BOI DUONG HSG DAI SOLop 10

Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.. Biết tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là [r]

(1)

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 MƠN: ĐẠI SỐ

I – PHƯƠNG TRÌNH.

1. (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x2 – x + m = có hai nghiệm dương x1, x2 cho P = x14 x24  x15  x25 đạt GTLN

HD: P = x1x2(1 – 3x1x2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

2. (BT_363_9/07) Cho a ≠ Giả sử b, c hai nghiệm phân biệt phương trình x2 – ax -

1

2a =0 Chứng minh b4 + c4 ≥ + 2.

3. (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d  R Chứng minh phương trình sau có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + 2cx + d = 0, cx2 + 2dx + a = 0, dx2 + 2ax + b = 0.

4. (BT_367_1/08) Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = , x2 – 2cx + a = có phương trình có hai nghiệm phân phương trình vơ nghiệm

5. (BT_366_12/07) Giải phương trình x2(x4 – 1)(x2 + 2) + = 0. HD: Chuyển A2 = 0.

6. (BT_366_12/07) Giải phương trình

2 2

2

20 20

1 1

x x x

  

   

  

   

  

    .

HD: Đặt u =

2

x x



 , v =

x x



 Chuyển phương trình dạng aA + b A B + cB =

7. (BT_366_12/07) Giải phương trình x4 = 24x + 32. HD: Chuyển A2 = B2.

8. (BT_359_5/07) Cho phương trình ax2 + bx + c = có số a, b, c số nguyên lẻ Chứng minh phương trình có nghiệm nghiệm phương trình khơng thể số hữu tỷ

9. (BT_368_2/08) Giải phương trình x4 - 2x3 + 4x2 – 3x – = 0.

10.(Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x2 + ax + = 0(1), x2 + bx + = (2) , x2 + cx + = (3) Biết tích nghiệm phương trình (1) với nghiệm phương trình (2) nghiệm phương trình (3) Chứng minh a2 + b2 + c2 + abc = 4.

HD: Áp dụng Định lí viét

1

2

1

(4)

(5) (6)

x a

x

x b

x

x x c

x x



 

  

 

  

 



 Nhân (4); (5) ta có

1 2 x x

ab c x  x   .

Từ (4),(5) ta có

2 2

1 2

1

2 ;

x a x b

x x

     

Nhân lại ta có

2

2 2

1

1 2

1

(a 2)(b 2) x x x x

x x x x

   

        

    .

11.Nghiệm phương trình x2 + ax + b + = số tự nhiên khác Chứng minh a2 + b2 số tự nhiên

12.Có thể có hay khơng biệt số  phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với hệ số nguyên a, b, c 23 13.Giả sử a, b, c số cho 2a , a + b, c số nguyên Chứng minh với x Z ax2 + bx + c

nguyên

14.Tìm a  Z để phương trình có nghiệm ngun a) x2 + ax + a =

(2)

15.Tìm số hữu tỷ dương x, y cho x + y

1

x y số nguyên.

16.Cho f(x) = ax2 + bx + c Biết phương trình f(x) = x vơ nghiệm Chứng minh phương trình af2(x) + bf(x) + c = x vô nghiệm

17.Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ thoả mãn |f(x) ≤ 2008 | x | ≤ Chứng minh |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008 18.Giả sử |ax2 + bx + c| ≤ |x| ≤ 1.Chứng minh |cx2 + bx + a| ≤ |x| ≤ 1.

HD: Giả sử a ≥ 0.

19.Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0.

a) Chứng minh rằng: Nếu ac < Phương trình f(f(x)) = có nghiệm HD: ay1 >  PT: ax2 + bx + c = y1 có nghiệm

b) Cho a = Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt Chứng minh phương trình f(f(x)) = x có nghiệm phân biệt (b + 1)2 > 4(b + c + 1).

20.Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ Chứng minh rằng. a) |a| + |b| + |c| ≤

b) |f(x) | ≤ với |x| ≤

Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ Chứng minh |f(x) | ≤

5

4 ,  |x| ≤ 1.

21. 22.

II– PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ.

3 1

2x 2 x  .

