Neáu moät ñöôøng thaêûng caét hai caïnh cuûa moät tam giaùc vaø song song vôùi caïnh coøn laïi thì noù taïo thaønh moät tam giaùc môùi ñoàng daïng vôùi tam giaùc ñaõ choG. Neáu ba caï[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TON LP HC Kè II
Đại số:
A.
ph ơng trình
I ph ơng trình bậc ẩn: 1 Định nghóa:
Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax + b = , với a b hai số cho a 0 , Ví dụ : 2x – = (a = 2; b = - 1)
2.Cách giải phương trình bậc ẩn: Bước 1: Chuyển hạng tử tự vế phải Bước 2: Chia hai vế cho hệ số ẩn
( Chú y:ù Khi chuyển vế hạng tử phi i du s hng ú) II Ph ơng trình đ a v ph ơng trình bậc nhất:
Cách giải:
Bc : Quy ng mẫu khử mẫu hai vế(nếu có mẫu) Bước 2:Thực phép tính bỏ dấu ngoặc
Bước 3:Chuyển vế: Chuyển hạng tử chứa ẩn qua vế trái; hạng tử tự qua vế phải.( Chú y:ù Khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu số hạng đó)
Bước4: Thu gọn cách cộng trừ hạng tử đồng dạng Bước 5: Chia hai vế cho hệ số ẩn
Ví dụ: Giải phơng trình
x+2
2x+1 =
5
3 MÉu chung:
⇔3(x+2)−(2x+1)=5 2⇔6x+6−2x −1=10 ⇔6x+2x=10−6+1⇔8x=5⇔x=5
8 VËy nghiƯm cđa phơng trình x=5
BáI tËp lun tËp:
Bµi Giải phương trình a 3x-2 = 2x – b 2x+3 = 5x + c 5-2x =
d 10x + -5x = 4x +12
e 11x + 42 -2x = 100 -9x -22 f 2x –(3 -5x) = 4(x+3)
g x(x+2) = x(x+3) h 2(x-3)+5x(x-1) =5x2 Baøi 2: Giải phương trình
a/ 3x2+2−3x+1
6 =
3+2x c/
x+4
5 − x+4=
x
3−
x −2 b/ 4x5+3−6x −2
7 =
5x+4
3 +3 d/
5x+2 −
8x −1
3 =
4x+2 −5 Bài 3: Giải phương trình
1) 2x – (3 – 5x) = 4( x +3) 2) 3x -6+x = 9-x 3) 2t -3+5t = 4t+12 4) 3y -2 = 2y -3 5) 3-4x + 24 + 6x = x+27+3x
6) 5-(6-x) = 4(3-2x) 7) 5(2x-3)-4(5x-7) = 19-2(x+11) 8)
2
3
x x
9)
5
12
x x
10)
7 16
6
x x
(2)11)
3
6
5
x x
12)
3 2( 7)
5
6
x x
13)
3
16
2
x x
14)
1
3
x x
x
15)
2
13 x x x
III ph ¬ng trình tích cách giải:
phơng trình tích:
Phng trỡnh tớch: Cú dng: A(x).B(x)C(x).D(x) = Trong A(x).B(x)C(x).D(x) nhân t
Cách giải: A(x).B(x)C(x).D(x) =
( ) ( ) ( ) ( )
A x B x C x D x
VÝ dô: Giải phơng trình:
1
2 (2 1)(3 2)
2
3 x x x x x x
VËy: S={−1 2;
2 3}
bµi tËp lun tËp
Bµi Giải phương trình
1/ (2x+1)(x-1) = 2/ (x +
2 3
)(x-1
2) =
3/ (3x-1)(2x-3)(2x-3)(x+5) = 4/ 3x-15 = 2x(x-5) 5/ x2 – x = 6/ x2 – 2x =
7/ x2 – 3x = 8/ (x+1)(x+4) =(2-x)(x+2) Bµi Giải phương trình
1) (x+2)(x-3)= 2) (x - 5)(7 - x)= 3) (2x + 3)(-x + 7)= 4) (-10x +5)(2x - 8) =0 5) (x-1)(x+5)(-3x+8)= 6) (x-1)(3x+1)= 7) (x-1)(x+2)(x-3)= 8) (5x+3)(x2+4)(x-1)= 0
9) (4x-1)(x-3) = (x-3)(5x+2) 10) (x+3)(x-5)+(x+3)(3x-4)=0 11) (x+6)(3x-1) + x+6=0 12) (2x - 7)2 – 6(2x - 7)(x - 3) = 0 13) (x-2)(x+1)= x2 -4
V.ph ơng trình chứa ẩn mẫu:
Cách giải:
Bc :Phân tích mẫu thành nhân t Bc 2: Tỡm ĐKXĐ phương trình
