tom tat lu thuyet toan 12

Vì đây là bài toán trung gian nên cách giải sẽ không được trình bày trong bài toán, do đó ta không cần quan tâm đến cách chứng minh phương pháp xét dấu này (nhưng có thể dùng kiến thức v[r]

MỤC LỤC Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

1 Sự đồng biến - nghịch biến hàm số

2 Cực trị hàm số

3 GTNN - GTLN hàm số 12

4 Tiệm cận 13

5 Khảo sát hàm số 14

6 Một số toán liên quan đến hàm số, đồ thị 17

Chương II: HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT Mũ, lũy thừa lơgarit 29

2 Phương trình mũ 33

3 Phương trình lơgarit 35

4 Bất phương trình mũ, lơgarit 36

Chương III: NGUN HÀM - TÍCH PHÂN Nguyên hàm 37

2 Tích phân 41

3 Ứng dụng hình học tích phân 45

Chương IV: SỐ PHỨC 47

Chương V: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY 49

Chương VI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ không gian 51

2 Phương trình mặt cầu 55

3 Phương trình mặt phẳng 60

4 Phương trình đường thẳng 66

5 Vị trí tương đối 73

6 Khoảng cách góc 75

7 Tìm số điểm đặc biệt 77

Chương VII: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG Tam thức bậc hai, PT, BPT bậc hai 79

3 Giới hạn vô cực vô cực hàm số 89

4 Đạo hàm 92

5 Công thức lượng giác phương trình lượng giác 95

PHỤ LỤC: Kinh nghiệm làm thi mơn Tốn 102 

Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ * Bài tốn: Tìm khoảng đơn điệu hàm số

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm, tìm giá trị x0 làm cho đạo hàm

đạo hàm không xác định Xét dấu đạo hàm

4 Kết luận:

a) Nếu f ' x  0 với xa;bthì hàm số f x đồng biến khoảng a;b

b) Nếu f ' x  0 với xa;b hàm số f x  nghịch biến khoảng a;b

 Chú ý:f ' x  0chỉ số hữu hạn điểm khoảng a;b

thì hàm số đồng biến (nghịch biến) * Bài tập: Xét biến thiên hàm số sau:

2

) 2

a y x   x  x

2

1

) 2 5

b y  x  x   x

4

)

c y  x  x

4

1

)

4

d y  x  x 

2

)

2

x e y

x



  



1 )

2

x f y

x



  



2

) 2

g y  x x h y x) 1 x2

  

Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số

1 Tìm tập xác định Tìm f ' x 

3 Tìm điểm f ' x  0hoặc f ' x khơng xác định Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng xét dấu

đạo hàm

5 Nêu kết luận cực trị Bảng tóm tắt:

Bài tốn 2: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số Tính f ' x  Giải phương trình f ' x  0

Gọi x ii 1 2, , là nghiệm phương trình này.

2 Tính f " x  f " x i

3 Dựa vào dấu f " x i suy kết luận cực trị điểm i

x như sau:

a) Nếu f " x o 0thì xolà điểm cực tiểu.

b) Nếu f " x o 0thì xolà điểm cực đại.

Bài tốn 3: Tìm điều kiện m để hàm số đạt cực trị điểm cho trước.

 Chú ý: Nếu f ' x o 0 chưa hàm số đạt cực trị điểm x x o Do tìm m phải thử lại.

Bài toán 4: Điều kiện để hàm số đạt cực đại x0:

    0 0        y' x y" x (hoặc

 0

0

0

đổidấutừ +sang khiqua

       y' x y' x )

Bài toán 5: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x0:

    0 0        y' x y" x (hoặc

 0

0

0

đổidấutừ sang khiqua

        y' x y' x ) * Bài tập 1: Tìm cực trị hàm số sau:

a) y = -2x3 + 3x2 + 12x -5 b) y = x4 – 2x2 - 3

c)

2 2 2

1 x x y x    

 d) y =

1

4x4 – x3 + 3

e) y x  2 1x2 f) y 2 x x g) y = sinx + cosx h)

1

cos cos 2

2

y x x

i)

cos

x

y  x

 j) y xsin2x * Bài tập 2: Tìm m để hàm số:

a) y = x3 + mx2 + (m+1)x – đạt cực trị x =

b) y =

1

3x3 + mx2 + (m2 – 4)x + 2 đạt cực đại x = 1

c) y = - m2x2 + 2mx – 3m + có giá trị cực đại –3

d)

2 1

x mx

y

x m

 

 

 đạt cực đại x =

2

Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

* Định nghĩa:

-

 

 

0

K

f x m, x K

min y m

x K : m f x

   

   

  

 

-

 

 

0

K

f x M , x K

max y M

x K : M f x

   

   

  

 

Bài tốn 1: Tìm GTNN, GTLN c a hàm s đo n ủ ố ạ a;b Cách 1: Qua bước:

1 Tìm điểm x ,x , ,x1 ntrên a;b mà f ' x  0 f ' x khơng xác định

2 Tính f a , f b , f x , f x , , f x       1  n .

3 Tìm số lớn M nhỏ m số Khi đó:

   

   

   

 

a;b a;b

M max f x ,m f x

Bài tốn 2: Tìm GTNN, GTLN hàm số khoảng

Để tìm GTNN GTLN hàm số y f x   khoảng a;b

ta lập bảng biến thiên hàm số khoảng a;brồi dựa vào mà kết luận

* Bài tập: Tìm GTLN,GTNN hàm số:

a) y x 5 5x45x33 [-1,2] b) y 2x x

c) y=x+1+√4− x2 d) y = 2sinx + sin2x trên

3 0;     

  e) y=x −5+

1

x (0; )

f) 1 x x y x   

 ( ; -2)

Bài 4: TIỆM CẬN *Cách tìm tiệm cận:

 Nếu  0

 

x xlim y 0





x xlim y 0



 

x xlim y hoặc 0





x xlim y đường thẳng x x 0là tiệm cận đứng.

 Nếu xlim y y    xlim y y   đường thẳng y y 0là tiệm cận ngang

* Bài tập: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau: -1 ) x a y x  

) 3-

3 x b y x    )

2 -

c y

x

  ) -4

1 d y x   2 -12 27 )

-

x x e y x x      2

- - ) -1 x x f y x  2 ) - x x g y x 

  ) 22

2

)

-1

x x y

x

  

i )

1

x j y

x

 



Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 Sơ đồ khảo sát:

1 Tập xác định: D  Sự biến thiên:

- Tìm giới hạn tìm tiệm cận (nếu có) - Tính đạo hàm

- Tìm điểm mà đạo hàm kxđ - Lập bảng biến thiên

- Nêu biến thiên hàm số - Nêu cực trị hàm số

3 Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị

 Chú ý:

- Để vẽ đồ thị xác nên tính thêm tọa độ số điểm - Cần lưu ý tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm

2 Các dạng đồ thị:

a Hàm số bậc ba:  

3 0

    

Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

b Hàm số trùng phương:  

4 0

   

y ax bx c a

c Đồ thị hàm số  0 

   

 ax b

y c ;ad bc

cx d

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng * Bài tập:Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:

 3

)

a y x  x b y) x3 3x2

  c y) 4 x x   12

3

) 3

d y x  x  x e y x)  4 8x22 f y) x42x21

1 )

3

x g y

x

 



2

)

1

x h y

x

 



3 )

2

x i y

x

 

 

Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN

LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bài toán 1: Sự tương giao đồ thị

Cho hai đường cong  C : y f x , C : y g x1     2   .

Để xét tương giao    C , C1 ta lập phương trình hồnh

độ giao điểm f x  g x  (1)

1  C1 khơng có điểm chung với  C2  pt (1) vô nghiệm.

2  C1 cắt  C2 tại n điểm phân biệt  pt (1) có n nghiệm

phân biệt Nghiệm pt (1) gọi hoành độ giao điểm của  C1 và  C2 .

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình   0

F x,m

1 Biến đổi F x,m  0về dạng f x  g m 

2 Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y f x  và đường thẳng y g m  

3 Dựa vào đồ thị để biện luận trường hợp

 Chú ý: y g m   đường thẳng song song trùng với trục Ox cắt trục Oy điểm có tung độ g m 

Bài tốn 3: Phương trình tiếp tuyến

 Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị: Phương trình tiếp tuyến (C): y f x  tại điểm M x ;y o o

thuộc (C) là: y y f ' x  0 x x 0

Trong đó: + M x ;y 0gọi tiếp điểm.

+ k f ' x  0 là hệ số góc tiếp tuyến.

 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:

1 Giải phương trình f ' x  ktìm x0 hồnh độ tiếp điểm.

2 Tính y0 f x 0 .

3 Phương trình tiếp tuyến y y k x x  0

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b  k a - Nếu tiếp tuyến vng góc đường thẳng y ax b  k.a1 Bài tốn 4: Điều kiện để đồ thị hàm số bậc cắt Ox điểm:

 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) trục hoành là:

  

3

2

0

   

     

ax bx cx d

x Ax Bx C

 

2 0 1

 

 

  

 x

Ax Bx C

(đặt  

2

  

g x Ax Bx C )

 Điều kiện để ycbt thỏa (1) phải có nghiệm phân biệt

khác  Khi    

1

0

 

 

  

g

* Bài tập:

Bài : Cho hàm số y x 3 2x2 có đồ thị (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:

3

x  2x  m 0 

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm A thuộc (C) có hồnh độ xA = -

Bài : Cho hàm số  

3

y x  3mx  2m x 1 

, (Cm)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =

b) Tìm m để đường thẳng y = cắt (Cm) điểm phân biệt

Bài : Cho hàm số y 2mx - x 24m 1 (m tham số ) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6x +1

c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình:

2x - x 5 - k 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục tung

Bài : Cho hàm số : y =

x x



 có đồ thị (C)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng (D) : x 3y 0  

Bài : Cho hàm số y =

2mx 3m x -1

 

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = ( gọi đồ thị (C) ) b) Gọi A giao điểm (C) trục Ox Viết phương trình tiếp tuyến (C) A

c) Viết phương trình đường thẳng (D) qua M( -1 ; ) có hệ số góc k Định k để (D) cắt (C) hai điểm phân biệt

Bài : Cho hàm số y =

4

x - 4 có đồ thị (C)

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luận theo k số giao điểm (C) đường thẳng (D) : y = kx

c) Gọi M thuộc (C) có hồnh độ a 4 Viết phương trình tiếp

MŨ, LŨY THỪA VÀ LÔGARIT 1 Lũy thừa, bậc n:

a) Định nghĩa: *

 

, *

thừa số n

n

a a a  a a n

*

0 1; n

n

a a

a 

 

b) Tính chất:

Với a b, *; ,m n ta có: * a am n am n *

m

m n n

a a a

 

*  

n n n

ab a b *

n n

n

a a

b b

       *  

n

m mn

a a

* Nếu: 0a b thì: an bn, n an bn, n * Nếu a1và m n thì: am an * Nếu 0a1và m n thì: am an c) Các tính chất bậc n:

Giả sử biểu thức có nghĩa Khi đó: * na b.n n ab *

n n n

a a

b b 

*   m

m n

n a a



*

, | |,

n

na a n

a n

  

khi leû chaün

* n ma mna

* Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:

m

m n n

a  a

2 Lôgarit:

a)Định nghĩa: logab c  b a c 0a1,b0

b) Tính chất:

Cho a,b > 0, a1

* log 0a  * logaa1 * alogab b

* logaak k k  

c) So sánh logarit:

Cho a,b,c > 0, c1 Ta có: *log log

* log log

* log log

c c

c c

c c

a b a b

c a b a b

c a b a b

  

   

    

Nếu thì:

Nếu thì:

d) Các quy tắc tính logarit:  Logarit tích:

Cho a x x, ,1 0,a1.Ta có: logax x1 2 logax1logax2

 Logarit thương: Cho a x x, ,1 0,a1.Ta có:

1

1

2

loga x logax logax

x  

 Logarit lũy thừa:

Cho a b, 0,a1 Ta có: log log  

k

ab k ab k 

Đổi số:

log log

log

c a

c b b

a 

Đặc biệt:

 

 

 

1

*log

log

*log log

*log log log

k

a

b

a a

a a c

b b

a

b b k

k

b c b c

 

 

 Logarit thập phân:

- Logarit số 10 gọi logarit thập phân - log10athường viết lgahoặc loga

 Logarit tự nhiên:

- Logarit số e gọi logarit tự nhiên e2,71828  - logeathường viết lna

Bảng đạo hàm hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit:

Hàm Hàm hợp

1/  

/ 1

x x

 2/ / 1 x x        3/  

/

2 x

x 

 u / .u1 'u



/

2

1 u'

u u

      

 u / 2u' u 

4/  

/

x x

e e 5/  

/

.ln

x x

a a a

 eu / e uu ' 

 au / auln 'a u 

6/  

/

lnx x 

7/  

/

ln x x 

8/  

/ log ln ax x a 

9/  

/ log ln a x x a 

lnu/ u'

u  lnu/ u'

u 

log / '

ln a u u u a  log / '

* Bài tập:

1.Rút gọn biểu thức sau: a) b)

c) ( )– 10.27 – 3 + (0,2)– 4.25– d) 2a−

3

+3a

3

¿2 ¿

e) a (a −1 +a ) a (a +a −1 ) f)

1− a2¿−1 ¿

(+2

3 a−2¿):(

a−2 1+a−2)

−1

√2

¿ ¿

2.Viết biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a) √5 2.3

√2√2 :√2 b) √34 √32.√8 c) √a√a√a√a:a1116 d)

√a.√a3. √a:a

1

2 e) √4 x2.√3x.√5 x f)

√b a

3

√ab g) 63+√5

22+√5 31+√5

3.Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số sau: a)y(x – 4x 3)2  2 b)

1

3

y=(x – 3x  2x)

c)

1

2

y=(x x – 6) 

 d) y=(x – 8)3



4.So sánh cặp số sau: a) (π

2)

√5/2

(π 2)

√10/3

b) (π 2)

√2

(π 5)

√3

c) (3 5)

√10/4

(4 7)

√5/2

d) (6 7)

√3

(7 8)

e) (π 6)

√5

(π 5)

2

f) (2 5)

√2

(3 5)

√3

5.Tính:

a) log24√316 b) log1

27√33 c) log√285

√32 d) loga

3

√a√a e) log3(log28)

6.Tính:

a) 2log83 b) 49log72 c) 253 log510 d)

642 log27 e) 42+log23 f) 103 log108

g) 0,25¿3 log25

¿ h) √25

1 log85

+49 log67 i)

(19) 2log34

7.Rút gọn biểu thức sau:

a) log√63 log336 b) log√38 log481 c) log2√15 log25

3 √2

8.Tìm tập xác định tính đạo hàm hàm số sau: a)ylog (3 x2 5x6) b)

3

y = log

x x

 

c)

1 log ( 1)

y

x



 d)y = logx log x ( 2)

PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Phương pháp đưa số:

Với a0,a1 Ta có:

          

f x g x

a a f x g x

2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Dạng 1:

2

3

0

0

  

   

x x

x x x

A.a B.a C

Đặt   0

x

a t t Dạng 2:   2 0                    x x x x x

A.a B ab C.b

a a

A B C

b b

Đặt:  

0         x

a t t b

Dạng 3: A.ax B.bx C 0 với a bx x 1 Đặt:   0

x

a t t

Khi đó: 

x

b t

3 Phương pháp logarit hóa: Với M 0 0, a1. Ta có:  

 

  

f x

a

a M f x log M

* Bài tập:

1.Giải phương trình sau: a) 22x –  4x2+3x −5

b) 27

x+1

x−1

=1

9 81 4x−2

x+2 c)

x x-1 - x

2 = 10

5 d)

x x x 2x –

9 –   –



2.Giải phương trình sau:

a)2 – 4x x – 1 1 b)5x – 1 53– x  26

c)9 – – 02x 2x  d)

-1 2-

2 -

x x



e)3x + 1 + 32 – x = 28 f)

8 x x x   

g)8x  18x  2.27x h)3.4x2.9x  5.6x

k) 4x+√x2

−2−5 2x−1+√x2

−2

=6 l) 2sin

2

x

+4 2cos

2

x

=6

3 Tìm m để phương trình: m.2x 2– x – 0 có nghiệm nhất

4.Tìm m để phương trình – m.2x x 1  2m 0 có nghiệm x1,x2

thoả x1 + x2 =

5.Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

 

x – x x –

a) m.2  m 2  m b) m.3   m.3 x  8 Tìm m để phương trình :

m 4 x 2m – 2  x m 0

    

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 Phương pháp đưa số:

Với 0a1 Ta có:

       

  0hoặc  

          a a

f x g x log f x log g x

f x g x

Chú ý:       

M a

log f x M f x a

(không cần đặt điều kiện f(x))

2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Lưu ý: Khi đặt: log x ta  khơng có điều kiện t > 0

3 Phương pháp mũ hóa:

       M

a

log f x M f x a * Bài tập:

1.Giải phương trình sau:

a)    

2

2

log x – x – log 2x –1

b)    

2

lg x - 6x lg x – 3 

c)  

2

3

6

log log x

2

x x

x

 

 

 d)

log1

(x+1)=log2(2− x) e) log4x3 – log 4x–1 – log 8 f) log [ 2x x – ] 23       g)log 2x 13  log x – 33  2 h) log log log x 03 2   i) log x log x log x 113   27  j)    

x x

2

log 25  –1 log 

  

2.Giải phương trình sau:

a) (log2x)2 – 3log2x = log2x2 – b) log1

3

x −3 √log1

x+2=0

c) log√2x¿

+3 log2x+log1

x=2

¿

d) [log1

(4x)]2+log2x 8=8 e) log2(2x + 1).log2(2x+1 + 2) =

f)

x

−2¿2=2

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT

Khi giải bất phương trình mũ bất phương trình lơgarit cần ý:

1 Điều kiện xác định bất phương trình

2 Cơ số lũy thừa số logarit, số lớn hàm số đồng biến, số lớn nhỏ hàm số nghịch biến



   

   

 f x  g x  

a : a a f x g x



       

0a1: af x ag x  f x g x



       

 

0

 



   

 



a a

f x g x a : log f x log g x

f x



       

 

0

0

 



    

 



a a

f x g x a : log f x log g x

g x

Trong q trình giải bất phương trình dùng phương pháp đặt ẩn phụ, logarit hóa mũ hóa Nếu có ẩn mẫu số quy đồng không bỏ mẫu.

* Bài tập:

1.Giải bất phương trình sau: a) (2

5) 6−5x

2+5x < b) 44x2

−2x −2≤42x−3 c) (1

3)

√x+2 > 3– x

d) – 3.2 +2 0x x  e) ()x – 1 – ()x > f) 

2.Giải bất phương trình sau:

a)    

2

2

log x  3x2 log x14

b) log 222 x log2x31

NGUYÊN HÀM

1 Định nghĩa:

Hàm số F x được gọi nguyên hàm hàm số f x trên khoảng a;b

nếu với x thuộc a;b, ta có: F' x  f x  2 Định lí:

Nếu F x là nguyên hàm hàm số f x trên khoảng a;b thì:

a) Với số C, F x Ccũng nguyên hàm hàm số f x trên khoảng

b) Ngược lại, nguyên hàm hàm số f x trên khoảng a;b

viết dạng F x Cvới C số

Người ta kí hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f x là  

f x dx Như vậy:

           f x dx F x C F' x f x 3 Các tính chất nguyên hàm:

* f x dx F x    C  F' x  f x  *       

/

f x dx f x

     

/

f x dx f x C

* af x dx a f x dx a       0

*  f x  g x  f x dx  g x dx  4 Bảng nguyên hàm:

Nguyên hàm hàm số sơ cấp

thường gặp Nguyên hàm hàm số

hợp (dưới t t x  ) *dx x C 

*   1        

x dx x C

* dx ln x C xx    0 *

1   dxx x C

*   

x x

e dx e C

*    0 1

x

x a

a dx C a

ln a

* cos xdx sin x C  * sin xdx cos x C

*   

dx tan x C cos x

*   

dx cot x C sin x

*dt t C 

*   1        

t dt t C

*dt ln t C tt    0 *

1   dtt t C

*  

t t

e dt e C

*   0 1

t

t a

a dt C a

lna

*costdt sint C  *sintdt cost C

*  

dt tant C cos t

*  

dt cot t C sin t *       1        

ax b dx ax ba C *       1        

*

1

  



ax b adx ln ax b C

*    

2

1

 

 

ax bdx a ax b C

*

1

 

 

eax bdx aeax b C

*    

1

   

cos ax b dx asin ax b C

*    

1

   

sin ax b dx acos ax b C *

1

  



at b adt ln at b C

*    

2

1

 

 

at bdt a at b C

*

1

 

 

e dtat b aeat b C

*    

1

   

cos at b dt asin at b C

*    

1

   

sin at b dt acos at b C 5 Các phương pháp tìm nguyên hàm

 Đổi biến:

Nếu f t dt F t    Cvà t x có đạo hàm liên tục thì:

     

      

   

f x ' x dx F x C Chú ý:

- t x  dt ' x dx 

- g t   x  g' t dt  ' x dx  Nguyên hàm phần:

Nếu hai hàm số u x  v x có đạo hàm liên tục khoảng hay đoạn đó, khoảng hay đoạn đó:

             u x v' x dx u x v x u' x v x dx

* Đặt:                            

du f ' x dx u f x

dv g x dx v g x dx G x C

Ta thường chọn C  0 v G x  

 Các dạng bản: Cho P x  đa thức

- Dạng 1: P x sin ax b dx     Đặt:

           

u P x

dv sin ax b dx

- Dạng 2: P x cos ax b dx     Đặt:

           

u P x

dv cos ax b dx

- Dạng 3:   

P x eax bdx Dặt:

        

 ax b u P x dv e

- Dạng 4: P x ln ax b dx     Đặt:

           

u ln ax b dv P x dx

 Dạng 5:  





eax bsin a' x b' dx hoặc

 





eax bcos a' x b' dx.

Dùng nguyên hàm phần hai lần với u e ax b

Nguyên hàm hàm số hữu tỷ: ta dùng phép biến đổi lượng giác, thêm-bớt,… để đưa nguyên hàm cần tìm dạng đơn giản, dễ tìm

 Nguyên hàm hàm phân thức hữu tỷ dạng     P x Q x

- Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) Q(x)=0 có nghiệm dùng phương pháp hệ số bất định sau:

+    

 

   

  

 

 

P x P x A B

ax b mx n Q x ax b mx n

Quy đồng mẫu vế cuối cùng, đồng hệ số với P(x) ta tìm A,B

+    

 

   2  2

   

 

  

P x P x A B C

ax b mx n

Q x ax b mx n mx n

Quy đồng mẫu vế cuối cùng, đồng hệ số với P(x) ta tìm A,B,C

Từ biến đổi toán cho dạng đơn giản để tính * Chú ý: Trong q trình giải tốn cần ý đến công thức

   

 

   

   

f x g x f x g x

h x h x h x



 

TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa:

          

b b

a a

f x dx F x F b F a 2 Các tính chất tích phân:

1  

0  

a

a

f x dx

2

    

 

b a

a b

f x dx f x dx

3

       

  

b b

a a

kf x dx k f x dx k

4        

    

 

  

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

5

       

  

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

6 f x  0trên đoạn a;b  

0

  

b

a

f x dx

7 f x  g x  đoạn a;b

   

  

b b

a a

f x dx g x dx

8 m f x   Mtrên đoạn a;b

     

    

b

a

m b a f x dx M b a 3 Các phương pháp tính tích phân

Nếu u u x  và v v x   hai hàm số có đạo hàm liên tục

đoạn a;b

 

 

b b

a a

b

udv uv vdu a

Chú ý: Phương pháp đặt u, dv giống nguyên hàm phần

 Phương pháp đổi biến loại 1: Tính tích phân có dạng:

   

 

  

b

a

I g x x dx

Đặt:  x t Khi đó:

     

    



 

    

b b

a a

I g x ' x dx g t dt

Chú ý:

- t t  dt ' x dx 

- g t   x  g' t dt  ' x dx   Phương pháp đổi biến loại 2:

Tính  



b

a

I f x dx

Đặt: x t Với là hàm số có đạo hàm liên tục tr6n đoạn  

 ;  trong đó: a  ,b  .

Khi đó:

     





 

   

b

a

I f x dx f t ' t dt Các dạng (với k>0)

a) Dạng 1:

2

1 

b

a

x dx

Đặt: 2

  

   

 

Mở rộng: 2   b a

k x dx

Đặt: 2   

   

 

x k sint,t ;

b) Dạng 2:  1

b

a

dx

x Đặt: 2

  

   

 

x sint,t ;

Mở rộng: 2

b

a

dx

k x Đặt: 2   

   

 

x k sint,t ;

c) Dạng 3:

2 1   b a dx

x Đặt: 2

  

   

 

x tant,t ; Mở rộng:  2   b a dx

x k Đặt: 2

  

   

 

x k tant,t ;

   2    b a dx ax b k

Đặt: 2

  

    

 

ax b k tant,t ;

     2   b a

f ' x dx f x k

Đặt:   2

  

   

 

f x k tant,t ;

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và trục hoành:

Cho hàm số y f x   (C) liên tục đoạn a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hoành hai đường thẳng x a,x b  tính cơng thức:

  

b

a

S f x dx

2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong:

Cho hai hàm số  

 y f x

(C) y g x   (C’) liên tục đoạn a;b. Diện tích hình phẳng giới hạn (C), (C’) hai đường thẳng x a,x b  , tính cơng thức:

   

 

b

a

S f x g x dx Chú ý:

- Trong trường hợp chưa cho cận a,b phải giải phương trình hồnh độ giao điểm để tìm cận Nghiệm nhỏ cận a, nghiệm lớn cận b

+ Cách 1: Xét dấu biểu thức dấu tích phân để bỏ dấu giá

trị tuyệt đối theo tính chất

0

neáu neáu

 



 



A, A

A

A, A

 Cách 2: Nếu f x không đổi dấu a;b (tức   0

f x

khơng có nghiện thuộc a;b) ta có

    

 

b b

a a

f x dx f x dx

Cách thứ giúp giải tốn nhanh

3 Tính thể tích vật thể tròn xoay trục Ox:

Cho hàm số y f x  (C) liên tục đoạn a;b Nếu hình phẳng giới hạn đường (C), x=a, x=b, trục Ox quay quanh trục Ox thể tích V vật thể trịn xoay sinh tính theo công thức:

2

 

b

a

V y dx

Hay:  

2



b

a

V f x dx

4 Thể tích vật thể tròn xoay trục Oy:

Cho hàm số x g x  (C) liên tục đoạn c;d Nếu hình phẳng giới hạn đường (C), y=c, y=d, trục Oy quay quanh trục Oy thể tích V vật thể trịn xoay sinh tính theo cơng thức:

2

 

d

c

V x dy

Hay:  

2



d

c

1 Số i: i2 1 2 Định nghĩa:

- Số phức z biểu thức có dạng: z a bi, a,b  ,i2 1  a gọi phần thực

 b gọi phần ảo  i gọi đơn vị ảo

- Tập hợp số phức kí hiệu  Vậy  3 Số phức nhau:

Cho hai số phứcz a bi,z' a' b' i    ,

    

 

a a' z z'

b b' 4 Biểu diễn hình học số phức:

 Cho số phức z a bi  , điểm M a;b trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi điểm biểu diễn cho số phức z

 Giả sử số phức z a bi  biểu diễn điểm M a;b  Độ dài vectơ



OMgọi môđun số phức z, kí hiệu: z Vậy:

2

  



z OM a b

5 Số phức liên hợp:

- Số phức z a bi  gọi số phức liên hợp số phức z a bi  - Ta có: z z; z z

6 Cộng, trừ, nhân hai số phức:

Cho hai số phức z a bi;z' a' b' i    Ta có;

   

    

z z' a a' b b' i

   

    

z z' a a' b b' i

   

   

z.z' aa' bb' a' b ba' i 7 Số phức nghịch đảo, chia hai số phức:

- Số phức nghịch đảo số phức z a bi  số phức, kí hiệu là:

1

2 2

1 

  

 z

z z

z z a b

 Chia hai số phức:

2

 z z.z' z' z'

(nhân tử mẫu cho z') 8 Phương trình bậc hai hệ số thực tập :

Cho phương trình  

2 0 0

     

ax bx c a ;a,b,c

Gọi

2 4

 b  ac:

+ Nếu  0 phương trình có hai nghiệm thực:     b x

a

+ Nếu  0 phương trình có nghiệm thực:  b x

a + Nếu  0 phương trình có hai nghiệm phức:

2

  b 

x i

I Thể tích khối đa diện:

1 Thể tích khối lập phương cạnh a: V a

2 Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a,b,c V a.b.c Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy S, chiều cao h là:

 V S.h

4 Thể tích khối chóp có diện tích đáy S, chiều cao h là:

3  V Sh

5 Một số tính chất:

 Tỉ số thể tích hai khối đa diện đồng dạng lập phương tỉ số đồng dạng

 Cho khối chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác với S Khi đó:



S.A' B' C' S.ABC

V SA' SB' SC'. .

