Đề thi tuyển sinh ĐH năm 2005 môn Toán

Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 1 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 1 KHỐI A Câu I: (2 ñ) Gọi (C m ) là ñồ thị của hàm số : y = 2 2 2 1 3x mx m x m + + − − (*) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1. 2. Tìm m ñể hàm số (*) có hai ñiểm cực trị nằm về hai phía trục tung. Câu II : ( 2 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình : 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y  + + + =  + + + + =  2. Tìm nghiệm trên khoảng (0; π ) của phương trình : 2 2 3 4sin 3 cos 2 1 2cos ( ) 2 4 x x x π − = + − . Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC cân tại ñỉnh A có trọng tâm G 4 1 ( ; ) 3 3 , phươ ng trình ñườ ng th ẳ ng BC là 2 4 0x y− − = và ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng BG là 7 4 8 0x y− − = . Tìm t ọ a ñộ các ñỉ nh A, B, C. 2. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a ñộ Oxyz cho 3 ñ i ể m A(1;1;0), B(0; 2; 0), PC(0; 0; 2) . a) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng (P) qua g ố c t ọ a ñộ O và vuông góc v ớ i BC.Tìm t ọ a ñộ giao ñ i ể m c ủ a AC v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P). b) Ch ứ ng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u ng ọ ai ti ế p t ứ di ệ n OABC. Câu IV: ( 2 ñiểm) 1. Tính tích phân: I 3 2 0 sin .tan dx x x π = ∫ . 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. Câu V: (1 ñiểm) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ . Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 2 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI A Câu I: (2 ñiểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số 2 1 1 x x y x + + = + . 2. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với ñồ thị ( C ) . Câu II :( 2 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình : 2 1 1 3 2 4 x y x y x y  + + − + =   + =   2. Giải phương trình : 3 2 2 cos ( ) 3cos sin 0 4 x x x π − − − = . Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): x 2 + y 2 12 4 36 0x y− − + = . Viết phương trình ñường tròn (C 1 ) tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy ñồng thời tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C). 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcac vuông góc Oxyz cho 3 ñiểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 ñiểm O, B, C, S. b) Tìm tọa ñộ ñiểm A 1 ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng SC. Câu IV : ( 2 ñiểm) 1. Tính tích phân: I 7 3 0 2 d 1 x x x + = + ∫ . 2. Tìm hệ số của x 7 trong khai triển ña thức 2 (2 3 ) n x− , trong ñó n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . n n n n n C C C C + + + + + + + + + = 1024. ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Câu V : (1 ñiểm) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có : 2 9 (1 )(1 )(1 ) 256 y x x y + + + ≥ . ðẳng thức xảy ra khi nào? Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 3 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 1 KHỐI B Câu I: (2 ñiểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số 4 2 6 5y x x= − + . 2. Tìm m ñể phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : 4 2 2 6 log 0x x m− − = . Câu II : (2 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình : 2 1 1 3 2 4 x y x y x y  + + − + =   + =   2. Giải phương trình : 3 2 2 cos ( ) 3cos sin 0 4 x x x π − − − = . Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip (E) : 2 2 64 9 x y + = 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của (E) biết d cắt hai hai trục tọa ñộ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AO = 2BO. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng 1 x y z : 1 1 2 d = = và 2 1 2 : 1 x t d y t z t = − −   =   = +  ( t là tham số ). a) Xét vị trí tương ñối của d 1 và d 2 . b) Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc d 1 và N thuộc d 2 sao cho ñường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : 0x y z− + = và ñộ dài ñọan MN bằng 2 . Câu IV : ( 2 ñiểm) 1. Tính tích phân: I = 2 0 ln d e x x x ∫ . 2. M ột ñộ văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm ñồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm ñó phải có ít nhất 3 nữ. Câu V : (1 ñiểm) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = 3 4 . Chứ ng minh r ằ ng : 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . Khi nào ñẳ ng th ứ c x ả y ra ? Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 4 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI B Câu I: (2 ñiểm) Cho hàm số : y = 2 2 2 1 x x x + + + (*) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số (*) . 