Toán học không chỉ xâm nhập vào các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật mà còn vào cả sinh học, ngôn ngữ học, tâm lý học, xã hội học. Trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá ở nước[r]
(1)Phòng Giáo Dục Đào Tạo Mỹ Đức Trường THCS Tuy Lai
-
Sáng Kiến Kinh Nghiệm
Đề tài:
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH NHẨM
********
Họ tên giáo viên: Lê văn Thăng
Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên
(2)I KHÁI QUÁT NỘI DUNG CHÍNH
A ĐẶT VẤN ĐỀ
- Vai trị, tác động tốn học với đời sống, với ngành khoa học kỹ thuật
- Vị trí mơn tốn trường THCS
- Khả học toán em trường THCS
- Do yêu cầu đổi phương pháp: “Thầy chủ đạo , trò chủ động”
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Ý tưởng nghiên cứu đề tài từ toán thực tế với cách giải độc đáo đúc rút từ vận dụng linh hoạt nội dung chương trình
Phương pháp dạy học thầy, cách tìm tịi thực nghiệm để đúc rút dạng vận dụng kiến thức vào làm phép tính nhẩm
Mười dạng tập khác nhau, dạng nêu ví dụ cụ thể, sở cách làm, làm
Dạng 1 : Nhẩm bình phương số có chữ số tận
Dạng 2 : Vận dụng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính
nhẩm
Dạng 3 : Nhẩm bình phương số lớn 50 chút
Dạng 4 : Nhẩm bậc hai số phương
Dạng 5 : Nhẩm tích hai số nhỏ 100 chút
Dạng 6 : Nhân nhẩm tích hai số lớn 100
Dạng 7 : Nhẩm tích hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn, hàng trăm giống Tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị hai thừa số 100
Dạng 8 : Tính nhanh số biểu thức
Dạng 9 : Dãy phân thức viết theo quy luật
(3)C KẾT QUẢ THỰC HIỆN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM
- Kết qua số năm giảng dạy gần - Bài học rút qua đề tài
II NỘI DUNG CHI TIẾT
A ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thời đại cơng nghiệp hố, đại hố ngày nay, điểm đáng ý cách mạng khoa học kĩ thuật diễn nhanh vũ bão thâm nhập ngày nhiều máy tính điện tử, cơng nghệ thơng tin vào ngành khoa học khác mà chìa khố tốn học
(4)rồi qua tự tìm hiểu, nghiên cứu cách thức phương pháp, tơi thấy phương pháp sử dụng phép tính nhẩm tâm đắc Tôi đem trao đổi anh chị em đồng nghiệp, họ mang thực nghiệm thực tế giảng dạy Và thấy kết thu khả quan
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1a) Khi bồi dưỡng cho em giỏi tốn, tơi cho em làm tập sau :
Tính giá trị biểu thức : A = 11
4 0,8 +
20,04 2211 2004 22,11
-2,003 :95,9 20,03: 959
Trong đại đa số em khác dùng máy tính để tính giá trị biểu thức A Tôi quan sát không thấy em Kiên làm mà ngồi suy ngẫm, sau em hỏi tơi ngay: “Thưa Thầy A = 1” Nhiều em ngỡ ngàng không tin em nói đáp số mà khơng cần dùng máy tính, khơng làm nháp Em trình bày nhận xét mình:
Em nhận thấy 11
4 0,8 hai số nghịch đảo : 11
4 =
4 ; 0,8 =
5 => 1
4 0,8 =
* 20,04 2211 = 2004 22,11 => 202004 22,04 2211,11 = * 2,003 : 95,9 = 20,03 : 959 => 202,003 :95,03: 959,9 = 1 Do A = +1 -1 => A =
Qua lời giải xác định linh hoạt em Kiên dựa vào kiến thức vận dụng cách sáng tạo nội dung sau toán học:
+ Quan hệ thừa số với kết phép nhân ( chia ) + Quy tắc biểu diễn hỗn số phân số
+ Rút gọn phân số
+ Quy tắc nhân phân số ( xác định số nghịch đảo ) + Thứ tự thực phép tính
(5)của phép tính nhẩm, khơng phải thích thú với phép tính nhẩm Nhiều em cho thời đại công nghệ thông tin điện tử cần bấm máy tính xong, khơng cần tính nhẩm làm cho đau đầu Để giúp em bỏ quan điểm yêu cầu em nghiên cứu để giải tốn mà nhiều tính nhẩm cịn nhanh bấm máy Chẳng hạn toán sau:
1) Tìm a N biết : a(a −2 1) = 36
2) Tính tích : +/ ( a2+ a + ) ( a2 - a - )
+/ ( a + )( a23-1 +
2
a2+2a+1 )
3) Tính giá trị biểu thức :
A = 2004(1 6)(1 7) (1 9 9)
B = ( 100 - 12 ) ( 100 - 22 ) …( 100 - 252)
Lời giải tốn thực khơng có khó khơng có u cầu tính nhẩm, tìm tịi lời giải nhanh nhất, đơn giản Để giúp em thực yêu cầu đề yêu cầu em thực quy trình sau:
+ Ở nhà : Cá nhân tự nghiên cứu, đề xuất cách giải + Đến lớp : Tiết : Thảo luận cách giải nhóm
Tiết : Thảo luận cách giải hay nhóm Tiết : Áp dụng cách giải hay vào toán khác
Chẳng hạn vào ba ví dụ sau
* Ví dụ 1 : Tính nhẩm nghiệm nguyên, dương phương trình có dạng x ( x + ) = p hay ( x - ) x = q
(6)Ta thấy x nguyên , dương nên x + > x - 3; 13 = 65
x - = ( x + = 13 )
=> x =
* Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 12a2 - 15 ab + 3b2 thừa số để từ rút
ra cách phân tích đa thức có dạng : Số hạng có hệ số đối tổng hệ số hai số hạng lại tích hệ số hai số hạng tích hệ số hai số hạng lại
* Ví dụ 3 : Áp dụng cơng thức nhân nhanh : chẳng hạn áp dụng a2 = ( a - b ) ( a + b ) + b2 vào tính nhẩm 1152 , 352 ,…
Trong tập yêu cầu em tự đặt trả lời câu hỏi: “Tại làm vậy?” , “Cịn có cách ngắn khơng?”
2 Khơng phải học sinh tự giác làm bài, chịu khó suy nghĩ tìm lời giải hay Bản thân người dạy phải lựa chọn phương pháp giảng dạy cho phù hợp để hướng em vào mục tiêu đề Qua nghiên cứu thực nghiệm, lựa chọn phương pháp dạy sau:
+ Để em đào sâu suy nghĩ, tự giác học tập, người thầy cần dạy, trọng tâm, kiến thức xác, ngơn ngữ truyền đạt sáng, có sức thuyết phục, phải xây dựng khơng khí thầy trị làm việc “Thầy chủ đạo, trò chủ động”
+ Thầy trò mạn đàm trao đổi để thực theo quy trình thống tập thể Cụ thể:
a) Khi cung cấp tốn, trị cần tạo thói quen suy nghĩ: đâu? (với đề tốn) Phải làm gì? (Thấy tốn rõ ràng , sáng sủa tốt) Làm tiện lợi gì? ( quen với toán )
b) Khi hiểu rồi, cần sâu nghiên cứu xây dựng chương trình ( Thầy dùng lời nhắc nhở, kiên nhẫn )
(7)e) Tìm cách giải khác Các em cần ln đặt câu hỏi: “Cịn cách hợp lý không ? Cách ngắn ?”
