Giả sử S không có hai tập con rời nhau mà tổng của các phần tử trong hai tập con đó bằng nhau... LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ OLYMPIC 30 THÁNG LỚP 10 NĂM 2021 MƠN TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Bài (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2
3 2 2 2 2
3
2
x y x y
x x y y x y x y
b) Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:
2 2
2
a b c a b c ab bc ca
Bài (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn nội tiếp
I tiếp xúc với cạnh AB BC CA, , D E F, , GọiP chân đường vng góc hạ từ D xuống EF, Mlà trung điểm PD H trực tâm tam giác IBC a) Chứng minh ba điểm H D I, , thẳng hàng
b) