Bài tập thì chỉ là những bài toán đơn giản nêu dưới dạng: Cho một điểm di chuyển trên một đường, tìm xem những điểm khác phụ thuộc vào điểm đó di chuyển trên đường nào (cách hỏi này tươn[r]
(1)Chủ đề tự chọn: Lớp
GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Tại chọn chủ đề này:
I/ VỊ TRÍ CỦA BÀI TỐN QUỸ TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS:
a/ Ở lớp 6:
Tính chất tập hợp điểm giới thiệu định nghĩa “Đường trịn tâm O bán kính R, hình gồm tấ điểm cách điểm O khoảng R, kí hiệu (O; R)” (khơng có tập)
b/ Ở lớp 7:
Quỹ tích điểm phát biểu dạng nhận xét để gộp định lý thuận đảo tính chất tia phân giác góc tính chất đường trung trực đoạn thẳng
* Nhận xét:
+ Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng
+ Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc
* Mức độ yêu cầu tập: Chỉ có sách tập: 43 trang 29 và 60 trang 52 Các toán phát biểu dạng “Tìm tập hợp điểm” (Chỉ trình bày phần thuận)
c/ Ở lớp 8:
Quỹ tích điểm phát biểu nhận xét “Tập hợp điểm cách đường thẳng cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h
* Mức độ yêu cầu:
+ Ở yếu tố cố định yếu tố di động đề cập cách giải tốn quỹ tích chưa đề cập đến Bài tập tốn đơn giản nêu dạng: Cho điểm di chuyển đường, tìm xem điểm khác phụ thuộc vào điểm di chuyển đường (cách hỏi tương đương với yêu cầu trình bày phần thuận tốn quỹ tích)
Nói chung, dạng tốn quỹ tích chưa sâu d/ Ở lớp 9:
“Bài tốn quỹ tích” dành riêng tiết học
Quỹ tích điểm phát biểu kết luận “Với đoạn thẳng AB góc (00 < < 1800) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn AMB =
là hai cung chứa góc dựng đoạn thẳng AB”
Chú ý: “Khi = 900 quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước
dưới góc vng đường trịn đường kính AB * Mức độ yêu cầu:
(2)Tóm lại: Bài tốn quỹ tích đề cập hồn chỉnh hai tiết lớp (1 tiết lý thuyết (tiết 48), tiết luyện tập (tiết 49))
Với thời lượng dành cho tốn quỹ tích vậy, kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh thành gần đây, có khơng toán quỹ tích
II/ THỰC TRẠNG HỌC SINH:
Đa số học sinh chưa nắm bắt kiến thức bản, vận dụng linh hoạt kiến thức học nên ngại” “sợ” tốn quỹ tích
Trong tiết học luyện thi trường tổ chức, đến câu quỹ tích em thường bỏ qua Có em tâm “”Em hiểu mơ hồ tốn quỹ tích, em sợ chứng minh phần đảo”
Từ thực tế trên, để hướng dẫn học sinh giải tốn quỹ tích có phương pháp chọn chủ đề
B/ MỤC TIÊU CỦA CHỦ ĐỀ:
- Về kiến thức:Giúp học sinh ôn lại quỹ tích (các nhận xét lớp 6, 7, kể lớp 9).Cụ thể hoá bước giải tốn quỹ tích
- Về kĩ năng:Rèn luyện kỹ giải toán quỹ tích
- Về thái độ :Củng cố niềm tin “Khơng có kiến thức khó ta biết cách nắm bắt lấy nó”
C/ PHÂN BỐ THỜI GIAN: - tiết
D/ TIẾN HÀNH CỤ THỂ: Tiết + 2
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN, HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH I/ MỤC TIÊU:
- Ơn lại quỹ tích
- Nắm quy trình giải tốn quỹ tích - Vận dụng vào giải tốn cụ thể
II/ CHUẨN BỊ: Học sinh:
- Ôn lại định nghĩa đường trịn (Trang 89/SGK Tốn tập 2)
- Ơn lại tính chất đường trung trực đoạn thẳng (Trang 74, 75/SGK Toán tập 2)
- Ơn lại tính chất đường phân giác góc (Trang 68, 69/SGK Tốn tập 2)
- Ơn lại tính chất điểm cách đường thẳng cho trước (Trang 101/SGK Toán tập 1)
- Ơn lại Cung chứa góc (trang 84, 85, 86/SGK Toán tập 2) Giáo viên:
(3)d
A B
M
d2
x M y
d1
H
K
d2
x M
h
y d1
H
K
II/ TIẾN HÀNH:
1/ Hoạt động 1: Định nghĩa.
Giáo viên nêu định nghĩa “Quỹ tích tập hợp điểm có chung tính chất
2/ Hoạt động 2: Các quỹ tích bản.
Giáo viên cho học sinh nhắc lại kiến thức quỹ tích mà giáo viên yêu cầu em ôn lại phần chuẩn bị Sau đó: Giáo viên treo bảng phụ ghi quỹ tích
1/ Quỹ tích đường thẳng
a/ Quỹ tích điểm M cách hai điểm cố định A, B đường trung trực đoạn thẳng AB
b/ Quỹ tích điểm M nằm góc xOy cố định cách hai cạnh Ox Oy đường phân giác Oz xOy
c/ Quỹ tích điểm M cách hai đường thẳng song song cho trước d1, d2 đường thẳng xy song song cách hai điểm d1 d2
d/ Quỹ tích điểm M cách đường thẳng xy cố định khoảng cách h không đổi hai đường thẳng d1 d2 song song với xy cách xy khoảng h
x
y
z O
(4)A
B M 2/ Quỹ tích đường trịn (cung trịn)
a/ Quỹ tích điểm M cách điểm O cố định khoảng không đổi R đường trịn tâm O bán kính R
b/ Quỹ tích điểm M nhìn đồn thẳng AB cố định góc khơng đổi
là hai cung chứa góc dựng đoạn thẳng AB
c/ Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng đường trịn đường kính AB
Hoạt động 3: Phương pháp giải toán quỹ tích: GV giới thiệu cho học sinh việc cần làm trước a/ Những việc cần làm trước:
1/ Xét phần tử cố định, độ dài không đổi, phần tử chuyển dòng.
- Điểm cố định: Những điểm đề rõ từ điểm cố định đề suy điểm liên quan với cố định
- Độ dài không đổi: Đoạn thẳng nối hai điểm cố định có độ dài khơng đổi… - Điểm chuyển động: Thơng thường điểm có liên quan đến quỹ
tích phải tìm
- Cần phân biệt điểm quỹ tích di động tập hợp điểm đường cố định
2/ Đốn hình dạng quỹ tích:
- Vẽ thật xác giấy nháp (Bằng thước Campa) ba vị trí điểm chuyển động
- Nối điểm vẽ để xác định quỹ tích thuộc dạng
o Nếu điểm thẳng hàng ta xét quỹ tích thuộc dạng đường thẳng (hay đoạn thẳng)
o Nếu điểm không thẳng hàng xét quỹ tích thuộc dạng cung tròn (hoặc đường tròn)
- Giáo viên cho học sinh nêu bước tiến hành giải toán quỹ tích Sau giáo viên cụ thể hố bước Để giải thốn quỹ tích ta tiến hành theo ba bước
(5)O
D3
D2
D1
A B
C3 C2
C1 b/ Các bước tiến hành:
1/ Phần thuận:
- Gọi M điểm quỹ tích cần tìm Dựa vào giả thiết mà xét tính chất điểm chuyển động M để xác định điểm M nằm đường cố định áp dụng định lý quỹ tích thường gặp để xác định quỹ tích điểm M cần tìm (Giáo viên lưu ý: Ở ta chưa dùng từ quỹ tích M mà nói M thuộc hình mà thơi)
- Tìm mối quan hệ phần tử cố định phần tử chuyển động để xem xét quỹ tích điểm M phần hay hình H
2/ Phần đảo:
- Lấy điểm M’ phần giới hạn đường cố định (H) vừa tìm chứng minh điểm M’ có tính chất điểm M
3/ Kết luận:
- Dựa vào phần giới hạn mà kết luận quỹ tích điểm M hình (H) phần hình (H)
- Giáo viên lưu ý: Tuỳ theo yêu cầu toán mà ta có cách trình bày khác nhau, chẳng hạn
- Nếu đề yêu cầu xác định điểm M thuộc đường cố định cần làm phần thuận
- Nếu toán yêu cầu tìm quỹ tích (hay tập hợp điểm) ta phải thực ba bước nêu
- Sau giáo viên phát phiếu in nội dung chuẩn bị cho học sinh tham khảo ghi nhớ
Hoạt động 4: Bài tập
Bài 1: Quỹ tích đường trịn (cung trịn)
Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB = 2R Gọi C điểm chuyển động nửa đường tròn Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = CA Tìm quỹ tích điểm D
Hướng dẫn giải:
a/ Hãy xác định phần tử cố định, chuyển động độ dài không đổi Học sinh:
+ Phần tử cố định: Các điểm A, B, O + Phần tử chuyển động: điểm C, D + Độ dài không đổi: AB = 2R
(6)C C'
O
A B A'
D'
D
Học sinh: Vẽ hình nhận xét Nối điểm ta thấy điểm D1, D2, D3 khơng thẳng hàng, quỹ tích phải tìm có khả đường trịn cung tròn
Giáo viên: Vậy, muốn chứng minh quỹ tích đường trịn cung trịn ta có cách
Học sinh: Nêu dạng quỹ tích đường trịn, cung trịn
Giáo viên: Em quan sát thật kỹ yếu tố di động, yếu tố cố định để tìm mối liên quan chúng sau em chọn ba cách mà em vừa nêu cho phù hợp với đề toán
Học sinh chọn cách: Điểm D cách điểm cố định B khoảng không đổi AB (Nếu học sinh chưa chọn phương pháp, giáo viên đưa hai vị trí đặt biệt điểm C C A AC = CD = O => D A C Khi C B điểm A, B, D thẳng hàng AB = BD)
Giáo viên: Hãy chứng minh D cách B khoảng không đổi AB
Học sinh: Nối CB ta có:
BCA = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> CB đường cao ABD, Mặt khác BC đường trung tuyến ABD
(vì CA = CD)
Do đó: ABD cân B => BA = BD (không đổi)
Giáo viên: Vậy suy D thuộc đường nào?
Học sinh: Ta có D cách B cố định khoảng khơng đổi AB nên D thuộc đường tròn (B; BA)
Giáo viên: Đặt vấn đề để đưa giới hạn.Vậy D thuộc đường tròn hay phần đường tròn?
Giáo viên: Lấy que cố định đầu que A, cho que cắt nửa đường tròn (O) tất vị trí, bắt đầu cho que cắt nửa đường trịn (O) A, que cắt (B; BA) A hay ACD, dịch chuyển cho que đến vị trí B, que cắt (B ;
BA) A’ AA’ = 2AB hay CB DA’
Từ cho học sinh nêu giới hạn:
Học sinh nêu: Khi CA DA, CB DA’ (B trung điểm
AA’ Do D thuộc đường trịn (B; BA)cùng nằm mặt phẳng bờ AB với nửa đường trịn(O)
1 Học sinh lên bảng trình bày phần thuận.
(7)d
A
B3 B1 B2
M3 M1 M2
Học sinh: Ta lấy điểm D’bất kỳ thuộc đường tròn (B; AB) Học sinh: Nối D’A cắt (O) C’ chứng minh D’ thoả mãn tính chất “T” có nghĩa chứng minh gì? (Học sinh: C’D’ = C’A)
Giáo viên: Em chứng minh điều đó:
Học sinh: Ta có AD’B cân B (Vì BA = BD’ = bán kính đường
trịn (B; AB)
Mà ta có BC A' = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => BC’ đường cao ABD’ cân B
=> BC’ đường trung tuyến (Tính chất tam giác cân) hay D’C’= C’A Giáo viên: Cho học sinh lên bảng trình bày phần đảo nêu kết luận * Kết luận: Quỹ tích điểm D nửa đường trịn (B; AB)
Giáo viên: Cho học sinh nêu cách chứng minh khác?