Với phần 1(b) : a(a −2 1) = 36 => a( a - ) = 72 => a2 - a - 72 =
+ Ta dùng cơng thức nghiệm để giải phương trình bậc hai ẩn
+ Tôi cho em nhận xét a a - hai số nguyên dương Đó hai số tự nhiên liên tiếp bảng nhân ta có 9.8 = 72
=> a = * Từ nhận xét em dễ dàng giải phương trình dạng ( x - n )( x + m) = q
Với phần (b) :
Tính ( a2 + a + ) ( a2 - a - ) Vận dụng nhân hai đa thức em có
thể tính kết Nhưng quan sát hạng tử hai đa thức ta tính nhanh
[ a2 + ( a + ) ] [ a2 - ( a + ) ] = a4 - a2 - 2a -
Tương tự : ( a + ) ( −
a2-1 +
2
a2
+2a+1 ) =
3
a-1 +
a+1 = −
5a+1
a2-1 với a
Thông qua tập ta thấy tác dụng phép tính nhẩm việc giúp em đào sâu suy nghĩ, rèn luyện tư toán học Làm để em tự đề suất cách giải nhanh? Đây vấn đề nan giải, tuỳ thuộc vào linh hoạt, nhanh nhẹn, sáng tạo trò Tuy để phần tạo linh hoạt, hứng thú với mơn tốn tơi cung cấp cho em số thủ thuật để em tính nhẩm Các thủ thuật rút số dạng sau đây:
Dạng 1: Nhẩm bình phương số có chữ số tận
Ví dụ : 152 = 225 1052 = 11025
352 = 1225 1152 = 13225
652 = 4225 1552 = 24025
(8)+ Hai chữ số hàng chục hàng đơn vị 25
+ Các chữ số cịn lại tích số trước số với số tự nhiên liên tiếp đứng đằng sau
Chẳng hạn số có số liên tiếp đằng sau => 3.4 = 12 => 352 = 1225
Số 10 có số liên tiếp đằng sau 11 => 10.11 = 110 => 1052 = 11025
Dạng 2: Vận dụng đẳng thức ( a + b )2 vào làm phép tính nhẩm
1) Ví dụ
a) Tính 112
Ta có ( + )2 = + + 1
Ta xoá dấu cộng Vậy 112 = 121
b) Tính 132 Ta có ( 1+3 )2 = + +
=> 132 = 169
Tại làm ? Sở dĩ ta làm ta áp dụng : ( ab )2 = ( 10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2
Như ta có b2 đơn vị , 2ab chục , a2 trăm dấu cộng mà ta
xoá ta biết thuộc hàng 2) Ví dụ 2
a) Tính 232
Ta có ( + )2 = + 12 +
Nếu máy móc ghi 232 = 4129 sai? Tại sai?
Ta biết tập hợp số tự nhiên, chữ số thuộc hàng phải nguyên dương, nhỏ Nếu lớn 10 phải chuyển lên hàng đứng trước Với ví dụ 12 trăm chục nên trăm phải cộng với trăm
=> 232 = 529
b) Tính 362 Có ( + )2 = 9++¿3
⏟
¿
+¿
6⏟+3
¿
(9)3+ = Vậy 362 = 1296
+ = 12
c) Tính 462 Có ( + )2 = 6⏟+4
❑
8+3 ⏟
❑
6
Lấy + = 11 giữ lại chuyển lên hàng :
Lấy 1+ + = 11 giữ lại chuyển lên hàng 1+1= Vậy 462 = 2116.
d) Tính 982 : Có ( + )2 = 81 + 144 + 64.
Lấy + = 10 giữ lại hàng chục chuyển lên hàng trăm Lấy + + =
+ =
Vậy 982 = 9604.
Dạng : Nhẩm bình phương số lớn 50 chút .
Ví dụ 582 = 3364
Cách làm sau:
+ Lấy hiệu số với 25
+ Viết tiếp vào kết chữ số cuối bình phương hiệu số 50
Với ví dụ ta làm sau: 58 - 25 = 33
( 58 - 50 )2 = 82 = 64 Viết tiếp 64 vào sau 33 => 582=3364
Ví dụ 572 ;
57- 25 = 32
( 57 - 50 )2 = 72 = 49 => 572 = 3249
Tuy nhiên trường hợp áp dụng cách làm máy móc
Chẳng hạn tính 622 ; 62 - 25 = 37
(10)Trong trường hợp : Nếu bình phương hiệu số 50 số có chữ số phải đem chữ số hàng trăm cộng lên với chữ số cuối hiệu
Ví dụ 3 Tính 622 ; 62 - 25 = 37
( 62 - 50 ) 2 = 122 = 144 => 37+1 = 38
Viết tiếp 44 vào sau số 38 Vậy 622 = 3844
Dạng : Nhẩm bậc hai số phương
Để tính nhẩm bậc hai số phương, vận dụng tính
❑
√Δ việc giải tốn cách lập phương trình Tôi hướng dẫn
các em vận dụng chữ số hàng đơn vị để tính nhẩm sơ ban đầu Sau vận dụng ngược lại ba dạng vào tính nhẩm chữ số cịn lại Cụ thể sau:
a Một số số phương chữ số hàng đơn vị số , , , , ,
* Với chữ số hàng đơn vị số có chữ số tận bình phương
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phương
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phương
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phương
* Chữ số hàng đơn vị số có chữ số hàng đơn vị đem bình phương
b Các chữ số thuộc hàng lại ta vận dụng ngược lại ba dạng nhẩm
Ví dụ Tính ❑
√15625 = 125
(11)Vậy ❑
√15625 = 125 Ví dụ Tính ❑
√3844 = 62
Nhận xét : Chữ số 22 82 Ta thử chữ số hàng chục để
ghép với Ta thấy lấy 52 = 25 < 38 nhiều
72 = 49 > 38 không Do ta thử 62 = 36 gần 38
Vậy 622 682.
