+1)
3x+4 =0⇔x=0; x=−1 ;
3x(5− x)
x −5 =0⇔x=0 TiÕt 30 - 32: Céng, trõ ®a thøc
A Mơc tiªu:
- Học sinh cần nắm đợc đơn thức, hai đơn thức đồng dạng, cộng trù đơn thức đồng dạng, nhân hai đơn thức
- Nhận biết đợc đa thức, thực phép cộng trừ đa thức - Rèn luyện kĩ kiến thức
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bµi tËp:
TiÕt 30:
Bài 1: Những biến thức sau, biến thức vào đơn thức
a 2,5xy3; x + x3- 2y; x4; a + b
b - 0,7x3y2; x3 x2; -
4 x2yx3; 3,6
Giải: Những biến thức đơn thức
2,5xy3; x4; - 0,7x3y2; x3 x2; -
4 x2yx3; 3,6
(43)a 5x3yy2 c 5xy2(-3)y
b
4 a2b3 2,5a3 d 1,5p.q.4p3.q2
Gi¶i:
a 5x3yy2 = 5(y3.y.y2) = 5y6
b
4 a2b3 2,5a3 = (
4.2,5) a2.a3.b2 = 15
8 a5.b6 c 5xy2(-3)y = - 15xy3
d 1,5p.q.4p3.q2 = 1,5 (P.P3.q.q2) = 6p4.q3
Bài 3: Thực phép nhân phân thøc
a 5xy2 0,7y4z 40x2z3 b - 0,5ab(-1
5 a2bc) 5c2b3 c - 1,2ab.(- 10a2.b.c2) (- 1,5a2c); d - 0,32a7b4.(-3
8 a3b6)
Gi¶i:
a 5xy2 0,7y4z 40x2z3= 0,7 40.x.x2.y2.y4.z.z3 = 196x3y6z4
T¬ng tù ta cã:
b 3a3c3b5; c - 1,8a3b2c3; d 0,04a10b10
Bài 4: Phân tích biểu thức sau thành tích hai đơn thức có đơn
thøc lµ 20x5y2.
a - 120x5y4 b 60x6y2
c -5x15y3 d 2x12y10
Gi¶i:
a - 120x5y4 = - 6y2 20x5y2
b 60x6y2 = 3x 20x5y2
c - 5x6y2 = -
4 x 20x2y2 d 2x12y10 =
10 x7y8 20x5y2
Bài 5: Tính giá trị đơn thức sau: a 15x3y3z3 x = 2; y = - 2; z = 3
b -
3 x2y3z3 t¹i x = 1; y = -
2 ; z = - c
5 ax3y6z t¹i x = - 3; y = - 1; z =
Gi¶i:
a 15.23 (- 2)2 32 = 15 (- 8) = - 8640
b -
3 12 (− 2)
3
(- 2)3 = -
3 c
5 a (- 3)3 (- 1)6 = - 108
5 a
(44)Bài 6: Điền đơn thức thích hợp vào dấu
a 3x2y3 + = 5x2y3; b - 2x4 = - 7x4
c + + = x5y3
Gi¶i:
a 3x2y3 + 2x2y3 = 5x2y3
b - 5x4 - 2x4 = - 7x4
c
3 x5y3 +
3 x2y3 +
3 x5y3 = x5y3
Bài 7: Hãy xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng
3a2b; 2ab3; 4a2b2; 5ab3; 11a2b2; - 6a2b; -
5 ab3
Gi¶i: Ta cã: 3a2b; - 6a2b
2ab3; 5ab3; -
5 ab3 4a2b2; 11a2b2
Bµi 8: TÝnh tæng
a 8a - 6a - 7a; b 6b2 - 4b2 + 3b2; c 6ab - 3ab - 2ab
Gi¶i:
a 8a - 6a - 7a = - 5a; b 6b2 - 4b2 + 3b2 = 5b2; c 6ab - 3ab - 2ab = ab
Bài 9: Thu gọn đa thức
a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4
b 3xx4 + 4xx3 - 5x2x3 - 5x2x2
c 3a.4b2 - 0,8b 4b2 - 2ab 3b + b 3b2 - 1
d 5x2y2 - 5x.3xy - x2y + 6xy2
Gi¶i:
a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 = 2a2x3 - a2x3 - ax3 + ax3 - a4 + 2a4 = a2x3 + a4
b 3x5 - 5x5 + 4x4 - 5x4 = - 2x5 - x4
c 12ab2 - 6ab2 - 3,2b2 + 3b3 - = 6ab2 - 0,2b3 - 1
d 10xy2 + 6xy - 15x2y - x2y = 16xy2 - 16x2y
Bµi 10: Tìm giá trị biểu thức
a 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a víi a = - 2
b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y víi x = 1; y = - 1
Gi¶i:
Ta cã: 6a3 - 8a3 + 4a3 - a10 + a10 + a = 2a3 + a
a Víi a = - giá trị biểu thức là: 2(- 2)3 + (- 2) = - 16 - = - 18
b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y
Víi x = 1; y = - ta cã:
- 3.(1)6 (- 1)3 + 12 (- 1)2 - = + - =- 3
TiÕt 32:
Bµi 11: a Tại x = 5; y = - giá trị đa thức x3 - y3 là:
A - B 16; C 34; D 52 b Giá trị đa thức 3ab2 - 3a2b a = - 2; b = lµ:
(45)Giải:
a Ta có x = 5; y = - giá trị đa thức lµ 52 - (- 3)2 = 25 + 27 = 52
Vậy chọn D
b Tơng tự câu a Chọn D
Bài 12: a Bậc đa thøc 3x3y + 4xy5 - 3x6y7 +
2 x3y - 3xy5 + 3x6y7 lµ
A 4; b 6; C 13; D
b §a thøc
5,7x2y - 3,1xy + 8y5 - 6,9xy+ 2,3x2y - 8y5 cã bËc lµ:
A 3; B 2; C 5; D
Gi¶i: a Chän B; B.Chän A
Bµi 13: TÝnh hiƯu
a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) b (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3)
c (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3)
Gi¶i:
a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z b Lµm gièng c©u a
c 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy
Bài 14: Cho đa thức
A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1
B = - 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y
C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + 5
Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C xác định bậc đa thức
Gi¶i:
A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y
= 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: cã bËc hai
A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + + 3x2 - 4xy +
7y2 - 6x + 4y + = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: cã bËc hai
A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: cã bËc hai
Bài 15: Cho đa thức
A = 4x2 - 5xy + 3y2; B = 3x + 2xy + y2
C = - x2 + 3xy + 2y2
TÝnh A + B + C; B - C - A; C - A - B
Gi¶i:
A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2)
= 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2
B - C - A = (3x + 2xy + y2) - (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2)
= 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2
C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2)
= - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 - 3x2 - 2xy - y2 = - 8x2 + 6xy - 2y2
(46)A Mơc tiªu:
- Nhằm củng cố lại tính chất đờng trung tuyến , đờng phân giác, đờng trung trực, đờng cao tam giác tính chất tia phân giác góc, đờng trung trực mt on thng
- Rèn luyện kĩ vẽ hình dùng thớc, êke, compa
- Biết vận dụng kiến thức lí thuyết vào giải toán chøng minh
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bµi tËp:
TiÕt 33:
Bài 1: Gọi AM trung tuyến tam giác ABC, A/M/ đờng trung tuyến tam
gi¸c A/B/C/ biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chứng minh hai tam giác
ABC A/B/C/ nhau. A
Giải:
Xét ABC Δ A/B/C/ cã:
AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C
(Cã AM lµ trung tun cđa BC A/
vµ A/M/ lµ trung tun cđa B/C/)
AM = A/M/ (gt)
ΔABM=Δ A/B/M/ (c.c.c)
Suy B = B/ B/ M/ C/
V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt)
B = B/ (c/m trªn)
Suy ra: ΔABC=Δ A/B/C/
Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) trung tuyến AM, tia đối tia MA lấy điểm D
sao cho MD = MA a TÝnh sè ®o ABM
b Chứng minh ABC=BAD
c So sánh: AM BC
Giải:
a Xét hai tam giác AMC DMB cã: B D MA = MD; MC = MB (gt)
M1 = M2 (đối đỉnh) M
Suy ΔAMC=ΔDMB (c.g.c) ⇒ MCA = MBD (so le trong)
Suy ra: BD // AC mµ BA AC (A = 900) A C ⇒ BA BD ⇒ ABD = 900
b Hai tam giác vuông ABC BAD có: AB = BD (do ΔAMC=ΔDMB c/m trªn)
(47)c ΔABC=ΔBAD
⇒ BC = AD mµ AM =
2 AD (gt) Suy AM = BC
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM CN hai đờng trung tuyến tam
gi¸c ABC Chøng minh r»ng CN > BM
Gi¶i:
Gọi G giao điểm BM CN Xét ΔABC có BM CN hai đờng trung tuyến cắt G
Do đó: G tâm tam giác ABC Suy Gb =
3 BM; GC = CN
Vẽ đờng trung tuyến AI ΔABC A Ta có: A; G; I thẳng hàng
XÐt AIB AIC có:
AI cạnh chung, BI = IC G
AB < AC (gt) ⇒ AIB < AIC
XÐt ΔGIB vµ ΔGIC cã B I C GI c¹nh chung; BI = IC
AIC > AIB ⇒ GC > GB ⇒ CN > BM
Bài 4: Cho tam giác ABC có BM CN hai đờng trung tuyến CN > BM
Chøng minh r»ng AB < AC
Gi¶i: A
Gäi G giao điểm BM CN
ABC có: BM CN hai đờng trung tuyến N M Do đó: G tâm tam giác ABC G
Suy GB =
3 BM; GC = CN
Vẽ đờng trung tuyến AI tam giác ABC B I C I qua G (Tính chất ba đờng trung tuyến)
Ta cã: CN > BM mµ GB =
3 BM; GC =
3 CN nªn GB < GC XÐt ΔGIB=ΔGIC cã:
GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC XÐt ΔAIB vµ ΔAIC cã:
AI c¹nh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC
TiÕt 34:
Bµi 5: Trên hình bên có AC tia phân giác gãc BAD vµ CB = CD
Chøng minh: ABC = ADC B
Gi¶i: H
(48)CK AD (K ∈ AD)
C thuộc tia phân giác BAD K D Do đó: CH = CK
XÐt ΔCHB (CHB = 900 )
Vµ tam gi¸c CKD (CKD = 900)
Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trªn)
Do đó: ΔCHB=ΔCKD (cạnh huyền - góc vng) ⇒ HBC = KDC ⇒ ABC = ADC
Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đờng thẳng song song với
tia Ax, cắt tiâ đối tia AB D Chứng minh: xAB = ACD = ADC
Giải: D
Vì Ax tia phân giác góc BAC Nên xAB = xAC (1)
Ax // CD bị cắt đờng thẳng AC A hai góc xAC ACD góc so le
nªn xAC = ACD (2) x
hai góc xAB ADC góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3)
So s¸nh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC
Bµi 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ
M kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt BC N Từ N kẻ tia NY // Bx Chứng
minh: B
a xAB = BMN
b Tia Ny tia phân giác góc MNC N
Gi¶i:
a.Trong tam giác ABC đỉnh B cú:
ABx = xBC (vì Bx tia phân giác góc B) A M C BMN = ABx (2 gãc so le v× MN // BA)
VËy xBC = BMN x y
b BMN = MNy (2 góc so le Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị Ny // Bx)
Vậy MNy = yNC mà tia Ny tia nằm hai tia NM NC Do đó: Ny tia phân giác MNC
Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi I giao điểm hai tia phân giác hai góc A vµ B
Qua I vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN
Giải:
Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C
Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 gãc so le trong) A
C1 = C2 nªn C2 = I2
(49)Chøng minh t¬ng tù ta cã: MB = MI (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN
TiÕt 35:
Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 900) đờng trung trực cạnh AB, AC cắt
nhau D Chứng minh D trung điểm cạnh BC
Giải:
Vỡ D l giao điểm đờng trung trực
của cạnh AB AC nên tam giác A DAB DAC cân góc đáy
của tam giác DBA = DAB DAC = DCA
Theo tÝnh chÊt gãc ngoµi cđa tam gi¸c ta cã: B D C ADB = DAC + DCA
ADC = DAB + DBA
Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800
Từ suy ba điểm B, D, C thẳng hàng
H¬n DB = DC nên D trung điểm cña BC
Bài 10: Cho hai điểm A D nằm đờng trung trực AI đoạn thẳng BC D
nằm hai điểm A I, I điểm nằm BC Chứng minh: a AD tia phân giác góc BAC
b ABD = ACD A
Gi¶i:
a XÐt hai tam giác ABI ACI chúng có:
AI c¹nh chung
AIC = AIB = 1v
IB = IC (gt cho AI đờng trung trực
đoạn thẳng BC) B I C VËy ΔABI=ΔACI (c.g.c)
⇒ BAI = CAI
Mặt khác I trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB AC Suy ra: AD tia phân giác góc BAC
b Xét hai tam giác ABD ACD chóng cã: AD c¹nh chung
Cạnh AB = AC (vì AI đờng trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên)
(50)Bài 11: Hai điểm M N nằm đờng trung trực đoạn thẳng AB, N trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM
a Chứng minh: AB ssờng trung trực đoạn th¼ng MM/
b M/A = MB= M/B = MA
Gi¶i:
a Ta cã: AB MM/
(vì MN đờng trung trực đoạn M thẳng AB nờn MN AB )
Mặt khác N trung ®iĨm cđa MM/
(vì M/ nằm tia đối tia NM NM = NM/) A N B
Vậy AB đờng trung trực đoạn MM/.
b Theo g¶ thiÕt ta cã:
MM/ đờng trung trực đoạn thẳng AB nên
MA = MB; M/B = M/A M/
Ta lại có: AB đờng trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B
Từ suy ra: M/A = MB = M/B = MV
Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D cạnh AC cho :
DA + DB = AC
Gi¶i:
Vẽ đờng trung trực đoạn thẳng BC cắt cạnh AC D
D điểm cần xác định A
ThËt vËy
Ta có: DB = DC (vì D thuộc đờng trung D trực đoạn thẳng BC)
Do đó: DA + DB = DA + DC
Mµ AC = DA + DC (vì D nằm A C) B C Suy ra: DA + DB = AC
TiÕt 36:
Bµi 13:
a Gọi AH BK đờng cao tam giác ABc Chứng minh CKB = CAH
b Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH BK đờng cao Chứng minh CBK = BAH
Gi¶i:
a Trong tam giác AHC BKC có: K CBK CAH góc nhọn
Và có cạnh tơng ứng vuông góc với A CB AH vµ BK CA
VËy CBK = CAH
b Trong tam giác cân cho đờng cao AH B H C
cũng đờng phân giác góc A A
(51)Mặt khác: CAH CBK hai góc nhọn K có cạnh tơng ứng vuông góc nên
CAH = CBK Nh BAH = CBK
B H C
Bài 14: Hai đờng cao AH BK tam giác nhọn ABC cắt D
a TÝnh HDK C = 500
b Chøng minh DA = DB tam giác ABC tam giác cân
Giải: A
Vỡ hai góc C ADK nhọn có K cạnh tơng ứng vng góc nên C = ADK
Nhng HDK kỊ bï víi ADK nªnhai gãc
C vµ HDK lµ bï Nh vËy HDK = 1800 - C = 1300
b Nếu DA = DB DAB = DBA B H C Do hai tam giác vng HAB KBA bng
Vì có cạnh huyền cã mét gãc nhän b»ng
Từ suy KAB = HBA hai góc kề với đáy AB tam giác ABC Suy tam giác ABC cân với CA = CB
Bài 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đờng cao BN cắt AM
t¹i H
a Khẳng định CN AB hay sai?
A Đúng B Sai
b Tính số đo góc: BHM vµ MHN biÕt C = 390
A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390
B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410
Gi¶i: A
a Chän A
vì AM BC tam giác ABC câb A N Suy H trực tâm tam giác ABC H Do CH AB
b Chän D B M C Ta cã: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)
MHN = 1800 - C = 1410 (hai gãc cã cạnh tơng ứng vuông góc góc nhọn,
mét gãc tï)
Vậy ta tìm đợc BHM = 390; MHN = 1410
Bµi 16: Cho gãc xOy = 600 ®iĨm A n»m gãc xOy vÏ ®iĨm B cho Ox lµ
đ-ờng trung trực AC, vẽ điểm C cho Oy đđ-ờng trung trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai?
b TÝnh sè ®o gãc BOC
(52)Gi¶i:
a Chän A B
NhËn xÐt lµ: x
OA = OB Ox đờng trung trực AB OA = OC Oy đờng trung trực AC Do đó: OB = OC
b Chän C O A
Nhận xét là:
Tam giác OAB cân O nên O1 = O2
Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 y
Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3
= 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 C
VËy ta cã: BOC = 1200
Bµi 17: Chøng minh tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn
nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ
Giải:
Xột tam giỏc ABC cỏc đờng trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G
Gi¶ sư AB < AC P N
Ta cần chứng minh CP > BN G ThËt vËy
Víi hai tam gi¸c ABM vµ ACM B M C Ta cã: MB = MC (vì M trung điểm BC)
AM chung: AB < AC đó: M1 < M2
Với hai tam giác GBM GCM ta có: MB = MC (M TĐ BC); GM chung Do đó: GB < GC ⇔
3 GB <
3 GC ⇔ BN < CP
TiÕt 37 - 39: Céng trõ ®a thøc mét biÕn
A Mơc tiªu:
- BiÕt céng trõ đa thc biến
- Rèn luyện kĩ xếp đa thức theo luỹ thừa tăng giảm biến tính tổng, hiệu đa thức
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bài tập:
Tiết 37:
Bài 1: Tìm bậc cđa ®a thøc sau:
a 5x6 - 2x5 + x4 - 3x3 - 5x6 + x2 + 5
b 15 - 2x2 + x3 + 2x2 - x3 + x
c 3x7 + x4 - 3x7 + x5 + x +
d - 2004
(53)a - 2x5 + x4 - 3x3 + x2 + cã bËc lµ 5
b 15 + x cã bËc lµ
c x5 + x4 + x + cã bËc lµ 5
d - 2004 cã bËc lµ
Bài 2:
a Viết đa thức sau theo luỹ thừa tăng biến tìm bậc chúng f(x) = - 6x4 + 2x3 + x + 5x4 + x2 + 3x3
g(x) = x5 + x4 - 3x + - 2x4 - x5
b Viết đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần biến tìm hệ số bậc cao nhất, hƯ sè tù cđa chóng
h(x) = 5x2 + 9x5 - 7x4 - x2 - 6x5 + x3 + 75 - x
g(x) = 2x3 + - 7x4 - 6x3 + 3x2 - x5
Gi¶i: a Ta cã:
f(x) = + x + x2 + 5x3 - x4 cã bËc lµ 4
g(x) = - 3x - x4 cã bËc lµ 4
b Ta cã: h(x) = 3x5 - 7x4 + x3 + 4x2 - x + 75
HÖ sè bËc cao nhÊt cđa h(x) lµ 3, hƯ sè tù lµ 75 g(x) = - x5 - 7x4 - 4x3 + 3x2 + 5
HÖ sè bËc cao nhÊt cđa g(x) lµ - 1, hƯ sè tù
Bài 3: Đơn giản biểu thức sau:
a (a2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a2 - 1,2a) - (1,6a2 - 2a)
b (y2 - 1,75y - 3,2) - (0,3y2 + 4) - (2y - 7,2)
c 6x2 - 2x2 - (7x2 + 4x + 1) - (x - 2x2 - 1)
d -(2a3 - a2 + a) + 3a3 - 4a - (5a2 - a3)
Gi¶i:
a a2 + 0,8a2 - 1,6a2 - 0,45a - 1,2a + 2a + 1,2 = 0,2a2 + 0,35a + 1,2
b y2 - 0,3y2 - 1,75y - 2y - 3,2 + 7,2 = 0,7y2 - 3,75y + 4
c 4x2 - 7x2 + 2x2 - 4x - x - + = - x2 - 5x
d - 2a3 + 3a3 + a3 + a2 - 5a2 - a - 4a = 2a3 - 4a2 - 5a
Bµi 4: a Chøng minh r»ng hiƯu hai ®a thøc
0,7x4 + 0,2x2 - vµ - 0,3x4 +
5 x2 - luôn dơng với giá trị thực x b Tính giá trị biÓu thøc
(7a3 - 6a3 + 5a2 + 1) + (5a3 + 7a2 + 3a) - (10a3 + a2 + 8a) víi a = - 0,25
Gi¶i: a Ta cã:
(0,7x4 + 0,2x2 - ) - (0,3x4 +
5 x2 - 8) = 0,7x4 + 0,2x2 - + 0,3x4 -
5 x2 + = x4 + 3∀x∈R
(54)= - 4a3 + 11a2 - 5a + 1
Víi a = - 0,25 giá trị biểu thức là: 4(- 0,25)3 + 11 (- 0,25)2 - 5.(- 0,25) + 1
= 4(- 0,015625) + 11 (- 0,0625) - 1,25 + = 0,0625 - 0,6875 - 0,25 = - 0,875
Bài 5: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị
của biÕn a (3
5x
2−0,4x −0,5
)−(1−2
5x+0,6x
2
)
b 1,7 - 12a2 - (2 - 5a2 + 7a) + (2,3 + 7a2 + 7a)
c - b2 - (5b - 3b2) + (1 + 5b - 2b2)
Gi¶i: Ta cã: a
5 x2 - 0,4x - 0,5 - +
5 x - 0,6x2 = - 1,5 b 1,7 - 12a2 - + 5a2 - 7a + 2,3 + 7a2 + 7a
= (- 12a2 + 5a2 + 7a2) - 7a + 7a + 1,7 - + 2,3 = 2
c - b2 - 5b + 3b2 + + 5b - 2b2
= - b2 + 3b2 - 2b2 - 5b + 5b + + = 2
TiÕt 38:
Bµi 6: Cho đa thức
f(x) = + 3x - + 3x4; g(x) = - x3 + x2 - x + - x4
TÝnh f(x) + g(x); f(x) - g(x)
Gi¶i: f(x) + g(x) = + 3x - + 3x4 + (- x3 + x2 - x + - x4)
= 2x4 + x2 + 2x - 1
T¬ng tù: f(x) - g(x) = 4x4 + 2x3 - x2 + 4x - 3
Bµi 7: tÝnh tỉng f(x) + g(x) vµ hiƯu f(x) - g(x) víi a f(x) = 10x5 - 8x4 + 6x3 - 4x2 + 2x + + 3x6
g(x) = - 5x5 + 2x4 - 4x3 + 6x2 - 8x + 10 + 2x6
b f(x) = 15x3 + 7x2 + 3x -
2 + 3x4 g(x) = - 15x3 - 7x2 - 3x +
2 + 2x4
Gi¶i:
a Ta cã f(x) + g(x) = 6x6 + 5x5 - 6x4 + 2x3 + 2x2 - 6x + 11
f(x) - g(x) = x6 + 15x5 - 10x4 + 10x3 - 10x2 + 10x - 9
b f(x) + g(x) = 5x4
f(x) - g(x) = x4 + 30x3 + 14x2 + 6x - 1
Bài 8: Cho đa thức
f(x) = 2x4 - x3 + x - + 5x5
(55)h(x) = x2 + x + + x3 + 3x4
H·y tÝnh: f(x) + g(x) + h(x); f(x) - g(x) - h(x)
Gi¶i:
f(x) + g(x) + h(x) = 8x5 + 5x4 + 6x2 + 6x
f(x) - g(x) - h(x) = 2x5 - x4 - 2x3 - 6x2 - 4x - 6
Bài 9: Đơn giản biểu thức:
a (0,5a - 0,6b + 5,5) - (- 0,5a + 0,4b) + (1,3b - 4,5) b (1 - x + 4x2 - 8x3) + (2x3 + x2 - 6x - 3) - (5x3 + 8x2)
Gi¶i:
a 0,5a - 0,6b + 5,5 + 0,5a - 0,4b + 1,3b - 4,5 = a + 0,3b +
b - x + 4x2 - 8x3 + 2x3 + x2 - 6x - - 5x3 - 8x2 = - 11x3 - 3x2 - x - 2
Bµi 10: Chøng minh r»ng: A + B - C = C - B - A
NÕu A = 2x - 1; B = 3x + vµ C = 5x
Gi¶i:
A + B - C = 2x - + 3x + - 5x = 5x - - + = C - B - A = 5x - 3x + - 2x - = 5x - 3x - 2x + - = VËy A + B - C = C - B - A
TiÕt 39:
Bài 11: Chứng minh hiệu hai đa thức
13 4x
4−1
8x
3−11
4x
2
+2
5x+
7 vµ 0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x -
7 nhận giá trị dơng
Giải:
Ta cã: ( 13 x
4
−1
8x
3
−11 4x
2
+2
5x+
7 ) - (0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x -3
7 )=
= x4 + x2 + x
Bài 12: Cho đa thức
P(x) = x2 + 5x4 - 3x3 + x2 + 4x4 + 3x3 - x + 5
Q(x) = x - 5x3 - x2 - x4 + 4x3 - x2 + 3x - 1
a Thu gän xếp đa thức theo luỹ thừa gi¶m cđa biÕn b TÝnh P(x) + Q(x); P(x) - Q(x)
Gi¶i:
a P(x) = - x + 2x2 + 9x4
Q(x) = - + 4x - 2x2 - x3 - x4
b P(x) + Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) + (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) = 10x4 - x3 + 3x + 4
P(x) - Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) - (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) =
= 9x4 + 2x2 - x + - x4 + x3 + 2x2 - 4x + = 8x4 + x3 + 4x2 - 5x + 6
Bài 13: Cho hai đa thức; chọn kết
P = 3x3 - 3x2 + 8x - vµ Q = 5x2 - 3x + 2
a TÝnh P + Q
A 3x3 - 2x2 + 5x - 3; C 3x3 - 2x2 - 5x - 3
(56)b TÝnh P - Q
A 3x3 - 8x2 - 11x - 7; C 3x3 - 8x2 + 11x - 7
B 3x3 - 8x2 + 11x + 7; D 3x2 + 8x2 + 11x - 7
Gi¶i: a Chän C; B.Chän B
Bài 14: Tìm đa thức A chọn kết
a 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2
A A = 2x2 - 3y2 + x2y2; C A = 2x2 - 3y2 - x2y2
B A = 2x2 - 3y2 + 5x2y2; D 2x2 - 3y2 - x2y2
b 2A - (xy + 3x2 - 2y2) = x2 - 8y2 + xy
A A = x2 - 5y2 + 2xy; C A = 2x2 - 5y2 + 2xy
B A = x2 - 5y2 + xy; D A = 2x2 - 5y2 + xy
Gi¶i: a Chän C
Ta cã: 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2
⇔ 2A = (6x2 - 5y2 - 2x2y2) - (2x2 + y2) = 4x2 - 6y2 - 2x2y2 ⇔ A = 2x2 - 3y2 - x2y2
Vậy đa thức cần tìm là: A = 2x2 - 3y2 - x2y2
b Chän D
Ta cã 2A - (xy + 3x2 - 2y2) = x2 - 8y2 + xy
⇔ 2A = (x2 - 8y2 + xy) + (xy + 3x2 - 2y2) = 4x2 - 10y2 + 2xy ⇔ A = 2x2 - 5y2 + xy
Vậy đa thức cần tìm lµ A = 2x2 - 5y2 + xy
Bµi 15: Cho hai ®a thøc sau:
f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
a TÝnh f(x) + g(x)
A f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn
B f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an - bn
C f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x + an + bn
