De tuyen sinh Dai hoc mon Toan Khoi A 472012 va dapan thamkhao

Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a... dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC.[r]

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn : TOÁN - Khối : A

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 4 2( m1)x2 m ( )2 ,với m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m =

b) Tìm m để đồ thị hàm sớ (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin2x+cos2x=2cosx-1

Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   



 (x, y  R).

Câu (1,0 điểm) Tính tích phân

2

1 ln(x 1)

I dx

x

 



Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khới chóp S.ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC theo a

Câu (1,0 điểm) : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P3x y 3y z 3z x  6x26y26z2

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử

11 ; 2 M 

 và

đường thẳng AN có phương trình 2x – y – = Tìm tọa độ điểm A

Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

1

1

x y z

 

và điểm I (0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I

Câu 9.a (1,0 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn Cn3 

 Tìm sớ hạng chứa x5 trong

khai triển nhị thức Niu-tơn

2 1 14

n nx

x

 



 

  , x ≠ 0.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có độ dài trục lớn và (E) cắt (C) bốn điểm tạo thành bớn đỉnh hình vng

Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:

1

2 1

x y z

 

, mặt phẳng (P) : x + y – 2z + = và điểm A (1; -1; 2) Viết phương trình đường thẳng  cắt d và (P) M và N cho A là trung điểm đoạn thẳng MN

Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa

5( ) z i

i z



 

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1: a/ Khảo sát, vẽ (C) :

m = Þ y = x4 – 2x2

D = R, y’ = 4x3 – 4x, y’ = Û x = hay x = ±1

Hàm số đồng biến (-1; 0) và (1; +¥), nghịch biến (-¥;-1) và (0; 1) Hàm số đạt cực đại x = và yCĐ = 0, đạt cực tiểu x = ±1 và yCT = -1

lim

x ±¥y¥ Bảng biến thiên :

x -¥ -1 +¥ y’  +  +

y +¥ +¥ -1 -1

y = Û x = hay x = ±

Đồ thị tiếp xúc với Ox (0; 0) và cắt Ox hai điểm (± 2; 0)

b/ y’ = 4x3 – 4(m + 1)x

y’ = Û x = hay x2 = (m + 1)

Hàm sớ có cực trị Û m + > Û m > -1 Khi đồ thị hàm sớ có cực trị A (0; m2), B (- m1; – 2m – 1); C ( m1; –2m – 1)

Do AB = AC nên tam giác vng A Gọi M là trung điểm BC Þ M (0; -2m–1) Do ycbt Û BC = 2AM (đường trung tuyến nửa cạnh huyền)

Û m1 = 2(m2 + 2m + 1) = 2(m + 1)2 Û = (m + 1) m1 =

3

(m1) (do m > -1) Û = (m + 1) (do m > -1) Û m =

Câu sin2x+cos2x=2cosx-1

Û 3sinxcosx + 2cos2x = 2cosx Û cosx = hay 3sinx + cosx = 1 Û cosx = hay

3

2 sinx +

2 cosx =

2 Û cosx = hay cos(x 3) cos3

 

 

Û x = k hay x k2



 

 

hay

2

x  k 

Câu 3:

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   



 Đặt t = -x

Hệ trở thành

3 2

2

3 9( ) 22

1

t y t y t y

t y t y

      

 

   



 Đặt S = y + t; P = y.t

Hệ trở thành

3

2

3 3( ) 22 3( ) 22

1 1

2 ( )

2 2

S PS S P S S PS S P S

S P S P S S

           

 

Û

 

     

 

 

x

y

-1

O

3 2

3

2 45 82

4

1

( ) 2

2

S S S P

P S S S

         Û  Û        

 Vậy nghiệm hệ là

3 1

; ; ; 2 2



   



   

   

Cách khác :

3

2

3 22

1

( ) ( )

2

x x x y y y

x y              

 Đặt u = x

1



; v = y +

Hệ cho thành

3

2

3 45 45

( 1) ( 1) ( 1)

2 4

1

u u u v v v

u v               

Xét hàm f(t) =

3 45

2

t  t  t

có f’(t) =

2 45

3 t  t

< với t thỏa t Þ f(u) = f(v + 1) Þ u = v + Þ (v + 1)2 + v2 = Þ v = hay v = -1 Þ

0 v u    

 hay

1 v u     

Þ Hệ cho có nghiệm là

3 1

; ; ; 2 2

             . Câu 4.

1 ln(x 1)

I dx x    = 3 2 1

1 ln(x 1)

dx dx x x     = 3 1 x

 J =

2

3J . Với

2

ln(x 1)

J dx

x





Đặt u = ln(x+1) Þ du =

1 1dx

x ; dv =

1 dx

x , chọn v = x  - J =

( 1) ln( 1) x x    + dx x  =

( 1) ln( 1) x x    + lnx =

ln 2ln   + ln3 =

ln ln 3





Vậy I =

2

ln ln 3



 

Cách khác : Đặt u = + ln(x+1) Þ du = dx

x ; đặt dv =

dx

x , chọn v = x



, ta có :

 

3 1

1 ln( 1)

I x

x

  

+

1 ( 1) dx x x 

=  

3

1

1

1 ln( 1) ln x x x x      = 2

ln ln 3



 

Câu 5.

Gọi M là trung điểm AB, ta có 2 3 6

a a a

MH MB HB   

2 2 2

2 3 28 7

2 6 36 3

a a a a

CH       Þ CH      2 7 2 3 a SC  HC 

; SH = CH.tan600 = 21 a

 ,  1 2 7 3 7

3 4 12

a a

V S ABC  a

B A

C S

H M K

dựng D cho ABCD là hình thoi, AD//BC

Vẽ HK vng góc với AD Và tam giác vuông SHK, ta kẻ HI là chiều cao SHK

Vậy khoảng cách d(BC,SA) là khoảng cách 3HI/2 cần tìm

2 3 3

3 2 3

a a

HK  

, hệ thức lượng

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

21 3

3 3

HI HS HK a a

Þ    

   

   

   

   

 

42 3 3 42 42

,

12 2 2 12 8

a a a

HI d BC SA HI

Þ  Þ   

Câu 6.x + y + z = nên z = -(x + y) và có sớ khơng âm khơng dương Do tính chất đới xứng ta giả sử xy 

Ta có P3x y 32y x 32x y  12(x2y2xy) =

2 2

3x y y x x y 12[( ) ]

P    x y xy

      

2

2

3 2.3 12[( ) ]

y x x y

x y x y xy

  



   



3

3 2.3

x y x y

x y 



  

Đặt t = x y 0, xét f(t) = 2.( 3)3t  3t f’(t) = 2.3( 3) ln 3 3( 3.( 3) ln 1) 03t   3t  

ị f ng bin trờn [0; +Ơ) ị f(t)  f(0) =

Mà 3x y  30 = Vậy P  30 + = 3, dấu “=” xảy Û x = y = z = Vậy P = 3. A Theo chương trình Chuẩn :

Câu 7a

Ta có : AN = 10 a

; AM = a

; MN =

6 a

; cosA =

2 2

2

AM AN MN

AM AN

 

=

2 Þ MAN 45o



(Cách khác :Để tính MAN = 450 ta tính

 

1

3

( )

1

3 tg DAM DAN



  



)

Phương trình đường thẳng AM : ax + by

11 a 2b

 

=



2

2

cos

2

5( )

a b MAN

a b



 

 Û 3t2 – 8t – = (với t = a

b ) Þ t = hay t

+ Với t = Þ tọa độ A là nghiệm hệ :

2

3 17

x y x y

  

 

  

 Þ A (4; 5)

+ Với t

Þ tọa độ A là nghiệm hệ :

2

3 x y

x y

  

 

  

 Þ A (1; -1)

Cách khác: A (a; 2a – 3),

3 ( , )

2 d M AN 

, MA =

3 10

2

MH 

Û

2

11 45

( ) (2 )

2 2

a  a 

Û a = hay a = Þ A (1; -1) hay A (4; 5)

B A

C D

N

Câu 8a Ta có M (-1; 0; 2) thuộc d, gọi ud



= (1; 2; 1) là vectơ phương đường thẳng d [ , ]

2

( , )

2

d

d MI u AB R

IH d I d

u

   

                           



Þ [MI u, ] ( 2;0; 2)d   

                           

Þ IH =

8  2

2

R



Þ R =

3 Þ phương trình mặt cầu (S) là :

2 ( 3)2 x y z 

Câu 9.a 5Cnn Cn3



 Û

( 1)( 2)

6 n n n

n  

Û 30 = (n – 1) (n – 2), (do n > 0) Þ n = Gọi a là hệ số x5 ta có

7

7

7

1

i i

i x

C ax

x 

    

 

   

 

  Û

7

7 14

7 ( 1)

2 i

iC i x i ax 

   

   

 

Þ 14 – 3i = Þ i = và

7

7

2 i i

C a

   

   

  Þ a =

35 16



Vậy số hạng chứa x5 là 35 16



.x5. B Theo chương trình Nâng cao :

Câu 7b Phương trình tắc (E) có dạng :

2

2 ( )

x y

a b

a b   Ta có a = (E )cắt (C ) điểm tạo thành hình vng nên :

M (2;-2) thuộc (E) 2 4

1 a b

Û   16

3 b

Û 

Vậy (E) có dạng

2

1 16 16

3 x y

 

Câu 8b M d Þ M( ; ; 2  t t t t R) (  ); A là trung điểm MN Þ N(3 ; 2 t   t;2 t) ( )

N P Þ t2 Þ N( 1; 4;0)  ;  qua A và N nên phương trình có dạng :

1

2

x y z

 

Câu 9b z x yi  5( )

2 z i

i z



  

5( )

2 x yi i

i x yi

 

Û  

 

5[( ( 1) ) ( 1)

x y i

i

x yi

 

Û  

 

5x 5(y 1)i 2(x 1) (x 1)i 2yi y

Û         Û 5x 5(y1)i(2x 2 y) ( x 1 )y i

2

1 5( 1)

x y x

x y y

  

 

   



3

7

x y x y

 

 Û 

 



1 x y

  Û 

 

z = + i; w  1 z z2  1 (1 ) (1 )i  i     1 i 2i ( 1)  2 3i Þ w  9  13