Học sinh: Ta có tia đối tia BA, lấy điểm A’ cho B trung điểm AA’, A, B cố định nên A’ cố định
Ta có BC đường trung bình ADA’ => CB//DA’
Ta có AD CB => AD DA’ => A DA' = 900 Vì D di động nhìn AA’ cố
định góc 900 nên D thuộc đường trịn đường kính AA’
Giáo viên: Nêu thêm phần giới hạn, phần đảo tương tự cách thứ Bài 2: Quỹ tích đường thẳng
Cho đường thẳng d cố địnhvà điểm A cố định nằm đường thẳng B điểm di động d Tìm quỹ tích trung điểm M AB
Hướng dẫn giải:
a/ Hãy xác định phần tử cố định, chuyển động độ dài không đổi Học sinh:
+ Phần tử cố định là: A, d + Phần tử chuyển động B, M
+ Độ dài không đổi khoảng cách từ A đến d
b/ Hãy vẽ ba vị trí điểm M: M1, M2, M3 nối điểm nhận xét
Học sinh: Nối điểm M1, M2, M3 ta thấy điểm thẳng hàng, quỹ tích cần tìm có khả đường thẳng (đoạn thẳng)
Giáo viên: Muốn chứng minh quỹ tích đường thẳng (đoạn thẳng) ta có cách nào?
Học sinh: Nêu dạng quỹ tích đường thẳng
(8)Giáo viên: Em chứng minh điều đó:
Học sinh: Kẻ AH d H, A, d cố định nên H điểm cố định
=> AH không đổi Kẻ MN BH
Ta có MN đường trung bình AHB => MN = 1/2AH không đổi
Giáo viên: Vậy M thuộc đường nào?
Học sinh: ta có d cố định M di động, mà M cách d khoảng 1/2AH không đổi nên M thuộc đường thẳng d’ song song với d cách d khoảng 1/2AH (d’ A nằm phía đường thẳng d.)
Giáo viên: Cho học sinh nêu giới hạn
Học sinh: Vì B chuyển động đờng thẳng d nên M thuộc đường thẳng d’
Học sinh lên bảng trình bày phần thuận Giáo viên hướng dẫn học sinh giải phần đảo
Hãy xác định hình (H) gì? Tính chất “T” gì? (Hình H đường thẳng d’, tính chất “T” MA = MB
Yêu cầu HS nêu lại chứng minh phần đảo nghĩa làm gì? Sau cho HS lên bảng trình bày
HS: Lấy M’ thuộc d’, nối AM’ cắt d B’ Gọi C giao điểm d’và AH
Ta có: CH = 1/2AH (Vì d’ cách d khoảng cách 1/2AH) => CH = CA = 1/2AH
Xét HAB’ có: CA = CH (chứng minh trên)
CM’//HB’ (d//d’) => M’A = M’B’ * Kết luận:
Vậy quỹ tích trung điểm M AB đường thẳng d’ song song với đường thẳng d cách d khoảng 1/2AH
Hoạt động 5: Hướng dẫn nhà
Bài 1: Cho đoạn thẳng BC cố định.A di động hai nửa mặt phẳng bờ BC cho BAC = 900 Gọi I giao điểm hai tia phân giác ABC ACB. Tìm quỹ tích điểm I
Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định C điểm chuyển động (O) Trên tia đối tia CA lấy điểm M cho CM = CB
a/ Tìm quỹ tích điểm M
b/ Trên dây AC lấy điểm N cho CN = CB Tìm quỹ tích điểm N
Bài 3: Gọi M điểm chuyển động đoạn thẳng cố định AB Vẽ hai hình vng AMCD MBEF (M, C, F) nằm phía với AB) có tâm O
_d _
d' _M' _M
_A
_B' _H _B
(9)và O’ Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng OO’ M chuyển động AB
Tiết ;4
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG (TT) I/MỤC TIÊU:
Tiết giáo viên cho học sinh giải tập 2a cho nhà tiết trước
Cho học sinh sinh hoạt nhóm, thảo luận đưa lời giải nhằm học hỏi lẫn nhau, bổ sung kiến thức cho
II/ CHUẨN BỊ:
Học sinh giải tập cho nhà
Giáo viên: Bảng phụ ghi sẳn lời giải hai bài, 2a III/ TIẾN HÀNH:
Hoạt động 1: Giải tập 1:
Cho học sinh hoạt động nhóm, thảo luận, đưa lời giải
Giáo viên: Lời giải dài trình bày hết lên bảng phụ được.Do giáo viên cho hai đại diện hai nhóm lên trình bày lời gải
Giáo viên cho học sinh lớp sửa chữa bổ sung
Sau đó, giáo viên đưa giải mẫu bảng phụ cho học sinh tham khảo Bài 1:
a/ Phần thuận (Hình vẽ)
Ta có:
2 ACB C
(Vì CI tia phân giác ACB)
2 ABC B
(Vì BI tia phân giác ABC)
=>
2
2 ACB ABC C B
Mà ACB + ABC = 900 (
ACB vng A)
Do
2
90 C B
= 450
(10)m' C' A
M'
O B
A2 A1
M C
CIB=1800 – (C2B2)= 1800 – 450 = 1350 Ta có A di động nên I di động
CB cố định mà CIB = 1350 khơng đổi, điểm I thuộc hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn thẳng CB
b/ Phần đảo:
Lấy điểm I’ thuộc hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn thẳng CB, nối CI’, BI’
Vẽ tia Cx cho CI’ tia phân giác BCx
Vẽ tia By cho BI’ tia phân giác CBy Hai tia Cx By cắt A’, ta chứng minh
'
BA C = 900
Thật vậy: CI’B có CI B ' = 1350
=> C 3B3= 450
Ta có C C ; B3 B ; C 3B3C B4 = 2.450 = 900
Do ta suy ra: CA B ' = 900
c/ Kết luận: Vậy quỹ tích điểm I hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn thẳng CB
Hoạt động 2: Giải 2a.
