HOI NGHI SKKN 20082009

®Ó t¹o thªm gãc trung gian b»ng c¸c gãc ph¶i chøng minh... Tõ C kÎ CE vu«ng gãc víi AB vµ CF.[r]

(1)

SKKN Năm học 2007 - 2008 SKKN Năm học 2007 - 2008

Tên Đề Tài:

"Hngdnhcsinhtỡm

kiếmưlờiưgiảiưmộtưsốưbàiưtậpư

hìnhưhọcưlớpư8ư

hìnhưhọcưlớpư8ưbằngưcáchưvẽưbằngưcáchưvẽư

cácưđườngưphụ"

(2)

Học sinh lớp đ ợc làm quen với tập

chøng minh Hình học qua lớp 6, song không

chøng minh H×nh häc qua líp 6, song không

vì mà việc giải tập Hình học

em dễ dàng Thực tế cho thấy rằng: Đa

số học sinh th ờng xuyên gặp khó khăn

tiếp cận với Hình học ( tất lớp

bậc học phổ thông).

Một khâu khó khăn

gii bi Hỡnh hc cách để tìm

(3)

Một cách th ờng dùng

giải tập Hình học lớp vẽ đ ờng

ph hợp lý, khơng ngồi mục đích chung

phụ hợp lý, khơng ngồi mục đích chung

lµ tạo liên kết giả thiết kết

là tạo liên kết giả thiết kết

luận toán thông qua việc vẽ thêm

các yếu tố mới, chuyển toán ban đầu

v dạng đơn giản hay chuyển dạng

về dạng đơn giản hay chuyển dạng

cơ bản, th ờng gặp từ đến cách chứng

minh.

(4)

Trong phạm vi đề tài xin phép đ ợc chia sẻ Trong phạm vi đề tài xin phép đ ợc chia sẻ kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp qua kinh nghiệm bạn bè đồng nghiệp qua mt

số ví dụ loại tập đ ợc giải cách vẽ số ví dụ loại tập đ ợc giải cách vẽ

thêm đ ờng phụ, ví dụ thực tế thêm đ ờng phụ, ví dụ thực tế

mà qua trình kiểm nghiệm công tác mà qua trình kiểm nghiệm công tác

giảng dạy thân, thấy có hiệu tốt giảng dạy thân, thấy có hiệu tốt trong việc tìm kiếm cách chứng minh nh trong việc tìm kiếm cách chứng minh cịng nh

cã hiƯu qu¶ tèt việc rèn luyện phẩm có hiệu tốt viƯc rÌn lun c¸c phÈm

chất t Vì phạm vi đề tài giới hạn chất t Vì phạm vi đề tài ch gii hn

trong ch ơng trình Hình học lớp nên chắn trong ch ơng trình Hình học lớp nên chắn

(5)

II Nội dung đề tài II Nội dung đề tài

Nội dung đề tài đ ợc trình bày thơng qua 10 ví

Nội dung đề tài đ ợc trình bày thơng qua 10 vớ

dụ với khoảng gần 20 cách giải

Mỗi ví dụ có cách trình bày chung nh sau:

- Giới thiệu toán

- Phân tích toán tìm h ớng chứng minh

- Xuất phát từ việc phân tích nêu nhận xét cụ thể, từ

các nhận xét gợi ý cách vẽ đ ờng phụ hợp lý phục

vụ cho việc giải toán

- Giải toán

Sau ví dụ học kinh nghiệm rút thông qua việc

giải toán

Phạm vi kiến thức: Hình học

(6)

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Trên cạnh AB hình vuông ABCD, Trên cạnh AB hình vuông ABCD, dựng phía hình vuông tam giác AFB

dựng phía hình vuông tam giác AFB

cõn ti F cú góc đáy Chứng minh tam

cân F có góc đáy Chứng minh tam

giác CFD tam giác đều.

D C

(7)

NhËn xÐt 1:

Từ việc phân tích toán gợi cho ta ý t ëng vÏ

Tõ viƯc ph©n tích toán gợi cho ta ý t ởng vẽ

trục đối xứng d1 hình vng qua cạnh

trục đối xứng d1 hình vuông qua cạnh

AB Trên d1 ta lấy điểm E cho AEB đều, ta

chøng minh AE = DF = AB

từ chứng minh đ ợc DF = DC

* Phân tích toán:

T gi thit ca toán cho là: AFB cân

Từ giả thiết toán cho là: AFB cân

F AFB có trục đối xứng đ ờng trung trực

AB trục đối xứng hình vng

ABCD vËy DFC cân F Để chứng minh DFC

ABCD DFC cân F Để chứng minh DFC

đều ta cần chứng minh

DF = DC hc chøng minh DFC cã mét gãc

(8)

Cách giải 1:

Vẽ trục đối xứng d1

V trc i xng d1 ca

hình vuông qua AB lÊy E

hình vng qua AB lấy E  d1 cho d1 cho ΔΔAEB AEB

Δ

ΔAFB cã AFB cã

AEF cân EAEF cân E

FE = AE = AB (do có FE = AE = AB (do có ΔΔAEB đều)AEB đều)

AB = AD = FE(1)AB = AD = FE(1) Mặt khác FE //AD(2)