HD: Đặt u =

2x, v =

2 x Chuyển hệ phương trình.

2. (BT_364_10/07) Giải phương trình x x2  1 x x2  2

HD: Đặt t = 4 x x2 1 Tính x x2 1 theo t Chuyển phương trình ẩn t

3. (BT_364_10/07) Giải phương trình 7x2  22x28 7x2 8x13 31x2 14x4 3( x2) HD: 7x2  22x28 (2x 1)2 3(3 x)2  3(3 x)

2 2

7x 8x13  (2x1) 3(x2)  3(x2)

2 2

31x 14x13 (2x1) 3(3x1)  3(x2)

4

2

x x x

x   x    x

HD: C1: Đặt u =

1

x x



, v =

5 2x

x



Chuyển HPT C2: Chuyển PT tích dạng A2 = B2.

5. (BT_365_11/07) Giải phương trình 2(x2 8) 5 x3 8 HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b A B + cB = 6. (BT_366_12/07) Giải phương trình x2 + = 2 x3 1.

HD: C1: aA + b A B + cB = C2: Chuyển A2 = 0.

7. (BT_366_12/07) Giải phương trình x y z  4 2 x 4 y 6 z HD: Chuyển A2 + B2 + C2 = 0.

1

2

x x  x 

(3)

HD: Đặt t =

1

x

Chuyển phương trình ẩn t

9. (BT_366_12/07) Giải phương trình x4  x2 20082008. HD: Đặt y = x2 2008 Chuyển hệ phương trình

10.(BT_366_12/07) Giải phương trình 4x2 5x 1 x2  x 1 9x HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.

C2: Đặt a 4x2 5x1,b x2  x1 Chuyển hệ phương trình ẩn a, b

11.(BT_366_12/07) Giải phương trình x 1 9 x2 6 (x1)(9 x2) 38 10 x 2x2  x3 HD: Đặt t = x 1 9 x2 Chuyển phương trình ẩn t

12.(BT_366_12/07) Giải phương trình 2x2 4x7 x4 4x3 3x2  2x HD: Đặt u = (x + 1)2, v = 2(x1)2 5 Chuyển hệ phương trình.

13.(BT_362_8/07) Giải phương trình x3  36 x6 6

HD: Đặt z = 3 x6, y = 3 z6 Chuyển hệ phương trình “Hốn vị vịng quanh” Giả sử x ≥ y ≥ z.

14.(BT_361_7/07) Tìm m để phương trình m x 1 x1 2 x2 1 có nghiệm. HD: Đặt t =

4

1

x x



 Do t =

41

1

x



 nên ≤ t < Chuyển vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai.

15.(BT_361_7/07) Tìm m để phương trình x1 4 m x4  3x2 ( m3) x 0 có nghiệm HD: Đặt t =

4

1

x x



 Tìm điều kiện t Chuyển toán theo tam thức bậc hai.

16.(BT_359_5/07) Giải phương trình

2 4 8

4

x

x x

   

HD: Áp dụng công thức A2 | |A

17.(BT_359_5/07) Giải phương trình x x2  x 1 x 1 x2  x 1 18.(BT_368_2/08) Gải phương trình 2x2 2x 1 4x1.

19.(BT_368_2/08) Giải phương trình 4x x 3 10 3  x 20.(Olympic 04) Giải phương trình

1 1

2x x x

x x x



    

HD: Đặt t =

1

x



.Chuyển phương trình bậc ẩn t, xem x tham số PT 

1 1

2x x x x

x x x

 

    

 2x t  t x1.t  t = 2( x 1 1) v t = x 1 PT: t = 2( x 1 1) Vô nghiệm

PT: t = x 1 1 Bình phương hai vế chuyển (x x1)2 0.

21.(Olympic 99) Giải phương trình

2 3 1 1

3

x  x  x x 

(4)

22.(Olympic 95 - 05) Giải phương trình x3 2 3 x

HD: Đặt y = 33x Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 23.(Olympic 95 - 05) Giải phương trình x2  4x2 x2

HD: Đặt x2= y – Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y.

