Phan loai cac bai tap vecto

( Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp ) Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đườn[r]

Chủ để Chứng minh đẳng thức Vectơ VD1. Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)

a) AB CD  ADCB b) AB CDACDB    

c) ADBECFAEBFCD      

VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Chứng minh : a) ANBP CM O

   

b) ANAMAP   

c) AMBNCPO    

VD3. (Hệ thức trung điểm) Cho hai điểm A, B

a) Cho M trung điểm A, B Chứng minh với điểm I ta có : IAIB2IM   

b) Với điểm N cho NA2NB

 

CMR với I : IA2IB3IN    c) Vơi điểm P cho PA3PB

 

CMR với I bất ki : IA 3IB2IP

  

d) Tổng quát tính chất

VD3. (Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC G trọng tâm tam giác a) Chứng minh AGBGCGO

   

Với I ta có : IAIBIC3IG    

b) M thuộc đoạn AG

1

MG GA

CMR : 2MAMBMCO    

Với I bki 2IAIBIC4IM    

c) Tổng quát tính chất

d) Cho hai tam giác ABC DEF có trọng tâm G G1 Chứng minh : + ADBECE3GG1

   

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có trọng tâm VD4. (Hệ thức hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O

a) CMR : AOBO CO DOO     

, Với I IAIBICID4IO     

b) M điểm thoả mãn:

VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N AB CD CMR : a) ADBC2MN

  

b) ACBD2MN   

c) Tìm vị trí điểm I cho IAIBICIDO     

d) Với M bất kì, CMR : MAMBMCMD4MI     

VD6. (Khái niệm trọng tâm hệ n điểm tâm tỉ cự hệ n điểm) Cho n điểm A A1, 2, ,An

a) Gọi G điểm thoả mãn GA1GA2 GAn O

   

CMR vơi bki M : MA1MA2 MAn nMG

   

b) Gọi I điểm thoả mãn n IA1 1n GA2 2 n GAn n O

   

CMR với M : n MA1 n MA2 2 n MAn n (n1  n MGn)

   

VD7

a) Cho lục giác ABCDEF CMR hai tam giác ACE BDF trọng tâm

b) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, EF, BC, DE, FA CMR hai tam giác MNP QRS trọng tâm

c) Cho hai tam giác ABC A’B’C’ điểm thuộc BC, CA, AB cho : A B' k A C B C' , ' k B A C A' , ' kC B'

     

k1 CMR hai tam giác ABC A’B’C’ trọng tâm. d) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N , P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA CMR hai tam giác ANP CMQ trọng tâm

VD8. (Một số đẳng thức trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp) Cho tam giác ABC, G, H, O, I trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp a) 3OGOA OB OC

   

b) OHOA OB OC    

c) 2HOHAHBHC    

d) aIAbIBcICO    

e) Tan HA TanBHBA  tanCHCO

   

f) Gọi M điểm nằm tam giác ABC CMR : SBCMIASACMIBSABMICO

   

VD9 (Nhấn mạnh toán mở rộng nhiều trường hợp) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN

a) CMR :

1

4

AK  AB AC

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

b) D trung điểm BC CMR :

1

4

KD AB AC

  

Chủ đề Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm

VD1. Cho tam giác ABC G trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M trung điểm BC Hãy biểu diễn véc tơ AM



, AG BC CB AB MB, , 1, 1,

    

qua hai véc tơ AB AC,  

VD2 Cho tam giác ABC, gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J thuộc BC kéo dài cho 5JB = 2JC

a) Tính AI AJ,  

theo hai véc tơ AB AC,  

Từ biểu diễn AB AC,  

theo AI AJ,  

(Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)

b) Gọi G trọng tâm tam giác Tính AG theo AI AJ,  

Chủ đề Chứng minh điểm thẳng hàng Phương pháp : A, B, C thẳng hàng AB k AC

  Lưu ý : ABm xny , ACkmxkny

     

ABk AC  

VD1 (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang VD phức tạp hơn) Cho tam giác ABC M, N trung điểm AB, AC

a) Gọi P, Q trung điểm MN BC CMR : A, P , Q thẳng hàng b) Gọi E, F thoả mãn :

1

ME MN

 

,

1

BF BC

 

CMR : A, E, F thẳng hàng VD2. Cho tam giác ABC, E trung điểm AB F thuộc thoả mãn AF = 2FC

a) Gọi M trung điểm BC I điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng

b) Lấy N thuộc BC cho BN = NC J thuộc EF cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng c) Lấy điểm K trung điểm EF Tìm P thuộc BC cho A, K, P thẳng hàng