D f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x - an + bn
b TÝnh f(x) - g(x)
A f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn
B f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)+ an - bn
C f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x + an + bn
D f(x) - g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an - bn
Gi¶i: a Chän A
Ta cã: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn
b.Chän B
Ta cã: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
(57)TiÕt 40: NghiƯm cđa đa thức:
A Mục tiêu:
- Hiểu khái niệm nghiệm đa thức
- Biết cách kiểm tra xem số a có phải nghiệm đa thức hay không, cách kiểm tra xem P(a) có b»ng kh«ng hay kh«ng
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề
C Bµi tËp TiÕt 40:
Bài 1: Tìm nghiệm đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3)
A x = ± 1; B, x = ±√2 ; C x = ±√3 ; D x =
±
Gi¶i: Chän C
NghiƯm cđa ®a thøc: (x2 + 2) (x2 - 3) tho¶ m·n
(x2 + 2) (x2 - 3) = ⇔
x2+2=0
¿
x2−2=0⇔x2=3⇔x=±√3 ¿
Bài 2: Tìm nghiệm ®a thøc x2 - 4x + 5
A x = 0; B x = 1; C x = 2; D vô nghiệm b Tìm nghiệm đa thức x2 + 1
A x = - 1; B x = 0; C x = 1; D v« nghiƯm c Tìm nghiệm đa thức x2 + x + 1
A x = - 3; B x = - 1; C x = 1; D vô nghiệm
Giải: a Chän D
V× x2 - 4x + = (x - 2)2 + + > 1
Do đa thức x2 - 4x + khơng có nghiệm
b Chän D
v× x2 + + > 1
Do đa thức x2 + khơng có nghiệm
c Chän D
v× x2 + x + =
(x+1
2)
2
+3
4≥0+ 4>
3
Do đ thức x2 + x + khơng có nghiệm
Bµi 3: a Trong mét hợp số {1;1;5;5} số nghiệm đa thức, số
không nghiệm đa thức P(x) = x4 + 2x3 - 2x2 - 6x + 5
b Trong tËp hỵp sè {1; −1;3; −3;7;−7;1
2; −
2} sè nµo lµ nghiƯm cđa đa thức, số
nào không nghiệm đa thøc
Gi¶i:
a Ta cã: P(1) = + - - + = P(-1) = - - + + =
(58)P(- 5) = 625 - 250 - 50 + 30 + = 360
VËy x = lµ nghiƯm đa thức P(x), số 5; - 5; - không nghiệm đa thức
b Làm tơng tự câu a Ta có: - 3;
2 nghiệm đa thức Q(x)
Bài 4: Tìm nghiệm đa thức sau:
f(x) = x3 - 1; g(x) = + x3
f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
Gi¶i:
Ta cã: f(1) = 13 - = - = 0, vËy x = lµ nghiƯm cđa ®a thøc f(x)
g(- 1) = + (- 1)3 = - 1, vËy x = - nghiệm đa thức g(x)
g(- 1) = (- 1)3 + 3.(- 1)2 + (- 1) + = - + - + = 0
VËy x = lµ nghiƯm đa thức f(x)
Bài 5:
a Chứng tá r»ng ®a thøc f(x) =
3 x4 + 3x2 + kh«ng cã nghiƯm
b Chøng minh r»ng ®a thøc P(x) = - x8 + x5 - x2 + x + kh«ng cã nghiƯm
Giải:
a Đa thức f(x) nghiệm x = a f(a) =
4 a4 + 3a2 + d-ơng
b Ta cã: P(x) = x5(1 - x3) + x(1 - x)
NÕu x th× - x3 0; - x nªn P(x) < 0
NÕu x th× P(x) = - x8 + x2 (x3 - 1) + (x - 1) < 0
(59)