V SA SB SC

II Thể tích khối trịn xoay: Mặt nón trịn xoay:

Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l, bán kính đáy R

* Diện tích xung quanh hình nón: Sxq Rl

* Diện tích tồn phần:

2

đáy

    

tp xq

S S S Rl R

* Thể tích khối nón:

2

1  

V R h

2 Mặt trụ tròn xoay:

Cho hình trụ T có chiều cao h bán kính đáy R - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2 Rh

- Thể tích khối trụ: V R h2 Mặt cầu:

- Diện tích mặt cầu (S) bán kính R là: S 4 R2 - Thể tích khối cầu (S) bán kính R là:

3

4  



HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ trục tọa độ không gian:

2 Tọa độ điểm vectơ:

     

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

M x;y;z OM xi y j zk

 

    

    

u x;y;z u xi y j zk

* Tính chất: Cho  3  3

 

a a ;a ;a ; b b ;b ;b

1

2

3

      

  

  a b

a b a b

a b

 1 2 3

    

 

a b a b ;a b ;a b

 3 



ka ka ;ka ;ka

3 Liên hệ tọa độ vectơ tọa độ hai điểm mút:

Cho ba điểm A x ;y ;z ,B x ;y ;z ,C x ;y ;z A A A  B B C  C C C Khi đó:

     



B A B A B A

AB x x ;y y ;z z

 Cơng thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng:

M trung điểm đoạn thẳng AB

2 2                 A B M A B M A B M x x x y y y z z z

 Cơng thức tính tọa độ trọng tâm tam giác:

G trọng tâm tam giác ABC

3 3                   

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

y

z z z z

 Khoảng cách hai điểm:

 2  2  2

 B A  B A  B  A

AB x x y y z z

4 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: Cho  3  3

 

a a ;a ;a ; b b ;b ;b

1 2 3

  

 

a.b a b a b a b

2 2 2 2

1

  



a a a a

2 2

1

  



1 2 3

0

     

   

a b a.b a b a b a b 5 Góc hai vectơ:

  1 2 3

2 2 2

1 3

 

 

   

   

 a.b a b a b a b cos a,b

a b a a a b b b 6 Tích có hướng hai vectơ ứng dụng:

a) Định nghĩa:

2 3

2 3

 

    

 

 

 

  a a a a a a

a,b ; ;

b b b b b b

Chú ý:

  a b ad bc c d

b) Tính chất:

Nếu         c a,b thì:            c a c b  

a,bcùng phương    0    a,b c) Diện tích tam giác:

Cho tam giác ABC có diện tích S Khi đó:

2  



 

 

S AB,AC

(đvdt)

d) Thể tích khối hộp:

Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ tích V Khi đó:

 



 

  

V AB,AD AA'

(đvtt) e) Thể tích khối tứ diện:

Cho khối tứ diện ABCD tích V Khi đó:

6  



 

   V AB,AC AD

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1 Phương trình tắc:

Phương trình mặt cầu tâm I a;b;c bán kính R:

 2  2  2

     

x a y b z c R

2 Phương trình tổng qt:

Trong khơng gian Oxyz, phương trình :

2 2 2 2 2 0

      

x y z ax by cz d với

2 2 0

   

a b c d phương trình mặt cầu tâm I a;b;c , bán kính R a2b2c2 d

Chú ý: Nếu phương trình cho dạng

2 2 2 2 2 0

      

x y z ax by cz d với

2 2 0

   

a b c d mặt cầu có tâm I a; b; c    , bán kính R a2b2c2 d

3 Vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng   : * Nếu dI ,  R

: mặt phẳng mặt cầu khơng có điểm chung * Nếu dI ,  R

: mặt phẳng   tiếp xúc mặt cầu (S),   gọi tiếp diện mặt cầu (S)

Điều kiện để mặt phẳng   tiếp xúc mặt cầu dI ;  R * Nếu dI ,  R: mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn có

phương trình

    

 

 



ptmc S ptmp

4 Cách xác định tâm đường trịn giao tuyến có phương trình  

  

 

 



ptmc S ptmp

trong không gian:

* Gọi H tâm đường tròn (C) Lập phương trình IH (IH qua I nhận 



n làm VTPT)

* Tọa độ H nghiệm hệ  

pt ptmp

  

 

 IH

4 Cách tính bán kính đường trịn khơng gian có phương

trình

    

 

 



ptmc S ptmp

Áp dụng   

2 2



 

   

 

 I , 

r R IH R d

, với I tâm mặt cầu 5 Mặt cầu qua điểm A,B,C,D không đồng phẳng (ngoại tiếp tứ diện ABCD):

- Gọi phương mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là:

2 2 2 2 2 0

      

x y z ax by cz d (1)

- Do A,B,C,D S nên thay tọa độ A,B,C,D vào phương trình (1) ta hệ phương trình ẩn a,b,c,d - Giải hệ tìm a,b,c,d từ có phương trình mặt cầu

(S) cần tìm

6 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng : Do mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng nên R d I , 

với I tâm mặt cầu

Do mặt cầu (S) tiếp xúc đường thẳng d nên     I , d R d

với I tâm mặt cầu

8 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S):

* Gọi là mặt phẳng chứa d Lập phương trình mặt phẳng dưới dạng chùm mặt phẳng

* Do tiếp xúc mặt cầu (S) nên R d I , 

Từ chọn và tìm .

9 Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C có tâm nằm mặt phẳng 

* Gọi  

2 2 2 2 2 0

      

S : x y z ax by cz d

* Thay tọa độ điểm A, B, C vào phương trình tâm I a;b;c  vào phương trình rồi giải hệ tìm a,b,c,d.

10 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) H: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) H mặt phẳng qua H có vectơ pháp tuyến



IH (I tâm mặt cầu)

11 Lập phương trình tiếp diện mặt cầu (S) biết song song

1

d ,d :

* Tìm VTCP d1là



u , VTCP d2là u 2 Tính

 

1

 

 

 



                           

n u ,u A,B,C

* Gọi   mặt phẳng song song d ,d1 2nên có VTPT là

 

1

 

 

 

  

n u ,u A;B;C

và có phương trình

   

Ax By Cz m

* Điều kiện để   tiếp diện (S) dI ,  R.

* Gọi H tiếp điểm Lập phương trình IH (H qua I nhận  



n

làm VTPT)

* Tọa độ H nghiệm hệ  

pt ptmp

  

 

 IH

13 Tìm tọa độ tiếp điểm H mặt cầu (S) đường thẳng d: * Gọi   mặt phẳng qua I vng góc với d Lập phương trình mặt phẳng   (  qua I nhận



d

u làm VTPT)

* Tọa độ tiếp điểm H mặt cầu (S) đường thẳng d nghiệm

của hệ

   

ptmp ptñt

 

  

 d

14 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt d điểm A, B sao cho AB=L:

Áp dụng

 

2

2  

 

     

  L R d I ,(d)

15 Viết phương trình mặt phẳng   qua M (M nằm mặt cầu (S)) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính nhỏ nhất:

* Ta có r R2 IH2 , r nhỏ  IH lớn Mặt khác 

IH IM, nên IH lớn IH=IM, H M ,  

  IM

* Vậy mặt phẳng   cần tìm cính mặt phẳng qua M nhận



IM làm VTPT

* Tìm I’ đối xứng với tâm I mặt cầu (S) qua mặt phẳng   * Mặt cầu (S’) có tâm I’ bán kính R’=R (R bán kính mặt cầu (S)) Từ lập phương trình (S’)

17 Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua đường thẳng :

* Tìm I’ đối xứng với tâm I mặt cầu (S) qua đường thẳng  * Mặt cầu (S’) có tâm I’ bán kính R’=R (R bán kính mặt cầu (S)) Từ lập phương trình (S’)

18 Tìm điểm mặt cầu (S) cho khoảng cách từ đến mặt phẳng   đạt GTLN (GTNN):

* Tìm tâm I mặt cầu (S)

* Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc   dạng tham số (d qua I có VTCP  

 n

)

* Tọa độ giao điểm d (S) nghiệm hệ

   

ptñt ptmc

    

d S

(tìm M N)

* Tính dM , ,dN , 

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mặt phẳng:

nlà VTPT mặt phẳng    giá



n vng góc với mặt phẳng

2 Phương trình tổng quát mặt phẳng:

- Mặt phẳng   qua M x ;y ;z 0 0 và nhận  



n A;B;C

thì phương trình mp  là:

  0    0    0 0 A x x B y y C z z - Mỗi phương trình dạng

 2 

0

      

Ax By Cz D A B C

phương trình mặt phẳng xác định,  



n A;B;C

là VTPT mặt phẳng

- Mặt phẳng   cắt trục Ox,Oy,Oz theo giao điểm  0 0 0 0 

A a; ; ,B ;b; ,C ; ;c

phương trình mặt phẳng   là:   1

x y z

a b c (phương trình theo đoạn chắn. Các dạng tốn viết phương trình mặt phẳng:

Phương pháp:

- Tìm tọa độ trung điểm M AB

- Tìm tọa độ vectơ AB

-   mặt phẳng qua M có VTPT

 AB Dạng 2: mp  là mặt phẳng qua điểm A, B, C

Phương pháp:

- Tìm:

                           

AB,AC

- Tìm:      n AB,AC

- mp  mặt phẳng qua A có VTPT

 n Dạng 3: mp  là mặt phẳng qua A chứa đường thẳng (d)

Phương pháp:

- Chọn B thuộc (d)

- mp  mặt phẳng qua A có VTPT  



                           

d

n AB,u

Dạng 4: mp  qua điểm M x ;y ;z 0 0 và song song mặt phẳng

  : Ax By Cz D   0

Phương pháp:

-  



n A;B;C

là VTPT  

mp

là VTPT mp 

- mp  mặt phẳng qua M có VTPT

 n

Dạng 5: mp  qua hai điểm M,N vng góc mặt phẳng   : Ax By Cz D   0

Phương pháp:

- Tìm



MN;    

n A;B;C VTPT  

- Tìm      n MN ,n

- mp  mặt phẳng qua M có VTPT

 n Dạng 6: mp  chứa đường thẳng (d) vng góc

  : Ax By Cz D   0

Phương pháp:

- Chọn M d - Tìm



ulà VTCP (d), u VTCP (d), 

 n

là VTPT  

- Tìm      n u,n

VTPT  n

Dạng 7: mp  qua M vuông góc hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước

Phương pháp:

- Tìm: 

P

n là VTPT (P); 

Q

n

là VTPT (Q) - Tìm  



                           

P Q

n n ,n

- mp  mặt phẳng qua M nhận



nlàm VTPT.

Dạng 8: mp  tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I điểm M S

Phương pháp:

- Tìm tâm I mặt cầu (S) - Tìm IM

- mp  mặt phẳng qua M có VTPT

 IM

Phương pháp:

- Tìm 

alà VTCP đường thẳng (d)

- Do mp  song song với (d) nên



acũng VTPT của  

mp

Dạng 10: mp  qua M song song với hai đường thẳng    d , d1 cho trước

Phương pháp:

- Tìm:



a là VTCP  d1 ;



a là VTCP  d2

- Tìm  2    n a ,a

- mp  mặt phẳng qua M có VTPT

 n Dạng 11: mp  mặt phẳng chứa đường thẳng  d1 và song

song đường thẳng  d2

Phương pháp:

- Chọn điểm M thuộc  d1

-   mặt phẳng qua M có VTPT  2

Dạng 12: mp  chứa hai đường thẳng cắt    d , d1

Phương pháp:

- Chọn điểm M thuộc  d1

hoặc  d2 .

- VTPT  

1

 



 

   n a ,a

Dạng 13: mp  chứa hai đường thẳng  d / / d1  2

Phương pháp:

- Chọn A d1 , B d2

- mp  mặt phẳng qua điểm A có VTPT

1

 



 

   n AB,u

Dạng 14: mp  chứa giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q), đồng thời vng góc mặt phẳng (R)

Phương pháp:

- Chọn M,N thuộc    P  Q

(bằng cách cho x=0, x=1,…và thay vào hệ

    

   

ptmp P ptmp Q

- mp  mặt phẳng qua M,N vng góc (R) (dạng 4)

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   qua M x ;y ;z 0 0

, song song d vng góc mặt phẳng   :

Khi mặt phẳng   :

 0 0  

 

 



  



  

d

qua M x ;y ;z VTPT n u ,n

Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: cắt Ox A a; ; 0, cắt Oy B ;b;0 0 , cắt Oz C ; ;c0 :

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ phương đường thẳng: Vectơ



agọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng (d)  giá



a song song trùng (d).

2 Các dạng phương trình đường thẳng: Cho điểm M x ;y ;z 0 0 và vectơ  



u a;b;c  Đường thẳng (d) qua M nhận



u làm VTCP có phương

trình tham số

 

0 0

   

  

 

  

 x x at

y y bt t z z ct

 Đường thẳng (d) qua M nhận 

u làm VTCP có phương

trình tắc  

0 0 0

  

  

x x y y z z

a,b,c

a b c

3 Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng:

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm AB Phương pháp:

- Tìm  AB

- (d) đường thẳng qua A có VTCP  AB

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A song song đường thẳng  

Phương pháp: - Tìm vectơ



ulà VTCP  

- (d) đường thẳng qua A có VTCP  u .

Phương pháp: - Tìm



n VTPT mặt phẳng   - (d) đường thẳng qua A có VTCP



n

Dạng 4:Viết phương trình đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P) (Q)

Phương pháp: - Tìm



P

n là VTPT mp(P), nQ là VTPT mp(Q).

- Tìm  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

P Q

u n ,n

- Chọn điểm M thuộc giao tuyến cách cho ẩn thay vào pt (P) mp(Q) giải hệ tìm ẩn lại - (d) đường thẳng qua M nhận



ulàm VTCP

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A song song mặt phẳng (P) (Q) (hoặc song song với giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q))

Phương pháp: - Tìm



P

n là VTPT mp(P), nQ là VTPT mp(Q)

- Tìm

 



 

  

P Q

u n ,n

- (d) đường thẳng qua A có VTCP  u

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng (d) hình chiếu đường thẳng   lên mặt phẳng (P)

Phương pháp

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) vng góc mặt phẳng (P) (xem dạng phương trình mặt phẳng)

- Chọn N   P  Q cách cho ẩn 0, thay vào pt (P) pt (Q), giải hệ tìm ẩn cịn lại

- Tìm     

P Q

- (d) đường thẳng qua N có VTCP  u

Dạng 7:Viết phương trình đường thẳng (d) đường cao kẻ từ A của tam giác ABC

Phương pháp:

- Tìm  

    

AC,BC,n AC,BC

- Tìm      u n ,BC

- (d) đường thẳng qua A có VTCP  u

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đường trung trực của cạnh BC tam giác ABC

Phương pháp: - Tìm

 



 

    

AC,BC,n AC,BC

- Tìm

 



 

   u n,BC

- Tìm M trung điểm BC

- (d) đường thẳng qua M có VTCP  u

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng (d) đường vng góc chung đường thẳng chéo    d , d1

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  d2 và song song

 d1 (dạng 11 phương trình mặt phẳng)

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa  d1 và vng góc mặt

phẳng (P) (dạng phương trình mặt phẳng)

- Tìm giao điểm M đường thẳng  d2 và mặt phẳng (Q).

- (d) đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng (P) (dạng phương trình đường thẳng)

- Chuyển phương trình d ,d1 2dưới dạng tham số.

- Gọi M d1dưới dạng chứa tham số t1 N d 2dưới dạng

chứa tham số t2 Tính vectơ MN



- Do

1

MN u

MN u

 

 

  

   

Từ tìm t ,t1 2 có M,N

- Đường vng góc chung qua M nhận MN 

làm VTCP Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước:

C1:

* Chuyển d1,d2 phương trình tham số

* Gọi M d ,N d1  2(tọa độ M,N chứa

t ,t ) Tính  AM , AN. * Do AM



cùng phương AN 

nên từ đk phương tìm t ,t1 2và có

M,N

* Đường thẳng cần tìm qua A có VTCP AM

 Cách khác:

* Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa  d1 (xem dạng phương

trình mặt phẳng)

* Tìm giao điểm M mặt phẳng (P)  d2

Dạng 11: Viết phương trình đường hẳng (d) qua A, vng góc cắt đường thẳng :

* Tìm VTCP là u 

* Gọi M  (tọa độ M chứa tham số t) Tính AM

 * AM u

 

Từ tìm t có M Đường thẳng cần tìm qua M nhận

AM 

làm VTCP Cách khác:

* Gọi   mặt phẳng qua A vng góc  Lập phương trình mặt phẳng   (qua A nhận u

 làm VTPT)

* Tọa độ giao điểm H mặt phẳng

  và  nghiệm hệ

   

ptmp pt

 

 

 

 .

.* Đường thẳng cần tìm qua A nhận AH làm VTCP

Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm mặt phẳng

  và cắt đường thẳng d

1,d2:

* Tìm giao điểm A d1 mp 

: Giải hệ:

   

pt d ptmp   

 



: Giải hệ:

   

pt d ptmp   

 



* Đường thẳng d đường thẳng qua A nhận AB



làm VVTCP

Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng (d) song song và

cắt đường thẳng d ,d1 2:

* Chuyển phương trình d ,d1 2dưới

dạng tham số chứa t ,t1

* Gọi Md ,N d1  (tọa độ M, N

chứa t ,t1 2) Tính MN

 * MN



cùng phương u 

, từ tìm

1

t ,t có M,N.

