TONG HOP 100 DE THI HSG TOAN 7 CO DAP AN

Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.. 1, Chứng minh BD = CE..[r]

Phòng giáo dục đào tạo Thanh Chơng Trờng THCS Thanh Mỹ

Gi¸o ¸n

BDhsg to¸n 7 GV: Nguyễn Văn Tú

NM HC 2010-2011 Đề số 1:

đề thi học sinh giỏi huyện

M«n Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:

a)

1

.16

n n



; b) 27 < 3n < 243 Bµi 2. Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

Bµi 3. a) T×m x biÕt: |2x+3|=x+2

b) Tìm giá trị nhỏ A = |x −2006|+|2007− x| Khi x thay đổi

Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

§Ị sè 2:

đề thi học sinh giỏi huyện

Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phót)

Bài 1:(4 điểm)

a) Thực phép tính:

   

12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

2

 

 

 

b) Chứng minh : Với số nguyên dương n :

2

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a

 

1

3,

3 5

x    

b    

1 11

7 x x

x   x  

Bài 3: (4 điểm)

a) Số A chia thành số tỉ lệ theo

2 : :

5 6 Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A

b) Cho a c

c b Chứng minh rằng:

2

2

a c a

b c b

  

Bài 4: (4 điểm)

a) AC = EB AC // BE

b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia

phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC

b) AM = BC

……… Hết ………

Đáp án đề 1tốn 7

Bµi 1.Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu ®iĨm)

a)

1

.16

n n



; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = 1

b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4 Bµi 2. Thùc hiƯn phÐp tÝnh: (4 ®iĨm)

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

=

1 1 1 1 1 (1 49)

( )

5 9 14 14 19 44 49 12

     

       

=

1 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( )

5 49 89 5.4.7.7.89 28

 

Bài 3. (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: |2x+3|=x+2

Ta cã: x + => x -

+ NÕu x -

2 th× |2x+3|=x+2 => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n)

+ NÕu - x < -

2 Th× |2x+3|=x+2 => - 2x - = x + => x = -

3 (Tho¶

m·n)

+ NÕu - > x Kh«ng cã giá trị x thoả mÃn

b) Tìm giá trị nhỏ A = |x −2006|+|2007− x| Khi x thay đổi

+ NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007

Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có:

x – y =

3 (ứng với từ số 12 đến số đông hồ)

x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x

y=

12 =>

x

12=

y

1=

x − y

11 = 3:11=

1 33

 x = 12

33(vòng)=>x=

11 (giê)

Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện

một đờng thẳng

11 giê

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

(4 ®iĨm mỗi)

Đờng thẳng AB cắt EI F Δ ABM = Δ DCM v×:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (®®) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID AC

Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC)

=> EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB

D B

A

H C

I F

E

=>AE = BC

§Ị sè 2:

đề thi học sinh giỏi huyện

Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phót)

Bài 1:(4 điểm)

a) Thực phép tính:

   

12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

2

 

 

 

b) Chứng minh : Với số nguyên dương n :

2

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a

 

1

3,

3 5

x    

b    

1 11

7 x x

x  x 

   

Bài 3: (4 điểm)

c) Số A chia thành số tỉ lệ theo

2 : :

5 6 Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A

d) Cho a c

c b Chứng minh rằng:

2

2

a c a

b c b

  

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:

a) AC = EB AC // BE

b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia

phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD phân giác góc BAC

……… Hết ………

Đáp án đề toán 7

Bài 1:(4 i m):đ ể

a) (2 điểm)

   

 

 

 

 

 

10

12 10 12 12 10

6 12 12 9 3

2

12 10

12 3

10 12

12

2 25 49 3 7

2 3 7

125.7 14

2

2

2

5

2

1 10

6

A       

 

 

 

 

 



 



  

b) (2 điểm)

3n2 2n2 3n 2n

   = 3n23n 2n2 2n =3 (3n 21) (2 n 21)

=3 10 10 2n  n  n  n110 = 10( 3n -2n)

Vậy 3n2 2n2 3n 2n

    10 với n số nguyên dương

Bài 2:(4 i m)đ ể

 

1 23

1 2

3

2 3 3

1

2 3 3

1 3, 2 16

3 5 5

1 14

3 5

1 x x x x x x x

x  

                                    

b) (2 điểm)

   

   

1 11

1 10

7

7

x x x x x x x                

  1  10

1

10

7

1 ( 7)

7

( 7)

7

10 x x x x x x x x

x  x

                                    

Bài 3: (4 i m)đ ể

a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c =

2 : :

5 6 (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1) 

2

5

a b c

 

= k 

2

; ;

5

Do (2) 

2

( ) 24309

25 16 36

k   

 k = 180 k =180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30 Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237 b) (1,5 điểm)

Từ

a c

c b suy c2 a b.



2 2

2 2

a c a a b

b c b a b

 



 

=

( ) ( ) a a b a b a b b

  

Bài 4: (4 điểm)

a/ (1điểm) Xét AMC EMB có :

AM = EM (gt )



AMC = EMB (đối đỉnh )

BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5

điểm

 AC = EB

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE 0,5 điểm

b/ (1 điểm )

Xét AMI EMK có :

AM = EM (gt )



MAI = MEK ( AMCEMB )

AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c )

Suy AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

 EMK + IME = 180o

K

H

E M

B

A

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o



HBE

 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o



HEM

 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o



BME góc ngồi đỉnh M HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngồi tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)

suy DAB DAC

Do DAB 20 : 100 

b) ABC cân A, mà A200(gt) nên

 (1800 20 ) : 800

ABC  

ABC nên DBC600

Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600 200.

Tia BM phân giác góc ABD nên ABM 100

Xét tam giác ABM BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

§Ị sè 3:

đề thi hc sinh gii

Môn Toán Lớp (Thời gian làm 120 phút)

Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a

Câu 2: Tìm phân số có tử biết nã lín h¬n

9 10



nhỏ

9 11

Câu 3. Cho ®a thøc

P (x) = x ❑2 + 2mx + m

❑2 vµ

200

M A

Q (x) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biÕt:



 

x y

a / ; xy=84

1+3y 1+5y 1+7y b/

12 5x 4x

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thøc sau : A = |x+1| +5

B = x

+15

x2

+3

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai on thng AD

vuông góc AB; AE vuông góc AC

a Chứng minh: DC = BE vµ DC BE

b Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABC = EMA

c Chøng minh: MA BC

Đáp án đề toỏn

Câu 1: Tìm tất số nguyªn a biÕt a 4 0 a 4

=>a = 0; 1; 2; ; * a = => a =

* a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = hc a = - * a = => a = a = -

Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn

9 10

nhá h¬n

9 11



Gäi mÉu phân số cần tìm x Ta có:

9 10 x 11

 

 

=>

63 63 63 709x 77

  => -77 < 9x < -70 V× 9x 9 => 9x = -72

Vậy phân số cần tìm

7

Câu 3. Cho đa thức

P (x) = x ❑2 + 2mx + m

❑2 vµ Q (x) = x ❑2 + (2m+1)x + m

❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

P(1) = 12 + 2m.1 + m2

= m2 + 2m + 1

Q(-1) = – 2m – +m2

= m2 – 2m

Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4

C©u 4: Tìm cặp số (x; y) biết:

x y

a / ; xy=84

3 =>

2 84

4 49 3.7 21

x y xy

   

=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14

=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4

Do x,y cïng dÊu nªn:

 x = 6; y = 14

 x = -6; y = -14

 

1+3y 1+5y 1+7y b/

12 5x 4x

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã:

     

     

   

1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y

12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12

=>

2

5 12

y y

x  x

 

=> -x = 5x -12

=> x = Thay x = vào ta đợc:

1

12

y y

y



 



=>1+ 3y = -12y => = -15y => y =

1 15



VËy x = 2, y =

1 15



thoả mãn đề

 A = |x+1| +5

Ta cã : |x+1| DÊu = x¶y ⇔ x= -1

⇒ A

DÊu = x¶y ⇔ x= -1

VËy: Min A = ⇔ x= -1

 B = x

2 +15

x2+3 =

(x2+3)+12

x2+3 = +

12

x2+3

Ta cã: x ❑2 DÊu = x¶y ⇔ x = 0

⇒ x ❑2 + ( vÕ d¬ng )

⇒ 12

x2+3

12

3 ⇒

12

x2+3 ⇒ 1+

12

x2+3 1+

⇒ B

DÊu = x¶y ⇔ x =

VËy : Max B = ⇔ x =

C©u 6:

a/

XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt)

AE = AC (gt)

DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC )

=> DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE

XÐt AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®)

E1 = C1( DAC = BAE)

=> EAI = CTI

=> CTI = 900 => DC  BE

b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME

mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1)

Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cïng phÝa )

mµ BAC + DAE = 1800

=> BAC = AEM ( )

c/ Kéo dài MA cắt BC H Tõ E h¹ EP  MH XÐt AHC vµ EPA cã:

CAH = AEP ( cïng phơ víi gPAE ) AE = CA ( gt)

PAE = HCA ( ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA

=> EPA = AHC => AHC = 900

=> MA  BC (®pcm)

Đề số 4: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Câu ( điểm)

Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- [6.(−1

3)

2

−3 (−1

3)+1]:(− 3−1)

b- (

2 3)

3

.(−3

4)

2

.(−1)2003

(25)

2

.(−

12)

3

C©u ( ®iĨm)

a- Tìm số ngun a để a

2 +a+3

a+1 số nguyên b- Tìm sè nguyªn x,y cho x - 2xy + y =

Câu ( điểm)

a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th× a

b= c

d víi b,d kh¸c

b- Cần số hạng tổng S = 1+2+3+… để đợc số có ba chữ số giống

C©u ( ®iĨm)

Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy

®iĨm D cho CD = 2CB TÝnh gãc ADE

C©u ( 1điểm)

Tìm số nguyên tố thoả m·n : x2 - 2y2 =1

Đáp án đề

1.a Thực theo bớc kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm

1.b Thực theo bớc kết 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm

2.a

Ta cã : a2+a+3

a+1 =

a(a+1)+3

a+1 =a+

3

a+1 a số nguyên nên a2+a+3

a+1 số nguyên

3

a+1 số nguyên hay a+1 ớc ta có bảng sau :

a+1 -3 -1

a -4 -2

VËy víi a {−4,−2,0,2} th× a

+a+3

a+1 số nguyên

0,25

0,25 0,25 0,25

2.b Tõ : x-2xy+y=0

Hay (1-2y)(2x-1) = -1

Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trờng hợp sau :

¿

1−2y=1

2x −1=−1

⇒

¿x=0

y=0 ¿{

¿

Hc

¿

1−2y=−1

2x −1=1

⇒

¿x=1

y=1 ¿{

¿

Vậy có cặp số x, y nh thoả mÃn điều kiện đầu

0,25

0,25 0,25 0,25

3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy a

b= c

d ( §PCM)

0,5 0,5

3.b Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0)

Gọi số số hạng tổng n , ta cã :

n(n+1)

2 =111a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a

VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mÃn )

Do n=37 n+1 = 37

Nếu n=37 n+1 = 38 lúc n(n+1)

2 =703 kh«ng tho¶ m·n

Nếu n+1=37 n = 36 lúc n(n+1)

2 =666 tho¶ m·n

Vậy số số hạng tổng 36

0,5

4

B C D

H

A

Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300

Nªn CH = CD

2 ⇒ CH = BC

Tam giác BCH cân C CBH = 300 ABH = 150

Mµ BAH = 150 nên tam giác AHB cân H

Do tam giác AHD vng cân H Vậy ADB = 450+300=750

0,5

0,5 1,0 1,0

5 Tõ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho x ngun tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn

Nếu x không chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2

chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho x2=19

kh«ng tho¶ m·n

Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu (2;3)

0,25 0,25

0,25 0,25

Đề số 5: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (3đ):

1, Tính: P =

1 1 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



   

3, Cho: A =

3 2

2

3 0, 25

x x xy

x y

  



Tính giá trị A biết

1 ; x y

số nguyên âm lớn

Bài (1đ):

Tìm x biết:

3x + 3x + + 3x + = 117

Bài (1đ):

Một thỏ chạy đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc thỏ đoạn đường lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ hai đoạn đường ?

Bài (2đ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng:

1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 1200

Bài (3đ):

Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm

1, ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều

2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E

Chứng minh: AE = AB

Đề số 6: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (4đ):

Cho đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +

3

16

1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x =  0, 25 3, Có giá trị x để M(x) = không ?

Bài (4đ):

3a = 2b; 5b = 7c 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết:

2x  x  2 x

Bài (4đ):

Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức 1, P =

2

6 m có giá trị lớn

2, Q =

8 n n



 có giá trị nguyên nhỏ Bài (5đ):

Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB, AC D, E

1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD BD theo b, c

Bài (3đ):

Cho ∆ABC cân A, BAC1000 D điểm thuộc miền ∆ABC cho  10 ,0  200

DBC  DCB .

Tính góc ADB ?

Đề số 7: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (3đ): Tính: 1,

3

1 1

6 1

3 3

       

   

       

     

 

 

2, (63 + 62 + 33) : 13 3,

9 1 1 1 1

10 90 72 56 42 30 20 12 2        

Bài (3đ):

1, Cho

a b c

b c a a + b + c ≠ 0; a = 2005.

Tính b, c

2, Chứng minh từ hệ thức

a b c d a b c d

 



  ta có hệ thức:

a c b d

Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

Bài (3đ):

Vẽ đồ thị hàm số: y =

2 ;

;

x x

x x

 



 

Bài (3đ):

Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100

Bài (4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I

Chứng minh: ID = IE

Đề số 8: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (5đ):

1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729

2, Tính :

A = |4

9−(

√2 )

2

| + |0,(4)+

1 3−

2 5−

3

3− 5−

6 7|

Bài (3đ):

Cho a,b,c R a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: ac =

a+2007b¿2 ¿

b+2007c¿2 ¿ ¿ ¿ Bài (4đ):

Ba đội công nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ?

Câu (6đ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ∆ABC ∆ ABD ACE 1, Chứng minh: BE = DC

2, Gọi H giao điểm BE CD Tính số đo góc BHC

Cho m, n N p số nguyên tố thoả mãn: m−p1 = m+pn Chứng minh : p2 = n + 2.

Đề số 9: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm 120 phút)

Bài 1: (2 điểm)

a, Cho A=(0,8 7+0 82).(1,25 7−4

5 1,25)+31,64

B=(11,81+8,19) 0,02

9 :11,25

Trong hai số A B số lớn lớn lần ?

b) Số A=101998−4 cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hết cho không ?

Câu 2: (2 điểm)

Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3:

Tính qng đờng ngời tới lúc gặp ?

C©u 3:

a) Cho f(x)=ax2+bx+c víi a, b, c lµ số hữu tỉ

Chng t rng: f(−2).f(3)≤0 Biết 13a+b+2c=0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A=

6− x có giá trị lớn

Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa mặt

phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm hai nửa

mặt phẳng khác bờ AB

a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm chữ số tËn cïng cña

A=195

1890

+29

Đề số 10: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Câu 1: (2 điểm)

a) Tính A=(1,5+10,75

2,5+5

3−1,25

+

0,375−0,3+

11+ 12

−0,625+0,5−

11− 12)

:1890 2005+115

b) Cho B=1

3+ 32+

1 33+

1 34+ +

1 32004+

1 32005 Chøng minh r»ng B<1

2

Câu 2: (2 điểm)

a) Chứng minh nÕu a

b= c d th×

5a+3b

5a −3b=

5c+3d

5c −3d

(giả thiết tỉ số có nghĩa) b) Tìm x biết: x −1

2004+

x −2 2003−

x −3 2002=

x −4 2001

C©u 3: (2®iĨm)

a) Cho ®a thøc f (x)=ax2+bx+c víi a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên

Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên

b) di cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần lợt M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN trung điểm I MN

c) Đờng thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay i trờn cnh BC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số 7n−8

Đề số 11: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Câu 1: (2 điểm) a) Tính:

A = (0,75−0,6+3

7+ 13):(

11 +

11

13+2,75−2,2)

B = (10√1,21

7 +

22√0,25 ):(

5

√49+

√225 )

b) Tìm giá trị x : |x+3|+|x+1|=3x

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M= a

a+b+

b b+c+

c

c+a không số nguyên b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh rằng: ab+bc+ca0

Câu 3: (2 điểm)

a) Tìm hai số dơng khác x, y biết tổng, hiệu tích chúng lần lợt tỉ lệ nghịch với 35; 210 12

b) Vn tốc máy bay, ô tô tàu hoả tỉ lệ với số 10; Thời gian máy bay bay từ A đến B thời gian ô tô chạy từ A đến B 16

Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mt bao lõu ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ

Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.

