Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. Chứng minh:.. a) CE vuông góc với DF.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
Khóa ngày 15 tháng 10 năm 2015
Môn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1:(4,0 điểm)
Cho biểu thức:
2 2 2 1
P =
1
x - x x x + x
x + x x x
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ P. Bài 2: (4,0 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + y3 + z3 – 3xyz
b) Cho x3 + y3 + z3 = 3xyz Tính giá trị biểu thức:
A =
x y z
1+ 1+ 1+
y z x
Bài 3:(3,0 điểm)
Cho A = n3 + 3n2 +2n với n nguyên dương.
a) Chứng minh A chia hết cho với số nguyên dương n. b) Tìm giá trị nguyên dương n (n <10) để số A chia hết cho 15. Bài 4:(2,0 điểm)
Giả sử x, y số thực dương thỏa mãn: x + y = 1. Chứng minh bất đẳng thức: 3
1
+ +
x + y xy
Bài 5: (5,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF Chứng minh:
a) CE vng góc với DF. b) Tam giác MAD cân.
c) Tính diện tích tam giác MDC theo a. Bài 6: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD Tính độ dài BD biết BC = 5cm, AC = 20cm.
(2)PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) _
Bài (4đ)
a) ĐK : x > x ≠ Ta có:
2 2 2 1
P =
1
x -
x x x + x
x + x x x
1 1 2 1 2 1 1
=
1
x x x + x x x x - x
x + x x x
= x x1 x1 + 2 x1 = x - x 1
0,5
1,0 0,5 0,5
b) P=x - x1
2
1 3
=
2 4
x
P đạt GTNN
4 khi
1
0
2
x x =
0,75 0,75 Bài
(4đ)
a) x3 + y3 + z3 – 3xyz
= (x + y)3 + z3 -3xyz -3x2y – 3xy2
= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 – xz - yz + z2 – 3xy)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx)
0,5 0,25 0,5 0,25 b) Ta có: x3 + y3 + z3 = 3xyz
<=> x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
<=> (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx)
<=> x + y + z = x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx = 0
Với x + y + z = A =
x y z
1+ 1+ 1+
y z x
=
x + y y + z z + x -z -x -y
y z x y z x
Với x2 + y2 + z2 – xy - yz– zx = 0
<=> 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy - 2yz– 2zx = 0
<=> (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0
<=>x = y = z A =
x y z
1+ 1+ 1+
y z x
=(1+1)(1+1)(1+1) = 8
0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Bài
(3đ)
a) Ta có: A = n3 + 3n2 +2n
= n(n2 + 3n +2)
= n(n2 + n + 2n +2)
= n[n(n + 1) + 2(n +1)] = n(n+1)(n+2)
A tích số tự nhiên liên tiếp => A 3.
0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 b) Vì A mà (3,5) =
Nên A 15 <=> A 5
0,5 0,5
(3)<=> n(n+1)(n+2) mà n<10 => n {3;4;5;8;9} 0,5 Bài
(2đ)
x + y = <=> (x + y)3 = 1
<=> x3 + y3 + 3xy = 1
Ta có :
3 3
3 3
1 x + y + 3xy x + y + 3xy
+ +
x + y xy x + y xy
3
3
3xy x + y
1 +
x + y xy
3
3
3xy x + y
4 +
x + y xy
3
3
3xy x + y
4
x + y xy
0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 Bài
(5đ)
1
1 K
E
F M
D
C B
A
a) BEC = CFD (c.g.c) C1D
CFD vuông C F + D = 901 F + C = 901 1 CMF vuông M Hay CE DF.
0,5 0,5 0,5 b) Gọi K giao điểm AD với CE Ta có :
AEK = BEC (g.c.g) BC = AK
AM trung tuyến tam giác MDK vuông M
1
AM = KD = AD AMD
2
cân A
0,5 0,5 0,5 c) Trong DCF theo Pitago ta có :
2
2 2 2
DF = CD + CF = CD + BC = CD + CD = CD
2 4
=
2
a
=> DF = a
2
CMD FCD (g-g)
a
a 5
2
CM MD CD =
FC DC FD
CM =
5 .FC=
5.
a
2 =
a ;
0,25 0,25 0,5
(4)MD =
5.DC=
5 .a Do : SMCD=
1 2.
a .
2 .a =
2 a
5
0,5 Bài
(2đ)
E
D
C B
A
Vì BD phân giác AB
CD BC
DA
Hay AB + BC
CD BC
AC
5 25
CD 20
=> CD = cm
Vẽ đường phân giác CE CBD Đặt DE = x, EB = y, ta có CE = y CED BCD (g-g)
ED EC CD
CD BC BD
y BD
4 +
x x + y
BD
Từ
BD
4
BD => BD = 6(cm)
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Lưu ý: Nếu HS sử dụng công thức BD2 = AB.BC – CD.AD phải
chứng minh cơng thức