* Đường thẳng cần tìm qua M nhận u



làm VTCP

Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm của   , nằm   vng góc :

* Tìm giao điểm A   :

giải hệ

   

ptmp ptdt

 

 

 



* Dường thẳng d qua A có VTCP un ,u 

  

Dạng 15: Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc d1 và

* Chuyển phương trình d2 dạng

tham số Gọi N thuộc d2 (tọa độ N

chứa tham số t) Tính vectơ MN  * Do MN ud1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, từ phương trình ta tìm tham số t, từ tìm N

Đường thẳng d qua M có VTCP MN

Dạng 16: Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc mặt phẳng

  cắt đường thẳng d

1, d2:

* Chuyển phương trình d1, d2 dạng

tham số

* Gọi M thuộc d1 dạng chứa

tham số t1, N thuộc d2 dạng

chứa tham số t2 Tính vectơ MN

 * Do MN



phương n



, từ tìm tham số t ,t1 ta tìm

M,N

* Đường thẳng cần tìm qua M nhận MN



làm VTCP

Dạng 17: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc hai đường thẳng d ,d1 2:

Khi (d) đường thẳng qua M có VTCP uu ,ud1 d2

  

* Đường thẳng (d): Qua M

VTCP u n ,u  



  



  



  

Dạng 19: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M song song mặt phẳng   cắt đường thẳng :

* Chuyển phương trình thành phương trình tham số

* Gọi N thuộc  (tọa độ N chứa tham số t) Tính MN

 * Do MN u

 

nên từ tìm t, từ có N

* Đường thẳng d cần tìm qua M nhận vectơ MN



VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1 CM   cắt   : Ta chứng minh A : B : C A' : B' : C'

2. CM       : Ta chứng minh

A B C D

A' B' C' D'

3 CM   //  : Ta chứng minh

A B C D

A' B' C' D'

4 CM d ,d' đồng phẳng: Ta chứng minh u,u' MM ' 0 

                          

với M d ,M ' d'

5 CM d ,d' cắt nhau: u,u' MM ' 0

  

a : b : c a' : b' : c'

6 CM d // d’: Ta chứng minh

 0  0  0

a : b : c a' : b' : c'  x'  x : y'  y : z'  z

7. CM dd’: Ta chứng minh

 0  0  0

a : b : c a' : b' : c'  x'  x : y'  y : z'  z

8 CM d d’ chéo nhau: ta chứng minh u,u' MM ' 0   

với M d ,M ' d'

9 CM d cắt   : Ta chứng minh: aA bB cC  0

10 CM d//  : Ta chứng minh 0  

0 aA bB cC

M d M

  

  

   

 

11 CM d    : Ta chứng minh 0  

0 aA bB cC

M d M

  

  

   

  Chú ý:

* CM d   ta chứng minh a : b : cA : B : C.

* Chứng minh A x ; y ; z ,B x ; y ; z A A A  B B C nằm phía đối với   : Ax By Cz D   0, ta chứng minh:

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P : Ax By Cz D   0

  2

   

  



 

M M M

M , P

A.x B.y C.z D d

A b C

2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P)//(Q):

       

   

   

  

P , Q A, Q

d d , A P

3 Khoảng cách đường thẳng (d) mặt phẳng (P), với (d)// (P):

       

   

 d , P  A, P  

d d , A d

4 Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d): (khơng có cơng thức tính chương trình chuẩn, tính theo bước sau đây)

 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc đường thẳng (d)

 Tìm giao điểm H (d) (P) - Khi   



A, d

d AH

5 Khoảng cách hai đường thẳng song song  d1 // d2 :

   1  2  1

   

 d ; d   A, d   

d d , A d

6 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo    d , d1 :

 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  d2 song song  d1  Tìm M thuộc  d1

- Khi    1     

d , d M , P

d d

7 Góc hai mp (P): A1x+B1y+C1z+D1 =

thì

2

n1 os = 

 

 .n c

n n =

2 2

2 2 2

1 1 2

1

    

   

A B B C C

A B C A B C

Với  ((mp(Q),mp(P))

8 Góc đường thẳng (d):

0 0           

x x at

y y bt

z z ct

mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D =

nP sin = 

                              d .u n uP

d

= 2 2 2

a

    

   

bB cC

A B C a b c

với  ((D),mp(P))

9 Góc hai đường thẳng (D1) :

1 1 0           

x x a t

y y b t

z z c t

(D2):

0 2            / / / / / /

x x a t

y y b t

z z c t

thì

2

1

1 os = 

                             . c . u u u u =

1 2

2 2 2

1 1 2

 

   

a a b b c c

a b c a b c

với



1

TÌM MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT

1 Tìm giao điểm M đường thẳng (d):

0 0

  



  

   

x x at

y y bt

z z ct và mặt phẳng (P): Ax By Cz D   0

Phương pháp:

- M d nên M x 0at;y0bt;z0ct (1)

- M P nên tọa độ M phải thỏa mãn phương trình (P) Thay tọa độ M vào phương trình (P) giải tìm t

- Thay t vừa tìm vào (1) ta tìm tọa độ M

2 Tìm hình chiếu vng góc H M lên mặt phẳng (P):

Phương pháp:

- Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P)

- Tìm giao điểm H đường thẳng (d) mặt phẳng (P) - H hình chiếu cần tìm

3 Tìm M’ đối xứng điểm M qua mặt phẳng (P):

Phương pháp:

- Tìm hình chiếu vng góc H M lên mặt phẳng (P)

- M’ đối xứng với M qua mp(P)  H trung điểm MM’. - Áp dụng cơng thức trung điểm ta tìm tọa độ M’

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc đường thẳng (d)

- Tìm giao điểm H đường thẳng (d) mặt phẳng (P) - H hình chiếu cần tìm

Cách khác:

- Chuyển phương trình (d) dạng tham số, suy VTCP u.

- H thuộc (d) nên tọa độ H chứa t Tính MH

- Do MH  u nên từ tìm t có H

5 Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d)

Phương pháp:

- Tìm hình chiếu vng góc H M lên đường thẳng (d) - M’ đối xứng m qua (d)  H trung điểm MM’

- Áp dụng cơng thức trung điểm ta tìm tọa độ điểm M

Phương pháp:

- Gọi H x;y;z 

- Tọa độ H nghiệm hệ phương trình:

0

0

 

 

 

  

 

    

   AH.BC AH.BD

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG

CHỦ ĐỀ 1: TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

I Tam thức bậc hai:

1 ĐN: Tam thức bậc hai biểu thức có dạng: ax2bx c ,

trong x biến số; a, b, c số thực a0

Chú ý: + Ta thường đặt f x ax2bx c

+ Nếu b0 ta có tam thức bậc hai dạng

 

f x ax c

+ Nếu c0 ta có tam thức bậc hai dạng

 

f x ax bx

2 Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai

   0

f x ax bx c a 

Gọi  b2 4ac Khi đó:

- Nếu  0 a f x   0,  x R (tức f x  dấu với a)

Bảng xét dấu: a>0

x   

f(x) +

a<0

x   

f(x)

Nếu  0 a f x    0, x R (tức f x  dấu

với a với b x

a

 

,  

b

f x x

a



  

) Bảng xét dấu:

X   2 b a





a<0

x   2

b a





f(x) - 0

Nếu  0 f x  có hai ngiệm phân biệt

 

1, 2

x x x x và:

+ a f x  0,   x  ;x1  x2; + a f x  0, x x x1; 2.

Bảng xét dấu: a>0 x  

1

x x2 

f(x

) + - +

a<0 X  

1

x x2 

f(x

) - +

-II Phương trình bậc hai:

1 ĐN: Phương trình bậc hai mệnh đề chứa biến có dạng

 

2

0

ax bx c  a

Trong x ẩn số; a,b,c số thực biết

2 Cách giải:

Gọi  b2 4ac Khi đó:

- Nếu  0: phương trình vơ nghiệm. - Nếu  0: phương trình có nghiệp kép

1

2

b x x

a



- Nếu  0: phương trình có hai nghiệm phân

biệt , 2

b b

x x

a a

     

 

* Chú ý:

- Nếu hệ số b phương trình số chẵn, ta có cơng thức nghiệm thu gọn sau:

Gọi  

' b' ac

  

(trong ' b b 

) Khi đó: + Nếu  ' 0: phương trình vơ nghiệm.

+ Nếu  ' 0: phương trình có nghiệp kép

1

'

b x x

a



 

+ Nếu  0: phương trình có hai nghiệm phân

biệt

' ' ' '

,

b b

x x

a a

     

 

- Nếu hai hệ số a c có dấu trái ngược phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt

- Nếu hệ số b=0, phương trình có dạng: ax2 c

2 c x

a

 

+ Nếu a, c trái dấu phương trình có hai

nghiệm 1,2

c x

a

 

+ Nếu a, c dấu phương trình vơ nghiệm

- Nếu hệ số c=0, phương trình có dạng

 

1

2

0

0

x

ax bx x ax b b

x a

  

     

 



* Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 có hai nghiệm

phân biệt x x1, tổng tích hai nghiệm là:

1

b S x x

a c P x x

a

 

  

  

  

 

- Hai số thực có tổng S tích P hai số thực nghiệm phương trình x2 Sx P 0.

* Chú ý:

- Nếu tam thức bậc hai f x ax2bx c có hai nghiệm 1,

x x viết lại thành f x  a x x  1 x x 2.

- Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0 có hệ số a,b,c

thỏa a b c  0 phương trình có hai nghiệm là: 1,

c

x x

a

 

- Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0 có hệ số a,b,c

thỏa a b c  0 phương trình có hai nghiệm là:

1 1, c

x x

a

 

4* Xác định dấu nghiệm số phương trình bậc 2:

2 0

ax bx c  :

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac0

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu

0

c a

     

- Phương trình có hai nghiệm dương

0 0

b a c a

    

  

 

  

- Phương trình có hai nghiệm âm

0 0

b a c a

    

  

 

  

III Bất phương trình bậc hai:

1 ĐN: Bất phương trình bậc hai mệnh đề chứa biến thuộc dạng sau:

2 0; 0; 0; 0

ax bx c  ax bx c  ax bx c  ax bx c  ,

trong x ẩn số; a,b,c số thực biết

2 Cách giải:

- Xét dấu tam thức bậc hai vế trái (dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai để lập bảng xét dấu)

- Dựa vào bảng xét dấu để chọn khoảng chứa x mà làm cho vế trái thỏa mãn dấu bất phương trình (nếu bất phương trình cho >0 lấy phần dấu “+”, <0 lấy phần dấu “ – ”, cịn có dấu “=” lấy ln nghiệm tam thức)

* Chú ý: Nguyên tắc chung để giải bất phương trình là:

- Chuyển tất bên trái dấu bất đẳng thức, vế phải phải số Nếu có ẩn số mẫu số quy đồng khơng bỏ mẫu