Tìm ĐKXĐ phương trình :Là tìm tất giá trị làm cho mẫu khác ( tìm giá trị làm cho mẫu loại trừ giá trị đi)
Bước 3:Quy đồng mẫu khử mẫu hai vế Bước 4: Bỏ ngoặc
Bước 5: Chuyển vế (đổi dấu) Bươc 6: Thu gọn
(3)+ Sau thu gọn mà ta được: Phương trình bậc giải theo quy tắc giải phương trình bậc
+ Sau thu gọn mà ta được: Phương trình bậc hai ta chuyển tất cảù hạng tử qua vế trái; phân tích đa thức vế trái thành nhân tử giải theo quy tắc giải phương trình tích
Bước 7: Đối chiếu ĐKXĐ để trả lời
VÝ dụ: / Giải phơngh trình: x2+1x 11=x231
Gi¶i:
2
x+1−
x −1=
x2−1 ⇔
x+1−
x −1=
3
(x −1)(x+1) (1)
§KX§:
¿
x −1≠0⇔x ≠1
x+1≠0⇔x ≠ −1 ¿{
MC: (x+1)(x 1)
Phơng trình (1) 2(x1) 1( x1) 3 2x 2 x 3
x=8 (tmđk) Vây nghiệm phơng trình x =
/ Giải phơngh trình: x −x2−x2+x2=x25 −4
Gi¶i :
x x −2−
2x x+2=
5
x2−4⇔ x x −2−
2x x+2=
5
(x −2)(x+2) (2)
§KX§:
¿
x −2≠0⇔x ≠2
x+2≠0⇔x ≠−2 ¿{
MC: (x+2)(x 2)
Phơng trình (2) x x( 2) ( x x 2) 5 ¿⇔
x2+2x −2x2
+4x=5⇔− x2+6x −5=0 ⇔(x −1)(x −5)=0
⇔
¿x −1=0⇔x=1(tm) ¿x −5=0⇔x=5(tm) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x =1; x =
tập luyện tập
Bài 1: Giải phơng trình sau:
a)
7 3
x x
b)
2(3 )
1 x x c) 3 2 x x x
d)
8 7 x x x
Bài 2: Giải phơng trình sau:
a)
5 20
5 25
x x
x x x
b)
x −1+
x+1=
x x2−1
c)
2 2( 3) 2( 1) ( 1)( 3)
x x x
x x x x d) 5+
76
x2−16= 2x −1
x+4 − 3x −1
4− x
(4)1.Phương pháp: Bước1: Chọn ẩn số:
+ Đọc thật kĩ tốn để tìm đại lượng, đối tượng tham gia toán
+ Tìm giá trị đại lượng biết chưa biết
+ Tìm mối quan hệä giá trị chưa biết đại lượng
+ Chọn giá trị chưa biết làm ẩn (thường giá trị tốn u cầu tìm) làm ẩn số ;
đặt điều kiện cho ẩn Bước2: Lập phương trình
+ Thơng qua mối quan hệ nêu để biểu diễn đại lượng chưa biết khác qua ẩn
Bước3: Giải phương trình
Giải phương trình , chọn nghiệm kết luận bµi tËp lun tËp
Bài 1 Hai thư viện có thảy 20000 sách Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai 2000 sách số sách hai thư viện nhau .Tính số sách lúc đầu thư viện
Lúc đầu Lúc chuyển
Thư viện I x X - 2000
Thư viện II 20000 -x 20000 – x + 2000
§S: số số sách lúc đầu thư viện thứ 12000 số sách lúc đầu thư viện thứ hai la ø8000
Bài : Số lúa kho thứ gấp đôi số lúa kho thứ hai Nếu bớt kho thứ 750 tạ thêm vào kho thứ hai 350 tạ số lúa hai kho Tính xem lúc đầu kho có lúa
Lúa Lúc đầu Lúc thêm , bớt
Kho I Kho II
§S: Lúc đầu Kho I có 2200 tạ Kho II có : 1100tạ
Bài 3 : Mẫu số phân số lớn tử số Nếu tăng tử mà mẫu thêm đơn vị phân số phân số
2
3.Tìm phân số ban đầu
Lúc đầu Lúc tăng
tử số mẫu số Phương trình :
5 10
x x
Phân số 5/10
Bi : Năm , tuổi bố gấp lần tuổi Hồng Nếu năm tuổi bố gấp lần tuổi Hoàng ,Hỏi năm Hoàng tuổi ?