C©u 5: (1 ®iĨm)

Chøng minh r»ng:

5+ 15+

1 25+ +

1 1985<

9 20

Đề số 12: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài 1: (2 điểm)

a) Chng minh rng vi số n nguyên dơng có: A= 5n

(5n+1)6n(3n+2)91

b) Tìm tất số nguyên tố P cho P2

+14 số nguyên tố

Bài 2: ( điểm)

a) Tìm số nguyªn n cho n2+3⋮n−1 b) BiÕt bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

Chøng minh r»ng: a

x= b y=

c z

Bài 3: (2 điểm)

An v Bách có số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ảnh hoa An số bu ảnh thú rừng Bách

+ Bách nói với An Nếu cho bạn bu ảnh thú rừng số bu ảnh bạn gấp lần số bu ảnh

+ An trả lời: cho bạn bu ảnh hoa số bu ảnh gấp bốn lần số bu ảnh bạn

Bài 4: (3 điểm)

Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF

a) Chøng minh r»ng DE phân giác ADB b) Tính số ®o gãc EDF vµ gãc BED

Bµi 5: (1 điểm)

Tìm cặp số nguyên tố p, q tho¶ m·n:

52p

+1997=52p

2

+q2

Đề số 13: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: (2 ®iĨm) TÝnh: (

131 4−2

5 27−10

5 6).230

1 25+46

3 (1

10 + 10

3 ):(12 314

2 7)

Bài 2: (3 điểm)

a) Chøng minh r»ng: A=3638+4133 chia hÕt cho 77

b) Tìm số nguyên x để B=|x −1|+|x −2| đạt giá trị nhỏ

c) Chøng minh rằng: P(x) ax3+bx2+cx+d có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên

Bài 3: (2 ®iĨm)

a) Cho tØ lƯ thøc a

b= c

d Chøng minh r»ng:

ab

cd=

a2−b2

c2− d2 vµ ( a+b

c+d)

=a

2 +b2

c2+d2 b) Tìm tất số nguyên dơng n cho: 2n

1 chia hết cho

Bài 4: (2 điểm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh gúc PCQ bng 450.

Bài 5: (1 điểm)

Chøng minh r»ng: 3a+2b⋮17⇔10a+b⋮17 (a, b  Z ) §Ị sè 14:

đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên dơng a lớn nhÊt cho 2004! chia hÕt cho 7a b) TÝnh P=

1 2+

1 3+

1 4+ .+

1 2005 2004 + 2003 + 2002

3 + + 2004

Bµi 2: (2 ®iĨm)

Cho x

y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

chøng minh biểu thức sau có giá trị nguyên P=x+y

z+t +

y+z

t+x +

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bµi 3: (2 ®iĨm)

Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11 km để đến C Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C lúc A, B, C thẳng hàng

Bµi 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC (H  BC) VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ C

khác phía AC) Kẻ EM FN vng góc với đờng thẳng AH (M, N  AH)

EF cắt AH O

Chứng minh O trung điểm EF

Bài 5: (1 điểm)

Đề số 15: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Câu 1: (2 điểm) Tính : A=

1 6− 39+ 51 8− 52+ 68

; B=512−512

2 − 512

22 − 512

23 − − 512

210

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = b) T×m x, y, z biÕt: x

z+y+1=

y x+z+1=

z

x+y −2=x+y+z (x, y, z )

Câu 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có: S=3n+2−2n+2+3n−2n chia hÕt cho 10

b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: x −2004¿2=23− y2

7¿

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, AK trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; tia Ax lấy điểm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB lấy điểm N thuộc Ay cho AN = AB Lấy điểm P tia AK cho AK = KP Chøng minh:

a) AC // BP b) AK MN

Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b, c số đo cạnh tam giác vuông với c số đo c¹nh hun Chøng minh r»ng:

a2n

+b2n≤ c2n ; n số tự nhiên lớn

Đề số 16: đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm 120 phút)

Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh:

A=

83

1 4+3

16 19

1 (214

17 −2 34) 34

: 24

B=1

3− 8− 54 − 108− 180− 270− 378

C©u 2: ( 2, ®iĨm)

1) Tìm số ngun m :

a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) |3m−1|<3

2) Chøng minh r»ng: 3n+2

−2n+4

+3n+2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyên dơng

Câu 3: (2 điểm)

x 2= y ; y 4= z

5 vµ x2− y2=−16

b) Cho f(x)=ax2+bx+c Biết f(0), f(1), f(2) số nguyên Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyờn vi mi x nguyờn

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)

a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM

C©u 5: (1 điểm)

Cho 2n+1 sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n−1 hợp số.

s 17: thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

A=

(1+2+3+ +99+100)(1

2− 3− 7−

9)(63 1,2−21 3,6) 1−2+3−4+ +99−100

B=(

1 14 −

√2 +

3√2 35 ).(−

4 15)

(101 + 3√2 25 −√

2 )

5

C©u 2: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A=3x2−2x+1 víi |x|=1

2

b) Tìm x nguyên để √x+1 chia hết cho √x −3

Câu 3: ( điểm)

a) Tìm x, y, z biÕt 3x

8 = 3y

64 = 3z

216 vµ 2x2+2y2− z2=1

b) Một tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đ-ờng ô tơ tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút

Tính thời gian tơ từ A đến B

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đờng thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đờng thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC AF = AC Chứng minh rằng:

a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF

Câu 5: (1 điểm)

Chøng tá r»ng: 1−1

2+ 3−

1 4+ .+

1 99 − 200= 101+

102+ + 199+

1 200

Đề số 18: đề thi học sinh giỏi

Câu 1: (2 điểm)

a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M=

0,4−2

9+ 11 1,4−7

9+ 11

−

1

3−0,25+ 11

6−0,875+0,7

b) TÝnh tæng: P=1−

10− 15− 3− 28 − 6− 21

C©u 2: (2 điểm)

1) Tìm x biết: |2x+3|2|4 x|=5

2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 2:

Hỏi gặp họ cách Bắc Giang km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức f(x)=ax2+bx+c (a, b, c nguyên)

CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho

b) CMR: nÕu a

b= c d th×

7a2+5 ac

7a2−5 ac=

7b2+5 bd

7b2−5 bd (Giả sử t s u cú ngha)

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng:

a) AE = AF b) BE = CF c) AE=AB+AC

2

C©u 5: (1 ®iÓm)

Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia

Hỏi có nhiều cách lựa chọn để có bạn nh tham gia

Đề số 19: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút)

Câu 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

A=[

111 31

3

7−(15−6 19) 45 6+

6(12−5 3)

.(−114 93)]

31 50

b) Chøng tá r»ng: B=1−

22− 32−

1

32− .− 20042>

1 2004

C©u 2: (2 điểm)

Cho phân số: C=3|x|+2

4|x|5 (x  Z)

b) Tìm x  Z để C số tự nhiên

Câu 3: (2 điểm)

Cho a

b= c

d Chøng minh r»ng:

a+b¿2 ¿

c+d¿2 ¿ ¿

ab cd=¿

C©u 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB lần lợt E vµ D

a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE

b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB;

MAC tam giác vuông c©n

c) Từ A D vẽ đờng thẳng vng góc với BE, đờng thẳng cắt BC lần l-ợt K H Chứng minh KH = KC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm sè nguyªn tè p cho: 3p2

+1 ; 24p2+1 số nguyên tố

s 20: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút)

Câu 1: (2 điểm)

a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

A=

0,75−0,6+3

7+ 13 2,75−2,2+11

7 + 11

3

;

B=(−251 3+281)+3 251−(1−281)

b) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000

Câu 2: ( điểm)

a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c ⋮ 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c  Z) b) BiÕt bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

Chøng minh r»ng: a

x= b y=

c z

Câu 3: ( điểm)

Bây 10 phút Hỏi sau hai kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng

Câu 4: (2 điểm)

Cho ABC vuông cân A Gọi D điểm cạnh AC, BI phân giác

ABD, ng cao IM BID cắt đờng vng góc với AC kẻ từ C N Tính góc IBN ?

C©u 5: (2 ®iĨm)

Đề số 21: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức

P=2005 :(

0,375−0,3+

11+ 12

−0,625+0,5−

11− 12

2,5+5

3−1,25 1,5+1−0,75) b) Chøng minh r»ng:

12.22+

5 22.32+

7

32 42+ .+

19

92 102<1

C©u 2: (2 điểm)

a) Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 3n+3+3n+1+2n+3+2n+2 chia hết cho 6.

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

D=|2004 x|+|2003 x|

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút

Tính thời gian tơ từ A n B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vng góc với AC Trên tia lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng:

a) DE = AM b) AM  DE

Câu 5: (1 điểm)

Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị hc -1 Chøng minh r»ng nÕu x1 x2 +

x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho

Đề số 22: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm 120 phút)

Bài 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

2,752

[(1125)

2

:0,88+3,53]

−¿:13

25

¿

A=(

81,624 : 44

3−4,505)

2

+1253

4

¿ b) Chøng minh r»ng tæng:

S=1

22− 24+

1 26− +

1 24n −2−

1

24n+ + 22002−

1 22004<0,2

a) Tìm số nguyên x thoả mÃn

2005=|x −4|+|x −10|+|x+101|+|x+990|+|x+1000|

b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d số nguyên tố d chia hết cho

Bài 3: (2 điểm)

a) Để làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3 Điều hay sai ? ?

b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2a+b+c+d

a =

a+2b+c+d

b =

a+b+2c+d

c =

a+b+c+2d

d

TÝnh M=a+b

c+d+

b+c

d+a+

c+d

a+b+

d+a

b+c

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I a) Tính góc cña DIE nÕu gãc A = 600.

b) Gọi giao điểm BD CE với đờng cao AH ABC lần lợt M N

Chøng minh BM > MN + NC

Bµi 5: (1 điểm)

Cho z, y, z số dơng

Chøng minh r»ng: x

2x+y+z+

y

2y+z+x+

z

2z+x+y≤

3

Đề số 23: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: (2 ®iĨm)

a) T×m x biÕt: |x2+|6x −2||=x2+4

b) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = 3+4x+x

2 ¿2005

3−4x+x2¿2004.¿ ¿

Bµi 2: (2 ®iĨm)

Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên Tìm x ?