Mặt khác FE //AD(2)

(do d1 trục đối xứng hình vng)

Tõ (1) vµ (2)

Tõ (1) vµ (2) DFEA hình bình hànhDFEA hình bình hành

AE = DFAE = DF Do

Do

 150o

AFB 

 1.150 75

2

o o

AFE  

 15o 60o 75o

FAE   

     AE DF

AE AB DF DC

(9)

* NhËn xét 2:

* Nhận xét 2: Từ cách phân tích toán ví dụ Từ cách phân tích toán ví dụ 1 ta thấy cã thĨ chun viƯc chøng minh FD =

1 ta thÊy r»ng cã thĨ chun viƯc chøng minh FD =

DC vỊ viƯc chøng minh FC = BC hay chøng minh

DC vỊ viƯc chøng minh FC = BC hay chøng minh Δ

ΔFCB cân C hay chứng minh đ ờng cao đỉnh FCB cân C hay chứng minh đ ờng cao đỉnh C vừa đ ờng trung trực vừa đ ờng phân giác, đ

C vừa đ ờng trung trực vừa đ ờng phân giác, đ

ờng trung tun cđa

êng trung tun cđa ΔΔCFB §iỊu đ ợc giải CFB Điều đ ợc giải quyết ta lấy điểm I

quyết ta lấy điểm I  d2(d2 trục đối xứng d2(d2 trục đối xứng hình vng ADCB)sao cho có góc đáy

hình vng ADCB)sao cho có góc đáy

Từ nhận xét ta có cách giải t ơng øng sau:

Tõ nhËn xÐt nµy ta có cách giải t ơng ứng sau:

(10)

ãCách giải 2:Cách giải 2:

V trc i xứng d2 hình vng

Vẽ trục đối xứng d2 hình vng

ABCD ®i qua cạnh BC cho tam

ABCD qua cạnh BC cho tam

giác

giác cân CIB có góc đáy cân CIB có góc đáy Ta có

Ta cã ΔΔ AFB = AFB = ΔΔ BIC (g c g) BIC (g c g)

⇒⇒ IB = FB IB = FB FBI cân B.FBI cân B. Mặt khác

Mặt khác

⇒⇒ FIB FIB u.

Lại có: (góc

Lại có: (góc CBI)CBI)

⇒⇒ ⇒⇒ IH IH ⊥⊥ FB t¹i H FB t¹i H Hay CH

Hay CH FB FB CH đ ờng trung CH đ ờng trung

15o

 o o o o IBF = 90 - (15 +15 ) = 60

 30o

HIB   90o

(11)

* NhËn xÐt 3:

Với cách đặt vấn đề nh nhận xét nh ng ta lấy

®iĨm E thc miền hình vuông, ta

điểm E thuộc miền hình vuông, ta

có cách giải ví dụ t ơng ứng với hình vẽ

có cách giải ví dụ t ơng ứng với hình vÏ

sau:

(12)

VÝ dô 2:

VÝ dô 2: Cho ABC, trung tuyÕn BM (M Cho ABC, trung tuyÕn BM (M  AC) AC) Dựng phía ABC hình vuông BCKL

Dựng phía ABC hình vuông BCKL

và BAED Chứng minh DL = 2BM

(13)

* Ph©n tÝch toán:

* Phõn tớch bi toỏn: Sau thể tất yếu tố Sau thể tất yếu tố đã cho lên hình vẽ ta nhận thấy khơng vẽ

đã cho lên hình vẽ ta nhận thấy nu khụng v

thêm đ ờng phụ hai đoạn thẳng DL BM

không có mối liên hệ trực tiếp nào.

Vấn đề đặt phải tạo đ ợc đoạn thẳng trung gian

gấp đơi BM có mối liên hệ trực tiếp với BM, từ

ta chøng minh DL = 2BM nhê tính chất bắc cầu.

ta chứng minh DL = 2BM nhờ tính chất bắc cầu.

* Nhận xét 1:

* NhËn xÐt 1: BiÕt M lµ trung điẻm AC gợi cho ta ý t Biết M trung điẻm AC gợi cho ta ý t

ởng vẽ tia đối tia MB, tia đối lấy điểm B' cho

MB' = MB ta có BB' = 2BM, ta chứng minh:

MB' = MB ta có BB' = 2BM, ta chứng minh: Δ

ΔBCB' = BCB' = ΔΔLBD để có LBD để có

BB' = DL từ suy điều phải chứng minhBB' = DL từ suy điều phải chứng minh Từ nhận xét ta có cách giải t ơng ứng sau:

(14)

* Cách giải 1:

Trên tia đối tia MB lấy điểm B'

sao cho MB = MB'

sao cho MB = MB' ⇒⇒ BB' = 2BM BB' = 2BM Ta cã:

Ta có: ◊◊ABCB' hình bình hành.ABCB' hình bình hành Vẽ tia đối tia CK Cz

Vẽ tia đối tia CK Cz

Vẽ tia đối tia BC By

Vẽ tia đối tia BL Bx

Ta cã:

HayHay

Mặt khác BD = B'C (cùng BA)

Mặt kh¸c BD = B'C (cïng b»ng BA)

BL = BCBL = BC

⇒⇒ ΔΔDBL = DBL = ΔΔB'CB (c g c)B'CB (c g c)

⇒

⇒ BB' = DL = 2BM.BB' = DL = 2BM

              B'Cz = ABx

DBy + yBL = BCz = zBC

yBL = zCB  

(15)

NhËn xÐt 2:

Nhận xét 2: Từ việc phân tích tốn ta tạo đoạn Từ việc phân tích tốn ta tạo đoạn thẳng trung gian gấp đôi đoạn thẳng BM cách khác nh sau: thẳng trung gian gấp đôi đoạn thẳng BM cách khác nh sau: Trên tia đối tia BA lấy điểm A' cho BA = BA'

Trên tia đối tia BA lấy điểm A' cho BA = BA' ACA' nhận BM ng trung bỡnh

ACA' nhận BM đ êng trung b×nh

hay CA' = 2BM ta sÏ chứng minh DL = CA' toán đ ợc gi¶i hay CA' = 2BM ta sÏ chøng minh DL = CA' toán đ ợc giải quyết Bằng cách vẽ đ ờng phụ ta có cách t ơng ứng sau:

quyết Bằng cách vẽ đ ờng phụ ta có cách t ơng ứng sau:

Cách giải 2:

Trên tia đối tia BA lấy điểm A' cho BA' = BA

AA'C có BM đ ờng trung b×nh 2BM = A'C

AA'C cã BM đ ờng trung bình 2BM = A'C

Δ

ΔDBL = DBL = ΔΔA'BC (c g c) A'BC (c g c) ⇒⇒ A'C = DL A'C = DL VËy DL = 2BM

(16)

VÝ dơ 3:

VÝ dơ 3: Cho h×nh thang ABCD cã ( BC // AD ) Cho h×nh thang ABCD cã ( BC // AD ) Gäi E Gọi E trung điểm CD Đ ờng thẳng qua E vuông góc với

trung điểm CD Đ ờng thẳng qua E vuông góc với

AB t¹i K

Chøng minh r»ng: DiƯn tÝch tø gi¸c ABCD b»ng tÝch

AB.EK

(17)

• Phân tích tốn:Phân tích tốn: Sau thể yếu tố cho lên hình vẽ Sau thể yếu tố cho lên hình vẽ

ta thấy để nguyên hình vẽ thi ch a tìm ta thấy để nguyên hình vẽ thi ch a tìm

thấy mối liên hệ với EK AB Vấn đề đặt là: thấy mối liên hệ với EK AB Vấn đề đặt là: phải tạo phải tạo các đ ờng phụ hợp lý để gắn kết yếu tố toán.

các đ ờng phụ hợp lý để gắn kết yếu tố toán.

Do EK

Do EK⊥⊥AB nên gợi cho ta ý t ởng phải tạo hình nhậnAB nên gợi cho ta ý t ởng phải tạo hình nhận

EK lm đ ờng cao AB làm cạnh đáy.EK làm đ ờng cao AB làm cạnh đáy

* NhËn xÐt 1:

* NhËn xÐt 1: Tõ viƯc ph©n tích toán nh ta thấy qua Từ việc phân tích toán nh ta thấy qua E kẻ đ ờng thẳng song song với AB cắt AD M BC N hình

E kẻ đ ờng thẳng song song với AB cắt AD M BC N hình

bình hành ABMN có diÖn tÝch b»ng EK AB Ta sÏ chøng minh:

bình hành ABMN có diện tích EK AB Ta sÏ chøng minh:

SABCD = SABMN Nhận xét dẫn đến cách giải nh sau:

(18)

* Cách giải 1: * Cách giải 1:

Đ ờng thẳng qua E song song với AB cắt BC N cắt AD M Đ ờng thẳng qua E song song với AB cắt BC N cắt AD M

MABN hình bình hành MABN hình bình hµnh  SMABN = EK.AB SMABN = EK.AB

Ta l¹i cã: SABCD = SABCEM + SEDMTa l¹i cã: SABCD = SABCEM + SEDM

SABNM = SABCEM + SECNSABNM = SABCEM + SECN

BiÕt EDM = ECN ( c.g.c )BiÕt EDM = ECN ( c.g.c )∆∆ ∆∆

(19)

•NhËn xÐt 2.NhËn xÐt 2.

Ta thÊy EK.AB = 2SEAB

Điều gợi cho ta suy nghĩ chứng minh

bằng cách kẻ:

bằng cách kẻ: EF // DA ( F EF // DA ( F  AB ) AB ) BM // CD ( M

BM // CD ( M  EF ) EF ) EN // AB ( N

EN // AB ( N  AD ) AD ) Ta cã c¸ch giải sau:

Ta có cách giải sau:

* Cách giải 2

* Cách giải 2 Kẻ: BM // CD ( M KỴ: BM // CD ( M  EF ) EF )

EN // BA ( N EN // BA ( N  AD ) AD ) EF // DA ( F

EF // DA ( F  AB ) AB ) Ta cã:

Ta cã:

CBME hình bình hành

 ECB = BME ECB = BME ∆∆ ∆∆  SECB = SBME SECB = SBME EFAN lµ hình bình hành

EFAN hình bình hành

 EAN = AEF EAN = AEF ∆∆ ∆∆  SEAN = SAEF SEAN = SAEF EDN = BMF ( g.c.g ) ∆ ∆

EDN = BMF ( g.c.g ) ∆ ∆  SEDN = SBMF SEDN = SBMF

ABCD SEAB

S = 2S

ABCD EAB ECB EDN EAN

S = S + S + S + S

EAB EMB BMF AEE

(20)

VÝ dơ 4:

VÝ dơ 4: Cho h×nh b×nh hành ABCD Cho hình bình hành ABCD E E điểm nằm BC

điểm nằm BC Đ ờng thẳng AE cắt đ ờng thẳng Đ ờng thẳng AE cắt đ ờng thẳng DC K Chứng minh

(21)

ãPhân tích toán:Phân tích toán:

Để nguyên hình vẽ với yếu tố cho ta thấy rằng:

khó nhận mối liên hệ

khó nhận mối liên hệ vµ

Do DEC nằm hình bình hành, điều gợi cho ta ý ∆

t ởng vẽ đ ờng phụ để tìm mối liên hệ diện tích

tam giác cho so sánh với diện tích hình bình

hµnh ABCD

* NhËn xÐt:

* Nhận xét: Kẻ đ ờng cao DH DEC Kẻ đ ờng cao DH DEC ∆∆  DH DH độ dài đ ờng cao AEB đ ờng cao đỉnh D ∆

độ dài đ ờng cao AEB đ ờng cao đỉnh D ∆

h×nh bình hành ABCD.

hình bình hành ABCD.

Kẻ ® êng cao KI cña ABK ∆

Kẻ đ ờng cao KI ABK ∆  KI độ dài đ KI độ dài đ ờng cao xuất phát từ đỉnh C hình bình hành.

ờng cao xuất phát từ đỉnh C ca hỡnh bỡnh hnh.

Ta có cách giải toán nh sau:

ECD

(22)

Giải:

Kẻ đ ờng cao DH DEC

DH đ ờng cao AEB hìnhDH đ ờng cao AEB hình bình hành ABCD

bình hành ABCD

Kẻ đ ờng cao KI ABK.

Kẻ đ ờng cao KI cña ABK.∆

EAB

1

S = DH.BE 2

 DCE

1

S = DH.CE 2

 SDCE + SAEB = DH.(CE + EB)1 2

ABK ABE BEK ABCD

1 1

S = S + S = KI.AB = S (2)

2 2

ABCD

1 1

= DH.CB = S (1)

(23)

VÝ dô 5:

VÝ dô 5: Cho ABC ( AC > AB ) Trên AB; AC lần Cho ABC ( AC > AB ) Trên AB; AC lần l ợt lấy điểm D E tuỳ ý cho

l ợt lấy điểm D E tuỳ ý cho

BD = CE Gäi K giao điểm đ ờng thẳng

BD = CE Gọi K giao điểm đ ờng thẳng

DE BC.

Chứng minh tỷ số không phụ thuộc vào cách

chọn điểm D E.

KE KD

E

K A

(24)

ãPhân tích toán:Phân tích toán: Để làm xuất tỷ số ta cần phải Để làm xuất tỷ số ta cần phải

k thờm đ ờng phụ song song với EC DB, từ

kẻ thêm đ ờng phụ song song với EC DB, từ

t×m mèi liên hệ với yếu tố cho tr ớc

tìm mối liên hệ với yếu tố cho tr ớc

Cách giải 1:

Cách giải 1: ( VÏ ® êng phơ tõ D ) ( Vẽ đ ờng phụ từ D ) Kẻ DM // AC ( M

KỴ DM // AC ( M  BK ) BK ) Ta cã :

Ta cã :

Ta l¹i cã: (Do EC = BD)(2)

Mặt khác: ( Do DM // AC ) (3)

KE KC EC = = (1) KD KM DM

EC BD =

DM DM BD DM

=

AB AC BD AB

E

B K

A

C D

(25)

Cách giải 2:

Cách giải 2: ( VÏ ® êng phơ tõ E )( VÏ ® êng phơ tõ E ) Tõ E kỴ EN // AB

Tõ E kỴ EN // AB

Ta có:

Mặt khác:

Vậy tỷ số không phụ thuộc vào

cách lấy điểm D E

EK KN EN

= =

KD KB DB

EK EN EN AB

= = =

KD BD EC AC

EK AB

=

KD AC

B

E

C A

K D

(26)

VÝ dô 6:

VÝ dô 6: Cho hình vuông ABCD Trên AB BC Cho hình vuông ABCD Trên AB BC lần l ợt lấy điểm M N cho MDN =

lần l ợt lấy điểm M vµ N cho MDN =

Chứng minh rằng: Khi M, N di động AB, AC (

tho¶ mÃn MDN = ) chu vi BMN mét sè ∆

tho¶ m·n MDN = ) chu vi BMN số

khụng đổi

không đổi

o

45

o

45

C

(27)

•Phân tích tốn:Phân tích tốn: M N di động nh ng MDN = M N di động nh ng MDN =

không đổi Điều gợi cho ta ý t ởng tạo đ ờng phụ để

có mối liên hệ góc từ phát mối liên hệ

giữa điểm di động M, N với yếu tố cho tr ớc

* NhËn xÐt 1:

* Nhận xét 1: Kẻ đ ờng phụ Dx cho nhận DM Kẻ đ ờng phụ Dx cho nhận DM làm phân giác ta có:

làm phân giác ta có:



Kẻ ME vuông góc với Dx; NF vu«ng gãc víi Dx, ta chøng

Kẻ ME vuông góc với Dx; NF vuông góc với Dx, ta chøng

minh đ ợc E trùng F từ suy điều phải chứng minh.

o 45    o 1

D D = 45



xDA

   

3

o 1 2 2

D = D , D + D = 45   o   

1 3 3 4

(28)

C¸ch giải 1:

Cách giải 1: Gọi cạnh hình vuông a.Gọi cạnh hình vuông a

Kẻ tia Dx cho góc nhận DM làm phân giác

KỴ tia Dx cho gãc nhËn DM làm phân giác

Kẻ ME vuông góc Dx, NF vuông góc Dx ( E, F

Kẻ ME vuông góc Dx, NF vuông gãc Dx ( E, F  Dx ) Dx )

Ta cã: AMD = EMD ; CND = FND ( c¹nh hun, gãc nhän )∆ ∆ ∆ ∆

 MA = ME; NF = NC MA = ME; NF = NC

 ED = AD; FD = CD ED = AD; FD = CD

 ED = FD ( cïng b»ng a ) ED = FD ( cïng b»ng a )

 E trïng F hay M, E, N thẳng hàng E trùng F hay M, E, N thẳng hµng

 chu vi BMN = BM + MN + NB chu vi BMN = BM + MN + NB∆∆



xDA

   

3

 D = D , D + D = 451 2 2 o

 

4

 D D = 451  o

   

(29)

•Nhận xét 2:Nhận xét 2: Với cách lấy tia đối tia CB đoạn Với cách lấy tia đối tia CB đoạn

CK = AM ta có cách giải t ơng ứng sau đây:

CK = AM ta có cách giải t ơng ứng sau đây: Cách giải 2:

Cách giải 2:

Trờn tia đối tia CB lấy CK = AM

Trên tia đối tia CB lấy CK = AM



 ADM = CDK ( c.g.c ) ADM = CDK ( c.g.c )∆∆ ∆∆



 ; MD = KD ; MD = KD BiÕt

BiÕt



 MDN = KDN MDN = KDN ∆∆ ∆∆

(Cã MD = DK; MDN = KDN ; ND chung)



 MN = NK = NC + CK MN = NK = NC + CK

Chu vi BMN = BM + MN + NB∆

= BM + NK + NB

= BM + CK + NC + NB

= BM + MA + CN + NB = 2aVËy chu vi BMN b»ng 2a ∆

 

1 4 D = D

  o     o

1 3 3 4

(30)

VÝ dơ 7:

Ví dụ 7: Cho góc xAy tia phân giác At Trên Cho góc xAy tia phân giác At Trên Ax ; By theo thứ tự đặt đoạn thẳng MN PQ

Ax ; By theo thứ tự đặt đoạn thẳng MN PQ

tho¶ m·n MN = PQ (M n»m gi÷a A; N , P n»m

thoả mÃn MN = PQ (M nằm A; N , P n»m

gi÷a A; Q ) Gọi I; K trung điểm MP NQ

giữa A; Q ) Gọi I; K trung điểm MP NQ

Chứng minh: IK // At

(31)

* Ph©n tÝch toán :

* Phõn tớch bi toỏn : Nếu để nguyên hình vẽ ban đầu Nếu để ngun hình vẽ ban đầu khó khăn việc tìm kiếm lời giải cho tốn

rÊt khó khăn việc tìm kiếm lời giải cho toán

Xuất phát từ giả thiết yêu cầu phải chứng minh IK // At

gợi cho ta ý t ởng phải chứng minh IK tia phân giác

mt gúc cú hai cnh t ơng ứng song song với góc xAy

một góc có hai cạnh t ơng ứng song song với góc xAy

cho

* NhËn xÐt :

* NhËn xÐt : KỴ tia Ix' // Ax ; Iy' // AyKỴ tia Ix' // Ax ; Iy' // Ay

Từ N kẻ đ ờng thẳng song song với MP cắt Ix' B Từ Q

kẻ đ ờng thẳng song song với MP cắt Iy' C Ta chứng

kẻ đ ờng thẳng song song với MP cắt Iy' C Ta chøng

minh đ ợc IK phân giác góc BIC từ suy điều

ph¶i chøng minh.

