DE THI HS GIOI TP DALAT 1011

Vẽ đường tròn đường kính AB cắt CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E... Vẽ đường tròn đường kính AB cắt CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010-2011

Ngày thi : 06 tháng năm 2011 Mơn thi : TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu : (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =

2

3 11

3 17 22

x x

x x

 

 

Câu : (1,5đ) Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho

Câu : (1,5đ) ChoΔABC có A 120  0 Chứng minh rằng: BC = AB +AC + AB.AC2 2 .

Câu : (1,5đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB =3AD Trên cạnh AB lầy điểm M, N cho AM=MN=NB Chứng minh :MDN=CDB 

Câu : (1,5đ) Cho x+ y = a ; x2 + y2 =b ; x3 + y3 = c Chứng minh : a3 – 3ab + 2c = 0

Câu : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x2 + y2 = a2 + b2 Chứng minh : x2011y2011a2011b2011 Câu : (2đ) Cho (O;8cm) (O’;4,5cm) ,tiếp xúc A.Kẻ tiếp tuyến chung ngồi BC (B O ,C O' ).Tính độ dài BC

Câu : (1,5đ) Chứng minh phân số

5 7 10

n n



 tối giản (n N ). Câu : (1,5đ) Tính giá trị biểu thức P = 10 11  10 11 .

Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 khơng có số số phương

Câu 11 : (2đ ) Cho ΔABC có góc nhọn H trực tâm Vẽ đường trịn đường kính AB cắt CH D, Vẽ đường trịn đường kính BC cắt AH E Chứng minh BD = BE

Câu 12 : (1,5đ) Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số

- HẾT

Chữ ký giám thị : Chữ ký giám thị PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2009-2010

Ngày thi : 03 tháng năm 2010

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn : TỐN

Câu : (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A =

2

3 11

3 17 22

x x

x x

 

 

Biến đổi A=

   

   

2

3 11 11

3 11 22

x x x

x x x

  

  

0,5đ A =

   

   

1 11 11

x x

x x

 

  0,5đ

A =

    x x 

 0,5đ

Câu : (1,5đ) Chứng minh tích số chẵn liên tiếp chia hết cho Hai số chẵn liên tiếp có dạng 2n 2n+2 (nZ ),

tích chúng 2n.(2n+2)=4n(n+1) 0,5đ n n+1 số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 2 n(n+1) chia hết cho 0,5đ

 4n(n+1) chia hết cho 0,5đ

Câu : (1,5đ) ChoΔABC có A 120  0 Chứng minh rằng: BC = AB +AC +AB.AC2 2 . Vẽ CH vng góc với đường thẳng BA

  

CAH=60 AH= AC;CH= AC

2

 

0,5đ ΔBHC vuông  BC2  BH2CH 22  

Từ (1), (2)  

2

2

BC AB+AH CH

  

2

2

BC AB+ AC + AC

2

 

 

    

 

    0,5đ

2 2 2

BC =AB +AB.AC+ AC + AC = AB +AB.AC+AC

4 0,5đ

Câu : (2 đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB =3AD Trên cạnh AB lầy điểm M, N sao cho AM = MN = NB Chứng minh :MDN=CDB  .

Chứng minh

MB MD BD

MD MN DN  1đ

 MBD đồng dạng MDN (c-c-c) MBD MDN  0,5đ Cĩ MBD BDC slt    MDN=CDB 0,5đ Câu :(1,5đ) Cho x+ y = a ; x2 + y2 =b ; x3 + y3 = c Chứng minh : a3 – 3ab + 2c = 0

 3     

3 2 3

a  3ab2c x+y - x+y x +y +2 x +y

x y [ x y2 3x2 3y2 2x2 xy y2]

       

0,75đ

x y x 2xy y2 3x2 3y2 2x2 2xy 2y2

        

x y3x2 3y2 3x2 3y2 2xy 2xy x y.0

         

0,75đ

Câu : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x2 + y2 = a2 + b2 Chứng minh :x2011y2011a2011b2011 x2 + y2 = a2 + b2  x2 – a2 = b2 - y2  (x – a)(x + a) = (b – y)(y + b).(1) 0,5đ

mặt khác x + y = a + b  x – a = b – y (2)

Từ (1),(2)=> (x – a)(x + a) =(x – a)(y + b)  (x – a) (x + a) - (x – a)(y + b) = 0 0,5đ  (x – a)[x + a –(y + b)] = 0

Từ suy x – a = b – y = nên x = a y = b, 0,5đ x + a – (y + b) = x + a = y + b mà x – a = b – y, nên 2x = 2b,

x = b, suy y = a Vậy x2011y2011a2011b2011 0,5đ Câu : (1,5đ) Cho (O;8cm) (O’;4,5cm) ,tiếp xúc A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B O ,C O' ).Tính độ dài BC

Vẽ O’D//BC =>BCO’D hình chữ nhật BC = O’D 0,5đ

 O'D= OO' -OD2

 BC= OO' - OD2 0,5đ

    

2

BC= + 4,5 - - 4,5

 BC= 12,52 3,5 =122 cm 0,5đ

Câu : (1,5đ) Chứng minh phân số

5 7 10

n n



 tối giản (n N ) Gọi d ước chung lớn 5n + 7n + 10 ; dN



(5n 7) d (35n 49) d (7n 10) d (35n 50) d

 

 



 

 

 

 

  0,5đ

35n 50 35n 49 d d d

         0,5đ

 phân số 7 10

n n



 tối giản (n N ) 0,5đ

Câu : (1,5đ)) Tính giá trị biểu thức P = 10 11  10 11 .

C B

D

P 2= 10 11   10 11  = 20 11  20 11 0,5đ =    

2

11 3  11 3

0,5đ = 11 3  11 3 =  11 3   11 3 = –6

Suy P = –3 0,5đ

Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011.

Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 số số chính phương.

* 2N-1 = 2.1.3.5.7…2011 –

Có 2N ⋮ ⇒ 2N-1 không chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k N)

⇒ 2N-1 không số phương 0,75đ

* 2N = 2.1.3.5.7…2011

Vì N lẻ ⇒ N khơng chia hết cho 2N ⋮ 2N không chia hết cho

(2 số nguyên tố) ⇒ 2N khơng số phương 0,5đ

* 2N+1 = 2.1.3.5.7…2011 +

2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho

2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư

⇒ 2N+1 khơng số phương. 0,75đ

Câu 11 : (2đ ) Cho ΔABC có góc nhọn H trực tâm Vẽ đường trịn đường kính AB cắt CH D, Vẽ đường trịn đường kính BC cắt AH E Chứng minh BD = BE. Vẽ đường cao AI , CK

Cm ΔADBvuông D  BD =BK.BA (1)2 0,5đ Cm ΔBECvuông E  BE =BI.BC (2)2 0,5đ Cm ΔBIA đồng dạng ΔBKC

BI BA

= BI.BC=BK.BA (3) BK BC

 

0,5đ Từ (1),(2), (3) ⇒ BD =BE2  BD=BE 0,5đ

Câu 12 : (1,5đ) Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số đó.

ab (a + b ) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab

⇔ 9a + 3ab =( a + b )2 –(a+b) ⇔ 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – )

0,5đ

a + b a + b – nguyên tố E

D H

I K

B C

a + b = 3a a + b – = 3a

a + b – = + b a + b = + b 0,5đ ⇒ a = , b = a = , b = 7

Vậy ab = 48 ab = 37 0,5đ

- HẾT