Bài 3: (2 điểm) Cho x

y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

t

x+y+z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên:

P=x+y

z+t +

y+z

t+x+

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bµi 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lÊy ®iĨm E cho gãc

EBA=

3α Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC

Bài 5: (1 điểm)

Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn : a3

+3a2+5=5b vµ a+3=5c

Đề số 24: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Bài 1: (2 điểm)

a) Tính A=3−32+33−34+ .+32003−32004 b) T×m x biÕt |x −1|+|x+3|=4

Bài 2: (2 điểm)

Chứng minh rằng:

Nếu x

a+2b+c=

y

2a+b −c=

z

4a −4b+c

Th× a

x+2y+z=

b

2x+y − z=

c

4x −4y+z

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe mỏy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C cựng mt lỳc

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm

D, E cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC lµ trung trùc cđa HE Gäi I, K lần lợt giao điểm DE với AB AC

Tính số đo góc AIC AKB ?

Bài 5: (1 điểm)

Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức:

x2005−2006x2004

+2006x2003−2006x2002+ −2006x2+2006x −1

Đề số 25: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút)

Câu ( 2®) Cho: a

b= b c=

c d

Chøng minh: (a+b+c

b+c+d)

=a

d

Câu (1đ) Tìm A biÕt r»ng:

A = a

b+c=

c a+b=

Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị a) A = x+3

x −2 b) A =

12x x+3

Câu (2đ) T×m x:

a) |x −3| = b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650

Câu (3đ) Cho ABC vuông cân t¹i A, trung tuyÕn AM E  BC, BH,CK  AE, (H,K  AE) Chøng minh  MHK vu«ng c©n

Đề số 26: đề thi học sinh gii

(Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2®)

Rót gän A=

2 20 x x

x x





Câu 2 (2đ)

Ba lp 7A,7B,7C cú 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc u nh

Câu 3: (1,5đ) Chứng minh

2006 10 53

9



lµ số tự nhiên

Câu 4 : (3đ)

Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng

song song víi víi Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh a, K trung điểm cña AC

b, BH =

AC

c, KMC u

Câu 5 (1,5 đ)

Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa:

a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

Em xác định thứ tự giải cho bạn

Đề số 27: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

1 2 18 (0,06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

   

Bài 2: (4 điểm): Cho

a c

c b chứng minh rằng:

a)

2

2

a c a

b c b

 

 b)

2

2

b a b a

a c a

 

  Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:

a)

1

4

x  

b)

15 12x 5x

   

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm

trong tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: e) Tia AD phân giác góc BAC

f) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm x y,  biết: 25 y2 8(x 2009)2

-Đề số 28: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1. TÝnh

1 1

1.6  6.11 11.16  96.101

Bµi 2. Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho:

1 1

x  y 5

Bài 3 Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140

Bài 4 Tìm x, y tho¶ m·n: x 1  x   y 3  x  = 3

Bài 5 Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; góc BAC = 700 Phân giác góc

ACB cắt AB M Trên MC lấy ®iÓm N cho gãc MBN = 400 Chøng minh: BN =

Đề số 29: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn

9 10

nhỏ

9 11



Câu 3: Trong số x, y, z có số dơng , số âm số Hỏi số thuộc loại biết:

3

x y  y z

Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biÕt:

x y

a, ; xy=84

1+3y 1+5y 1+7y b,

12 5x 4x



 

C©u 5: TÝnh tæng:

n

*

3

S 14 (n Z )





      

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngói tam giác ú hai on thng AD

vuông góc AB; AE vuông góc AC

d Chứng minh: DC = BE vµ DC BE

e Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM

Chøng minh: AB = ME vµ ABCEMA

f Chøng minh: MA BC

Đề số 30: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Câu 1: So sánh số:

a A 2  22  2 50 B =251

b 2300 3200

Câu 2: Tìm ba sè a, b, c biÕt a tØ lƯ thn víi 11; b c tỉ lệ nghịch với vµ vµ 5a - 3b + 2c = 164

C©u 3: TÝnh nhanh:

1 1 761

3

417 762  139 762 417.762 139

Câu Cho tam giác ACE cho B E hai nửa mặt phẳng đối có bờ AC a Chứng minh tam giác AED cân

b TÝnh sè ®o gãc ACD?

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 7

Mét sè kinh nghiƯm nhá vỊ t×m chư sè tËn ứng dụng vào toán chứng minh chia hÕt cđa c¸c líp 6,7

I phần mở đầu : Tìm chử số tận mét lủ thõa

đây tốn tơng đối phức tạp học sinh lớp 6,7 nhng lại tốn lí thú , tạo cho học sinh lịng say mê khám phá từ em ngày yeu mơn tốn có có số mủ lớn tởng nh khơng thể giãi đợc Nhng nhờ phát nắm bắt đợc qui luật , vận dungj qui luật em tự giãi đợc tự nhiên thấy làm đợc việc vơ lớn lao từ gieo vào trí tuệ em khả khám phá , khả tự nghiên cứu

Tuy khó nhng hớng dẩn em cách từ từ có hệ thống ,lơ chặt chẻ em vẩn tiếp fhu tốt kinh nghiệm nhỏ mà tơi muốn trình bày trao đổi bạn

1 Lí thuyết tìm chử số tận cùng : phần quan trọng , cần lí giải cho học sinh cách kỉ lởng ,đầy đủ

(X0) n = A0 mét sè cã tËn cïng lµ lủ thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ (X1) n = B1 mét sè cã tËn cïng lµ luû thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 1

(X5) n = C5 mét sè cã tËn cïng lµ lủ thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ

(X6) n = D6 mét sè cã tËn cïng lµ lủ thõa bËc n cã tËn cïng vÈn lµ 6

X5 *a = F0 víi a ch¼n : mét sè có tận nhân với mmột số chắn sẻ có chử số tận

x5 *a = N5 víi a lỴ : số có tận nhân với số lẻ sẻ có tận

Qua cơng thức ta có quy tắc sau : Một số tn nhiên có chử số tận : (0,1,5,6) nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên có chử số tự nhiên không thay đổi Kết luận chìa khố để giả tốn tìm chử số tận luỷ thừa

2 C¸c toán bản

Bài toán : Tìm chử số tận luỷ thừa sau

a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100

Ta nhận thấy luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc dạng đả trình by trờn

nay lại luỷ thừa mà số 2, , , , ,

Muốn giãi tốn ta phai đa chúng dạng thực chất có đa hai dạng : (X1) n = M1 , (X6) n = N6

giải toán

a) 2100 = 24*25 = ( (2) 4)25 = (16)25 = A6

b) 3100 = 34*25 = ( (3) 4)25 = (81)25 = B1

c) 4100 = 44*50 =( (4) 2)50 = (16)50 = C6

d) 7100 = 74*25 =( (7) 4)25 = 240125 = D1

e) 8100 = 84*25 = ( (8) 4)25 = 409625 = E6

f) 9100 = 92*50 = ( (9) 2)50 = 8150 = F1

Bµi toán 2 : tìm chử số tận sè sau : a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101

Giải toán _ nhận xét

số mủ ( 101 không chia hết cho vµ ) _ Ta viÕt 101 = 4.25 +1

101 = 50 +1

_ áp dụng công thức am+n = am.an

ta cã : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 = Y6 = M2

b) 3101 = 3100+1 = 3100 = B1 = Y3

c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 = C6 = k4

d) 7101 = 7100+1 = 7100 = D1 = F7

e) 8101 = 8100+1 = 8100 = E6 = N8

f) 9101 = 9100 +1 = 9100 = F1 = M9

3 Mét số toán phức tạp hơn

Bài toán 3: Tìm chử số tận luỷ thừa sau :

a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ;

Bài giải

Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận luỷ thừa bậc n mộtsố tự nhiên phụ thuộc vào chử số tận số tự nhiên mà thơi (cơ số) Nh toá thực chất toán

a) 12921997 = 12924 499+1= (12924)499 1292 = A6 1292=M2

b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1) 499 3333 = D3

c) 12341997 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = ( C6 )499 1234 = G4

d) 12371997 = 12374 499 +1 = (12374) 499 1237 = D1

¿ ¿

499 1237 = X7

4 vËn dơng vµo toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiÖu chia hÕt

Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chử số tận giống thực phép trừ sẻ có chử số tận ta sẻ có toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } Nếu số có tận số có tận chẳng hạn ta sẻ có tốn chứng minh tổng hai số chia hết cho (vì chử số tận tng l 4)

Các toán cụ thể : H¶y chøng minh a) 12921997 + 33331997 ⋮

Theo toán ta có

12921997 = M2

33331997 = D3

nh vËy tỉng cđa hai số sẻ có tận 12921997 + 33331997 ⋮

b) Chøng minh 16281997 + 12921997 ⋮ 10

Ap dụng qui tắc tìm chử số tận ta có 16281997 sẻ có tận M8

12921997 Sẻ Có tận N2

Nh vËy 16281997 + 12921997 ⋮ 10 (v× chư số tận tổng sẻ 0)

Ta củng vận dung hiệu hai số tích hai số để toán chứng minh tơng tự

III Kết luận : Trên tơi trình bày phần vấn đề tìm chử số tận luỷ thừa ứng dụng toán chứng minh chia hết tập hợp số tự nhiên

Trong năm học qua trực tiếp hớng dẩn cho số học sinh em tỏ thích thú xem nh khám phá em với cách đặt vấn đề nh em tự đề đợc có nhiều hay

đề thi Ơ-lim -pic huyện

M«n Toán Lớp Năm học 2006-2007 (Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:

a)

1

.16

n n



1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    



Bài 3. a) Tìm x biết: |2x+3|=x+2

b) Tìm giá trị nhỏ A = |x −2006|+|2007− x| Khi x thay đổi

Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

Đáp án toán 7

Bài 1.Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm)

a)

1

.16

n n



; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = 1

b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4 Bµi 2. Thùc hiƯn phÐp tÝnh: (4 ®iĨm)

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

=

1 1 1 1 1 (1 49)

( )

5 9 14 14 19 44 49 12

     

       

=

1 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( )

5 49 89 5.4.7.7.89 28

 

Bài 3. (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: |2x+3|=x+2 Ta cã: x + => x -

+ NÕu x -

2 th× |2x+3|=x+2 => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n)

+ NÕu - x < -

2 Th× |2x+3|=x+2 => - 2x - = x + => x = -

3 (Tho¶

m·n)

b) Tìm giá trị nhỏ A = |x −2006|+|2007− x| Khi x thay đổi

+ NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007

Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có:

x – y =

3 (ứng với từ số 12 đến số đông hồ)

x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: x

y=

12 =>

x

12=

y

1=

x − y

11 = 3:11=

1 33

=> x = 12

33(vòng)=>x=

11 (giê)

Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện

đờng thẳng

11 giê

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = Δ DCM v×:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (®®) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID AC

Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)

B A

H

I F

E

vµ E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ),

BAH = ACB ( cïng phô ABC)

=> EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB

=>AE = BC

BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

1 Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ : : Hỏi đơn vịđược chia tiền tổng số tiền lãi l 350 000 000 đ v tià ền lãi chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp

2 Hai nh hình chà ữ nhật có chiều d i bà ằng Nền nh ứ có chiều rộng l mét, nà ền nh ứ hai có chiều rộng l 3,5 mét Để lát hết nh ứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vng Hỏi phải dùng viên gạch loại để lát hết nh ứ hai?

3 Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi trường phân bốở khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2 Hỏi số học sinh giỏi khối lớp, biết khối nhiều khối l hà ọc sinh giỏi

4 Ba đội máy san đất l m khà ối lượng công việc Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba ho n th nh công vià ệc ng y, ng y, ng y Hà à ỏi đội có máy, biết đội thứ có nhiều đội thứ hai l máy v nà ăng suất máy

5 Với thời gian để người thợ l nh nghà ề l m 11 sản phẩm người thợ học nghề l m sản phẩm Hỏi người thợ học việc phải dùng thời gian để ho n th nh mà ột khối lượng công việc m ngà ười thợ l nh nghà ề l m 56 giờ?

6 Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ d i cà cạnh hình vng biết tổng số thời gian vật chuyển động cạnh l 59s.à

BÀI TẬP HÌNH HỌC

1 Cho góc xOz v yOz kề bù Ot v Otà ’ lần lượt l phân giác cà ủa hai góc

xOy v yOz từđiểm M Ot hạ MH Ox ( H Ox ) Trên tia Oz lấy điểm N cho ON = MH Đường vng góc kẻ từ N cắt tia Ot’ tại K Tính số đo góc KM^O ?

2 Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC tại E cắt

BA F.Chứng minh : FA = FE

3 Cho tam giác ABC tia phân giác góc B v góc C cà O Qua O kẻ

đường thẳng song song với BC cắt AB D v AC E Chứng minh : DE = BD + EC

4 Cho tam giác ABD có B = 2D Kẻ AH vng góc với BD (H BD ) tia

đối tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh : FH = FA = FD

5 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) tia đối tia CA lấy điểm D

a) Chứng minh : ABD = CBD + CDB

b) Giả sử A = 300, ABD = 900, tính góc CBD MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ Tìm x, y, biết :

a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 0

b) |x+2005| + |y+1| =

2 Trong chạy đua tiếp sức 100m ( Mỗi đội tham gia gồm vận động viên, VĐV chạy xong 100m truyền gậy tiếp sức cho VĐV Tổng số thời gian chạy VĐV l th nh tích cà cảđội, thời gian chạy đội n o c ng à th nh tích c ng cao ) Già ả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, g , ịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, Hỏi thời gian chạy đội tuyển l ? giây Bià ết vịt chạy hết 80 giây?

3 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : x8−1y=3

8

Đề số 31: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (3đ):

1, Tính: P =

1 1 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



   

2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3, Cho: A =

3 2

2

3 0, 25

x x xy

x y

  



Tính giá trị A biết

1 ; x y

số nguyên âm lớn

Tìm x biết:

3x + 3x + + 3x + = 117

Bài (1đ):

Một thỏ chạy đường m hai phà ần ba đường băng qua đồng cỏ v àđoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc thỏ đoạn đường n o ớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ hai đoạn đường ?

B i (2à đ ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngo i ∆ABC ∆đều ABD v ACE Gà ọi M l giaoà

điểm BE v CD Chà ứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC

2, BMC 1200

B i (3à đ ):

Cho ba điểm B, H, C thẳng h ng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Tà H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm

1, ∆ABC l à∆ ? Chứng minh điều

2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E

Chứng minh: AE = AB

Đề số 32 đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (4đ):

Cho đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +

3

16

1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x =  0, 25

3, Có giá trị x để M(x) = không ?

Bài (4đ):

3a = 2b; 5b = 7c 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết:

2x  x  2 x

Bài (4đ):

Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức 1, P =

2

6 m có giá trị lớn nhất

2, Q =

8 n n



 có giá trị nguyên nhỏ nhất Bài (5đ):

Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB, AC D, E

1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD BD theo b, c

Bài (3đ):

Cho ∆ABC cân A, BAC1000 D điểm thuộc miền ∆ABC cho  10 ,0  200

DBC  DCB .

Tính góc ADB ?

Đề số 33: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (3đ): Tính: 1,

3

1 1

6 1

3 3

       

   

       

     

 

 

2, (63 + 62 + 33) : 13 3,

9 1 1 1 1

10 90 72 56 42 30 20 12 2        

Bài (3đ):

1, Cho

a b c

b c a a + b + c ≠ 0; a = 2005.

2, Chứng minh từ hệ thức

a b c d a b c d

 



  ta có hệ thức:

a c b d

Bài (4đ):

Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

Bài (3đ):

Vẽ đồ thị hàm số: y =

2 ;

;

x x

x x

 



 

Bài (3đ):

Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100

Bài (4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I

Đề số 34: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (5đ):

1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729

2, Tính :

A = |4

9−(

√2 )

2

| + |0,(4)+

1 3−

2 5−

3

3− 5−

6 7|

Bài (3đ):

Cho a,b,c R a,b,c thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: ac =

a+2007b¿2 ¿

b+2007c¿2 ¿ ¿ ¿

Bài (4đ):

Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hồn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có công nhân ?

Câu (6đ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE 1, Chứng minh: BE = DC

2, Gọi H giao điểm BE CD Tính số đo góc BHC

Bài (2đ):

Cho m, n N p số nguyên tố thoả mãn: m−p1 = m+pn Chứng minh : p2 = n + 2.

đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài 1: (2 điểm)

a, Cho A=(0,8 7+0 82).(1,25 7−4

5 1,25)+31,64

B=(11,81+8,19) 0,02

9 :11,25

Trong hai sè A B số lớn lớn lần ?

b) Số A=1019984 có chia hết cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ?

Câu 2: (2 điểm)

Trờn quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3:

Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ?