Naêm naêm sau
(5)Tuổi Hồng Tuổi Bố
Phương trình :4x+5 = 3(x+5)
Bài 5: Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km / h.Lucù người với vận tốc 12km / HS nên thời gian lâu thời gian 45 phút Tính quảng đường AB ?
S(km) V(km/h) t (h)
Đi Về
§S: AB daøi 45 km
Bài : Lúc sáng , xe máy khởi hành từ A để đến B Sau , ơtơ xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hớn vận tốc trung bình xe máy 20km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9h30’ sáng nàgy Tính độ dài quảng đường AB vận tốc trung bình xe máy
S V t(h)
Xe maùy 3,5x x 3,5
tô 2,5(x+20) x+20 2,5
Vận tốc xe máy 50(km/h)
Vận tốc ôtô 50 + 20 = 70 (km/h)
Bài 7 : Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ bến B bến A Tính khoảng cách hai bến A B , biết vận tốc dịng nước 2km / h
Ca nô S(km) V (km/h) t(h)
Nớc yên lặng x
Xi dịng Ngược dịng
Phương trình :6(x+2) = 7(x-2)
Bài 8:Một số tự nhiên có hai chữ số Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số xen vào hai chữ số số lớn số ban đầu 370 Tìm số ban đầu
Số ban đầu 48
Bài 9:Một tổ sản xuất theo kế hoạch ngày phải sản suất 50 sản phẩm Khi thực , ngày tổ sản xuất 57 sản phẩm Do tổ hồn thành trước kế hoạch ngày vượt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch , tổ phải sản xuất sản phẩm ?
Năng suất ngày
(6)Kế hoạch x Thực
Phương trình : 50
x
-13 57
x
=
Bài 10: Một bác thợ theo kế hoạch ngày làm 10 sản phẩm Do cải tiến kỹ thuật ngày bác làm 14 sản phẩm Vì bác hồn thành kế hoạch trước ngày vượt mức dự định 12 sản phẩm Tính số sản phẩm bác thợ phải làm theo kế hoạch ?
Năng suất ngày ( sản phẩm /ngày )
Số ngày (ngày) Số sản phẩm (sản phẩm )
Kế hoạch x
Thc hin
D.Bất ph ơng trình
Bt phương trình dạng ax + b < (hoặc ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0) với a b hai số cho a 0 , gọi làbất phương trình bậc ẩn
Ví dụ : 2x – > 0; 5x – 0 ; 3x + < 0; 2x –
V/ B t phấ ươ ng trình b c nhậ t mấ ộ t n ẩ
Phương pháp: Khi giải BPT ta ý kiến thức sau:
- Khi chuyển hạng tử BPT từ vế sang vế ta phải đổi d ấ u hạng tử đó
- Nhân vế BPT cho số d ươ ng chiều BPT khơng thay đổi
- Nhân vế BPT cho số âm đổi chiều BPT BÀI TẬP
Bài 1: Cho m< n chứng tỏ:
a) 2m+1< 2n+1 b) 4(m-2) < 4(n-2)c) 3-6m > 3-6n d) 4m+1< 4n+5
Bài 2: Giải BPT sau theo qui tắc chuyển vế
a) x + > -3 b) x – < c) x + 17 < 10 d) x – 15 >
e) )5x < 4x + f) 4x + < 3x + g) -3x > -4x +
Bài 3: Giải BPT sau theo qui tắc nhân
a) 5x < 15 b) -6x > -18 c> 0.5x > -2 d) -0.8 x < 32 e)
3
4x f)
4 5x
Bài 4: Giải BPT biểu diễn tập nghiệm trục số:
a) 3x – < b) 5x+ 15 > c) -4x +1 > 17 d) -5x + 10 <
Bài 5: Giải BPT:
a)
2 3
3
x x x x
b)
3
5
2
x x
x x
c)
7 2
2
3
x x
x
d) 2x - x(3x+1) < 15 – 3x(x+2) e) 4(x-3)2 –(2x-1)2 12x f) 5(x-1)-x(7-x) < x2
(7)bµi tËp lun tËp
Bµi 1: Giải bất phương trình
a/ 2x+2 > b/ 3x +2 > -5 c/ 10- 2x > d/ 1- 2x <
Bµi 2: Giải bất phương trình
a/ 10x + – 5x 14x +12 b/ (3x-1)< 2x + c/ 4x – 3(2x-1) – 2x + d/ x2 – x(x+2) > 3x – e/ 3−52x>2− x
