DE VA DA HSG VINHPHUC

[r]

SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010

- ĐỀ THI MƠN: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ——————————

Câu (2.5 điểm)

Giai phương trinh: 

  

2

2

8

16 16

y x x

x y x xy y

   

 

     

 Câu (2.0 điểm)

Tim tất ca các số nguyên dương n có tính chất với mỗi số nguyên lẻ a mà a2 n thi n chia hết cho a. Câu (3.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AD BE CF, , là ba đường cao D BC E CA F ,  , AB

Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt lại đường tròn ( )O tại điểm M

1 Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm một đường tròn

2 Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng GH AN

Câu (1.5 điểm) Chứng minh rằng:

 2

3

1 1

( )( )( )

a b c abc

a b b c c a abc a b b c c a

  

   

      với a b c, , 0 Câu (1.0 điểm)

Mỗi ô vuông đơn vị của bang kích thước 10 10 (10 dòng, 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 cho bất kỳ hai số nào ghi hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bang là hai số nguyên tố cùng Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần

—Hết—

(Cán coi thi khơng giải thích thêm)

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn: Tốn 9

Câu (2.5 điểm).

Nội dung trình bày Điểm

Viết lại phương trinh thứ hai của về dạng     4 8 16 16 5 0

y  x y  x x 

Coi là phương trinh bậc hai, ẩn y x, là tham số Có    

2 2 2

' 2x 16 16x 5x 9x

       0.5

Từ đó, tim được y 4 x y, 5x4 0.25 - Nếu y 4 x, thay vào phương trinh thứ nhất, giai được x0,x2,x5 0.5

 Với x0 thi y 4 x4  Với x2 thi y 4 x6  Với x5 thi y 4 x9

0.25

- Nếu y5x4, thay vào phương trinh thứ nhất, giai được x0,x2,x19 0.5  Với x0 thi y5x 4

 Với x2 thi y5x 4  Với x19thi y5x 4 99

0.25

Vậy, các nghiêm của là x y;   0; , 2;6 , 2; , 5;9 , 19;99          0.25 Câu (2.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

Gọi a là số lẻ lớn nhất mà a2 n. Khi ấy   2

n a 0.25

Nếu a7 thi a 4,a 2,a là các ước lẻ của n. Để ý rằng, các số này nguyên tố cùng đôi

một, nên a a  2 a | n Suy

 2  4  22 7 4 4 0 2 7 4 1 0

a a a  n a  a  a  a   a a  a 

Vô lý (do a7).

0.5

Do đó a1 hoặc a3 hoặc a5 0.25

- Nếu a1 thi 12  n 32 n1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 0.25 - Nếu a3 thi 32  n 52 n9,12,15,18, 21, 24 (do 1,3|n) 0.25 - Nếu a5 thi 52  n 72  n30, 45 (do 1,3,5|n) 0.25 Vậy tất ca các số nguyên dương n cần tim là 1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45 0.25

Câu (3.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

1 Chứng minh rằng bốn điểm A M E F, , , cùng nằm đường tròn. 1.5 Nhận xét: Cho tứ giác ABCD, P là giao điểm của AB và CD Tứ giác ABCD nội tiếp

và chỉ khi: PA PB PC PD 

- Áp dụng nhận xét cho tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM GA GB GC  

( Nếu học sinh áp dụng cho điểm tối đa)

- Áp dụng cho tứ giác BFEC nội tiếp, ta được GB GC GF GE   0.5

- Suy GF GE GM GA   0.25

- Do đó, tứ giác AMFE nội tiếp 0.25

2 Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng

GH AN 1.5

- Theo kết qua phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy M nằm đường tròn đường kính AH,

do đó HM MA 0.25

- Tia MHcắt lại đường tròn ( )O tại K, đó AMK 90 nên AK là đường kính của ( )O . 0.25 - Từ đó suy KCCA KB, BA Suy KC BH KB CH|| , || , đó BHCK là hinh binh hành

Suy KH qua N 0.5

- Khi đó M H N, , thẳng hàng 0.25

- Trong tam giác GAN có hai đường cao AD NM, cắt tại H, nên H là trực tâm của tam

giác GAN Suy GH AN 0.25

Câu (1.5 điểm)

N D K M G F E H O B C A

Nội dung trình bày Điểm

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

 2

3

1 1

( )( )( )

2

a b b c c a a b c abc

a b b c c a abc

                  0.25 Chứng minh

2 2

(a b b c c a )(  )(  )c a b(  )a b c(  )b c a(  ) 2 abc 0.5

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz

 

 

2 2

3

2

3

2

1 1

( ) ( ) ( )

2

1 1

2

c a b a b c b c a abc

a b b c c a abc

c a b a b c b c a abc

a b b c c a abc

c a b abc

                                    

Dấu “ = ” xay và chỉ c a b(  )a b c(  )b c a(  ) 2 abc abc.6  a b c 

0.5 0.25 Câu (1.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

- Trên mỗi hinh vuông con, kích thước 2 chỉ có không quá số chia hết cho 2, cũng vậy, có

- Lát kín bang bởi 25 hinh vuông, kích thước 2 , có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia hết cho Vi vậy, chúng phai là một các số 1,5,7

- Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiên ít nhất 17 lần

0.5