24.(Olympic 95 - 05) Giải phương trình x2  4x6 2x2  5x  3 3x2 9x 5. HD: Giải PT phương pháp đánh giá VT ≥ ≥ VP.

25.(Olympic 95 - 05) Giải phương trình

2

x x  x 

, x ≥ - HD: Đặt

3

x

= y + Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 26.(Olympic 95-05) Giải phương trình 2(x2  3x2) 3 x3 8

HD: Chuyển phương trình đẳng cấp. 27.(Olympic 95-05) Giải phương trình

2

15

(30 ) 2004( 30060 1)

2 x  x  x 

HD: Đặt y =

15

( 30060 1)

2 x  Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II.

28.(Olympic 95-05) Giải phương trình 5x2 14x9 x2  x 20 5 x1 HD: Chuyển vế bình phương hai vế Chuyển phương trình đẳng cấp. 29.(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt

3 1 1 1

2( 1) 4(1 )

x x x

m m m

x

x x x

  

      

. HD: Đặt t =

1

x x



; t ≥ Chuyển tam thức bậc hai

30.(Olympic 95-05) Giải phương trình x4 x(1 x)2 4(1 x)3  1 x4 x3 4 x2(1 x) HD: Đặt ẩn phụ u = 4 x, v = 41 x Chuyển phương trình tích

31.(Olympic 95-05) Giải phương trình x2  x19 7x2 8x13 13x2 17x7 3 3(x2) HD: Phân tích (2x – 1)2 Áp dụng BĐT A2 B2 | |A .

32.(Olympic 95-05) Giải phương trình x2  8x816 x2 10x267  2003. HD: Phương pháp BĐT |a b | | | | |a  b

   

Xét a(4 x; 20 2), (5b x;11 2)

 

33.(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 x2  x m 1 x2 HD: Đặt ẩn phụ t  x 1 x2 , - ≤ t ≤ 2.

34.(Olympic 95-05) Giải phương trình 2x15 32 x2 32x 20

HD: Đặt ẩn phụ 2x154y2 Chuyển HPT đối xứng loại II

35.(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x 4 x 2 x x m HD: Đặt ẩn phụ t  2x 4 x , ≤ t ≤ m2 3

36.(Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x2   x x2 x1m. HD: Xét

1 3

( ; ), ( ; ), ( ;0)

2 2

A  B M x

(5)

37.(Olympic 06) Giải phương trình (x1) x2  2x3x2 1

HD: Đặt t = x2  2x3 Tính x2 , Chuyển phương trình bậc hai ẩn t xem x tham số. 38.(Olympic 06) Giải phương trình

2

1

2 x  x   x .

HD: Chuyển phương trình chứa gt tuyệt đối VT, phân tích thành nhân tử VP.

39.(Olympic 06) Giải phương trình (x x 2)(x2 3x2007) 2005 x 4 x 304 x2  x 2006 HD: PT 

2 2

(x  x 1) 2005(x 1 x) 30 x  x 0 .

40.(Olympic 04_11) Giải phương trình

3

1

x x

x

 



HD: Chuyển vế Bình phương Chuyển phương trình đối xứng bậc 4 41.(Olympic 06) Giải phương trình

1

4

x

x x



 

 

HD: Quy đồng Nhân liên hợp

42.(BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2 x  x x m 43.(BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x4 x  x x m 44.

III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

1. (BT_359_5/07) Giải bất phương trình x2  2x 3 x2  6x11 3 x x 2. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 9x2 16 2 2x4 2  x

HD: Bình phương hai vế Đặt t = 8x2 32 Chuyển bất phương trình bậc hai ẩn t xem x tham số 3. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình x2 (1 3)x2 x2 (1 3)x2 2  x2  2x2

HD: Nhân hai vế với Phân tích (x 2)2 x2  (x1)2 (x 3)2  (x1)2 (x 3)2 6 Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1; 3), C(- 1; - 3) Ta có BPT  MA + MB + MC ≤

và  ABC đều.Dùng phép quay 60

B

Q

MA + MB + MC = AM + MM1 + M1C ≥ AC1 = BPT  M  O

4. (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình

35 12

x x

x

 



HD: Đặt x =

1

a, Đặt t = a + 1 a2 . 5.

IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

1. (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình

2

( 1)( 1)

1

x y xy

x y

    

 

 

  

 .

HD: Đặt u = x +

1

x , v = y +

1

y .

3

4

2

x y



  

 

  

(6)

HD: Giải PT(1) Thế vào PT(2).

TH1: x = v x =  1 13 TH2: C/m PT vô nghiệm.

1 1

20 11 2008

1

x y z

xy yz zx

      

    

      

   

  

   



HD: c/m x, y , z dấu

2

1 20( )( )

20 x 20 x 20 x xy yz zx x y x z

x x x x

         

 

     

 

      Tương tự.

c/m xy < Suy HPT vô nghiệm

4. (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình

1 1

3( ) 4( ) 5( )

1

x y z

xy yz zx



    

 

   



5. (BT_367_1/08) Giải hệ phương trình 2

6

9

x y x

y xy

  

 

  

 .

6. (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình 3 2

1

x y

x y x y

 

 

  

 .

HD: PT(2)  x3 + y3 = 1(x2 + y2)  x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2)

2 2

2008 2008 2008 2008

3

x y z xy yz zx

x y z

     

 

  



 .

8. (BT_361_7/07) Hệ phương trình 2 x y m

x y m

 

 

 

 có nghiệm (x;y) Tìm GTLN , GTNN P = x3 + y3.

9. (BT_361_7/07) Tìm m > để hệ phương trình

2

3

x y y m y x x m

   

 

  



 có nghiệm nhất.

10.(BT_359_5/07) Giải hệ phương trình

3

1 2( )

x x x y

y y y x

    

 

   



 .

HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II. 11.(BT_368_2/08) Giải hệ phương trình

2

2 6

x x y y

y x

   

 

 



 .

2008 2007 2006 2008 2007 2006 2008 2007 2006

2 2

x y z

y z x

z x y

  



 

 

 



13.(Olympic 05) Giải hệ phương trình

2 2 2

( ) (3 1)

( ) (4 1)

( ) (5 1)

x y z x x y z

y z x y y z x

z x y z z x y

    



   

 

   

 .

HD: TH1: xyz = Xét khả năng.

TH2: xyz ≠ Chia hai vế phương trình cho x2y2z2 Đặt

1 1

; ;

a b c

x y z

  

(7)

1

2

3

2008 1

1

( )

2

1

( )

2

1

( )

2

x x

x

x x

x

x x

x



 

  

 

    

 



 .

HD: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x1; x2;….;x2008) x1, x2,….,x2008 phải dấu (-x1; -x2;….;-x2008) nghiệm HPT

Ta xét x1, x2,….,x2008 > Áp dụng BĐT Cauchy ta có xi ≥ Cộng theo vế phương trình ta có x1 + x2 + ….+x2008 = 2008

1 1

x x  x Từ ta có x1= x2=….= x2008 = 1. Suy x1= x2=….= x2008 = ±

15.(Olympic 95-05) Giải hệ phương trình

3

6 12

y x x

z y y

x z x

    



   

 

   



HD: Cộng theo vế chyển tổng lập phương Xét trường hợp.

TH1: x >  y, z > HPT vô nghiệm TH2: x <  y, z < HPT vô nghiệm TH3: x =  y = z =

16.(Olympic 06) Chứng minh hệ phương trình

12

xy yz zx xyz x y z

  

 

   

 có nghiệm tập số

thực dương Chứng minh hệ có nghiệm với x, y, z thực phân biệt

HD: Nhận xét (2;2;2) nghiệm HPT 

2

11

1

2 12

1

z x y

z

z z

xy

z

 

 



 



 

 



 

(x + y)2 ≥ 4xy  (z – 2)2(2z + 11)(2z + 1) ≤ 0.

2

6 (1 )

x y x

y z y

z x z

  



 

 

 

 .

