a) Anh (chị) hãy giải và hướng dẫn học sinh giải bài toán trên. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với MI cắt Ax, By thứ tự tại C và D. Tìm vị tr[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THCS CHU KÌ 2009 – 2012
Đề thi lý thuyết mơn: TỐN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6.0 điểm)
a) Anh (chị) nêu đường dạy học định lý toán học hoạt động trình tự dạy học định lý toán học?
b) Theo anh (chị) tình gợi vấn đề (hay tình có vấn đề) dạy học Tốn? Lấy ví dụ minh hoạ
Câu 2: (4.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O điểm M nằm ngồi đường trịn Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB với đường tròn.Chứng minh MT2 = MA.MB.
a) Anh (chị) giải hướng dẫn học sinh giải toán b) Phát biểu chứng minh toán đảo
Câu 3: (4.0 điểm)
Một học sinh giải phương trình x2 1 x x1 sau:
"Điều kiện:
2 1 0 1
1
1
x x x
x
x
x x
1
1
x
x x
Khi phương trình cho tương đương với: x 1 x1 x 1 x
Vì x1 nên x 1 0, chia hai vế phương trình cho x1ta được:
1 1
x x
Vì với x1thì x 1 x1 nên x 1 x1. Vậy phương trình cho vơ nghiệm."
a) Anh (chị) sai lầm học sinh trình bày lời giải toán? b) Hãy sai lầm tương tự ?
Câu 4: (2.0 điểm)
Anh (chị) giải toán sau:
Cho số thực x, y thoả mãn x y x , y x2, y4 số nguyên Chứng minh x3 y3 số nguyên
Câu 5: (4.0 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB có tâm O Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn I điểm cố định thuộc đoạn thẳng AB (I khác A, B), M điểm chuyển động nửa đường tròn (M khác A, B) Qua M vẽ đường thẳng vng góc với MI cắt Ax, By thứ tự C D Tìm vị trí điểm M nửa đường trịn để diện tích tam giác CID bé
a) Hãy giải toán trường hợp điểm I trùng với điểm O b) Hãy giải toán trường hợp điểm I khác với điểm O
- Hết
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
1 6 đ
1.a 4.0 đ
+Dạy học định lý tốn học thực theo đường - Con đường có khâu suy đốn
- Con đường suy diễn
+Trình tự dạy học định lý thường bao gồm hoạt động sau HĐ1: Hoạt động tạo động học tập định lý
HĐ2: Hoạt động phát định lý ( Khi dạy định lý theo đường suy diễn, hoạt động bỏ qua)
HĐ3: Hoạt động phát biểu định lý HĐ4: Hoạt động chứng minh định lý HĐ5: Hoạt động củng cố định lý
HĐ:6 Bước đầu vận dụng định lý tâp đơn giản HĐ7:Vận dụng định lý tập tổng hợp
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 1.b
2.0 đ
+ Tình gợi vấn đề, hay tình có vấn đề tình gợi cho học sinh khó khăn lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết có khả vượt qua, khơng phải tức khắc nhờ thuật giải mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động điều chỉnh kiến thức sẵn có
+ Ví dụ: Sau học định lý tổng ba góc tam giác 1800, GV đặt cho HS câu hỏi : “Tổng góc tứ giác có phải số khơng”
1.0 1.0
2 đ
2.a đ
* Chứng minh tam giác MAT đồng dạng với tam giác MTB Từ suy
MA MT MT MB MT2 = MA.MB * Giáo viên đặt cho học sinh số câu hỏi gợi mở sau:
+ Đẳng thức MA.MB = MT2 tương đương với đẳng thức nào? + Để chứng minh tỷ số ta thường chứng minh nào? + Tìm cặp tam giác đồng dạng?
+ Giả thiết tiếp tuyến vận dụng toán
0.5 0.5
0.25 0.25 0.25 0.25 2.b * Phát biểu tốn đảo:
(3)trịn tâm O Chứng minh MT2 = MA.MB MT tiếp tuyến đường tròn tâm O.”
* Chứng minh:
Chứng minh tam giác MTA đồng dạng với tam giác MBT ( g-g ) =>
1
2
MBT MTA AOT
AOT 2OTA 1800 =>
1
90 AOT OTA
=> MTA AT 90 0 => MT OT
1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 3a
Sai lầmcủa HS từ
( 1)( 1)
1 x x x
Khẳng định
1 x x
là chưa mà từ
( 1)( 1)
1 x x x
ta hệ điều kiện
1 x x
1 x x
từ suy điều kiên phương trình
phải : x x = -1
1 điểm
b *Lời giải ĐK :
( 1)( 1)
1 x x x
Tương đương với
1 x x
1 x x
Từ suy điều kiện phương trình : x x = -1 Với x=-1 ta thấy VT = VP Vậy x= -1 nghiệm phương trình Với x1giải phương trình nêu giải học sinh Vậy phương trình có nghiệm x = -1
* Ví dụ sai lầm tương tự: Sai lầm dạng A B 0
0 A B 0.5 0,5 0,75 0,25 1.0 2.0
2.0 đ Ta có ( x+ y ) ( x2 +y2) = x3 + y3 + xy ( x+y ) (1 )
Vì x +y, x2 + y2 là số nguyên nên để chứng minh x3 + y3 số nguyên ta cần chứng minh xy số nguyên
Ta có x2 + y2
= ( x + y )2 - 2xy (2) Vì x+ y , x2 + y2 số nguyên nên từ (2) suy 2xy số nguyên Mặt khác x4 + y4 = ( x2 + y2 )2 - 2x2y2 (3)
x2 + y2, x4+y4 số nguyên nên từ (3) suy 2x2y2 số nguyên, suy
1
2(2xy)2 số nguyên, suy (2xy)2 chia hết cho 2, suy 2xy chia hết cho (do số nguyên tố 2xy nguyên), suy xy số nguyên
Do từ (1) suy x3 + y3 số nguyên
1.0 0,25
(4)5 4.0 5a
2.0 đ
Khi I trùng O tam giác CID tam giác COD IM = OM = R ( R bán kính đường trịn đường kính AB)
SCOD =
0.5
5b 2.0 đ
Từ giả thiết suy tứ giác ACMI, BDMI nội tiếp Suy MAI MCI MBI , MDI
MCI MDI MAI MDI = 900 CID 900 CIA BDI
Tam giác AIC vuông A os
AI IC
c
Tam giác BID vuông B sin
BI ID
SCID =
2
1
2 sin os sin os
IA IB IA IB
IC ID IA IB
c c
Dấu "=" xảy sin = cos = 450 AIC BID 450 BMM ' 45
M' điểm cung AB
+ Cách xác định điểm M:
- Lấy M’ điểm cung AB (1) - Lấy điểm C thuộc tia Ax cho AI = AC
- Xác định M giao điểm CM’ nửa đường trịn đường kính AB (M khác M’)
+ Chứng minh M thỏa mãn yêu cầu toán:
Theo (1) BMM ' 45 AMC 450 (Do AMB900) Theo (2) AIC 450 AICAMC 450
tứ giác ACMI nội tiếp CMI 900 IM CD
(5)