2. Gọi I là giao ñiểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) ñi qua ñiểm I . Câu II :( 2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình : 2 8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤ . 2. Giải phương trình : 2 2 cos 2 1 tan( ) 3 tan 2 cos x x x x π − + − = . Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a ñộ Oxy cho hai ñườ ng tròn : (C 1 ): x 2 + y 2 9= và (C 2 ): x 2 + y 2 2 2 23 0x y− − − = . Vi ế t ph ươ ng trình tr ụ c ñẳ ng ph ươ ng d c ủ a hai ñườ ng tròn (C 1 ) và (C 2 ). Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u K thu ộ c d thì kh ỏ ang cách t ừ K ñế n tâm c ủ a (C 1 ) nh ỏ h ơ n kh ỏ ang cách t ừ K ñế n tâm c ủ a ( C 2 ). 2. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a ñộ Oxyz cho ñ i ể m M(5;2; - 3) và m ặ t ph ẳ ng (P) có ph ươ ng trình 2 2 1 0x y z+ − + = . a) G ọ i M 1 là hình chi ế u c ủ a M lên m ặ t ph ẳ ng ( P ). Xác ñị nh t ọ a ñộ ñ i ể m M 1 và tính ñộ dài ñọ an MM 1 . b) Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t ph ẳ ng ( Q ) ñ i qua M và ch ứ a ñườ ng th ẳ ng x-1 y-1 z-5 : 2 1 -6 = = Câu IV: ( 2 ñiểm) 1 . Tính tích phân: I = 4 sin 0 (tan cos ) d x x e x x π + ∫ . 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ? Câu V: (1 ñiểm) Chứng minh rằng nếu 0 1y x≤ ≤ ≤ thì: 1 4 x y y x− ≤ . ðẳng thức xảy ra khi nào? Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 5 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 1 KHỐI D Câu I: (2 ñiểm) Gọi (C m ) là ñồ thị của hàm số y= – x 3 + ( 2m + 1) x 2 – m – 1 (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m ñể ñồ thị (C m ) tiếp xúc với ñường thẳng y = 2mx – m – 1. Câu II :( 2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình : 2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ − 2. Giải phương trình : 3 sin tan( ) 2 2 1 cos x x x π − + = + Câu III: (3 ñiểm) 1. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a ñộ Oxy cho ñườ ng tròn (C): x 2 + y 2 4 6 12 0x y− − − = . Tìm t ọ a ñộ ñ i ể m M thu ộ c ñườ ng th ẳ ng d : 2 3 0x y− + = sao cho MI = 2R , trong ñ ó I là tâm và R là bán kính c ủ a ñườ ng tròn (C). 2. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a ñộ Oxyz cho l ă ng tr ụ ñứ ng OAB.O 1 A 1 B 1 v ớ i A(2;0;0), B(0; 4; 0), O 1 (0; 0; 4) a) Tìm t ọ a ñộ các ñ i ể m A 1 , B 1 . Vi ế t ph ươ ng trình m ặ t c ầ u qua 4 ñ i ể m O, A, B, O 1 . b) G ọ i M là trung ñ i ể m c ủ a AB.M ặ t ph ẳ ng ( P ) qua M vuông góc v ớ i O 1 A và c ắ t OA, OA 1 l ầ n l ượ t t ạ i N, K . Tính ñộ dài ñ o ạ n KN. Câu IV: ( 2 ñiểm) 1 . Tính tích phân I 3 2 1 ln d ln 1 e x x x x = + ∫ . 2. Tìm k { } 0;1;2; .;2005∈ sao cho 2005 k C ñạt giá trị lớn nhất. ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Câu V: (1 ñiểm) Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm: 2 1 2 1 2 7 7 2005 2005 ( 2) 2 3 0 x x x x x m x m + + + +  − + ≤   − + + + ≥   . Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thiệu 6 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI D Câu I: (2 ñiểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số 2 3 3 1 x x y x + + = + . 2. Tìm m ñể phương trình 2 3 3 1 x x m x + + = + có 4 nghi ệm phân biệt . Câu II:( 2 ñiểm) 1. Giải bất phương trình : 2 2 2 2 1 9 2 3 3 x x x x − −   − ≤     . 2. Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x+ + − − = . Câu III : (3 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho 2 ñiểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình ñường tròn ñi qua hai ñiểm A, B và có bán kính R = 10 . 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D 1 (0; 2; 2) a) Xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm còn lại của hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Gọi M là trung ñiểm của BC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB 1 D 1 ) và ( AMB 1 ) vuông góc với nhau. b) Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ ñiểm N thuộc ñường thẳng AC 1 ( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng ( AB 1 D 1 ) và ( AMB 1 ) không phụ thuộc vào vị trí của ñiểm N. Câu IV : ( 2 ñiểm) 1. Tính tích phân: I 2 2 0 ( 2 1) cos dx x x π = − ∫ . 2. Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn ñẳng thức : 2 2 2 6 12 n n n n P A P A+ − = . ( P n là số hoán vị của n phần tử và k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử) Câu V : (1 ñiểm) Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + . . Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thi u 1 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 1 KHỐI A Câu. + ≥ . Nguyễn Quỳnh GV Toán THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ sưu tầm & giới thi u 2 ðỀ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC MÔN TOÁN N ĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI A Câu