- Phải xét dấu biểu thức vế trái

CHỦ ĐỀ 2: XÉT DẤU BIỂU THỨC

Xét dấu biểu thức toán trung gian để giải nhiều toán, đặc biệt để giải tốn bất phương trình, hệ bất phương trình Ngồi phương pháp học ở chương trình Đại số 10, ta sử dụng phương pháp giải nhanh trình bày sau để rút ngắn thời gian làm Vì đây tốn trung gian nên cách giải khơng trình bày tốn, ta khơng cần quan tâm đến cách chứng minh phương pháp xét dấu (nhưng dùng kiến thức giới hạn để chứng minh dễ dàng)

I PHƯƠNG PHÁP:

1 Khái niệm nghiệm bội phương trình: Số thực x0 gọi nghiệm bội k phương trình f x 0 nghiệm x0 lặp lại k lần

Ví dụ:

VD1 Phương trình

  

2

1

1

6

5

x x

x x x x

x x

x

 

 

 

       



  

  

 Khi số

gọi nghiệm bội phương trình (cịn gọi nghiệm kép)

VD2 Phương trình

 3 

1

1

3

x

x x x x

x

  

     

  



Trong số nghiệm bội phương trình,

 3      

1

1 1 1

1

x

x x x x x

x

  

        

2 Xét dấu biểu thức f x  đa thức có dạng:

  1

n n

n n

P x a x a x  a x a



     an 0

(các số hạng củaP x  xếp theo thứ tự giảm dần theo số mũ x)

- Tìm nghiệm P x  , giả sử nghiệm 1, , ,2 n

x x x x1x2 xn (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, nghiệm bội viết lần)

- Lập bảng xét dấu:

+ Là bảng gồm dòng cột,

+ Điền giá trị x nghiệm P x  vừa tìm kí hiệu   , vào bảng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

+ Điền dấu P x  vào bảng theo quy tắc: * Trong khoảng cuối bên phải xn (nghiệm lớn nhất) P x  dấu với hệ số x mang mũ cao biểu thức P x  (tức dấu với an)

* Xen kẻ dấu P x  bên trái qua nghiệm P x  nghiệm nghiệm bội lẻ, giữ nguyên dấu qua nghiệm bội chẵn P x 

Bảng xét dấu:

0

n

a  , giả sử P x có nghiệm bội chẵn xn1

x   …

1

x … xn2 xn1 xn 

 

P x … … + - - +

0

n

a  , giả sử P x có nghiệm bội chẵn xn1

x   …

1

x … xn2 xn1 xn 

 

-3 Xét dấu biểu thức dạng tích đa thức:

       1 0  1 0

n n m m

n n m m

P x f x g x a x a x  a b x b x  b

 

       

- Tìm nghiệm đa thức f x g x ,  , giả sử nghiệm x x1, , ,2 xn x1x2  xn (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, nghiệm bội viết lần)

- Lập bảng xét dấu điền dấu P x  theo nguyên tắc:

+ Trong khoảng cuối bên phải xn

(nghiệm lớn nhất) P x cùng dấu với tích hệ số x có mũ cao đa thức f x g x ,   (tức dấu với tích a bn m)

+ Xen kẻ dấu bên trái x qua nghiệm

 

P x nếu nghiệm bội lẻ, giữ nguyên dấu x qua

nghiệm bội chẵn P x 

4 Xét dấu biểu thức dạng hữu tỷ: (có biến số mẫu số)

     

 

   

1

1

1

n n m m

n n m m

k k

k k

a x a x a b x b x b

f x g x P x

h x c x c x c

 

 

 

     

 

  

(trong f x g x h x ,    , đa thức theo biến số x, xếp theo thứ tự giảm dần số mũ x)

- Tìm nghiệm đa thức f x g x h x ,    , , giả sử nghiệm x x1, , ,2 xn x1x2  xn (xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, nghiệm bội viết lần tính ln nghiệm h x )

+ Trong khoảng cuối bên phải xn

(nghiệm lớn nhất) P x cùng dấu với tích hệ số x có mũ cao đa thức f x g x h x ,    , (tức dấu với tích a b cn .m k)

+ Xen kẻ dấu bên trái x qua nghiệm

 

P x

nếu nghiệm bội lẻ, giữ nguyên dấu x qua nghiệm bội chẵn P x  (tính ln nghiệm h x )

Bảng xét dấu:

n m k

a b c  , giả sử có nghiệm bội chẵn xn1, P x 

không xác định xn(tức xnlà nghiệm mẫu)

x   …

1

x … xn2 xn1 xn 

 

P x … … + - - || +

n m k

a b c  , giả sử có nghiệm bội chẵn xn1, P x 

không xác định xn(tức xnlà nghiệm mẫu)

x   …

1

x … xn2 xn1 xn 

 

P x … … - + + ||

-II CÁC VÍ DỤ:

Lập bảng xét dấu biểu thức sau:

a f x  x3 b      

2 3 2 6 5 f x  x  x x  x

c     

3

2

f x   x x  x  x

d

 

   

2

2

2

4

x x

f x

x x x

 



  

Giải:

a Ta có     

3

8 2

Bảng xét dấu: (hệ số x3là 1>0)

x   2 

 

f x - +

b       2 2

3 2

3

1

6

5

x

x x x

f x x x x x

x x x x                           

(x=1 nghiệm bội 2) Bảng xét dấu:

(Tích hệ số x có mũ cao hai tam thức là 1.1>0)

x   1 2 5 

 

f x + 0 + 0 - 0 +

        3 2

2

2

2 2

1

x

c f x x x x x

x x x

x x

x x x x

                             

Bảng xét dấu: (Tích hệ số x có mũ cao -1.1<0)

x   1 2 

 

f x - 0 + 0

-d

 

   

2

2

2

4

x x

f x

x x x

 



  

2

1

*2 1

2

x x x

x

  

   

  

2

*

2

x x

x

 

   

 

2

*

3

x

x x

x

 

    

 

Bảng xét dấu: (x=2 nghiệm bội 2, f x không xác định

x=-2;2;3, tích hệ số x mũ cao 2.1.1>0)

x   -2 1/2 1 2 3 

 

CHỦ ĐỀ 3: GIỚI HẠN VÔ CỰC VÀ GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1 Một vài qui tắc tìm giới hạn vơ cực:

Các giới hạn sau xét

 

0 0, 0, ,

x x x x x x x x

       

Qui tắc nhân

 

lim f x limg x  L lim f x g x   

 L0 

 L0 

Qui tắc chia

 

lim f x limg x  L  

 

lim f x

g x

L  0

 

lim f x L limg x  Dấu g x   

 

lim f x

g x

L  

0

L   

0

L   

0

L  

2 Một số giới hạn bản:

a) 0 lim

xx x x ; 0 lim xxx x

;

0 lim xx x x b)

0

lim

xx c x



;

0

lim

xxc x

0

lim

c) xlim x d) xlim c c e)

lim

x c x

  

f) xlim  x;

3

lim

x  x

g) lim k

x x ;

2 lim k

x  x ;

 

2 lim k

x x k

 

      

3 Một số lưu ý tìm giới hạn:

a) Phương pháp xác định dấu g x  tìm giới hạn dạng

   

0

lim

x x f x g x 



:

Khi tính giới hạn hàm số có dạng

   

f x y

g x



x x

 với x0là nghiệm đa thức f x  ta cần xác định  

f x dần tới 0

hay 0

Có thể làm sau:

- Lập bảng xét dấu f x  (làm nháp), giả sử ta có bảng sau:

x   …

0

x … 

 

f x … + 0 - …

- Xác định dấu f x : + x x0 x x0



  dấu f x là dấu phía bên phải số nằm x0 (theo bảng dấu “-”

 

f x 

+ x x0 x x0



 

dấu f x là dấu phía bên phải số nằm x0 (theo bảng dấu “+” f x  0)

b) Phương pháp tìm nhanh giới hạn dạng

   

1

1

1

1

lim lim

m m

m m

n n

x x

n n

f x a x a x a x a

g x b x b x b x b

 

    



   



    (trong đó  ,  

f x g x là đa thức có bậc m n):

- Nếu m n :

   

lim

x

f x g x

  

- Nếu m n :

   

lim m

x

n f x a g x b

  

- Nếu m n :

   

lim

x

f x g x

  

   

lim

x

f x g x

   

CHỦ ĐỀ 4: ĐẠO HÀM

1 Định nghĩa:

Đạo hàm hàm số yf x  điểm x0 kí hiệu f x' 0 định nghĩa  

   0

0 0 0

' lim lim

x x

f x x f x y

f x

x x

   

   

 

 

Số   x x x0được gọi số gia biến số điểm x0; số  y f x 0 x f x 0 gọi số gia hàm số ứng với số gia x điểm x0

Ngồi người ta cịn định nghĩa theo công thức sau:

     

0

0

0

' lim

x x

f x f x f x

x x



 

 .

2 Ý nghĩa hình học đạo hàm:

- Đạo hàm hàm số yf x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x y0 0; 0 .

- Nếu hàm số yf x  có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M x y0 0; 0 có phương trình là:

   

0 ' 0

y y f x x x

3 Đạo hàm hàm số khoảng:

Hàm số f gọi có đạo hàm khoảng I có đạo hàm f x'  điểm x I .