Bằng cách áp dụng dạng ta thấy 622 = 3844
Vậy ❑
√3844 = 62 Ví dụ 3 Tính ❑
√1369
Chữ số tận đem bình phương 32 = < 10 ;
42 = 16 > 13
Tính 332 = 1089 ;
372 = 1369
Vậy ❑
√1369 = 37
Ví dụ 4 Tính ❑
√4761 ;
Chữ số tận đem bình phương 62 = 36 < 47 ;
72 = 49 > 47
Tính 612 = 3721 ;
692 = 4761
Vậy ❑
√4761 = 69
Ví dụ Tính ❑
√576
Chữ số tận đem bình phương 22 = < ;
32 = >
=> Tính 262 = 676 ;
242 = 576
Vậy ❑
(12)Dạng 5: Nhẩm tích hai số nhỏ 100 chút
Xuất phát từ đẳng thức ( 100 -a ) ( 100 - b ) = ( 100 - a - b ) 100 + ab Ta xây dựng quy tắc nhân nhẩm sau : Gọi độ lệch số với 100 phần bù Muốn nhân nhẩm hai số nhỏ 100 chút ta lấy số trừ phần bù số viết tiếp vào sau tích hai phần bù ( hai chữ số)
a) Ví dụ : Tính 98 93
Cách làm sau : 100 - 98 = 98 93 100 - 93 =
Ta viết hai số ; số 98 ; 93 Gọi phần bù 98 ; phần bù 93 với 100 Ta lấy số ( 98 ) trừ phần bù số ( 93 ) với 100 ta kết 98 - = 91 Cuối viết tích hai phần bù vào bên phải kết vừa thu ( 91)
Có =14 Vậy 93 98 = 9114
b) Nếu tích phần bù số có chữ số phải viết chữ số đứng trước vào kết
Ví dụ : Tính 98 97
100 - 98 = 98 97
100 - 97 =
98 - = 95 ( 97 - = 95 ) ; =
Vậy 98 97 = 9506
c) Nếu tích phần bù số có ba chữ số ta cần cộng chữ số hàng trăm lên chữ số hàng thấp hiệu
Ví dụ 3 : Tính 75 77
100 - 75 = 25 75 77 100 - 77 = 23 25 23 75 - 23 = 52 + =
25 23 = 575
Vậy 75 77 = 5775
(13)Xuất phát từ đẳng thức :
( 100 + a ) ( 100 + b ) = ( 100 + a + b ) 100 + ab ta xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số lớn 100 chút sau: Gọi độ lệch số với 100 phần Muốn nhân hai số lớn 100 chút ta lấy số cộng với phần số viết tiếp vào sau tích hai phần ( hai chữ số )
a) Ví dụ : Tính 112 103
112 - 100 = 12 112 103 103 - 100 = 12 112 + = 115
12 = 36
Vậy 112 103 = 11536
b) Nếu tích hai phần số có chữ số ta phải viết số đứng trước vào kết
Ví dụ : Tính 102 104
102 - 100 = 102 104 104 - 100 = 102 + = 106
=
Vậy 102 104 = 10608
c) Nếu tích hai phần số có chữ số ta cần cộng chữ số hàng trăm lên chữ số hàng thấp tổng
Ví dụ : Tính 113 115
113 - 100 = 13 113 115 ; 113 + 15 = 128 ; + = 115 - 100 = 15 13 15 13 15 = 195
Vậy 113 115 = 12995
Dạng : Nhẩm tích hai số có bốn chữ số mà chữ số hàng nghìn , hàng trăm giống Tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị của hai thừa số 100
Ví dụ : Tính nhẩm 2976 2924
(14)- Cả hai thừa số có hai chữ số hàng nghìn , hàng trăm 29 - Hai chữ số hàng chục hàng đơn vị thừa số có tổng 100 Vậy đặt a = 29 , b = 76 , c = 24 tích có dạng nào? Hãy nêu cách giải ?
Phép nhân có dạng :
(100a + b ) (100a + c ) = 10 000 a ( a + ) + bc 10 000 a ( a + ) = 10 000 29 30
= 10 000 870 = 700 000
bc = 76 24 = ( 50 + 26 ) ( 50 -26 ) = 502 - 26 2 = 1824
=> 10 000 a ( a + ) + bc = 700 000 + 1824 = 701 824 Vậy 2976 2924 = 701 824
* Như qua phép nhân cụ thể em rút cách làm tổng quát với phép nhân hai số có bốn chữ số, hai chữ số hàng nghìn, hàng trăm giống nhau, hai chữ số hàng chục, hàng đơn vị hai thừa số có tổng 100 trưịng hợp tương tự Tất nhiên việc tính tiếp cần sáng tạo em Nhưng tạo hứng thú cho em tìm hiểu số, mối liên quan chúng
Ví dụ 2 : Tính 5962 5938
10000 a(a+ 1) = 10 000 59 60
= 10 000 3540 = 35 400 000 62 38 = ( 50 + 12 ) ( 50 - 12 ) = 2356
Vậy 5962 5938 = 35 402 356
Dạng : Tính nhanh kết biểu thức.
Cần ý số nhận xét :
1 Thông thường gặp tổng nhiều số hạng để tính nhanh tổng ta ghép thành cặp thích hợp để chia tổng thành cặp số có giá trị có quan hệ với
Nếu gặp tổng gồm nhiều số chẵn liên tiếp lẻ liên tiếp
lưu ý hiệu hai số liên tiếp
(15)từ đến 99 có số lẻ ta làm sau : 992−1 + = 50 số lẻ Nếu gặp tích nhiều thừa số, muốn tính nhanh ta áp dụng tính chất phép nhân
Khi gặp biểu thức có nhiều phép tính ta cần nhận xét thành phần tham gia phép tính có chung , có đặc biệt … áp dụng ba nhận xét vào tính tốn cho hợp lý
Ví dụ 1 : Tính nhanh kết biểu thức : a) 1272 + 146 127 + 732
b) 98 28 - ( 184 + ) ( 184 - )
c) 1002 - 992 + 982 - 972 + … + 22 - 12
d) (202 + 182 + 162 + … +42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 + … +32 + 12 ).
e) 78012522−2202
+150 125+752
Ta làm sau :
a) Nhận xét 146 = 73 => Biểu thức dạng khai triển đẳng thức : a+b¿2
¿ = a
2 + 2ab + b2
1272 + 146 127 + 732 = 1272 + 127 73 + 732 = (127 + 73 )2
= 2002 = 40 000
b) 98 28 - ( 184 + ) ( 184 - ) = (9 )8 - ( 188 - )
= 188 - 188 + =
c) c) 1002 - 992 + 982 - 972 + … + 22 - 12
= (1002 - 992)+ (982 - 972)+ … + (22 - 12)
=( 100 - 99 )( 100 + 99 ) + ( 98 - 97 )( 98 + 97) + + (2 - )( + ) = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + … + + = 5050
d) (202 +182 + 162 +… +42 + 22 ) - (192 + 172 + 152 +… +32 + 12 ).
= (202 - 192 ) + ( 182 - 172 ) + ( 162 - 152 ) + … + ( 22 -12 )
= 20 + 19 + 18 + 17 + … + + = 210 e) 78012522−2202
+150 125+752 =
(780 - 220)(780+220)
1252
+2 125 75+752 =
125+75¿2 ¿
560 1000
¿
(16)Ví dụ 2 : Tính nhanh
a) 99 + 98 + 97 + 96 + … + 91
b) 315 + 16 + 385 + 54
c) 15768 - 13992
d) + + + … + 997 + 999
e) 99 - 97 + 95 - 93 + … + -5 + - Ta làm sau :
a) Cộng cặp số : 99 + 91 = 98 + 92= 97 + 93 = 96 + 94 = 190 cặp
Vậy 99 + 98 + 97 + 96 + … + 91 = 190 + 95 = 855 b) 315 + 385 = 700 ; 16 + 54 = 70
Vậy 315 + 16 + 385 + 54 = 770
c) Áp dụng tính chất " hiệu hai số không đổi ta cộng số vào số bị trừ số trừ "
=> 15768 - 13992 = ( 15768 + ) - (13992 + ) =
= 15776 - 14000 = 1776 d) + + + … + 997 + 999
Các số hạng tổng số lẻ
999 + = 997 + = … = 499 + 501 = 1000
Từ đến 999 có 500 số lẻ tức có tất 250 cặp số lẻ Vậy + + + … + 997 + 999 = 1000 250 = 250 000 e) 99 - 97 + 95 - 93 + … + -5 + -
Ta nhận thấy hiệu hai số lẻ liên tiếp Nghĩa : 99 - 97 = 95 - 93 = … = - = -
Từ đến 99 có 50 số lẻ chia làm 25 cặp
Vậy 99 - 97 + 95 - 93 + … + -5 + - = 25 = 50
Ví dụ 3 : Tính giá trị biẻu thức sau phương pháp nhanh
(17)b) 28 101
c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 )
d) 12345 678910 ( 234234 233 - 233233 234 ) e) 2004 752003 +1928
g) 61 3++2 122 6++4 12 244 12++7 14 217 21 42 h) 1 51 3++2 102 6++4 124 12 20++7 14 217 21 35 Tìm tịi lời giải :
a) Áp dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng ta viết : 36 ( 143 + 57 ) + 64 ( 143 + 57 ) = ( 143 + 57 ) ( 36 +64 )
= 200 100 = 20 000
b) Áp dụng tương tự ta có 28 101 = 28 ( 100 +1 ) = 2800 + 28 = 2828
c) 491 ( 263 + 57 ) - 491 ( 153 + 67 ) = 491 ( 263 + 57 - 153 - 67 ) = 49 100
d) Nhận xét số hạng dấu ngoặc :
234234 233 - 233233 234 = 234 1001 233 - 233 1001 234 = Vậy 12345 678910 ( 234234 233 - 233233 234 ) =
e) So sánh hạng tử tử mẫu : 2004 752003 +1928 = 2003(2003+1) 75+1928 = 2003 75 ++ 752003 +1928
= 2003 752003 +2003 = 2003 762003 = 76
g) Nhận xét số hạng tử gấp lần số hạng tương ứng mẫu: 6+2 12+4 12 24+7 21 42
1 3+2 6+4 12+7 14 21
(18)= 1 51 3+1 8+1 64+1 73
+1 8+1 64+1 73
= 31 5(1+8+64+73)
(1+8+64+73)
= 31 5 = 52
Dạng : Dãy phân thức viết theo quy luật
Đây dạng khó với dãy phân thức rút gọn phân thức , có chứng minh đẳng thức Với dạng yêu cầu em nhận xét để tìm mối liên quan thành phần tham gia phép tính để tìm quy luật chung chúng Qua có cách giải cho phù hợp
Ví dụ 1 : Rút gọn biểu thức sau : A = 222−21
32−1
32
42−1
42 …
n2−1
n2 ( n )
B = 1 21 + 2 31 + 3 41 + … + n(n1+1) Tơi hưóng dẫn em làm sau :
A = 222−21
32−1 32
42−1
42 …
n2−1
n2
= (2−12)(22+1)
(3−1)(3+1)
32
(4−1)(4+1)
42 …
(n −1)(n+1)
n2
= 322
2 32
3
42 …
(n −1)(n+1)
n2
= .2 .(n −n 1) .2 .(n+n1) = 1n n+21 = n2+n1
B = 1 21 + 2 31 + 3 41 + … + n(n1+1)
= 11 - 12 + 12 - 13 + … + 1n - n1+1 = - n1+1 = nn+1 Ví dụ 2 : Chứng minh đẳng thức sau :
a) 1 31 + 3 51 + … + (2n-1)(12n+1) = 2nn+1 Với n
(19)Nhận xét 2n1-1 - 2n1+1 = (2n-1)(22n+1)
Đặt A = 1 31 + 3 51 + 5 71 + … + (2n-1)(12n+1) => 2A = 1 32 + 3 52 + 5 72 + … + (2n-1)(22n+1)
= 11 - 13 + 13 - 15 + 15 - 71 + … + 2n1-1 -1
2n+1
= - 2n1+1 = 2n2+n1 => A = 2nn+1 (n 1)
Vế trái vế phải
Vậy đẳng thức chứng minh b) Nhận xét:
(n-11)n - n(n1+1) = (n-1)n2(n+1)
Đặt B = 1 31 + 2 41 + … + (n-1)n1(n+1)
=> 2B = 1 32 + 2 42 + 3 52 + … + (n-1)n2(n+1)
= 1 21 - 2 31 + 2 31 - 3 41 + … + (n-11)n - n(n1+1) = 12 - n(n1+1) = 2n2n+(nn −+12) = (n −2n1()(n+n1+)2)
B = (n −4n1()(n+n1+)2)
Vế trái vế phải Vậy đẳng thức chứng minh
Dạng 10 : Nhận xét , đề xuất cách giải số dạng khác
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :
a) 2004x+1 + 2002x+3 = 2000x+5 + 1998x+7
b) 59x −1945 + 60x −1944 = 61x −1943 + 62x −1942
(20)mẫu số chung theo thứ tự bước giải phương trình phức tạp Nên với phương trình dạng cộng trừ số vào phân thức phân thức có tử số
a) 2004x+1 + 2002x+3 = 2000x+5 + 1998x+7
=>( 2004x+1 + ) + ( 2002x+3 + ) = ( 2000x+5 + 1) + ( 1998x+7 + ) => 2004x+2005 + 2002x+2005 = 2000x+2005 + 1998x+2005
=> ( x + 2005 ) ( 20041 + 20021 - 20001 - 19981 ) = Vì 20041 + 20021 - 20001 - 19981 => x+ 2005 =
Vậy x = - 2005 b) 59x −1945 + 59x −1944 = 61x −1943 + 62x −1942
=> ( 59x −1945 - ) + ( 60x −1944 -1) = ( 61x −1943 -1 ) + ( 62x −1942 - ) => 59x −2004 + 60x −2004 = 61x −2004 + 62x −2004
=> ( x - 2004 ) ( 591 + 601 - 611 - 621 ) = Vì 591 + 601 - 611 - 621 => x - 2004 =
x = 2004
c) 1902101 − x + 1900103 − x + 1898105 − x + 1896107 − x +4=0
= > ( 1902101 − x +1)+( 1900103 − x + ) +( 1898105 − x +1) +( 1896107 − x +1) = = > 2003101 − x + 2003103 − x + 2003105 − x + 2003107 − x = = > (2003 - x ) ( 1011 + 1031 + 1051 + 1071 ) = Vì 1011 + 1031 + 1051 + 1071
(21)Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức sau : (câu phần 1b )
A = 2004(1 6).(1 7)(1 8) (1 9 9)
B = ( 100 - 12) ( 100 - 22) … ( 100 - 252)
Ta nhận xét : Vì số mũ A có tích 1.9.5.0 = nên A = 20040 =
B = tích có thừa số 100 - 102 =
Ví dụ 3 : a) Các tích sâu có tận chữ số A = … 9.10
B = 1.3.5.7.9.11
b) Tích tất số tự nhiên từ đến 71 có tận chữ số
Nhận xét : Đặt C = khơng thể có tận chữ số
Tích C có tận chữ số C 10 có tận chữ số
Vậy A = … 9.10 có tận chữ số
B = 1.3.5.7.9.11 gồm tồn số lẻ nên khơng thể có tận chữ số
b) Trong tích 7.8.9 … 71 có thừa số có tận 10 , 20 , 30 … nên tích có chữ số hàng đơn vị
Ví dụ 4 : Tìm hai chữ số tận biểu thức :
A = 75 ( 42003 + 42002 + …+ 42 + + ) + 25
Giải : Để tìm hai chữ số tận A ta lấy A tích bội 25và luỹ thừa Mà 25 = 100, nên ta làm để xuất 25.4 Ta phân tích sau :
(22)= 25( - ) ( 42003 + 42002 + …+ 42 + + ) + 25
= 25( 42004 + 42003 + …+ 42 + - 42003 - 42002 - … - 42 - - ) + 25
= 25 (42004 - ) + 25
= 25 (42004 - + 1)
= 100 42003 chia hết cho 100
Vậy chữ số tận biểu thức A hai chữ số Ví dụ : Chứng tỏ số sau số nguyên :
10943+2 10949+8 Giải : Vì 1094 + = 10 0⏟
❑ + =
10 ⏟
❑ ⋮
( Vì tổng chữ số chia hết cho ) Vậy 10943+2 số nguyên Tương tự ta có 1094 + = 1 .0⏟
❑ ⋮
( Vì tổng chữ số chia hết cho ) Nên 10949+8 số nguyên Ví dụ : So sánh số :
a) A = 2003 2005 Và B = 20042
b) A = x − yx+y B = xx22− y2
+y2 Với x > y >
c) A = ( + ) ( 32 + ) ( 34 + ) ( 38 + )( 316 + 1) Và B = 332 - 1.