VD3. Cho tam giác ABC M, N, P điểm thoả mãn : MB 3MCO   

, AN3NC  

, PBPAO   

CMR : M, N, P thẳng hàng (

1 1

,

2

MPCB CA MN CB CA

     

) VD4. Cho tam giác ABC L, M, N thoả mãn LB2LC,

 

2

MC MA

 

, NBNAO   

CM : L, M, N thẳng hàng

VD5 Cho tam giác ABC với G trọng tâm I, J thoả mãn : 2IA3ICO   

, 2JA5JB3JCO    

a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N trung điểm AB BC

b) CMR J trung điểm BI

c) Gọi E điểm thuộc AB thoả mãn AEk AB  

Xác định k để C, E, J thẳng hàng VD6. Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : IA2IB, 3JA2JC O=

    

CMR : Đường thẳng IJ qua G Chủ đề Xác định vị trí điểm thoả mãn đẳng thức Vectơ

Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định a) Nếu PBPAO

  

P trung điểm AB b) Nếu PBPAPCO

   

thị P trọng tâm tam giác ABC

c) Nếu P điểm thỗ mãn đẳng thức véc tơ khác có xác định vị trí P hay khơng ?

VD1(Cho hai điểm) Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IA2IBO   

NX : Với hai điểm A, B cho trước xác định điểm I thoả mãn : mIAnIBO   

Với điểm O ta có :

m n

OI OA OB

m n m n

 

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

VD2 (Bài toán điểm) Cho điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M cho : a) MB MC AB (Trung điểm AC) b) 2MAMBMCO

   

c) MA2MBMCO    

d) MAMB2MCO    

e) MAMB MCO    

f) MA2MB MCO    

NX : Mở rộng với n điểm

Chủ đề Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn đẳng thức véc tơ Một số quĩ tích :

a) MA MB

 

M nẵm đường trung trực AB b) MC k AB

 

, với A, B, C cố định M nẵm đường trịn tâm C bán kính k.AB c) AMk BC

 

với A, B, C cho trước

+ k > M nẵm nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC 

+ k<

+ k

Dạng (Bài tốn hai điểm)

VD1 Cho hai điểm A,B cố định Tìm quĩ tích điểm M cho : a) MAMB 2 AB

  

b) MAMB AB

  

c) MAMB 2MA

  

d) MAMB MA

  

e) 2MAMB MA MB

   

Dạng (Bài toán điểm)

VD2 Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M cho : a)

3

MAMBMC  MBMC

    

b) MAAC MA MB

   

c) MA2MBMC MB MC

    

d) 3MA2MB 2MC MB MC

    

VD3 Tìm quĩ tích điểm M cho : a) MAk MB k MCO

   

b) k MAMBk MC   

c) (1 k MA) MB k MCO

   

VD4 (Bài toán điểm)

VD5 (Bài toán tổng quát cho n điểm bất kì)

Chủ đề Một số toán khoảng cách

VD1 Cho hai điểm A, B đường thẳng d Tìm vị trí điểm M d cho độ dài véc tơ sau nhỏ ? a) MAMB

 

b) MA2MB

 

c) 3MA MB  

d) 3MA2MB

 

e) 2MA 3MB

 

VD2 Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm vị trí điểm M d cho độ dài véc tơ sau nhỏ a) MAMBMC

  

b) MA2MBMC

  

c) 3MAMBMC   

d) MA 2MBMC

  

VD3. Cho tứ giác ABCD đường thẳng d Tìm vị trí điểm M d cho độ dài véc tơ sau nhỏ a) MAMBMCMD

   

b) MA2MBMC2MD

   

c) 3MAMBMC MD    

d) MA 2MBMC MD

   

e) MAMBMC2AB

   

VD4 (Mở rộng toán cho n điểm)

ĐVĐ : Với I trung điểm AB : + MBMA2MI

  

+ Nếu M, I, N thẳng hàng : MNk MAk MB   

, hay nói cách khác Là đường thẳng MN qua điểm I cố định

Từ dẫn dắt vào tốn cách thay điểm I điểm

VD1 (Bài toán điểm) Cho hai điểm A B cố định Hai điểm M, N di động CMR đường thẳng MN qua điểm cố định :

a) MNMA2MB   

b) MNMA 2MB   

c) MNMA2MB   

d) MN3MA2MB   

VD2. (Bài toán điểm) Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng CMR đường thẳng MN qua điểm cố định (Xác định vị trí điểm cố định điểm N trường hợp)

a) MBMCMAMN    

b) 2MAMBMCMN    

c) MA2MBMCMN    

d) MAMB2MCMN    

e) MAMB MCMN    

f) MA2MB MCMN    

A B

I M