Điều kiện cần được chứng minh.. Điều kiện đủ đã được chứng minh..[r]
(1)Bài 19/2000 - Đa giác (Dành cho học sinh THPT)
Ta chứng minh khẳng định sau cho n 3:
Các số thực dương a1, a2, a3, , an lập thành cạnh liên tiếp đa giác n cạnh
khi với k=1, 2, , n ta có bất đẳng thức sau: a1 + a2 + (thiếu k) + an > ak (1)
(tổng n-1 cạnh phải lớn độ dài cạnh lại) Chứng minh
Chứng minh tiến hành qui nạp theo n Với n = (1) bất đẳng thức tam giác quen thuộc
Giả sử (1) đến n Xét (1) cho trường hợp n+1
Trước tiên ta có nhận xét sau: Các số a1, a2, , an, an+1 lập thành đa giác n +1 cạnh tồn số g cho a1, a2, a3, , an-1, g tạo thành đa giác n cạnh g, an, an+1 tạo thành tam giác
Giả sử a1, a2, a3, , an, an+1 lập thành đa giác n +1 cạnh Khi theo nhận xét tồn đa giác n cạnh a1, a2, a3, , an-1, g tam giác g, an, an+1 Do ta có bất đẳng thức sau suy từ giả thiết qui nạp bất đẳng thức tam giác:
a1 + a2 + a3 + + an-1 > g (2) an + an+1 > g > |an - an+1| (3) Do ta có
a1 + a2 + a3 + + an-1 > |an - an+1| (4) từ (4) suy khẳng định sau:
a1 + a2 + a3 + + an-1 + an > an+1 (5) a1 + a2 + a3 + + an-1 + an+1 > an (6)
Mặt khác từ giả thiết qui nạp cho đa giác n cạnh a1, a2, a3, , an-1, g, tương tự (2) ta có bất đẳng thức sau với k < n:
a1 + a2 + (thiếu k) + an-1 + g > ak
thay vế trái (3) ta phải có với k <N:< p> a1 + a2 + (thiếu k) + an-1 + an + an+1 > ak (7)
Các bất đẳng thức (5), (6) (7) (1) Điều kiện cần chứng minh Giả sử ngược lại, hệ bất đẳng thức (1) thoả mãn, ta có
a1 + a2 + + an-1 + an > an+1 (8) a1 + a2 + + an-1 + an+1 > an (9) với k < n ta có:
a1 + a2 + (thiếu k) + an-1 + an + an+1 > ak (10) Từ (8) (9) ta có ngay:
a1 + a2 + + an-1 > |an - an+1| (11) Từ (10) suy với k < n ta có:
an + an+1 > ak - a1 - a2 - (thiếu k) - ak (12)
Từ bất đẳng thức (11) (12) suy tồn số dương g thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:
an + an+1 > g > |an - an+1| (13) a1 + a2 + + an-1 > g (14) g > ak - a1 - a2 - (thiếu k) - ak (15)
(2)Chương trình: Program Dagiac; Uses Crt;
Const fn = 'P6.INP'; Var i,j,N: integer;
a: array[1 100] of real; s: real;
Kq: boolean;
{ -} Procedure Nhap;
Var f: text; Begin
Assign(f,fn); Reset(f); Readln(f,N);
For i:=1 to N Read(f,a[i]); Close(f);
End;
{ -} BEGIN
Nhap; Kq:=true; For i:=1 to N begin
s:=0;
For j:=1 to N If j<>i then s:=s+a[j]; If s<=a[i] then Kq:=false;
end;
If Kq then Write('Co.') Else Write('Khong.'); Readln;