HD: TH1: Xét y =

2

3, TH2: Xét y ≠

3 Rút x2 = theo y Suy ≤ y <

2

3 Tương tự.

0 ≤ x,y,z <

2

3 KN1: x = y = z = KN2:

y

x = … ≤ 1.Tương tự.

18.(Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình

2

25

16

y x xy

y z z xz x



  

  

 

 

   



 Tính giá trị P = xy +

2yz + 3zx

HD: Xét  ABC có AB = 4, BC = 5, CA = điểm M  ABC cho  MBC có cạnh

, ,5

3

y x

(8)

 MCA có cạnh

, ,3

y z

CMA 900.

 MAB có cạnh x z, , AMB1200

Ta có SBMC SCMASAMB SABC Suy P = 24 3.

19.(Olympic 02_11) Giải hệ phương trình

 

   

4

2 2

1

2

1

3

2

y x

x y

x y y x

x y



  

  

    



 .

HD: Tính

2 ,

x y theo x, y Quy đồng cộng trừ theo vế Suy tính (x + y)5 (x – y)5.

20.(BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

2

4

y x x mx

x y y my

   

 

  



 .

HD: Hệ đối xứng loại II.

21.(BT) Giải hệ phương trình 2

1

x y y y x

x



  

 

  



 .

22.(BT) Giải hệ phương trình

3

5 2

1

x y

x y x y

  

 

  



 .

3 7

( )

x y xy x y

  



 

 .

3

2

2 ( )(2 3)

3

x y x y xy

x xy y

    

 

  



 .

3

y x y

x x y x

y



 

  

  



 .

2 2

2 ( )

( ) 10

y x y x

x x y y

  

 

 



 .

HD: Xét x = 0, y = Chia hai phương trình đặt t = x y

3

1

x y xy

x y

   

 

   



 .

5

x y

y x

x y



 

  

  



HD: Đặt t = x

(9)

29.(BT_364_10/07)* Giải hệ phương trình

12

1

3 12

1

3

x y x

y y x

 

 

 



 



 

  

 

 

 



HD: Chia x hai vế cho phương trình (1), Chia y hai vế cho PT(2) Cộng trừ hai PT ta HPT

Nhân hai vế hai PT Giải phương trình đẳng cấp

1 1

3

1 1 118

9

1 1 728

27

x y z

x y z

x y z x x y y z z

x x y y z z



     

   

     

  

     

 

 .

HD: Đặt a =

1

x x



, b =

1

y y



, c =

1

z z



Ta có 3(a +b)(b +c)(c + a) = (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3).

2

x y y x x x

y x x y y y

   

 

  



 .

HD: Hệ phương trình đối xứng loại II.

32.(BT_361_7/07) Tìm m để hệ phương trình

1

x y m

y x m

    

 

   



 có nghiệm

HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.

5

3

42

3

42

y

y x

x

y x

 

 

 



 



 

  

 

 

 



HD: Chia PT (1) cho 2y , chia PT(2) cho x Cộng trừ theo vế ta có hai phương trình Nhân theo vế hai phương trình ta có phương trình đẳng cấp

34.(Olympic 95-05) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

1

3

x y m

x y m

    

 

 



 .

HD: Đặt ẩn phụ u  x1;v y2, u, v ≥ Chuyển hệ phương trình đối xứng loại I

35.(Olympic 95-05) Giải hệ phương trình

2

21

x y y

y x x

    

 

   

 

HD: Hệ phương trình đối xứng loại II Trừ vế theo vế Sau nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp.

36.(BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

2

x y m

y x m

   

 

  



 .

(10)

2

1

4 1

4

x y

y x



 

  

  



 .

38.(BT) Tìm m để hệ phương trình

x y m

x y xy m

  

 

  



 có nghiệm.

39.

V - BẤT ĐẲNG THỨC.

1. (BT_364_10/07) Cho a,b,c >0 ab + bc + ca =1 Chứng minh

2 2

1 1 1

3 1

ab bc ca    a   b   c 

HD: BĐT 

2 2

1 1

ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c

ab bc ca a b c

        

       

Quy đồng cặp VT phân tích đa thức thành nhân tử Thay VP = ab + bc + ca Sau phân tích đa thức thành nhân tử cho tử thức

Đặt

( ) ( ) ( )

, ,

c a b a b c b c a

x y z

ab bc ca

  

  

BĐT  x y z   xy yz  zx 2. (BT_364_10/07) Cho a,b,c ≥ -

3

2 thoả mãn abc + ab + bc + ca + a +b + c ≥ Chứng minh a + b + c ≥ 0.

HD: Phân tích GT, Đặt x = a + 1, y = b +1, z = c + 1, Ta có GT  xyz ≥ Cần c/m x + y + z ≥

TH1: x,y, z > 0, TH2: x,y < 0, z > c/m < xy ≤

1

3. (BT_364_10/07) Tìm số thực m lớn cho  số thực k  1;  để bất đẳng thức

1 1

( 1)( )

k

a b c

k a b c m

b c a a b c

   

        

   

    thoả mãn  a,b,c >0.

HD: Cho a = b = c Ta có 32k ≥ 9(k +1) + m Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli c/m m ≤ 54 dấu “=” xảy k =

Chứng minh BĐT với m = 54, k = Áp dụng BĐT Cauchy 4. (BT_363_9/07) Cho a,b, c > a + b + c = Chứng minh

3

1 1 10

3

a b c

b c a

       

   

       

        .

5. (BT_363_9/07) Cho a,b,c > a + b + c = abc Chứng minh 3

a b c

b c a  .

HD: BĐT Cauchy

1

a ab

b  b Tương tự.

6. (BT_365_11/07) Tìm GLNN, GTLN biểu thức P = 4 x y x y



  .

7. (BT_366_12/07) Cho x > y xy = Chứng minh

2

x y x y

 

 .

HD:

2 2

( ) 2

( )

x y x y xy

x y

x y x y x y

  

   

   Áp dụng BĐT Cauchy

8. (BT_366_12/07) Cho x, y, z > x2 + y2 + z2 = xyz Tìm GTLN P = 2

x y z

(11)

HD: Áp dụng BĐT Cauchy mẫu thức Sau áp dụng BĐT x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx 9. (BT_366_12/07) Giả sử a, b, c độ dài cạnh  ABC Chứng minh

2 2

3

3 3

a b c

a  bc  b  ca  c  ab  .

HD: BĐT Svácsơ BĐT Bunhiacơpsky cho mẫu thức Sau c/m BĐT 4(a + b + c)3 – 9(a3 + b3 + c3 + 9abc) ≥ cách  

2

0

aGA bGB cGC    

 aGA2 + bGB2 + cGC2 > abc 10.(BT_362_8/07) Cho a,b,c > a + b + c = Tìm GTNN

5

1

b c c a a b

P

a b c

     

  

   .

11.(BT_362_8/07) Cho a, b, c > Chứng minh

2 2

2 2 9( )

1 a b c a b c

b c a ab bc ca

 

     

     

     

 

      .

HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky C/m

12.(BT_361_7/07) Cho x, y, z > xyz = Tìm GTNN

2 2

( ) ( ) ( )

2 2

x y z y z x z x y

P

y y z z z z x x x x y y

  

  

   .

HD: Áp dụng BĐT Cauchy cho tử Đặt a x x b, y y z c c,  Áp dụng BĐT Svácsơ 13.(BT_359_5/07) Cho x, y  R x2 – xy + y2 ≤ Chứng minh

2

1 x xy 2y

       .

14.(BT_359_5/07) Cho a, b, c > ab + bc + ca ≤ 3abc Chứng minh

4 4

1

2 2

a b b c c a a b  b c  c a  .

HD: Áp dụng BĐT Cauchy Sau nhân thêm abc vào tử mẫu Áp dụng BĐT Cauchy cho mãu. 15.(BT_368_2/08) Cho a, b, c, d > Tìm GTNN P =

4

a

a b c d abcd

   

  

HD: Đặt t =

a b c d abcd

  

Theo BĐT Cauchy C/m t ≥

16.(BT_368_2/08) Cho x,y thoả mãn (x2 + y2 + 1)2 – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = Tìm GTNN, GTLN P = x2 + 2y2 – 3x2y2.

HD: (x2 + y2 + 1) – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 =  (x2 + y2)2 – 3(x2 + y2) + = - x2 – 3x2y2 ≤ Đặt t = x2 + y2 với ≤ t ≤ Vẽ bảng biến thiên hàm số P = t2 – t + , với t  1;  Suy GTNN, GTLN P.

17.(BT_368_2/08) Cho hai số thực a, b  2007; 2008  Tìm GTNN, GTLN P =

2 2 ( ) a b

a b ab



HD: TH1: 2007 ≤ a ≤ b ≤ 2008 Đặt t = a

b , điều kiện

2007

1

2008 t Tìm GTNN, GTLN P = (t + 1)(t +

t) Chứng minh hàm số P(t) đồng biến áp dụng tính chất hàm số f(x) đồng biến  x1; x2  f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)

TH2: 2007 ≤ b ≤ a ≤ 2008 Đặt t = a b

18.(BT_368_2/08) Cho hai số x, y ≠ thay đổi thoả mãn (x + y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN P = 3

1

x  y .

HD: Đặt t =

1

x y Giả thiết  2

1 1 1

x y x  y  xy .Ta có

2 2

2

1 1 1 1 1 1

4 4

t t

x y x y x y x y

     

              

     

Chứng minh ≤ t ≤ Do P = t2.

19.(BT_368_2/08) Cho x, y, z > x + y + z ≤

20

11 Tìm GTNN P = x + y + z +

1 1

(12)

20.(BT_368_2/08) Cho x, y  R thay đổi thoả mãn điều kiện 2(x2 + y2) = xy + Tìm GTNN, GTLN P = 7(x4 + y4) + 4x2y2.

21.(BT_368_2/08) Cho x, y, z  a; b  với < a < b Tìm GTLN P = (x + y+ z)(

1 1

x y z).

22.(BT_368_2/08) Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh

1

16

ac bc  .

23.(BT_368_2/08) Cho x, y, z > x + y + z ≥ Tìm GTNN

2 2

x y z

P

y z z x x y

  

   .

HD: Áp dụng BĐT Svácsơ.

24.(BT_368_2/08) Cho a, b, c ≥ a + b + c = Tìm GTLN P ab bc2 ca2  abc.

25.(Olympic 05) Cho x,y,z,t ≥ thoả mãn x2 + y2 + z2 + t2 = 2007 Tìm GTNN biểu thức

2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007

x y z t

P

yzt ztx txy xyz

   

    .

HD: Đặt

; ; ;

2007 2007 2007 2007

x y z t

a b c d 

Ta có a,b,c,d ≥ a2 + b2 + c2 + d2 = Suy a,b,c,d  0;  Áp dụng BĐT Svácsơ

c/m: + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≥ a + b+ c + d + abcd 26.(Olympic 01) Cho x,y,z  0;  Tìm GTLN P = (x + y + z)

1 1

x y z

 

 

 

 .

HD: Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z ≤ Ta có

1 x y 0; y z

y z x y

     

     

     

   

    Nhân cộng theo vế Ta có P =

x y y z z x x z

y x z x x z z x

       

        

       

     

 

Đặt t = x z,t 

1 ;1

 

 

  Ta có

1

(2 )

2

t  t

   

  

1

2

t t

 

Thay vào P

27.(Olympic 06) Cho x, y, z ≥ x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx ≤

2

7

xyz



HD: TH1: x ≥

7

9 suy

7

xyz xy

y + z ≤

2

9 Từ xy+xz <

2

9 7.

TH2: x <

7

9 yz ≤

2

( )

4

y z

=

2

(1 )

4

x



BĐT cần c/m 

2

9 (1 )

(1 ) (1 )

7

x x



   

 (x + 1)(3x – 1)2 ≥

28.(Olympic 06) Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Tìm GTNN

1

1 2( )

P

ab bc ca abc

 

   .

HD: – 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 Thay tử số hạng thứ Áp dụng BĐT Svácsơ 29.(Olympic 06) Cho a, b, c > Chứng minh

2 2

2 2 2

(2 ) (2 ) (2 )

8

2 ( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

a b c b c a c b a

     

  

      .

HD: Giả sử a + b + c = Thay b + c = – a vào số hạng thứ C/m

2

( 3) 4

3

2 (3 )

x

x x



 

  Cộng theo vế

ta có đpcm

30.(Olympic 06) Cho a, b, c ≥ a + b + c = Tìm GTLN P = 9ab + 10ac + 22bc HD: P =

2

10(a b ) 3(a b ) 12b 3b  3ab

(13)

HD: Bài tốn trở thành tìm m để hệ phương trình

2

3

1

x xy y x y xy m

   

 

 



 có nghiệm.

Đặt u = x2 + y2, v = xy.

32.(Olympic 06) Cho a, b, c > a + b + c = Tìm GTNN ( ) ( ) ( )

ab bc ca

P

c b c a c a b a b

  

   .

HD: Áp dụng BĐT Svácsơ Hoặc áp dụng BĐT Bunhiacôpski. 33.(Olympic 06) Cho x, y > x + y = Tìm GTNN biểu thức

9 48

51 23

7

P x y

x y

   

HD: Áp dụng BĐT Cauchy

9 48

2( ) (49 ) (21 )

7

P x y x y

x y

     

34.(Olympic 06) Cho a, b, c > Chứng minh

2008

2008 2008 2008 2008 2008 2008

1 1 1

4

(2 ) ( ) ( )

a b c a b c a b c a b c

 

      

     

 

HD: Áp dụng BĐT Cauchy ta có

2009 2008 2008 2008

1

( )

a b  a b

35.(Olympic 03_11) Cho a, b, c chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a) ≥ 0.

HD: Đặt a = x + y, b = y + z , c = z + x Áp dụng BĐT Bunhiacôpski.

36.(Olympic 04_11) Tìm GTLN P9x2 1x4 13x2 1 x4 , với |x| ≤ HD: Áp dụng BĐT Cauchy

2

3

2x x ≤ ? ,

2

4

1

x



≤ 37.(BT) Tìm GTNN P = x2 – 2xy + 3y2 – 4x + 8y – 7.

HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0,  <

38.(BT) Tìm GTLN P = - 4x2 + 12xy – 9y2 - 4x + 6y + 8. HD: Giải theo tam thức bậc hai a < 0,  <

39.(BT) Chứng minh 3x2 + 4xy + 2b2 + 2a + 3b +

11 ≥ 0.

HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0,  <

40.(BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Chứng minh

20

27

ab bc ca   abc

HD: Giả sử a = Max a,b,c  Chuyển BĐT theo ẩn a với

2

1

3 a cách áp dụng

2

( )

4

b c bc 

41.(BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Chứng minh a3b3 c3 9

HD: Giả sử a = Max a,b,c  Chuyển BĐT theo ẩn a với ≤ a ≤ cách VT ≤ a3 + b3 + c3 + 3bc(b + c)

42.(BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 14.

HD: Giả sử a = Max a,b,c  Chuyển BĐT theo ẩn a với ≤ a ≤ cách VT ≤ a2 + b2 + c2 + 2(b – 1) (c – 1)

43.(BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 + xy + y2 = Tìm GTNN, GTLN P = x2 – 2xy + 3y2. HD: C1: Đặt t =

x

y xét tỷ số P/ = ?

C2: Tìm gt m để hệ phương trình có nghiệm.x2 + xy + y2 = x2 – 2xy + 3y2 = m. 44.(BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 - xy + y2 = Tìm GTNN, GTLN P = xy + y2.

HD: C1: Đặt t = x

y xét tỷ số P/ = ?

(14)

45. Cho a, b, c > abc = Tìm GTNN

5 5

4 4

3 3

1

( )

4

a b c

P a b c

b c c a a b

     

  

HD: Áp dụng BĐT Cauchy

3

3 ( )

a

b c a b c   ≥ ?

46.Cho a, b, c, d > a + b + c + d ≤ Chứng minh 2 2

1 1

1 (a1) (b1) (c1) (d1) 

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,29 MB