DE THI THU DAI HOC MON TOAN lan II VA DAP AN

[r]

Së GD-§T phó thä

Trêng T.H.p.t long ch©u sa ÐỀ THI thư ĐẠI HỌC lÇn ii NĂM häc: 2009-2010

Mơn thi : TOÁN

làm bài:180 phútThời gian (không kể thời gian giao đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với

Câu II:(2 điểm)

Giải hệ phương trình:

2

1 1

x y xy

x y            

Tìm x(0; ) thoả mÃn phơng trình: cotx – = cos 21 x +tanx+sin

2

x −1

2sin 2x Câu III: (2 điểm)

Trên cạnh AD hình vuông ABCD có độ dài a, lấy điểm M cho AM = x (0 < x  a)

Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) A, lấy điểm S cho SA = 2a a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)

b) Kẻ MH vng góc với AC H Tìm vị trí M để thể tích khối chóp SMCH lớn

Tính tích phân: I =

2

0 (x sin )cos 2x xdx 



 .

Cõu IV: (1 điểm) : Cho số thực dơng a,b,c thay đổi thoả mãn : a+b+c=1 Chứng minh :

2 2

2

a b b c c a

b c c a a b

  

  

  

PHẦN RIấNG (3 điểm) ( Chú ý!:Thí sinh đợc chọn làm phần) A Theo chng trnh chun

Cõu Va : 1.Trong mặt phẳng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng

3 2 vµ

trọng tâm thuộc đờng thẳng : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) đờng thẳng  :

1

1

x y z

 

 Tìm toạ độ điểm M  cho:MA2MB228

Câu VIa: Giải bất phơng trình:

23x22x1 23 2+3x

2 −2x+1

+¿ ¿

B Theo chương trình Nâng cao

Câu Vb: 1 Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600.

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d víi d :

x y z

2 1

   

 Viết phương trình chớnh tắc đường thẳng qua điểm M, cắt vuụng gúc với đường thẳng d tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua d

Câu VIb Giải hệ phương trình :

3

log log

2

4 4

4 2 ( )

log ( ) log 2 log ( 3 )

xy xy

x y x x y

(C¸n bé coi thi không giải thích thêm)

Hớng dẫn chấm môn toán

Câu ý

Néi Dung

§iĨm

I

1 Khảo sát hàm số (1

®iĨm)

y = x3 + 3x2 + mx + 1

(Cm)

1 m = : y = x3 + 3x2 + 3x + (C3)

+ TXÑ: D = R + Giới hạn:

lim , lim

x  y  x y

0,25

+ y’ = 3x2 + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2

 0; x  hµm

số đồng biến R

0,25

 Bảng biến thiên:

0,25

+ y” = 6x + = 6(x + 1)

y” =  x = –1  tâm đối xứng

U(-1;0)

* Đồ thị (C3): Qua A(-2;-1); U(-1 ;0); A’(0;1)

0,25

2

của (Cm) đường thẳng y = là:

x3 + 3x2 + mx + =

 x(x2 + 3x + m) =         x

x 3x m (2)

* (Cm) cắt đường thẳng y = C(0;1), D, E phân biệt:

 Phương trình (2) có nghiệm xD, xE

                    m 4m

4 m m 9 (*)

0,25

Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là:

kD=y’(xD)=

   

2

D D D

3x 6x m (3x 2m);

kE=y’(xE)=

   

2

E E E

3x 6x m (3x 2m)

Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1

0,25

 (3xD +

2m)(3xE + 2m) =-1

 9xDxE+6 m(xD + xE) + 4m2 = –1  9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý

1 =  65 65 m m          

 So s¸nhĐk (*):

m =

  

1 65

II 2

1

§k: 1 x y        (1)

( ) 0 ( )( 2 ) 0

2 0

2

0( )

x y y xy x y x y

x y

x y

x y voly

                    0,5

 x = 4y Thay vµo (2) cã

4 1 1

4 2 1 2

1 ( )

2 2

5 10

2 ( )

2

y y y y

y y y y y

y tm

y x

x

y y tm

                                           0,25

V©y hƯ cã hai nghiƯm (x;y) = (2;1/2) vµ (x;y) = (10;5/2)

0,25

2

®K:

¿ sin 2x ≠0 sinx+cosx ≠0

⇔ ¿sin 2x ≠0 tanx ≠ −1

¿{

¿ PT

⇔cosx −sinx sinx =

cos 2x.cosx cosx+sinx +sin

2

x −sinxcosx ⇔cosx −sinx

sinx =cos

2

x −sinxcosx+sin2x −sinxcosx

IV 1 1

Ta cã :VT =

2 2

( a b c ) ( b c a ) A B

b c c a a b      b c c a a b       0,25

 

3

1 1

3 ( ) ( ) ( )

2

1 1

3 ( )( )( )3

2

3

A a b b c c a

a b b c c a a b b c c a

a b b c c a A

 

          

  

 

    

    

0,25 ⇔ cosx −sinx=sinx(1−sin 2x)

⇔ (cosx −sinx)(sinxcosx −sin2x −1)=0

0,25

⇔ (cosx −sinx)(sin 2x+cos 2x −3)=0

(cosx sinx)( sin(2x 4) 3)



    

cos

2 sin(2 ) 3( )

4

x sinx

x  voly

 

  

  



0,25

⇔ cosx −sinx=0 ⇔ tanx = ⇔x=π

4+kπ(k∈Z) (tm®k) Do x∈(0;π)⇒k=0⇒x=π

4

2 2

2

1 ( ) ( )( )

1

2

a b c

a b c a b b c c a

a b b c c a

B B

          

  

   

0,25

Từ tacó VT

3

2 VP

   

Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1/3

0,25

V.a 2

1 1

Ta cã: AB = 2, trung ®iĨm M (

5

;  2),

pt (AB): x – y – =

0,25

SABC=

1

2d(C, AB).AB =

2  d(C, AB)=

3 Gọi G(t;3t-8) trọng tâm tam giác ABC d(G, AB)=

1

0,25

 d(G, AB)=

(3 8)

t t 

=

2  t = hc t = 2  G(1; - 5) hc G(2; - 2)

0,25

Mµ CM 3GM

                           

 C = (-2; -10) hc C = (1; -1)

0,25

2 1

1

: (1 ; ; )

2

x t

ptts y t M t t t

z t                0,5

Ta cã: MA2MB2 2812t2 48t48 0  t 0,25

Từ suy : M (-1 ;0 ;4) 0,25

VI.a 1 1

Bpt ⇔(2+√3)x2−2x+(2−√3)x2−2x4 0,25

t=(2+√3)x2−2x(t>0) BPTTT : t+1t ≤4

 t2 4 0t  ⇔2−√3≤t ≤2+√3 (tm)

0,25

Khi : 2−√3≤(2+√3)x

2 −2x

≤2+√3 ⇔−1≤ x2−2x ≤1

0,25

⇔ x2−2x −1≤0⇔1−√2≤ x ≤1+√2

V.b 2

VIb

1 1

(C) có tâm I(3;0) bán kính R = 2; M  Oy  M(0;m)

Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm)

Vậy   0 60 (1) 120 (2) AMB AMB     

 Vì MI phân giác AMB (1)  AMI = 300 sin 300

IA MI  

 MI = 2R  m29 4  m

(2)  AMI = 600 sin 600

IA MI

 

 MI =

3 R 

2 9

3

m  

Vô nghiệm

Vậy có hai điểm M1(0; 7) M2(0;- 7)

0,5

0,5

2 1

Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vng góc với d

d có phương trình tham số là:

x 2t

y t

z t          

Vì H  d nên tọa độ H (1 + 2t ;  + t ;  t).Suy :MH



= (2t  ;  + t ;  t)

0,25

Vì MH  d d có vectơ phương u = (2 ; ; 1), nên :

2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) =  t =

2

3 Vì thế, MH =

1

; ;

3 3

 

 

 

 

3 (1; 4; 2)

MH

u  MH   

0,25

Suy ra, phương trình tắc đường thẳng MH là:

x y z

1

 

 

 

0,25

Theo trªn cã

7

( ; ; )

3 3

H  

mà H trung điểm MM’ nên toạ độ M’

8

( ; ; )

3  

0,25

ĐK: x>0 , y>0

(1)  3

2 log log

2 xy 2 xy 2 0

   0,5

log3xy =  xy = 3y=

3

x

(2) log4(4x2+4y2) = log4(2x2 +6xy)  x2+ 2y2 =

0,25

Kết hợp (1), (2) ta nghiệm hệ: ( 3; 3) ( 6;

6 )

A M D

S

H