Cho học sinh hoạt động cá nhân giải
Giáo viên: Cho học sinh lên bảng trình bày bước giải: Học sinh lớp nhận xét bổ sung
Giáo viên đính bảng phụ có ghi giải mẫu cho học sinh tham khảo a/ Phần thuận:
Ta có: ACB = 900 (góc nội tiếp chắn đường trịn.) => CMB vng C; mà CM = CB
=> CMB vuông cân C
=> CMB = 450
AB cố định, C di động, M di động mà :
AMB = 450 khơng đổi, M thuộc hai cung chứa góc 450 dựng đoạn thẳng AB
Khi CB MB
(11)Khi CA cát tuyến AC trở thành tiếp tuyến đường trịn (O) Khi
đó MA1 MA2 (A1; A2 giao điểm tiếp tuyến A với (O) hai
cung chưa góc 450 dựng đoạn thẳng AB)
Vậy M thuộc hai cung BmA1 Bm A ' chứa góc 450 dựng đoạn thẳng
AB
b/ Phần đảo:
Lấy điểm M’ thuộc hai cung BmA1 Bm A'
Nối AM’ cát (O) C’ ta chứng minh C’B = C’M
Thật AC B' = 900 (Góc nội tiếp chắn đường trịn)
Xét BC’M’ có BC M ' = 900; C M B' ' = 450 => BC’M’ vuông cân C’ => C’B = C’M
c/Kết luận: Quỹ tích điểm M hai cung BmA1 vàBm A' chứa góc 450
dựng đoạn thẳng AB
Hoạt động 3: Hướng dẫn nhà:
Bài 1: (Trích đề thi vào lớp 10 PTTH chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh năm học 1994 – 1995)
Cho ABC nhọn, bên tam giác vẽ hai nửa đường trịn có đường
kính AB AC, Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai đường tròn theo thứ tự M, N (Khác A)
a/ Chứng tỏ BCNM hình thang vng trung điểm I BC cách M N
b/ Gọi K trung điểm MN Tìm quỹ tích K
Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB dây cung CD vng góc với AB điểm cố định H Một điểm M di động cung nhỏ BC.CD cắt AM tại
N tiếp tuyến (O) M cắt CD K
a/ Chứng tỏ cung nhỏ CA AD MA tia phân giác CMD
b/ Chứng minh NKM cân
c/ Gọi I trung điểm BN Tìm quỹ tích I M di động cung nhỏ CB
Giáo viên hướng dẫn 1:
a/ Chứng minh trung điểm I BC cách MN
Chứng minh IK đường trung bình hình thang vng BMNC => IK MN
(12)=> KI đường trung trực MN => I cách MN
b/ Quỹ tích điểm K
A, I cố định suy IA cố định mà AKI = 900 => K thuộc đường trịn đường kính AI
Hoạt động 4: Giới thiệu cho học sinh tài liệu tham khảo thêm 1/Quỹ tích - Hứa Thuần Phong – NXB giáo dục
2/Quỹ tích tốn vẽ - Nguyễn Mạnh Hà – NXB Khai Minh
3/ Tuyển tập 50 toán tập hợp điểm – Phạm Văn Phùng – NXB TP Hồ Chí Minh
E/ LỜI KẾT: