[r]
(1)Së Gd&§t NghƯ an Kú thi chän học sinh giỏi tỉnh lớp 12 Năm học 2008 - 2009
hớng dẫn biểu điểm Chấm đề thức (Hớng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán 12 THPT - bảng A
-Câu Nội dung Điểm
1 3.0
Phơng trình cho tơng đơng
2
3
4
cos x
cos x m
4cos x cos x24 4m (1)
0.50
Đặt t = cos4x ta đợc: 4t2 t 4m 3, (2)
Víi
; 4
x
th× t 1;1
0.50
Phơng trình (1) có nghiƯm ph©n biƯt
; 4
x
vµ chØ phơng trình (2) có nghiệm phân biệt t[-1; 1), (3)
0.50
XÐt g(t) = 4t2t víi t [ 1;1), g’(t) = 8t+1 g’(t) = t =
1
0.50
B¶ng biến thiên
0.50
Dựa vào bảng biến thiên suy (3) x¶y
4 3
16 m
47
64m2 Vậy giá trị m cần tìm là:
47
64 m2.
0.50
2 3,0
Đặt t x từ (1) điều kiện suy 3 t Khi y 4 t y = t2 – 8t +16.
0.50
Khi bất phơng trình (2) trở thành t2 7 t2 8t23a,(3) Đặt
2
( ) 23
f t t t t .
0.50
Ycbt bất phơng trình (3) có nghiệm t [3;4] ( )[3;4] f t a 2 2
'
7 23
t t
f t
t t t
0,50
' 23
f t t t t t t t 42 7 t2 4 t2t2 7 t 2,.
0,50
Ta cã f 3 4 8;f 4 23
0,50
3
g’
(t)
+
t
g(
t)
5
1
1
6
(2)Từ suy [3;4]
min ( )f t f(3) 4
VËy a ≥ 4 0.50
3 3.0
0 ( ) (0) ' lim
x
f x f
f x 0.5 2
0 2 2 3 2
3
1 sin sin
lim lim
1 sin sin
x x
x x x x
x
x x x x x
0.5
2
0 2 3 2
3
sin
lim sin
1 sin sin
x
x x
x x x x x
0.5
0
0.5
Mặt khác với x0, ta có
2
2
3
sin
0
1 sin sin
x
f x f x f
x x x x
0.5
Vì f x( )liên tục R nên từ suy f x đạt cực tiu ti x0 0.5
4 3,0
Đặt x a y, b z, c x y z; , , 0;
Khi đó: 2
3 3
yz zx xy
P
x yz y zx z xy
0.50
Ta cã 2
3 3
3
3 3
yz zx xy
P
x yz y zx z xy
2 2
2 2
3
3 3
x y z
Q
x yz y zx z xy
0.50
áp dụng bđt BCS ta đợc
2
2 2
2 2
2 2
3 3
3 3
3
x y z
x yz y zx z xy
x yz y zx z xy
Q x y z xy yz zx
0.50 2 x y z Q
x y z xy yz zx
Mặt khác
2
x y z
xy yz zx 0.50
Suy
Q
,
9
3
4
P P 0.50
DÊu b»ng x¶y vµ chØ a b c VËy giá trị nhỏ P
4 0.50
5 3.0
Ta cã víi x0,
0
1 ,
n
n k n k n k
x C x
0.5
Đạo hàm hai vế (1) ta đợc
1
1 1
0
1 ( )
n
n k n k n k
n x n k C x
0.5
Suy
1
0
1 ,
n
n k n k n k
nx x n k C x
1,0
Đạo hàm hai vế (2) ta đợc
1
1 2 1
0
1 n 1 n n k n k ,
n k
n x n x n k C x
(3)Thay x1vào (3) ta đợc đpcm 0.5
6 3.0
Gäi K vµ I lần lợt giao điểm MN với CD vµ BC, ta cã CK =
2CD, CI =
2CB 0.25
d(P,(ABC)) =
2d(S,(ABC)) 0.25
VPCIK = 1
3 CI.CK.sinICK .d(P,(ABC))
0.25
= 16(
1
3CB.CD.sinBCD .d(S;(ABC)) 0.25
VPCIK =
16VSABCD , (1) 0.25
Mặt khác
1
18
IBEM ICPK
V IB IE IM
V IC IP IK (2) 0.5
Tõ (1) vµ (2) VIBEM =
32VSABCD 0.25
T¬ng tù VKNDF =
32VSABCD 0.25
Gọi V2 thể tích khối đa diện giới hạn mặt phẳng (MNP) mặt phẳng đáy V2 =
VPCIK - (VIBEM + VKNDF) 0.25
=
16VSABCD -
16VSABCD =
2VSABCD 0.25
VËy V2 =
2VSABCD ®pcm 0.25
7 2,0
A
D S
P
C
B M
E F
N
I K
O
M
A
(4)Đặt AD BC a AC BD b AB CD c BAC , , , A ABC B ACB C, , Ta cã ABC nhän vµ ABC = DCB = CDA = BAD
Suy
; , 1
BCD ABC B ABD BDC CAB A
0.5
Hạ CM AB, CAB DAB nªn
2 2,
CM DAB CM MD CM DM CD
0.5 áp dụng định lí cosin cho tam giác BMD ta đợc
2 2 2 . .cos , 3
MD BM BD BM BD MBD 0.25
Từ (1), (2), (3) ta đợc CM2BM2BD2 2BM BD .cosA CD
2 2 2
2 cos cos cos
BC BD BM BD A CD a b ab A B c
0.25
cos cos cos sin sin 2cos cos cot cot
C A B A B A B A B
0.5
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa.
M A
C B