Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.. Tìm phần thực và phần ảo của z.[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Mơn thi : TỐN
Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 (2m 1)x2 + (2 m)x + (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
2 Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có hồnh độ dương
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình (1 2sin x) cos x sin x cos x Giải bất phương trình x x 2 5x (x ) Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
2x x
0
I (e x)e dx
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Câu V (1,0 điểm)
Cho a b hai số thực thoả mãn < a < b < Chứng minh a2lnb b2lna > lna lnb
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5x+y9 = x + 3y = Tìm toạ độ đỉnh A B
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P1) : x + 2y + 3z + = (P2) : 3x + 2y z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) (P2)
Câu VII.a (1,0 điểm)
Cho số phức z thoả mãn (1 + i)2(2 i)z = + i + (1 + 2i)z Tìm phần thực phần ảo z
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng 1 : x 2y = 2 : x + y +1 = Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2
1
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) trọng tâm G(0; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm C vng góc với mặt phẳng (ABC)
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải phương trình sau tập hợp số phức :
4z 7i
z 2i z i
(2)BÀI GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 1) m = 2; y = x3 - 3x2+2
TXĐ D = R ; y’ = 3x2 - 6x; y’ = x = x = 2 limx y
; limx y
x + y' + - +
y + - -2
y đồng biến khoảng (-;0); (2;+ ); y nghịch biến (0;2) y đạt cực đại x = giá trị cực đại 2;
y đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu -2 giao điểm đồ thị với trục tung (0;2)
giao điểm đồ thị với trục hoành (1;0); 1 3;0 y’ = 3x2 – 2(2m – 1)x + – m = (*)
Ycbt pt (*) có hai nghiệm dương phân biệt
' P S
2
4m m m
0 2(2m 1)
0
5 m hay m
4 m
1 m
2
4 < m < 2
Câu II : 1. Pt (1 + 4sinx + 4sin2x)cosx = + sinx + cosx cosx + 4sinxcosx + 4sin2xcosx = + sinx + cosx 4sinxcosx(1 + sinx) = + sinx
+ sinx = hay 4sinxcosx = sinx = -1 hay sin2x =
1
2 x = k2
hay x = 12 k
hay x =
k 12
x x 2 5x 1
x
(x 1)(x 2)
x x
2 x x
x x
Câu III: I =
1
x x
0
e dx xe dx
; I1 =
1
x x
0
1 e dx e
e
I2 =
x
0 xe dx
, đặt u = x du = dx; đặt dv = exdx, chọn v = ex
x y
2
1
-1
(3)Vậy I2 =
1
x x
0
xe e dx 1
I = I1 + I2 =
e
Câu IV: Gọi I trung điểm AB
Ta có MN // AB // CD SP CD MN SP SIP cân S, SI2 =
2
2 a 7a
2a
4
SI = SP = a
2
Gọi O tâm hình vng ABCD, ta có SO2=SI2–OI2 =
2
2
7a a 6a
4
SO = a
2 , H hình chiếu vng góc P xuống mặt phẳng SAB Ta có S(SIP) =
1
SO.IP PH.SI
2 2 PH = SO.IP
SI =
a a a
2 a
V =
3 (AMN )
1 1 a a a a S PH
3 2 2 48
(đvtt)
Câu V :Đặt
ln x
f (x) ; x x
2
2
x 2x ln x
f '(x) , x (0;1) x(x 1)
f đồng biến (0 ; 1)
f(b) > f(a) với < a < b < 1 2 ln b ln a b a
với < a < b < 1
2
a ln b b ln a ln a ln b
Câu VI.a.
1 Giả sử AM: 5x + y – = 0, BH: x + 3y – = AC: 3(x + 1) – 1(y + 2) = 3x – y + = A = AC AM A(1; 4)
B BH B (5 – 3m; m) M trung điểm BC M
4 ;
2
m m
ổ- - ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ.
M AM
4
5
2
m m
- + - - =
0
m
Û = Vậy B(5; 0)
2 n( )P1 =(1;2;3 ,) n( )P2 =(3;2; 1- )
uuur uuur
(P) qua A(1; 1; 1) (P) (P1), (P2) (P) có vectơ pháp tuyến:
1
( )P ( )P , ( )P
n = êén n ùú
ë û
uuur uuur uuur
= (-8; 10; -4) = - 2(4; – 5; 2)
Phương trình mặt phẳng (P): 4(x – 1) – 5(y – 1) + 2(z – 1) = 4x – 5y + 2z – =
A
B C
D S
P I
O
(4)Câu VII a. ( ) ( )
1+i 2- i z= + + +8 i (1 )i z
( )(2 2i i z) (1 )i z i
Û - - + = + Û z iêëé4 + -2 2- iúûù= +8 i
(8 )(1 2)
8 15 10 15 2 3
1 5
i i
i i i
z i
i
+
-+ - +
-Û = = = = =
-+
Phần thực z Phần ảo z – Câu VI.b M 1 M (2m + 3; m)
d(M, 2) =
2
2m m 1
2
3m + 4= m = -1 hay m =
Vậy M (1; -1) hay M (
;
) G trọng tâm ABC C (-1; 3; -4)
AB ( 1;1;1)
; AC ( 2;2; 4)
a [AB, AC]6(1;1;0)
pt :
x t y t z
(t R)
Câu VII.b
4z 7i
z 2i z i
4z – – 7i = z2 – 3iz – z2 – (4 + 3i)z + + 7i = 0 = (4 + 3i)2 – 4(1 + 7i) = – 4i = (2 – i)2
Vậy
4 3i i
z i
2
hay z =
4 3i i
1 2i