Giải : a) Đặt x = 2004 , => B = x2
A = ( x - 1) ( x + ) = x2 -1
Vậy A < B b) A = x − yx+y =
x+y¿2 ¿
(x − y)(x+y)
¿
= x2 x2− y2
+2 xy+y2 <
x2 -− y2
x2+y2 = B
Vì x > y > Vậy A< B
c) ( - ) A = ( - ) ( + ) ( 32 + ) ( 34 + ) ( 38 + )( 316 +
94 chữ số 93 chữ số 0
(23)1) 2A = 332 - = B
=> A = 3322−1 = B2 ; Vậy B = 2A hay B lớn gấp đôi A
C KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Để giúp em có hứng thú học mơn Tốn, xây dựng ý thức tự giác học tập, củng cố đào sâu suy nghĩ, rèn luyện tư tốn học tơi sử dụng kết hợp nhiều phương pháp khác giảng dạy Với việc sử dụng phép tính nhẩm, phân dạng tập, giúp em thấy toán tưởng chừng phức tạp biết quan sát, nhận xét sử dụng linh hoạt kiến thức trở nên dễ dàng Nội dung viết sử dụng nhiều năm với nhiều lớp phân công giảng dạy: Qua thực nghiệm thấy chất lượng học tập em nâng lên rõ rệt Không em vận dụng tính nhẩm Tốn mà cịn mơn: Lý, Hố,… Do thi học sinh giỏi khối, lớp trường Tuy Lai nhiều năm gần đạt kết tương đối khả quan tỷ lệ học sinh giỏi Toán nâng lên, ý thức học tập nâng cao, khơng khí lớp học sơi nổi, em khơng cịn thụ động nghe giảng mà chủ động học tập nghiên cứu dẫn dắt thầy Sau kết cụ thể mơn Tốn số năm gần đây:
Nội dung viết số thủ pháp áp dụng cho số dạng tập Để áp dụng nội dung viết vào học, em cần nắm vững nội dung kiến thức toán học bản, có ý thức tự giác học tập, linh hoạt, tư tốt Đơi có tốn không theo quy luật nên áp dụng nội dung viết Song với nội dung đề tài nghiên cứu thực nghiệm đặc biệt sử dụng phép tính nhẩm tơi thấy có tác dụng nhiều đến việc phát huy trí lực cho em, tảng giúp
SÜ sè
G Kh¸ TB Y KÐm G Kh¸ TB Y KÐm 42 14 23 14 22 0 43 11 18 27 14 0 38 12 18 14 20 0
Kết cuối năm 2007-2008
2008-2009 2009-2010
(24)Mỗi phép tính nhẩm tạo cho em điều lạ, giúp em có hứng thứ sâu tìm hiểu mơn tốn thấy tốn học thú vị khơng khơ khan Tốn học sáng tạo, lạ hấp dẫn Mỗi dạng nhẩm khác kích thích em sâu tìm hiểu xem cịn dạng khơng, em đố nhau, sưu tầm, tự tìm giải độc đáo khác Như với phép tính nhẩm giáo viên thúc đẩy ý thức tự giác học tập em, giúp em đào sâu suy nghĩ sau học, môn học
KIẾN NGHỊ
- Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên lớp chuyên đề, hội thảo chuyên đề để giáo viên trừờng trao đổi, bàn luận vấn đề rèn luyện kỹ tính nhẩm để nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi thứ hạng giáo dục huyện nhà so víi quận huyện
thị khác thµnh phố
Trên số nội dung tích luỹ kiểm nghiệm thơng qua giảng dạy thân anh, chị em trường THCS Tuy Lai Những điều nêu viết chưa thể gọi tổng quát, rèn luyện tư toán học cho em cấp II Và nội dung viết tránh khỏi điểm khiếm khuyết Mong góp ý anh, chị em đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn !
Mỹ Đức , ngày 06-05-2011