4 Quy tắc tính đạo hàm:

* Các công thức: 1)  

1

'

n n

x nx 

 n,n1 2)  c ' 0 (c số)

3)  x ' 1 ;

1

'

x x

4)     ' x x x   

5) Giả sử u u x v v x  ,    hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

            2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

u v u v u v u v u v u v uv

u u v uv

v v

k u k u v

v v x

v v                          

6) Đạo hàm hàm hợp: Nếu hàm số ug x  có đạo hàm x u'x hàm số yf u có đạo hàm u y'u hàm hợp yf g x   có đạo hàm x là: y'x y u' 'u x

7) Đạo hàm hàm số lượng giác: Bảng tóm tắt:

        2

sin ' cos

cos ' sin

1 tan ' cos cot ' sin x x x x x x x x             2

sin ' '.cos

cos ' '.sin

' tan ' cos ' cot ' sin

u u u

u u u

u u u u u u    

 

 

2 2

2

'

2 '

ax b ad bc

y y

cx d cx d

b c amx anx

m n ax bx c

y y

mx n mx n

 

  

 

 

 

  

 

 

2

2

2 2

2

' ' ' ' ' '

'

' ' ' ' ' '

a b a c b c

x x

a b a c b c

ax bx c

y y

a x b x c a x b x c

 

 

  

   

5 Đạo hàm cấp 2:

CHỦ ĐỀ 5:CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I Cơng thức lược giác:

1 Tỉ số lượng giác số góc cần nhớ:

Góc

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

0        

sin

2 2 1 2 2

cos

2 2

1

2 –

1 2 –

2

2 –

3

2 1

tan

3 ||  1 –

1

3

cot || 1

3

1

 1 – ||

* Công thức lượng giác bản:

2

sin xcos x1 tan cotx x1

2

1

1 tan cos x   x

2

1

1 cot sin x   x sin tan cos x x x

 cot cos

sin x x

x 

2 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

1

cos cos [cos( ) cos( )]

1

sin sin [cos( ) cos( )]

1

sin cos [sin( ) sin( )]

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

   

   

   

cos cos cos cos

2

cos cos 2sin sin

2

sin sin 2sin cos

2

sin sin 2cos sin

2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b                

4.Công thức nhân đôi:

2 2

2

cos cos sin cos 1 2sin sin 2sin cos

2 tan

tan ( , , )

1 tan 2

a a a a a

a a a

a

a a k a k k

a                   Z

5 Công thức nhân ba:

3

sin 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

a a a

 

 

6 Công thức hạ bậc:

2

2

2

3

3

cos cos

2 cos sin

2 cos tan

7 Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

  

  

  

  

Ngồi ta có cơng thức sau với số điều kiện: tan tan

tan( ) (*)

1 tan tan tan tan

tan( ) (**)

1 tan tan

a b

a b

a b

a b

a b

a b

  

   



(*) có điều kiện: a k b, k a b, k

  

  

      

(**) có điều kiện: a k b, k a b, k

  

  

      

8 Công thức tính tana, cosa, sina theo tan2

a t

:

2 2

2

2 sin

1 cos

1

tan ,

1

t a

t t a

t t

a a k

t 

  



  



 

9 Công thức liên hệ góc bù nhau, phụ nhau, đối và góc  2



:

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

a a

a a

a a

 

     

   

9.2 Hai góc phụ nhau:

sin( ) cos

2

cos( ) sin

2

tan( ) cot

2

cot( ) tan

2

a a

a a

a a

a a

 

 

 

 









9.3 Hai góc đối nhau:

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot

a a

a a

a a

a a

 

 

 

 

9.4 Hai góc



:

sin( ) cos

2

cos( ) sin

2

tan( ) tan

2

cot( ) cot

2

a a

a a

a a

a a

 

 

 

 







9.5 Hai góc :

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

a a

a a

a a

 

 

 

 

   

9.6 Một số công thức đặc biệt:

sin cos sin( ) cos

4

sin cos sin( ) cos

4

cos sin cos

4

x x x x

x x x x

x x x

 

      

 

 

      

 

 

    

 

 

 



III Phương trình lượng giác:

1 Phương trình bản:

 

2 2

2

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

u v k

* u v

u v k

* u v u v k

* u v u v k u k

* u v u v k u k

   

  

    

    



 

       

 

      

2 Phương trình đẳng cấp sinx cosx: Các phương trình lượng giác

* asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x +d= 0 (1)

* a sin x b sin xcos x c sin xcos x d cos x m sin x ncos x3      0 (2)

* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x =

0 (3)

- Kiểm tra cosx=0 có nghiệm không?

- Với cosx ≠ 0, chia hai vế phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình cho

ph-ương trình với ẩn t=tanx ta dễ dàng giải phph-ương trình

3 Phương trình bậc sinx cosx:

* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ phương trình (1) có

nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ 0

Có ba cách giải loại phương trình :

Cách 1: Giả sử a ≠

(1) sin cos

b c

x x

a a

   

(2)

Cách 2: Đặt : tan b a

 

(2) sin tan cos c

x x

a

    

sin( ) cos

c x

a

 

  

Ta dễ dàng giải phương trình - Đặt :

tan2 x

t 

2

2

2

(1)

1

t t

a b c

t t



   

 

Giải phương trình bậc hai t, dễ dàng giải phương trình (1)

Cách 3: Do a2b2 0, chia hai vế phương trình cho

2

a b :

2 2 2

(1) a sinx b cosx c

a b a b a b

  

  

2 2

sin cos

a a b

b a b



 

 

  

 

 



2

(1) sin(x ) c

a b



  

 (đây phương trình bản). Chú ý : Ta ln có :

| sina x b sin |x  a2 b2

Dấu "=" xảy sin(x + a) = 4 Phương trình đối xứng sinx cosx:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c số)

Giải phương trình (1) cách đặt : sinx + cosx = t , | |t  Đưa (1) phương trình

bt22at (b2 ) 0c  Giải phương trình (2) với | |t 

5 Phương trình lượng giác sử dụng nhiều đến phép biến đổi lượng giác:

Đây dạng toán chủ yếu kì thi ĐH-CĐ, cách giải chủ yếu sử dụng phép biến đổi lượng giác thơng dụng để đưa phương trình dạng dạng phương trình tích mà thừa số phương trình để giải để giải

PHỤ LỤC

Một số gợi ý cụ thể cách học mơn tốn để chuẩn bị cho các kỳ thi TNPT tuyển sinh vào trường ĐH - Sau nghe giảng lớp cần đọc lại thực tập đơn giản để hiểu ghi nhớ cơng thức, tính chất cần thiết Khơng phải đọc hiểu mà phải chủ động làm tập áp dụng tới thành thục Lần học thứ hai làm tập khó hơn, cố gắng suy nghĩ để tìm cách giải nên đọc hướng dẫn làm hết cách không tự giải Lần học thứ ba để hệ thống lại làm bổ sung tập mà trước ta chưa giải

- Sau học xong chương (gồm nhiều bài), nên thu xếp thời để làm tập mang tính tổng hợp kiến thức toàn chương Đây hội tốt để tập luyện cách huy động kiến thức liên quan cần thiết để giải tập tương tự câu hỏi đề thi sau này, đồng thời dịp phát thiếu sót kiến thức sai lầm mà ta hay mắc phải Việc giải tập với luyện giải đề tốn tổng hợp có khác biệt lớn nên em cần phải tập luyện để tích lũy kinh nghiệm

- Cần đọc trước nghe giảng lớp Việc làm cần thiết nhờ ta biết số khái niệm, số định nghĩa đồng thời biết phần khó để tập trung ý, nhờ dễ dàng nắm vững nội dung giảng lớp

- Thi ĐH mơn tốn ngồi nội dung chủ yếu chương trình lớp 12 cịn có câu hỏi liên quan đến vấn đề học chương trình lớp 10, lớp 11 bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốn lượng giác Do thí sinh cần có kế hoạch ơn tập cách hệ thống kiến thức nêu

Cần ý vào sai lầm mà hay mắc phải, cần xem kỹ cơng thức mà ta nhớ khơng chắn Cần đảm bảo có sức khoẻ tốt trước dự thi Cần tập thức dậy sớm vào buổi sáng (tự thức dậy sảng khối có trạng thái tâm lý tốt bị gọi dậy)

Khi nhận đề thi cần đọc thật kỹ để phân định đâu câu hỏi quen thuộc dễ thực (ưu tiên giải trước), cịn câu hỏi khó giải sau Thứ tự câu hỏi giải theo khả giải thí sinh, khơng nên bị lệ thuộc vào thứ tự đề Có thể đánh giá câu hỏi dễ làm vào giấy thi làm thấy khó nên dứt khoát chuyển qua câu khác giải dễ dàng, sau cịn thời gian quay lại giải tiếp câu khó Trong thi khơng nên làm vội vã câu dễ (để có sai sót đáng tiếc) đừng sớm chịu thua câu khó Hãy tận dụng thời gian thi dò lại câu làm cách cẩn thận tập trung cao độ để tìm cách giải câu khó cịn lại

(TS Nguyễn Cam, khoa Toán - Tin ĐH Sư phạm TP.HCM)

Để làm thi ĐH đạt điểm cao Thực nguyên lý “3 Đ”

SGK Đúng thời gian: Có nhiều TS khơng biết phân bố thời gian, trình bày cẩn thận dẫn đến có câu giải xong giấy nháp hết thời gian để viết vào thi Cũng có nhiều TS làm nhanh khơng xem lại kỹ nên bị điểm đáng tiếc

Đủ câu hỏi: TS cần điều tiết thời gian để làm hết câu hỏi theo trình tự từ dễ đến khó, tránh tốn nhiều thời gian cho câu hỏi để khơng cịn suy nghĩ câu khác Trình bày đầy đủ: Do thang điểm chi tiết đến 0,25 nên có lập luận đầy đủ dễ đạt điểm tối đa

Tìm lời giải đẹp: Khi gặp toán, bạn cần ưu tiên cách giải để xử lý nhanh mà không nên loay hoay thời gian tìm cách giải đẹp Tuy nhiên số toán đẳng cấp lại cần đến lối giải thơng minh, ngắn gọn Trình bày đẹp: Mặc dù mơn Tốn yếu tố đẹp bị xem nhẹ nhiều so với yếu tố đúng, thi có nội dung tương tự trình bày đẹp dễ điểm cao từ 0,5 đến điểm