Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 vòng 2

ĐỀ CHÍNH THỨC.. VÒNG 2.[r]

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài (4 điểm):

a) Tìm x ; y nguyên thỏa mãn: 10x2 + 50y2 + 42 xy + 14 x - 6y + 57 < 0

b) Chứng minh rằng: n2 - 5n - 49 không chia hết cho 169

Bài (4 điểm): Giải phương trình: x2- 2x + = 2x1 Bài (4 điểm): Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b = c

Chứng minh rằng: a3 + b3 < c3.

Bài (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có B tù, qua B kẻ BM, BN vng góc với AD DC, biết

AC MN

2 

Tính A hình thoi

Bài (4 điểm): ∆ABC vng A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IB = 5cm, IC = 10cm Tính diện tích ∆ABC./

Hết Lưu ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm.

Họ tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….……… Số BD: ……… ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VỊNG 2 MƠN TỐN (2017-2018)

Bài (4 điểm)mỗi câu điểm:

a) 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x - 6y + 57 < 0  (3x + 7y)2 + (x + 7)2 + (y - 3)2 <

Vì (3x + 7y)2 ≥ ; ( x + 7)2 ≥ ; (y - 3)2 ≥

và x , y Z nên (3x + 7y )2 + ( x + 7)2 + (y - 3)2 =0 Suy (3x + 7y)2 = ( x + 7)2 = (y - 3)2 =

=> x = -7 ; y = ĐS : (x = -7 ; y = 3)

b) Cách 1: Giả sử: n2- 5n - 49chia hết cho 169

Suy 4(n2- 5n - 49) = (2n - 5)2 - 221 chia hết cho 169 (1) Suy ra: (2n - 5)2 - 221 chia hết cho 13 mà 221 : 13 =17 => (2n - 5)2 chia hết cho 13 ; mà 13 số nguyên tố

=> (2n - 5)2 chia hết cho 132 mà 221 không chia hết cho 132 => (2n - 5)2- 221 không chia hết cho 169 (2)

Ta có (1 ) (2 ) mâu thuẩn Vậy suy đpcm Cách 2:

Giả sử: n2 - 5n - 49chia hết cho 169

Suy 4(n2 - 5n - 49) = (2n -5)2 - 221 chia hết cho 169 (1) Suy : (2n -5)2 - 221 chia hết cho 13 mà 221 : 13 = 17 => (2n - 5)2 chia hết cho 13 ; mà 13 số nguyên tố => (2n - 5)2 chia hết cho 132 (2)

Từ (1) (2) suy ra: 221 chia hết cho 132 vô lý Vậy suy đpcm

Bài (4 điểm):

Giải phương trình: x2- 2x + = 2x1 (x2

- 4x + 4) + (2x - - 2x1 + 1) =

(x - 2)2

+ ( 2x1 - 1)2 = x = x =

Bài (3 điểm): Vì a, b, c > a + b = c nên có

1

a b c c 

 1,

a b

c c



3

,

a a b b c c c c

   

 

   

   



3 3

a b

Bài (4 điểm):

Gọi O giao AC BD Xét tam giácvuông ∆BAM, ∆BCN:

AB = CB, A = C

 ∆BAM = ∆BCN(c.huyền – g.nhọn)

 AM = CN  MD = ND 

MD ND

AM NC  MN // OC Mà

AC MN

2 

= OC  tứ giác OMNC hình bình hành OM // CN

∆ADC: OA = OC, OM // CD AM = MD =

AD =

AB ∆ABM vuông M: AM =

AB

2  A = 600 Bài (4 điểm): Qua C kẻ CH vng góc với đường thẳng BI H Ta có ∆CIH vng cân

nên CH = IC

2 = 10

2 = 5(cm)  BH = 2 ∆BHC vuông: BC2 = BH2 + CH2 = 20 + = 25

 BC = 5cm

Kẻ IKBC Ta có IK.BC = 2S(BIC) = BI.CH =

5. 5=  IK = 1cm

 AB = 3cm, AC = 4cm  S(ABC) =

1

2 AB.AC =

23.4 = 6cm2

(Thí sinh giải cách khác vẩn đạt điểm tối đa).