(32)

KỴ tia Ix' // Ax; Iy' // Ay Qua N kẻ đ ờng thẳng song song víi MP

KỴ tia Ix' // Ax; Iy' // Ay Qua N kẻ đ ờng thẳng song song với MP

cắt Ix' B

Qua Q kẻ đ ờng thẳng song song với MP cắt Iy' C

(33)

Tõ (1) vµ (2)

Từ (1) (2) Tứ giác NBQC hình bình hành Tứ giác NBQC hình bình hành K trung điểm đ ờng chéo NQ

K trung điểm đ ờng chéo NQ

K trung điểm CB.K trung điểm CB

Do MN = PQ (gt) tứ giác MNBI; tứ giác ICQP hình

bình hành

 MN = IB = IC = PQ MN = IB = IC = PQ

BIC cân BIC cân IK trung tuyến phân giác IK trung tuyến phân giác Có: IB // Ax ; IC // Ay

Cã: IB // Ax ; IC // Ay

At lµ phân giác góc xAy; IK phân giác góc BIC

At phân giác góc xAy; IK phân giác góc BIC

(34)

VÝ dô 8:

VÝ dơ 8: Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC M; N Cho tø gi¸c ABCD có AD = BC M; N lần l ợt trung điểm cạnh AB CD Tia

lần l ợt trung điểm cạnh AB CD Tia

MN cắt tia AD E cắt tia BC F

MN cắt tia AD E cắt tia BC ë F

Chøng minh:

(35)

ãPhân tích toán , tìm h ớng chứng minh.Phân tích toán , tìm h ớng chứng minh.

Từ yếu tố giả thiết cho yêu cầu chứng minh

gỵi cho ta ý t ëng phải vẽ đ ờng phụ hợp lý

gợi cho ta ý t ởng phải vẽ ® êng phơ hỵp lý

để tạo thêm góc trung gian góc phải chứng minh

Các yếu tố phụ đ ợc vẽ thêm phải gắn với đ ờng thẳng

Các yếu tố phụ đ ợc vẽ thêm phải gắn với ® êng th¼ng

song song, góc tam giác cân để xuất

gãc b»ng

*

* Nhận xét 1: Nhận xét 1: Lấy I trung điểm BD ta có Lấy I trung điểm BD ta có IN; IM t ơng ứng đ ờng trung bình tam giác

IN; IM t ơng ứng đ ờng trung bình tam gi¸c

MFB DBA Ta chứng minh đ ợc MIN cân I từ ∆

MFB DBA Ta chứng minh đ ợc MIN cân ti I t ú

suy điều phải chứng minh.

(36)

Cách giải 1:

Gọi I trung ®iĨm cđa ® êng chÐo BD

Gäi I lµ trung ®iĨm cđa ® êng chÐo BD

DCB cã IN đ ờng trung bình

DCB có IN đ ờng trung bình

( đồng vị )( đồng vị )

DBA cã IM lµ đ ờng trung bình

DBA có IM ® êng trung b×nh∆

( so le )( so le )

Tõ (1) ; (2) vµ AD = CB (gt)

NIM cân I NIM cân I ⇒⇒  



 IN / /BF NFC = N1

 IN / /CB;IN = CB(1)1 2

 1

IM / /AD IM = AM(2) 2

   IM / /AE  MEA = M1

 

1 1

(37)

* NhËn xÐt 2:

* NhËn xét 2:

Nếu qua M kẻ đ ờng thẳng song song víi DC, trªn

NÕu qua M kẻ đ ờng thẳng song song với DC,

đ ờng thẳng lấy đoạn thẳng D'C' = DC cho

D'C' nhận M làm trung điểm tứ giác

D'C' nhận M làm trung điểm tứ giỏc

DCC'D' hình bình hành Ta chứng minh đ ợc

ADD' = BCC' từ suy điều

∆ADD' = BCC' từ suy điều∆

∆ ∆

ph¶i chứng minh Ta có cách giải nh sau:

(38)

Cách giải 2:

Qua M kẻ đ ờng thẳng song song với DC,

trên đ ờng thẳng lấy đoạn thẳng

trên đ ờng thẳng lấy đoạn th¼ng

D'C' = DC cho D'C' nhËn M làm trung điểm

D'C' = DC cho D'C' nhận M làm trung điểm

Ta có: DCC'D' hình bình hành

 DD' // CC" DD' // CC"  DD' // CC' // MF DD' // CC' // MF

 D1 = AEM ; C1 = BFM (1 D1 = AEM ; C1 = BFM (1 Ta l¹i cã: AD' = BC'

Ta l¹i cã: AD' = BC'

(do

(do AD'BCAD'BC hình bình hành)là hình bình hành)

AD = BC ; DD' = CC'

(39)

VÝ dơ 9:

VÝ dơ 9: Gi¶ sử AC đ ờng chéo hình bình Giả sử AC đ ờng chéo hình bình hành ABCD Từ C kẻ CE vuông góc với AB CF

hành ABCD Từ C kẻ CE vuông góc với AB CF

vuông gãc víi AD.

vu«ng gãc víi AD.

Chøng minh r»ng: AB.AE + AD.AF =

(40)

ãPhân tích toán:Phân tích toán: Bài toán yêu cầu chứng minh Bài toán yêu cầu chøng minh mét

hệ thức độ dài đoạn thẳng Từ yêu cầu cụ thể chứng

minh AB.AE + AD.AF = gợi cho ta ý t ởng phải

minh AB.AE + AD.AF = gỵi cho ta ý t ëng ph¶i chØ

đ ợc tam giác đồng dạng chứa đoạn thẳng có

biĨu thøc

* NhËn xÐt:

* Nhận xét: Do AC đ ờng chéo lớn hình bình Do AC đ ờng chéo lớn hình bình hành nên ta có góc (là góc đối diện với đ ờng chéo

hành nên ta có góc (là góc đối diện với đ ờng chéo

lín nhÊt ).

lín ).

Kẻ đ ờng cao DH ACD

Kẻ đ ờng cao DH ACD chân đ ờng cao H thuộc chân đ ờng cao H thuộc đoạn thẳng A (vì góc tù)

đoạn thẳng A (vì góc tù)

Khi ta chứng minh đ ợc AEC ~ CHD; ∆ ∆

2

AC

 90o

D 



(41)

Giải:

Kẻ đ ờng cao DH ACD

Kẻ đ ờng cao DH cña ACD ∆



 H nằm A C (do góc tù) H nằm A C (do góc tù) AEC ~ CHD (g.g) ∆ ∆

AEC ~ CHD (g.g) ∆ ∆ 

 AE.CD = AC.CH (1) AE.CD = AC.CH (1) AFC ~ AHD ∆ ∆

AFC ~ AHD ∆ ∆ 

 AF.AD = AC.AH (2) AF.AD = AC.AH (2) Céng tõng vÕ (1) vµ (2):

Céng tõng vÕ (1) vµ (2):

AE.CD + AF.AD = AC.CH + AC.AH

 AE.AB + AF.AD = AC.(CH + AH) AE.AB + AF.AD = AC.(CH + AH)

 AE.AB + AF.AD = ( AE.AB + AF.AD = (điều phải chứng minh)điều phải chứng minh)

AC CD

AE CH

AC AD AF AH

2

AC



(42)

VÝ dô 10:

VÝ dô 10: Cho ABC cã AM lµ trung tuyÕn Tõ Cho ABC cã AM lµ trung tuyến Từ điểm D AM kẻ đ ờng thẳng song song với AB,

điểm D AM kẻ đ ờng thẳng song song với AB,

đ ờng thẳng cắt cạnh AC BC lần l ợt E

F Đ ờng thẳng qua F song song víi AC c¾t AB ë H.

F Đ ờng thẳng qua F song song với AC c¾t AB ë H.

Chøng minh r»ng:

AED BFH

S S

A

E

(43)

* NhËn xÐt:

* Nhận xét: Ta thấy để nguyên hình vẽ với Ta thấy để nguyên hình vẽ với yếu tố cho ch a có đ ợc cách giải tốn

yếu tố cho ch a có đ ợc cách giải tốn

Giả thiết cho EF // AB, biết tam giác BHF DEH

có cạnh đỉnh đối diện nằm đ ờng

th¼ng song song EF AB nên chúng có đ ờng cao

thẳng song song EF AB nên chúng có đ ờng cao

bng Vn đặt phải tạo đ ờng phụ hợp lý

bằng Vấn đề đặt phải tạo đ ờng phụ hợp lý

để chứng minh cạnh t ơng ứng với đ ờng cao có độ dài

b»ng

* NhËn xÐt:

* NhËn xÐt: KỴ: MQ // AC ( Q KỴ: MQ // AC ( Q  AB ) AB ) MP // AB ( P

MP // AB ( P  AC ) AC )

Sư dơng c¸c tû sè b»ng ta chứng minh đ ợc DE

Sư dơng c¸c tû sè b»ng ta cã thể chứng minh đ ợc DE

= BH Kết hợp với yếu tố suy từ giả thiết ta có điều

phải chứng minh.

Cách giải đ ợc trình bày tóm tắt nh sau:

(44)

Gi¶i:

Gi¶i: KỴ: MQ // AC ( Q KỴ: MQ // AC ( Q  AB ) AB ) MP // AB ( P

MP // AB ( P  AC ) AC ) Ta cã: HF // MQ

Ta cã: HF // MQ  (1) (1)

DE // MP

DE // MP  (2) (2) Mặt khác:

Mặt khác: AEFH AEFH APMQ hình bình hànhAPMQ hình bình hành

 AF = HF ; MQ = AP (3) AF = HF ; MQ = AP (3) Kết hợp (1); (2) (3) ta có:

Kết hợp (1); (2) (3) ta cã:

BiÕt: BQ = MP (cïng b»ng QA)

 BH = DE BH = DE

HF BH = MQ BQ

AE DE = AP MP

(45)

Gọi khoảng cách hai đ ờng thẳng song song AB EF

là k

Kẻ đ ờng cao FI FBH

Kẻ đ ờng cao AK ADE

Kẻ đ ờng cao AK cña ADE∆

Ta cã: FI = AK (cïng b»ng k)

BiÕt

VËy:

Vậy: ( (điều phải chứng minh)điều phải chøng minh)

FBH

1

S = FI.BH 2

ADE

1

S = AK.DE 2

FBH ADE

(46)