3 e/
x −2 −
x −1 ≤
x
2
E.ph ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cần nhớ : Khi a a a Khi a < a a
bµi tËp luyện tập
Bi
1: Giái phơng trình:
a/ |x −2|=3 b/ |x+1|=|2x+3|
Bài
: Giải pt sau:
a) |3x| = x+7 b) |-4x| = -2x + 11 c) |3-2x| = 3x -7
d) |3x| - x - = e) – |-5x| +2x = f) |4 – x| +x2 – (5+x)x = 0 g) |x-9| = 2x+5 h) |6-x| = 2x -3 i) l3x-1| = 4x +
-HÌNH HỌC
1.
Định lí TaLet tam giác : Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
C' B'
A
B C
2.
Định lí đảo định lí TaLet :Nếu đường thăûng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đạon thẳng tương ứng tỉ lệ đường thăûng song song với cạnh lại
C' B'
C B
A
3.Hệ định lí TaLet : Nếu đường thăûng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương
ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho
ABC, B’C’ //BC GT B’ AB
KL;;
ABC ; B’ AB;C’ AC GT
KL B’C’ //BC
GT ABC : B’C’ // BC; (B’ AB ; C’ AC)
K L
' ' ' '
AB AC B C
(8)4.
Tính chất đường phân giác tam giác :Trong tam giác , đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với cạnh kề hai đoạn
GT ABC,ADlàphângiáccủaBAC KL DCDB ABAC
5.
Các cách chứng minh hai tam giác đồng dạng :
Nếu đường thăûng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho
Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng (cạnh – cạnh – cạnh)
Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với cạnh tam giác hai góc tạo ï cặp cạnh , hai tam giác đồng dạng (cạnh – góc – cạnh)
Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với (góc – góc)
6.
Các cách chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng :
Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng kia(g-g) Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng (Cạnh - góc - cạnh)
7.Tỷ số đường cao , tỷ số diện tích hai tam giác đồng dạng :
Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỷ số đồng dạng ' ' ' '
A H A B k
AH AB
Tỷ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỷ số đồng dạng ' ' '
A B C ABC
S
S = k2
8 Cơng thức tính thể tích , diện tích xung quanh , diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật , hình lập phương , hình lăng trụ đứng
Hình Diện tích xung
quanh
Diện tích tồn phần Thể tích
Lăng trụ đứng
Sxq = 2p.h
p:nửa chu vi đáy h:chiều cao
Stp = Sxung quanh + 2Sđáy V = S.h
S: diện tích đáy h : chiều cao
3
A
B C
D
H'
H B' C'
A'
C B
(9)G
Hình có mặt bên hình chử nhật, đáy đa giác
Lăng trụ đều: Lăng trụ đứng có đáy đa giác
Hình hộp chữ nhật
Hình có mặt hình chử nhật
Sxq = 2(a+b)c a,b: hai cạnh đáy c: chiều cao
Stp = 2(ab+ac+bc) V = a.b.c
Hình lập phương
Hình hộp chử nhật có ba kích thước
nhau(các mặt bên hình vng)
Sxq = 4a2
a: cạnh
Stp = 6.a2 V= a3
Hình chóp
Là hình chóp có đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân có chung đỉnh
Sxq = p.d
p : nửa chu vi đáy
d: chieàu cao mặt bên (trung đoạn)
Stp = Sxq + Sñ