C©u 3:

a) Cho f(x)=ax2+bx+c với a, b, c số hữu tỉ

Chứng tỏ rằng: f(−2).f(3)≤0 Biết 13a+b+2c=0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thc A=

6 x có giá trị lớn

Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa mặt

phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm hai nửa

mặt phẳng khác bờ AB

a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB  EC

C©u 5: (1 điểm)

Tìm chữ số tận

A=1951

890

+291

Đề số 36: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút

Câu 1: (2 điểm)

a) TÝnh A=(1,5+1−0,75

2,5+5

3−1,25

+

0,375−0,3+

11+ 12

−0,625+0,5−

11− 12)

:1890 2005+115

b) Cho B=1

3+ 32+

1 33+

1 34+ +

1 32004+

1 32005 Chøng minh B<1

2

Câu 2: (2 điểm)

a) Chøng minh r»ng nÕu a

b= c d th×

5a+3b

5a −3b=

5c+3d

5c −3d

(giả thiết tỉ số có nghĩa) b) Tìm x biết: x −1

2004+

x −2 2003−

x −3 2002=

x 4 2001

Câu 3: (2điểm)

a) Cho đa thức f (x)=ax2+bx+c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên

Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên

b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giỏc cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần lợt M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN trung điểm I MN

c) ng thng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC

Câu 5: (1 điểm)

Tỡm s t nhiờn n để phân số 7n−8

Đề số 37: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút

Câu 1: (2 điểm) a) TÝnh:

A = (0,75−0,6+3

7+ 13):(

11 +

11

13+2,75−2,2)

B = (10√1,21

7 +

22√0,25 ):(

5

√49+

√225 )

b) Tìm giá trị x để: |x+3|+|x+1|=3x Câu 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M= a

a+b+

b b+c+

c

c+a không số nguyên b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+bc+ca≤0

C©u 3: (2 điểm)

a) Tìm hai số dơng khác x, y biÕt r»ng tỉng, hiƯu vµ tÝch cđa chóng lần lợt tỉ lệ nghịch với 35; 210 12

b) Vận tốc máy bay, ô tô tàu hoả tỉ lệ với số 10; Thời gian máy bay bay từ A đến B thời gian ô tô chạy từ A đến B 16

Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B ?

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ

Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng:

5+ 15+

1 25+ +

1 1985<

Đề số 38: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

a) Chng minh với số n nguyên dơng có: A= 5n(5n+1)6n(3n+2)91

b) Tìm tất số nguyên tố P cho P2

+14 số nguyên tố

Bài 2: ( điểm)

a) Tìm số nguyªn n cho n2+3⋮n−1 b) BiÕt bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

Chøng minh r»ng: a

x= b y=

c z

Bài 3: (2 điểm)

An v Bách có số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ảnh hoa An số bu ảnh thú rừng Bách

+ Bách nói với An Nếu cho bạn bu ảnh thú rừng số bu ảnh bạn gấp lần số bu ảnh

+ An trả lời: cho bạn bu ảnh hoa số bu ảnh gấp bốn lần số bu ảnh bạn

Tính số bu ảnh ngời

Bài 4: (3 ®iĨm)

Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF

a) Chứng minh DE phân giác ADB b) Tính số đo góc EDF góc BED

Bài 5: (1 điểm)

Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả mÃn:

52p+1997=52p

2

Đề số 39: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Tính: (

131 4−2

5 27−10

5 6).230

1 25+46

3 (1

10+ 10

3 ):(12 3−14

2 7)

Bµi 2: (3 ®iÓm)

a) Chøng minh r»ng: A=3638

+4133 chia hÕt cho 77

b) Tìm số nguyên x để B=|x −1|+|x −2| đạt giá trị nhỏ

c) Chứng minh rằng: P(x) ax3+bx2+cx+d có giá trị nguyên với x nguyên

và 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ số nguyên

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho tØ lÖ thøc a

b= c

d Chøng minh r»ng:

ab

cd=

a2−b2

c2− d2 vµ ( a+b

c+d)

=a

2 +b2

c2+d2 b) Tìm tất số nguyên dơng n cho: 2n

−1 chia hÕt cho

Bµi 4: (2 ®iĨm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450.

Bài 5: (1 điểm)

s 40: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên dơng a lớn nhÊt cho 2004! chia hÕt cho 7a b) TÝnh P=

1 2+

1 3+

1 4+ .+

1 2005 2004

1 + 2003

2 + 2002

3 + + 2004

Bài 2: (2 điểm)

Cho x

y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

t x+y+z chøng minh biểu thức sau có giá trị nguyên P=x+y

z+t +

y+z

t+x +

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bµi 3: (2 ®iĨm)

Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11 km để đến C Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C lúc A, B, C thẳng hàng

Bµi 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC KỴ AH  BC (H  BC) VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ C

khác phía AC) Kẻ EM FN vng góc với đờng thẳng AH (M, N  AH)

EF c¾t AH ë O

Chøng minh r»ng O trung điểm EF

Bài 5: (1 điểm)

So sánh: 5255

Đề số 41: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Câu 1: (2 điểm) Tính : A=

1 6−

1 39+

1 51

8− 52+

1 68

; B=512−512

2 − 512

22 − 512

23 512

210

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = b) T×m x, y, z biÕt: x

z+y+1=

y x+z+1=

z

x+y −2=x+y+z (x, y, z )

C©u 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với n nguyên d¬ng ta cã: S=3n+2−2n+2+3n−2n chia hÕt cho 10

b) Tìm số tự nhiên x, y biết: x 20042=23 y2

7

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, AK trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; tia Ax lấy điểm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB lấy điểm N thuộc Ay cho AN = AB Lấy điểm P tia AK cho AK = KP Chøng minh:

a) AC // BP b) AK  MN

C©u 5: (1 điểm)

Cho a, b, c số đo cạnh tam giác vuông với c số đo cạnh huyền Chứng minh rằng:

Đề số 42: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Câu 1: (2 điểm) Tính:

A=

83

1 4+3

16 19

1 (214

17 −2 34) 34

: 24

B=1

3− 8−

1 54 −

1 108−

1 180−

1 270−

1 378

C©u 2: ( 2, ®iĨm)

1) Tìm số ngun m :

a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) |3m−1|<3

2) Chøng minh r»ng: 3n+2−2n+4

+3n+2n chia hết cho 30 với n nguyên dơng

Câu 3: (2 điểm)

a) Tìm x, y, z biÕt:

x

2=

y

3 ;

y

4=

z

5 vµ x2− y2=−16

b) Cho f(x)=ax2+bx+c Biết f(0), f(1), f(2) số nguyên Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với mi x nguyờn

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)

a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM

Câu 5: (1 điểm) Cho 2n

Đề số 43: đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm 120 phút)

Câu 1: (2 ®iĨm) TÝnh nhanh:

A=

(1+2+3+ +99+100)(1

2− 3−

1 7−

1

9)(63 1,2−21 3,6) 1−2+3−4+ +99−100

B=(

1 14 −√

2 +

3√2 35 ).(−

4 15)

(101 + 3√2 25 −

√2 )

5

Câu 2: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A=3x2

2x+1 víi |x|=1

2

b) Tìm x ngun để √x+1 chia hết cho √x −3

C©u 3: ( điểm)

a) Tìm x, y, z biết 3x

8 = 3y

64 = 3z

216 vµ 2x2+2y2− z2=1

b) Một tơ phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đ-ờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút

Tính thời gian tơ i t A n B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đờng thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đờng thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng:

a) FB = EC b) EF = AM c) AM  EF

Câu 5: (1 điểm)

Chứng tỏ rằng: 1−1

2+ 3−

1 4+ .+

1 99 −

1 200=

1 101+

1

102+ + 199+

§Ị sè 44:

đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Câu 1: (2 điểm)

a) Thực phÐp tÝnh: M=

0,4−2

9+ 11 1,4−7

9+ 11

−

1

3−0,25+ 11

6−0,875+0,7

b) TÝnh tæng: P=1−

10− 15−

1 3−

1 28 −

1 6−

1 21

C©u 2: (2 điểm)

1) Tìm x biết: |2x+3|2|4 x|=5

2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 2:

Hỏi gặp họ cách Bắc Giang km ?

Câu 3: (2 ®iÓm)

a) Cho ®a thøc f(x)=ax2+bx+c (a, b, c nguyªn)

CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho

b) CMR: nÕu a

b= c d th×

7a2 +5 ac

7a2−5 ac= 7b2

+5 bd

7b2−5 bd (Giả sử tỉ số có nghĩa)

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng:

a) AE = AF b) BE = CF c) AE=AB+AC

2

Câu 5: (1 điểm)

i ngh gồm 10 bạn có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia

Đề số 45: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút)

Câu 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

A=[ 111

31

7−(15−6

2 19) 45

6+

6(12−5 3)

.(−114 93)]

31 50

b) Chøng tá r»ng: B=1−

22− 32−

1

32− .− 20042>

1 2004

Câu 2: (2 điểm)

Cho phân số: C=3|x|+2

4|x|−5 (x  Z)

a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x  Z để C l s t nhiờn

Câu 3: (2 điểm)

Cho a

b= c

d Chøng minh r»ng:

a+b¿2 ¿

c+d¿2 ¿ ¿

ab cd=

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB lần lợt E D

a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE

b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB;

MAC tam giác vuông cân

c) T A D vẽ đờng thẳng vng góc với BE, đờng thẳng cắt BC lần l-ợt K H Chứng minh KH = KC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên tố p cho: 3p2

Đề số 46: đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm 120 phút)

Câu 1: (2 ®iĨm)

a) Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

A=

0,75−0,6+3

7+ 13 2,75−2,2+11

7 + 11

3

;

B=(−251 3+281)+3 251−(1−281)

b) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000

C©u 2: ( ®iĨm)

a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c ⋮ 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c  Z) b) BiÕt bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

Chøng minh r»ng: a

x= b y=

c z

C©u 3: ( ®iĨm)

Bây 10 phút Hỏi sau hai kim đồng hồ nằm đối diện đờng thng

Câu 4: (2 điểm)

Cho ABC vuông cân A Gọi D điểm cạnh AC, BI phân giác

ABD, ng cao IM BID cắt đờng vng góc với AC kẻ từ C N Tính góc IBN ?

Câu 5: (2 điểm)

s 47: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức

P=2005 :(

0,375−0,3+

11+ 12

−0,625+0,5−

11− 12

2,5+5

3−1,25 1,5+1−0,75) b) Chøng minh r»ng:

12.22+

5 22.32+

7

32 42+ .+

19

92 102<1

C©u 2: (2 điểm)

a) Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 3n+3+3n+1+2n+3+2n+2 chia hết cho 6.

b) Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc:

D=|2004− x|+|2003− x|

C©u 3: (2 ®iĨm)

Một tơ phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút

Tính thời gian tơ t A n B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vng góc với AC Trên tia lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng:

a) DE = AM b) AM  DE

Câu 5: (1 điểm)

Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị -1 Chứng minh x1 x2 +

Đề số 48: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút)

Bài 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

2,752

[(1125)

2

:0,88+3,53]

−¿:13

25

¿

A=(

81,624 : 44

3−4,505)

2

+1253

4

¿ b) Chøng minh r»ng tæng:

S=1

22− 24+

1 26− +

1 24n −2−

1

24n+ + 22002−

1 22004<0,2

Bµi 2: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên x tho¶ m·n

2005=|x −4|+|x −10|+|x+101|+|x+990|+|x+1000|

b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d số nguyên tố d chia hết cho

Bài 3: (2 ®iĨm)

a) Để làm xong cơng việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số công nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3 Điều hay sai ? ?

b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2a+b+c+d

a =

a+2b+c+d

b =

a+b+2c+d

c =

a+b+c+2d

d

TÝnh M=a+b

c+d+

b+c

d+a+

c+d

a+b+

d+a

b+c

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I a) TÝnh c¸c gãc cđa DIE nÕu gãc A = 600.

b) Gọi giao điểm BD CE với đờng cao AH ABC lần lợt M N

Chøng minh BM > MN + NC

Bài 5: (1 điểm)

Cho z, y, z số dơng

Chứng minh rằng: x

2x+y+z+

y

2y+z+x+

z

2z+x+y≤

Đề số 49: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phút)

Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm x biÕt: |x2

+|6x −2||=x2+4

b) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = 3+4x+x

2 2005

34x+x22004.

Bài 2: (2 điểm)

Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên Tìm x ?

Bµi 3: (2 ®iĨm) Cho x

y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

t

x+y+z CMR biÓu thức sau có giá trị nguyên:

P=x+y

z+t +

y+z

t+x+

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lấy điểm E cho gãc

EBA=

3α Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC

Chứng minh tam giác CED tam giác cân

Bài 5: (1 điểm)

Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả m·n : a3

Đề số 40: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1: (2 điểm)

a) Tính A=332+3334+ .+3200332004 b) Tìm x biết |x 1|+|x+3|=4

Bài 2: (2 điểm)

Chøng minh r»ng:

NÕu x

a+2b+c=

y

2a+b −c=

z

4a −4b+c

Th× a

x+2y+z=

b

2x+y − z=

c

4x 4y+z

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C lúc

Bµi 4: (3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm

D, E cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC lµ trung trực HE Gọi I, K lần lợt giao ®iĨm cđa DE víi AB vµ AC

Tính số đo góc AIC AKB ?

Bài 5: (1 điểm)

Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức:

x20052006x2004+2006x20032006x2002+ 2006x2+2006x 1

Đề số 50: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Câu ( 2đ) Cho: a

b= b c=

c d

Chøng minh: (a+b+c

b+c+d)

=a

d

A = a

b+c=

c a+b=

b c+a

Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị a) A = x+3

x −2 b) A =

12x x+3

Câu (2đ) Tìm x:

a) |x −3| = b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650

C©u (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyÕn AM E  BC, BH,CK  AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân

Đề thi học sinh giỏi toán lớp Câu 1: (2®)

Rót gän A=

2 20 x x

x x





Câu 2 (2đ)

Ba lp 7A,7B,7C cú 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc u nh

Câu 3: (1,5đ) Chứng minh

2006 10 53

9



lµ số tự nhiên

Câu 4 : (3đ)

Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng

song song víi víi Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chứng minh a, K trung điểm cña AC

b, BH =

AC

c, KMC u

Câu 5 (1,5 đ)

Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa:

a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

Em xác định thứ tự giải cho bạn

Đề số 51: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài 1: (3 điểm): Tính

1 2

18 (0,06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

Bài 2: (4 điểm): Cho

a c

c b chứng minh rằng:

a)

2

2

a c a

b c b

 

 b)

2

2

b a b a

a c a

 

  Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết:

a)

1

4

x  

b)

15 12x 5x

   

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm

trong tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: g) Tia AD phân giác góc BAC

h) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm x y,  biết: 25 y2 8(x 2009)2

-ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm

1 2

18 (0,06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

   =

=

109 15 17 38 19 ( : ) : 19 100 100

   

    

 

    0.5đ

=

109 17 19 38

: 19

6 50 15 50

    

      

 

   

  1đ

=

109 323 19 : 250 250

  

   

 

 

  0.5

=

109 13 10 19

 



 

=

506 253

30 1995 0.5đ

Bài 2:

a) Từ

a c

c b suy c2 a b.

 0.5đ

2 2

2 2

a c a a b

b c b a b

 



  0.5đ

=

( ) ( ) a a b a b a b b

 

 0.5đ

b) Theo câu a) ta có:

2 2

2 2

a c a b c b

b c b a c a

 

  

  0.5đ

từ

2 2

2 2 1

b c b b c b

a c a a c a

 

    

  1đ

hay

2 2

2

b c a c b a

a c a

   



 0.5đ

vậy

2

2

b a b a

a c a

 



 0.5đ

Bài 3: a)

1

4

x  

1

2

x  

0.5đ

1

2

5

x   x 

hoặc

1 x 

1đ Với

1

2

5

x   x 

hay x 0.25đ Với 1 2 5

x   x 

hay 11 x 0.25đ b)

15 12x 5x

   

6

5x4x 7 0.5đ 13

( )

49 13

20x14 0.5đ 130

343 x

0.5đ Bài 4:

Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s

Ta có: 5.x4.y3.z x x y z   59 1đ

hay:

59 60 1 1 1 59 5 60 x y z x x y z  

    

  

0.5đ Do đó:

1 60 12

5

x 

;

1 60 15

4

x 

;

1 60 20

3

x 

0.5đ Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5:

-Vẽ hình, ghi GT, KL 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ

suy DAB DAC 

Do DAB20 : 100 

b) ABC cân A, mà A200(gt) nên

 (1800 20 ) : 800

ABC  

ABC nên DBC 600

Tia BD nằm hai tia BA BC suy

ABD 800 600 200

   Tia BM phân giác góc ABD

nên ABM 100

Xét tam giác ABM BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6:

2

25 y 8(x 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2

8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ

200 M A

B C

Vì y2 0 nên (x-2009)2

25



, suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ) 0.5đ

Từ tìm (x=2009; y=5) 0.5đ

Đề số 52: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bµi 1. TÝnh

1 1

1.6 6.11 11.16 96.101

Bài 2. Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho:

1 1

x  y 5

Bài 3 Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140

Bài 4 Tìm x, y tho¶ m·n: x 1  x   y 3  x  = 3

Bµi 5 Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; góc BAC = 700 Phân giác góc

ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho gãc MBN = 400 Chøng minh: BN =

MC

Đề số 52: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài 1:(4 điểm)

a) Thực phép tính:

   

12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

2

 

 

 

b) Chứng minh : Với số nguyên dương n :

2

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a

 

1

3,

3 5

b    

1 11

7 x x

x   x  

Bài 3: (4 điểm)

e) Số A chia thành số tỉ lệ theo

2 : :

5 6 Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A

f) Cho a c

c b Chứng minh rằng:

2

2

a c a

b c b

  

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:

a) AC = EB AC // BE

b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC HBC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia

phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: i) Tia AD phân giác góc BAC

j) AM = BC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 7 Bài 1:(4 i m):đ ể

Đáp án Thang điểm

a) (2 điểm)

   

 

 

 

 

 

10

12 10 12 12 10

6 9 3 12 12 9 3

2

12 10

12 3

10 12

12

2 25 49 3 7

2 3 7

125.7 14

2

2

2

5

2

1 10

6

A       

 

 

 

 

 



 



  

b) (2 điểm)

3 n + 2 - Với số nguyên dương n ta có:

3n2 2n2 3n 2n

   = 3n23n 2n2 2n =3 (3n 21) (2 n 21)

=3 10 10 2n  n  n  n110 = 10( 3n -2n)

Vậy 3n2 2n2 3n 2n

    10 với n số nguyên dương.

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm điểm 0,5 điểm

Bài 2:(4 i m)đ ể

Đáp án Thang điểm

a) (2 điểm)

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm

  2

2 3 3

1

2 3 3

1 3, 2 16

3 5 5

1 14

3 5

1 x x x x x x x

x  

                                    

b) (2 điểm)

   

   

1 11

1 10

7

7

x x x x x x x                

  1  10

1

10

7

1 ( 7)

7

( 7)

7

10 x x x x x x x x

x  x

                                     0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Bài 3: (4 i m)đ ể

Đáp án Thang điểm

a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c =

2 : :

5 6 (1) a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1) 

2

5

a b c

 

= k 

2

; ;

5

k a k b k c

0,5 điểm 0,5 điểm

Do (2) 

2

( ) 24309

25 16 36

k   

 k = 180 k =180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30 Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237 b) (1,5 điểm)

Từ

a c

c b suy c2 a b.



2 2

2 2

a c a a b

b c b a b

 



 

=

( ) ( ) a a b a b a b b

  

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Bài 4: (4 i m)đ ể

Đáp án Thang điểm

Vẽ hình 0,5 điểm

a/ (1điểm) Xét AMC EMB có :

AM = EM (gt )



AMC = EMB (đối đỉnh )

BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm  AC = EB

K

H

E M

B

A

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE 0,5 điểm

b/ (1 điểm )

Xét AMI EMK có :

AM = EM (gt )



MAI = MEK ( AMCEMB ) AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy 

AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

 EMK + IME = 180o

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o



HBE

 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o

0,5 điểm



HEM

 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o

0,5 điểm



BME góc ngồi đỉnh M HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngồi tam giác ) 0,5 điểm

200

M A

B C

D

-Vẽ hình

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) điểm

suy DAB DAC 0,5 điểm

Do DAB 20 : 100  0,5 điểm

b) ABC cân A, mà A200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800 

ABC nên DBC600 0,5 điểm

Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600 200.

Tia BM phân giác góc ABD

nên ABM 100 0,5 điểm

Xét tam giác ABM BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm

Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đạt điểm tối đa.

Đề số 53: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian làm 120 phút)

Câu ( điểm)

a [6.(−1

3)

2

−3 (−1

3)+1]:(− 3−1)

b (

2 3)

3

.(−3

4)

2

.(−1)2003

(25)

2

.(−

12)

3

Câu ( điểm)

a Tìm số nguyên a để a

2 +a+3

a+1 số nguyên b Tìm số nguyên x, y cho x- 2xy + y =

Câu ( điểm)

a Chứng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c(b + d) th× a

b= c

d víi b, d kh¸c

b Cần số hạng tổng S = + + +… để đợc số có ba chữ số ging

Câu ( điểm)

Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy

®iĨm D cho CD = 2CB Tính góc ADE

Câu ( 1điểm)

Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2- 2y2 = 1

Đáp án chấm Toán 7

Câ

u Híng dÉn chÊm §iĨm

1.a Thực theo bớc kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm

2.a

Ta cã : a

+a+3

a+1 =

a(a+1)+3

a+1 =a+

3

a+1 a số nguyên nên a

2 +a+3

a+1 số nguyªn

3

a+1 số nguyên hay a+1 ớc ta có bảng sau :

a+1 -3 -1

a -4 -2

VËy víi a {−4,−2,0,2} th× a2+a+3

a+1 số nguyên

0,25

0,25 0,25 0,25

2.b Tõ : x- 2xy + y =

Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1

Vì x,y số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) số nguyên ta có trờng hợp sau :

¿

1−2y=1

2x −1=−1

⇒

¿x=0

y=0 ¿{

¿

Hc

¿

1−2y=−1

2x −1=1

⇒

¿x=1

y=1 ¿{

¿

VËy cã cỈp sè x, y nh thoả mÃn điều kiện đầu

0,25

0,25 0,25 0,25

3.a V× a + c = 2b nªn tõ 2bd = c(b + d) Ta cã: (a + c)d =c(b + d)

Hay ad = bc Suy a

b= c

d ( §PCM)

0,5 0,5 3.b Gi¶ sư sè cã chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0)

Gọi số số hạng tổng n , ta cã :

n(n+1)

2 =111a=3 37 a Hay n(n + 1) =2.3.37.a

VËy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tè vµ n + < 74 ( NÕu n = 74 không thoả mÃn )

Do ú n=37 n + = 37

Nếu n =37 n + = 38 lúc n(n+1)

2 =703 không thoả mÃn

Nu n + 1=37 n = 36 lúc n(n+1)

2 =666 thoả mÃn

Vậy số số hạng tổng lµ 36

0,25 0,25

B C D H

A

Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300

Nªn CH = CD

2 ⇒ CH = BC

Tam giác BCH cân C CBH = 300 ⇒ ABH = 150

Mµ BAH = 150 nên tam giác AHB cân H

Do tam giác AHD vng cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750

0,5

0,5 1,0 1,0 Tõ : x2- 2y2 =1suy x2- = 2y2

Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x = lúc y = nguyên tố thoả mãn

Nếu x khơng chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết

cho Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho x2 =19 khơng thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu (2;3)

0,25 0,25

0,25 0,25

Đề số 54: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài (4đ) - Rút gọn biểu thức

a- A = a - + - 2a - + a

b- √1+2+3+ +(n−1)+n+(n −1)+ +3+2+1 víi n N

Bài (4 đ)

Chứng minh : a,b,c số không âm thoả mÃn điều kiện sau : a + c = vµ a + b = th× N = a + b - c - 17

2 số khơng dơng Tìm a,b,c N =

Bài (4 đ)

Cho biÓu thøc A = x2−3

2+x

Biểu thức A có giá trị lớn hay nhỏ nhát ? Tìm giá trị

Cho tam gi¸c cân ABC có ACB = 100 0 Phân giác CAB cắt CB D

Chứng minh r»ng AD + DC = AB

Bµi ( ®)

Cho tam giác ABC có AB = AC Trên đờng thẳng vng góc với AC C lấy điểm D cho hai điểm B , D nằm khác phía đờng thẳng AC Gọi K giao điểm đ-ờng thẳng qua B vng góc với AB đđ-ờng thẳng qua trung điểm M CD vng góc với AD

Chøng minh KB = KD

-***** -Đề số 55: đề thi học sinh giỏi

(Thêi gian lµm bµi 120 phót)

Bài 1:Thực phép tính (2 điểm) a/ 59:(

11 − 22)+

5 9:(

1 15 −

2

3) b/ (

69

167 −(2+(3+(4+5

−1)−1)−1)−1

)−1

Bài 2:So sánh (2 điểm)

a/ 7+√5 với √48+2 b/ √(1−√50)2 với

Bài 3:Tìm x, y, z biết (4,5 điểm)

a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50

b/ 31 2:(4−

1

3|2x+1|)= 21 22

c/ 373x −2y=5y −3z

15 =

2z −5x

2 10x - 3y - 2z = -4

Bài 4:(6 điểm)

Cho hàm số y=(m+2009)x+2|x| Biết đồ thị hàm số qua điểm A(-1; -1) a/ Tìm m

b/ Vẽ đồ thị hàm số với m tìm

c/ Điểm sau khơng thuộc đồ thị hàm số B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10)

Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm Trên BC lấy điểm D cho góc BAD = 600 Gọi H trung điểm BD

a/ Tính độ dài HD

b/ Chứng minh ∆DAC cân c/ ∆ABC tam giác gì?

d/ Chứng minh AB2 + CH2 = AC2 + BH2

=======¯&¯=======