III bµi häc kinh nghiƯm

Qua ví dụ nêu ta thấy rằng: Trong ch ơng trình hình học lớp

8 việc rèn luyện kỹ giải toán cách vẽ thêm yếu tố

phụ cần thiết Điều quan trọng phải phân tích toán,

tỡm tòi, định h ớng đ ợc cách vẽ yếu tố phụ hợp lý, cần thiết ý t

tìm tòi, định h ớng đ ợc cách vẽ yếu tố phụ hợp lý, cần thiết ý t

ëng vẽ đ ờng phụ nảy sinh ta phân tích tìm hiểu

ởng vẽ đ ờng phụ nảy sinh ta phân tích tìm hiểu

mi liờn h gia yờu cầu đặt cần phải giải với yếu tố

mối liên hệ yêu cầu đặt cần phải giải với yếu tố

cho tr ớc toán Có tập giải đ ợc vẽ thêm

các đ ờng phụ thích hợp, lại có tập giải đ ợc nhiều

cách khác nhờ cách vẽ đ ờng phụ khác Các yếu

tố phụ đ ợc vẽ thêm

đơn giản nh : nối hai điểm cho tr ớc, kẻ đ ờng cao tam giác nh

ng có nhiều đ ờng phụ có kết hợp nhiều yếu tố

(47)

1 Nèi hai ®iĨm cho tr íc, vÏ ® êng cao, ® êng trung b×nh cđa tam

1 Nèi hai ®iĨm cho tr íc, vÏ ® êng cao, đ ờng trung bình tam

giác nhằm giúp hình vẽ trực quan hơn, dễ nhận dạng yếu tố

đặc biệt cho yếu tố dễ dàng suy từ giả thiết

đặc biệt cho yếu tố dễ dàng suy t gi thit

2 Vẽ thêm ® êng th¼ng song song víi mét ® êng th¼ng cho tr ớc

2 Vẽ thêm đ ờng thẳng song song với đ ờng thẳng cho tr íc

để vận dụng định lý ta lét, để làm xuất tỷ số đoạn

th¼ng

3 Vẽ thêm đ ờng phụ để tạo góc trung gian, đoạn

thẳng trung gian, đoạn thẳng phục vụ cho mục đích

chøng minh

4 VÏ thêm đ ờng thẳng vuông góc đ ờng thẳng song song

4 Vẽ thêm đ ờng thẳng vuông góc đ ờng thẳng song song

với đ ờng thẳng cho tr ớc phục vụ cho việc cắt ghép hình th ờng gặp

trong toán diện tích đa giác

5 Kết hợp việc vẽ thêm nhiều yếu tố phụ nh đ ờng thẳng song song,

góc để tạo hình có tính chất đặc biệt nh : hình bình

hành, tam giác đều, giúp cho việc chứng minh Vẽ thêm yếu

tố phụ để tạo nên góc, đoạn thẳng hoắc gấp đôi,

tố phụ để tạo nên góc, đoạn thẳng hoắc gấp đơi,

gấp ba góc hay đoạn thẳg cho tr íc gióp cho viƯc chøng minh

(48)

7 Vẽ thêm yếu tố phụ để giúp gắn kết, tạo mối liên hệ

các yếu tố cho yêu cầu phải chứng minh toán

8 Tạo thêm yếu tố phụ để biến đổi hình vẽ, chia toán thành

8 Tạo thêm yếu tố phụ để biến đổi hình vẽ, chia tốn thành

những đơn vị kiến thức nhỏ đơn giản mà

b ớc trung gian giúp đến giải đ ợc toán

Với mục đích th ờng gặp nói việc vẽ thêm đ ờng phụ

để giải toán, ta thấy đ ờng phụ đ ợc vẽ phải đảm bảo:

- Vẽ đ ợc phép dựng hình bản- Vẽ đ ợc phép dựng hình bản - Phải hồn toàn xác định

- Phải hoàn toàn xác định

Tãm l¹i: Tãm l¹i:

- ý t ởng vẽ thêm đ ờng phụ vẽ đ ợc đ ờng phụ hợp lý, cần - ý t ởng vẽ thêm đ ờng phụ vẽ đ ợc đ ờng phụ hợp lý, cần thiết toán, xuất ta nghiên cứu kỹ thiết toán, xuất ta nghiên cøu kü

(49)

IV KÕt luËn IV Kết luận

Thực tế trình dạy học thân nhiều năm qua cho thấy

khi hc sinh ó có thói quen định h ớng tập có

khi học sinh có thói quen định h ớng tập có

thể vẽ thêm đ ờng phụ, việc häc tËp, lÜnh héi kiÕn thøc cđa c¸c

thể vẽ thêm đ ờng phụ, việc học tập, lÜnh héi kiÕn thøc cđa c¸c

em đ ợc chủ động hơn.

em đ ợc chủ động hn.

Ngoài em có hứng thú việc tìm cách giải

mới nhờ cách vẽ đ ờng phụ khác (với tr ờng hợp

có thể) nhờ tính sáng tạo, tính độc lập t ngày đ

có thể) nhờ tính sáng tạo, tính độc lập t ngy cng

ợc nâng cao Qua áp dụng kinh nghiệm thân nhận

thấy kết học tËp cđa häc sinh cã tiÕn bé râ rƯt, ngµy có

thấy kết học tập häc sinh cã tiÕn bé râ rƯt, ngµy cµng cã

nhiều học sinh yêu thích môn toán, em không " thấy

sợ " học giải tập hình.

Trên số kinh nghiệm thân rút

Trên số kinh nghiệm thân rót qu¸

trình dạy hình học lớp Rất mong nhận đ ợc nhiều đóng góp

ý kiến cấp chuyên môn để không ngừng nâng cao hiệu

quả dạy học toán.

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	533,5 KB