3) Gäi r lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn SABC.[r]
(1)Câu I.1), 2) Bạn hÃy tự giải nhÐ!
3) Trỷớc hết, lập phỷơng trình đỷờng thẳng qua A (xo, 0) có hệ số góc k:y = k(x - xo) Hoành độ tiếp điểm đỷờng thẳng y = k(x - xo) với đồ thị hàm số phần 1) nghiệm hệ
x + x -
x + = k(x - x ) (1) x + 4x +
(x + 2) = k (2)
2
o
2
2
ì í ïï ïïï ỵ ïï ïïï
ThÕ k tõ (2) vµo (1) ta ®ûỵc (1 - x )xo + 2(3 - 2x )x + - 5xo o = (x Ô - 2) (3) Để thỏa mÃn yêu cầu toán (3) có nghiệm -2.
ó x = -2 : (3)trở thành : xo= -2 Khi nghiệm (3) làx = - 5x
(1 - x )x = -8
o
o o
·1 - xo= : (3)trë thµnh2x + = 0Ûx = -1
2
· D‘ = (3 - 2xo)2- (1 - xo)(6 - 5xo) =
Ûx + x - = x = -1 13
o
o
±
KÕt ln :Cã ®iĨm :(-2 , 0) ; (1 , 0); - - 13
2 ,
ổ ố ỗỗ
ỗỗ ửứữữữữvà - + 13
2 ,
ổ ố ỗỗ
ỗỗ ửứữữữữ
Câu II.1)a(b - c)2+ b(c - a)2+ c(a + b)2>a3+ b3+ c3
Ûa[(b - c)2- a2] + b[(c - a)2- b2] + c[(a + b)2- c2]>0
Ûa(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c - a + b) + c(a + b - - c)(a + b + c)>0
Û(a + b - c)[a(b - c - a) + b(a - b - c) + c(a + b + c)]>0
Ûc2- (a2+ b2) + 2ab>0Ûc2- [a2+ b2- 2ab]>0Û
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi mạng
(2)c2>(a - b)2c>|a - b|
Bất đẳng thức sau a, b, c ba cạnh tam giác 2) D nhn thy rng 12 + 0,5sinyấ12,5.
Mặt khác:
A = cos
cos sin sin
2
2
2
2
1
x
x x x
+ æ
ố ỗỗ
ỗ ứữữữ +ử ổốỗỗỗ + ữữữứử = (cos4x + sin4x) + cos x14 + sin x14 + =
ổ ố ỗỗ
ỗ ửứữữữ
= 1-1
2sin 2x + 1-1
2sin 2x
16sin 2x
+ =
2
2
4
5 -
2 sin 2x +
8(2 - sin 2x) sin 2x
2
4
(0<sin22xÊ1).Nhận thấy sin22x tăng A giảm, sin22x = A đạt giá trị nhỏ 12,5
VËy ta cã kÕt qu¶ : (x , y) nghiệm phỷơng trình ban đầu chØ (x , y) lµ nghiƯm cđa hƯ:
sin22x = x =p p
4+k2
siny = y =p
2+ 2mp(k, mỴZ).
Câu III.1) Xét a = Lúc phỷơng trình có dạng :
3 x2 + m3 x2 = (m + 1)3 x2. (*) Dù m nhận giá trị (*) thỏa mãn với x
Xét aạ0 ; Khi số x = a khơng phải nghiệm, ta chia hai vế cho3 (x - a)2 đỷợc:
3 x + a
x - a + m = (m + 1)3
x + a x - a
2
ổ ố ỗỗ
ỗỗ ữữữữ
Đặtt = 3 x + a
x - a th× sÏ cã : t
2
- (m + 1)t + m = 0Û t1= ; t2= m
www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
(3)a) x + a
x a- = :v« nghiƯm(do a¹0)
b) x + a
x a- = m
3
.Điều kiệnxạa.
Ta cóx + a = m3(x - a) hay (m3- 1)x = (m3+ 1)a (**)
Nếumạ1 thìx = m + m - a
3
3
æ è ỗỗ
ỗỗ ữữữữ
Nếum = thì(**) vô nghiệm (vìaạ0). Kết luận :
Nu a = với m, phỷơng trình nghiệm với mi x
Nếu aạ0 ; mạ1 : phỷơng tr×nh cã nghiƯm nhÊt : x = m +
m - a
3
3
ổ ố ỗỗ
ỗỗ ữữữữ
Nếu aạ0 ; m = : phỷơng trình vô nghiệm
2) Ta cã :0£(x + y + z)2= x2+ y2+ z2+ 2(xy + yz + zx) == + 2(xy + yz + zx)Û xy + yz + zx³-1
2
Mặt khác lại có:
0Ê(x - y)2+ (y - z)2+ (z - x)2== 2(x2+ y2+ z2) - 2(xy + yz + zx) == - 2(xy + yz + zx)Þxy + yz + zx£1
www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng
(4)www.khoabang.com.vn Luyện thi mạng _ C©u IVa
1
2
0
dx 1
I dx
x x
[(x 1)(x 2)]
= = − + + + + ∫ ∫
1 1
2
0 0
dx dx 1
2 dx
x x
(x 1) (x 2)
= + − − + + + + ∫ ∫ ∫
= + 2ln3 − 4ln2
C©u Va
1) Giả sử D(x , y )o o thuộc (∆) cho A, B, C, D hàng điểm điều hịa Khi ta có :
CAJJJG=kCBJJJG vµ DAJJJG= −kDBJJJG ;
CAJJJG = (−1/2 ; −1), CBJJJG = (3/2 ; 3) ⇒ k
= − ;
o o o o
1
DA ( x ; y ) (2 x ; y )
3
= − − − = − − =
JJJG 1
DB
= JJJG ⇒ o o x y 3, = − = −
vậy D(1, 3) điểm phải tìm
2) Gọi tọa độ điểm M (x , y )o o ta có
M ∈∆⇒ 2xo−yo− =1 (1)
o o
EM=(x −1 ; y −6)
JJJJG
, FMJJJG=(xo+3 ; yo+4)
Do EMJJJJG JJJG+FM=(2xo+2 ; 2yo−2)
2
o o
EMJJJJG JJJG+FM =2 (x +1) +(y −1)
2
o o
2 (x 1) 4(x 1)
= + + − (do (1))
2
o o
2 5x 6x
= − +
⇒ EM FMmin 5
+ =
JJJJG JJJG
, đạt đ−ợc xo
= , yo
= Điểm cần tìm M 1, 5
C©u IVb
1) Do BSCn=60o nên SBC tam giác BC = a Do ASC tam giác vuông cân nên AC=a
Còn ABS tam giác cân có góc đỉnh 120o nên AB=a Để ý AB2=AC2+CB2 nên ACBn=90o
2) Do SA = SB = SC = a nên H cách A, B, C Do ACBn=90o
nên H trung điểm AB
3) Gọi r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện SABC Ta cã : r 3V
S
= ,
trong V thể tích, S diện tích tồn phần SABC Ta dễ dàng tính đ−ợc
2 2
2
a a a a
S
2 4
a
( 1)
2
= + + +
= + +
,
(5)www.khoabang.com.vn LuyÖn thi mạng _
2
1 a a a
V SH.dt(ABC)
3 2 12
= = =
VËy
a
r
2
=
+ +
4) Rõ ràng góc phẳng nhị diện cạnh AB 90o Gọi I trung điểm BC HI ⊥ BC vµ
n
a
SH 2
tgSIH
IH a 2
2
= = =
T−¬ng tù n
a
SH 2
tgSJH
a JH
2