Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE.... D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A.[r]
(1)Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương) Năm học 2002 – 2003
(150 phút)
Bài (3đ):
Cho biểu thức:
A =
2
2 2
4
x x x x
x x
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tìm số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị số nguyên
Bài (3đ):
1, Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình:
x2 – (2m – 3)x + – m = 0
Tìm giá trị m để: x12 + x22 + 3x1 x2 (x1 + x2) đạt giá trị lớn
2, Cho a, b số hữu tỉ thoả mãn: a2003 + b2003 = a2003 b2003
Chứng minh phương trình x2 + 2x + ab = có hai nghiệm hữu tỉ
Bài (3đ):
1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o Tính tỉ số
BC AB
2, Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA, OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, Phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn C
Tính góc ACD
Bài (1đ):
Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
a b a c b c
(2)Trường THPT khiếu Trần Phú (Hải Phòng) Năm học
(150 phút)
Bài (2đ):
Cho biểu thức: P(x) =
2
2
3
x x
x x
1, Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2, Chứng minh x > P(x) P(- x) <
Bài (2đ):
1, Cho phương trình:
2 2(2 1) 3 6
0 (*)
x m x m m
x
a, Giải phương trình m =
2
b, Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1, x2 thoả
mãn: x1 + 2x2 = 16
2, Giải phương trình:
2 1
2
1 2
x
x x
Bài (2đ):
1, Cho x, y hai số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1
Chứng minh rằng:
5
x y
2, Cho phân số: A =
2 4 n n
Hỏi có số tự nhiên thoả mãn ≤ n ≤ 2004 cho A phân số chưa tối giản ?
Bài (3đ):
Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P
của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) A, tiếp xúc với (O2) B Tiếp tuyến (O1) P
cắt (O2) điểm thứ hai D khác P Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD R Chứng
minh rằng:
1, Bốn điểm A, B, Q, R thuộc đường tròn 2, ∆BPR cân
3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB RB
(3)(4)Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM) Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
Bài 1:
Cho phương trình: x2 + px + = có hai nghiệm phân biệt a
1, a2 phương trình:
x + qx + = có hai nghiệm phân biệt b1, b2
Chứng minh:
2
1 ( 1)( 1 2)
a b a b a b b b q p
Bài 2:
Cho số a, b, c, x, y, z thoả mãn:
0
x by cz y ax cz
z ax by
x y z
Chứng minh:
1 1
2 1a 1b 1c
Bài 3:
1, Tìm x, y thoả mãn:
5x2 + 5y2 + 8xy + 2x – 2y + = 0
2, Cho số x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = 1
Chứng minh:
2 2
2 2
1 1
x y z
x y z
Bài 4:
(5)Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
Bài 1:
1, Giải phương trình:
5
5
2
x x
x x
2, Chứng minh tồn số nguyên x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2005
Bài 2:
Cho hệ phương trình:
2
( 1) ( 1)
x xy a y
y xy a x
1, Giải hệ a = -
2, Tìm giá trị a để hệ có nghiệm
Bài 3:
1, Cho x, y, z R thoả mãn:
x2 + y2 + z2 = 1
Tìm giá trị nhỏ của: A = 2xy + yz + zx
2, Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0
Bài 4:
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I, K, H hình chiếu D đường thẳng BC, AB, AC Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) N (N ≠ D); AN cắt BC M Chứng minh:
1, ∆DKI đồng dạng với ∆BAM 2,
BC AB AC
(6)Trường THPT Chun Lê Q Đơn (Bình Định) Năm học 2005 – 2006
(150 phút)
Bài (1đ):
Tính giá trị biểu thức: A =
1
1
a b với
1
;
2 3
a b
Bài (1,5đ):
Giải phương trình: x2 4x4 x 8
Bài (3đ):
Cho hàm số: y = x2 có đồ thị ( P ) Hai điểm A, B thuộc ( P ) có hồnh độ lần lượt
là: -
1, Viết phương trình đường thẳng AB
2, Vẽ đồ thị (P) tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho ∆MAB có diện tích lớn
Bài (3,5đ):
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Phân giác góc A cắt đường trịn (O) M Kẻ đường cao AK ∆ABC Chứng minh:
1, Đường thẳng OM qua trung điểm N BC 2, KAM MAO
3, AH = 2NO
Bài (1đ):
(7)Trường THPT Chun Thái Bình Mơn toán – toán tin năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài (3đ):
1, Giải phương trình:
1
x x x
2, Trong hệ trục toạ độ Oxy tìm đường thẳng y = 2x + điểm M(x; y) thoả mãn điều kiện:
2 5 6 0
y y x x
Bài (2,5đ):
1, Cho phương trình:
(m + 1)x2 – (m – 1)x + m + = (m tham số)
Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm số nguyên 2, Cho ba số x, y, z
Đặt a = x + y + z; b = xy + yz + zx; c = xyz Chứng minh phương trình sau có nghiệm:
t2 + 2at + 3b = 0; at2 – 2bt + 3c = 0
Bài (3đ):
Cho ∆ABC
1, Gọi M trung điểm AC Biết BM = AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, E điểm đối xứng M qua C
Chứng minh: DM BE
2, Lấy điểm O nằm ∆ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB theo thứ tự điểm D, E, F Chứng minh:
a,
OD OE OF
AD BE CF
b, 1 64
AD BE CF
OD OE OF
Bài (0,75đ):
Cho đa thức:
P(x) = x3 + ax2 + bx + c
Q(x) = x2 + x + 2005
Biết phương trình P(x) = có nghiệm phân biệt, cịn phương trình P(Q(x)) = vô nghiệm
Chứng minh: P(2005) >
1 64
Bài (0,75đ):
(8)Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương) Năm học
(150 phút)
Bài (3đ):
Giải phương trình:
1, x2 2x x2 3x2 27
2,
1 1
( 2) ( 1) 20
x x x
Bài (1đ):
Cho ba số a, b, c R+ thoả mãn: ab > c a3 + b3 = c3 +
Chứng minh rằng: a + b > c +
Bài (2đ):
Cho a, b, c, x, y số thực thoả mãn đẳng thức sau:
3 3
5 5
a x y
b x y
c x y
Tìm đẳng thức liên hệ a, b, c không phụ thuộc vào x, y
Bài (1,5đ):
Cho phương trình:
(n + 1)x2 + 2x – n(n + 2)(n + 3) = (*)
Chứng minh (*) có nghiệm số hữu tỉ với số nguyên m
Bài (2,5đ):
Cho đường tròn (O) dây AB không qua O M điểm đường tròn cho ∆AMB nhọn Đường phân giác góc MAB góc MBA cắt đường trịn (O) P Q Gọi I giao điểm AP BQ Chứng minh rằng:
1, MI PQ