V =
1 3S.h
S: diện tích đáy h : chiều cao
Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có AB = cm, AC = cm, BC= cm A’B’
= 8mm, B’C’= 10 mm, C’A’= 12mm
a) Tam giác A’B’C’ có đồng dạng với tam giác ABC khơng? Vì sao? b) Tính tỉ số chu vi hai tam giác
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = 16 cm Gọi D E hai điểm
trên cạnh AB, AC cho BD = cm, CE= 13 cm chứng minh: a) AEB~ADC
b) AED ABC
c) AE.AC = AD AB
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH
(10)a) AH2 = HB HC
b) Biết BH = 9cm, HC = 16 cm Tính cạnh tam giác ABC
Bài 4: Cho tam giác ABC, phân giác AD Gọi E F hình chiếu B C
lên AD
a) Chứng minh ABE~ACF BDE; ~CDF b) Chứng minh AE.DF = AF.DE
Bài 5: Tam giác ABC vuông A (AC > AB) AH đường cao Từ trung điểm I
cạnh AC ta vẽ ID vng góc với cạnh huyền BC Biết AB= 3cm, AC = cm a) Tính độ dài cạnh BC
b) Chứng minh tam giác IDC đồng dạng tam giác BHA
Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm , BC = 6cm Vẽ đường cao AH ADB a) Tính DB
b) Chứng minh ADH ~ADB c) Chứng minh AD2= DH.DB d) Chứng minh AHB BCD e) Tính độ dài đoạn thẳng DH , AH
Bài : Cho ABC vng A , có AB = 6cm , AC = 8cm Vẽ đường cao AH a) Tính BC
b) Chứng minh ABC AHB
c) Chứng minh AB2 = BH.BC Tính BH , HC
d) Vẽ phân giác AD góc A ( D BC) Tính DB
Bài : Cho hình cân ABCD có AB // DC AB< DC , đường chéo BD vng góc với cạnh bên BC Vẽ đường cao BH , AK
a) Chứng minh BDC HBC b) Chứng minh BC2 = HC DC c) Chứng minh AKD BHC
d) Cho BC = 15cm , DC = 25 cm Tính HC , HD e) Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 9: Cho ABC , đường cao BD , CE cắt H Đường vng góc với AB B đường vng góc với AC C cắt K Gọi M trung điểm BC
a) Chứng minh ADB AEC b) Chứng minh HE.HC = HD.HB c) Chứng minh HS , K , M thẳng hàng
d) ABC phải có điều kiện tứ giác BHCK hình thoi ? Hình chữ nhật ? Bài 10 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Vẽ đường cao BH , CK , AI
a) Chứng minh BK = CH
b) Chứng minh HC.AC = IC.BC c) Chứng minh KH //BC
(11)d) Cho biết BC = a , AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a b Bài 11 : Cho hình thang vng ABCD (A D 900) có AC cắt BD O
a) Chứng minh OAB OCD, từ suy
DO CO
DB CA
b) Chứng minh AC2 – BD2 = DC2 – AB2
Bài 12 : Hình hộp chữ nhật có kích thước 3 2 cm ; 4 2 cm ; 5cm Tính thể tích hình hộp chữ nhật
Bài 13 : Một hình lập phương tích 125cm3 Tính diện tích đáy hình lập phương
Bài 14 : Biết diện tích tồn phần hình lập phương 216cm3 Tính thể tích hình lập phương
Bài 15 :a/Một lăng trụ đứng có đáy tam giác vng , cạnh góc vng của tam giác vng cm , 4cm Chiều cao hình lặng trụ 9cm Tính thể tích diện tích xung quanh, diện tích tồn phần lăng trụ
b/Một lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật có kích thước 3cm , 4cm Chiều cao lăng trụ 5cm Tính diện tích xung quanh lăng trụ
Bài 16 : Thể tích hình chóp 126cm3 , chiều cao hình chóp 6cm Tính diện tích đáy
-