DAP An hoc sinh gioi tinh nghe an 0809

[r]

Së Gd&§t NghƯ an Kú thi chän học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Năm học 2008 - 2009

hớng dẫn biểu điểm Chấm đề thức (Hớng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Môn: toán 12 THPT - bảng A

-Câu Nội dung Điểm

1 3.0

Phơng trình cho tơng đơng

2

3

4

cos x

cos x m



 

 4cos x cos x24  4m (1)

0.50

Đặt t = cos4x ta đợc: 4t2 t 4m 3, (2)

Víi

; 4

x   

  th× t 1;1

0.50

Phơng trình (1) có nghiƯm ph©n biƯt

; 4

x   

  vµ chØ phơng trình (2) có nghiệm phân biệt t[-1; 1), (3)

0.50

XÐt g(t) = 4t2t víi t [ 1;1), g’(t) = 8t+1 g’(t) =  t =

1

 0.50

B¶ng biến thiên

0.50

Dựa vào bảng biến thiên suy (3) x¶y 

4 3

16 m

    

47

64m2 Vậy giá trị m cần tìm là:

47

64 m2.

0.50

2 3,0

Đặt t x từ (1) điều kiện suy 3 t Khi y  4 t  y = t2 – 8t +16.

0.50

Khi bất phơng trình (2) trở thành t2 7 t2 8t23a,(3) Đặt

2

( ) 23

f t  t   t  t .

0.50

Ycbt bất phơng trình (3) có nghiệm t [3;4]  ( )[3;4] f t a    2 2

'

7 23

t t

f t

t t t



 

  

0,50

   

' 23

f t   t  t t  t t  t 42 7 t2 4 t2t2 7 t 2,.

 

       

 

0,50

Ta cã f  3  4 8;f  4  23

0,50

3

g’

(t)

+

t

g(

t)

5

1

1

6

Từ suy [3;4]

min ( )f t f(3) 4 

VËy a ≥ 4 0.50

3 3.0

  0 ( ) (0) ' lim

x

f x f

f x    0.5   2

0 2 2 3 2

3

1 sin sin

lim lim

1 sin sin

x x

x x x x

x

x x x x x

                0.5

 2

0 2 3 2

3

sin

lim sin

1 sin sin

x

x x

x x x x x





    0.5

0

 0.5

Mặt khác với x0, ta có

     

2

2

3

sin

0

1 sin sin

x

f x f x f

x x x x

   

    0.5

Vì f x( )liên tục R nên từ suy f x  đạt cực tiu ti x0 0.5

4 3,0

Đặt x a y,  b z,  c x y z; , , 0; 

Khi đó: 2

3 3

yz zx xy

P

x yz y zx z xy

  

  

0.50

Ta cã 2

3 3

3

3 3

yz zx xy

P

x yz y zx z xy

  

  

2 2

2 2

3

3 3

x y z

Q

x yz y zx z xy

 

      

  

 

0.50

áp dụng bđt BCS ta đợc

 

2

2 2

2 2

2 2

3 3

3 3

3

x y z

x yz y zx z xy

x yz y zx z xy

Q x y z xy yz zx

                      0.50     2 x y z Q

x y z xy yz zx

   

    

Mặt khác

2

x y z

xy yz zx     0.50

Suy

Q

,

9

3

4

P  P 0.50

DÊu b»ng x¶y vµ chØ a b c  VËy giá trị nhỏ P

4 0.50

5 3.0

Ta cã víi x0,

   

0

1 ,

n

n k n k n k

x C x 



  0.5

Đạo hàm hai vế (1) ta đợc

 

1

1 1

0

1 ( )

n

n k n k n k

n x n k C x



  



   0.5

Suy

     

1

0

1 ,

n

n k n k n k

nx x n k C x



 



   1,0

Đạo hàm hai vế (2) ta đợc

         

1

1 2 1

0

1 n 1 n n k n k ,

n k

n x  n x   n k C x  



       

Thay x1vào (3) ta đợc đpcm 0.5

6 3.0

Gäi K vµ I lần lợt giao điểm MN với CD vµ BC, ta cã CK =

2CD, CI =

2CB 0.25

d(P,(ABC)) =

2d(S,(ABC)) 0.25

VPCIK = 1

3 CI.CK.sinICK .d(P,(ABC))

0.25

= 16(

1

3CB.CD.sinBCD .d(S;(ABC)) 0.25

 VPCIK =

16VSABCD , (1) 0.25

Mặt khác

1

18

IBEM ICPK

V IB IE IM

V IC IP IK  (2) 0.5

Tõ (1) vµ (2)  VIBEM =

32VSABCD 0.25

T¬ng tù VKNDF =

32VSABCD 0.25

Gọi V2 thể tích khối đa diện giới hạn mặt phẳng (MNP) mặt phẳng đáy  V2 =

VPCIK - (VIBEM + VKNDF) 0.25

=

16VSABCD -

16VSABCD =

2VSABCD 0.25

VËy V2 =

2VSABCD  ®pcm  0.25

7 2,0

A

D S

P

C

B M

E F

N

I K

O

M

A

Đặt AD BC a AC BD b AB CD c BAC  ,   ,   , A ABC B ACB C,  ,  Ta cã ABC nhän vµ ABC = DCB = CDA = BAD

Suy

  ;   , 1 

BCD ABC B ABD BDC CAB  A

0.5

Hạ CM AB, CAB  DAB nªn

  2 2,  

CM  DAB  CM MD CM DM CD

0.5 áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta đợc

  

2 2 2 . .cos , 3

MD BM BD  BM BD MBD 0.25

Từ (1), (2), (3) ta đợc CM2BM2BD2 2BM BD .cosA CD

2 2 2

2 cos cos cos

BC BD  BM BD A CD  a b  ab A B c

0.25

cos cos cos sin sin 2cos cos cot cot

C A B A B A B A B

      0.5

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa.

M A

C B