Xử lý họ nghiệm PTLG

Luyện tập PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Beckbo1210 CHỦ ĐỀ: XỬ LÝ VẤN ĐỀ HỌ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Thông thường khi giải một phương trình lượng giác ta thường gặp 2 tình huống sau: + Nghiệm của phương trình là một họ kết hợp. + Đối chiếu một họ nghiệm với điều kiện ban đầu. Chúng tôi viết chủ đề này nhằm giúp các em xử lý các vấn đề trên. I) NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: Có 2 phương pháp chính để xử lý như sau: Phương pháp 1: Dùng đường tròn lượng giác *Bước 1: Biểu diễn các ngọn cung nghiệm của họ phương trình. Lưu ý: Với họ nghiệm x k n π α = + có 2n ngọn cung nghiệm. *Bước 2: Lấy các ngọn cung nghiệm chung và viết họ nghiệm tương ứng với các ngọn cung nghiệm này. VD1: Họ nghiệm là 4 ( ; ' ) ' 2 x k k k Z x k π π π  =   ∈   = +   * Họ nghiệm 4 x k π = có 8 ngọn cung nghiệm. * Họ nghiệm ' 2 x k π π = + có 2 ngọn cung nghiệm như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, kết luận nghiệm chung là: ,( ) 2 x l l Z π π = + ∈ VD2: Họ nghiệm là: 3 ( ; ' ) 2 ' 3 3 x k k k Z x k π π π  =   ∈   = +   Tương tự, dựa vào hình vẽ, nghiệm chung là: 2 ;( ) 3 3 x k k Z π π = + ∈ Phương pháp 2 Dùng phương trình nghiệm nguyên: ax by c+ = *Nhắc lại: ;( ) c by ax by c a b ax c by x a − + = ≤ ⇔ = − ⇔ = c by x Z Z a − ∈ ⇒ ∈ 1 Luyện tập PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Beckbo1210 VD1: 40 10 24 6 x k x m π π π π  = +     = − +   Ta có: 3 2 5 40 10 24 6 k m k m π π π π + = − + ⇔ + = 5 2 1 3 5 2 2 1 3 3 m m k m k m − − ⇔ = − ⇔ = = − − Do 1 1 3 2(3 1) 1 5 1 3 m k Z Z m t k t t − ∈ ⇒ ∈ ⇒ − = ⇒ = + − = + Thế lại: (5 1) 40 10 40 10 2 8 2 x t t t π π π π π π π = + + = + + = + (3 1) 24 6 6 24 2 8 2 x t t t π π π π π π π = − + + = − + = + Vậy nghiệm chung là: 8 2 x t π π = + ; t Z ∈ VD2: 6 (2 1) 6 3 10 6 20 (2 1) 20 x k k n n k x n π π π π  =   ⇔ = + ⇔ + =   = +   (*) Ta thấy VT(*): Lẽ; VP(*): Chẵn. Do đó hệ trên vô nghiệm. VD3: 2 8 2 8 2 1 4 5 5 5 5 5 2 5 1 1 4 5 1 4 4 * 1 4 1 4 5 1 x k k n k n x n n n k n k n k n t k t t t π π π π π π  = +  ⇔ + = ⇔ + =   =  − − ⇔ = − ⇔ = = + ∈ ⇒ − = ⇒ = + + = +¢ Vậy nghiệm chung là: 2(4 1) ;x t t Z π = + ∈ . VD4: 2 Luyện tập PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Beckbo1210 13122 2 1 2 23 4 46 446 3 2 62 )12( 3 2 6 2 )12( +=++=⇒= ++= + = + = =+⇔+−=+⇔        +−= += tttntk k k kk n nknk nx kx πππ ππ π Vậy nghiệm chung là: )(,2 22 )14( Ztttx ∈+=+= π ππ VD5: knnk nx kx 2 266 26 6 =⇔+=+⇒        += += ππ π π ππ π π Vậy nghiệm chung là: )(, 6 Znnx ∈+= π π VD6: Gỉa sử điều kiện ban đầu:        +≠ +≠ )2( 510 )1( 2 ππ π π mx kx và nghiệm là: 612 ππ lx += (*) So sánh với ĐK(1): klkl 12621 2612 +=+⇔+=+ π πππ (VT: Lẽ,VP: chẵn) Vậy (*) thỏa (1) So sánh với ĐK(2): llml 126105 1510612 +=+⇔+=+ ππππ (VT: Lẽ,VP: chẵn) Vậy (*) thỏa (2) Vậy nghiệm là: 612 ππ lx += VD7: 3 Luyện tập PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Beckbo1210 lklk lx kx 23422 43 2 6 2 4 3 2 6 +=+⇔+=+⇒        += += π πππ π π ππ (VT: Lẽ,VP: chẵn) Vậy hệ vô nghiệm. VD8: tttktm m m m kmkmk mx kx 89,3 3 3 3 8 83 3 8 3 8 =−=⇒= −==⇔=⇔=⇒      = = π π π π Vậy nghiệm: π tx 8 = KỸ THUẬT CỘNG NGHIỆM * Nội dung phương pháp: Cho hai tập nghiệm 21 ;EE . Yêu cầu xác định: 21 EEE ∪= . TH1: + Nếu 222121 EEEEEEE =⇒=∪⇒⊂ + Nếu 112112 EEEEEEE =⇒=∪⇒⊂ TH2: + Nếu 2121 EEEEE ∪=⇒∅=∩ + Nếu )'/(' 2121 EEEEEEE ∪=⇒=∩ VD1:             ==       == 2 5 2 1 π π nxE kxE Chọn mnmk 2,5 == thì: π mxx == 21 . Như vậy, 21 ;EE có phần chung là { } π mxExE =∈= /' 2 Ta có:       +==       ≠== 2 )12(2/ 2 '/ 2 ππ lxmnnxEE Vậy nghiệm chung: 2 )12(; 5 ππ +== lxkx VD: Giải hệ: 4 Luyện tập PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Beckbo1210        = = 06sin 4 1 3sin 2 1 sin 2 2 x xx Ta có: 6 06sin π kxx =⇔= Chọn Zk ∈ sao cho:      += = === 12; 2 1 2;0 ) 2 (sin 2 1 ) 6 3 (sin 2 1 6 sin 22 mk mk kkk πππ + nk m mk 60 6 sin2 =⇔=⇒= π +    += += ⇔=+⇒+= nk nk mmk 125 121 2 1 6 )12sin(12 π Vậy 6 π k x = , với { } nnnk 125;121;6 ++∈ 5 . + có 2n ngọn cung nghiệm. *Bước 2: Lấy các ngọn cung nghiệm chung và viết họ nghiệm tương ứng với các ngọn cung nghiệm này. VD1: Họ nghiệm là 4 ( ; '. +   * Họ nghiệm 4 x k π = có 8 ngọn cung nghiệm. * Họ nghiệm ' 2 x k π π = + có 2 ngọn cung nghiệm như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, kết luận nghiệm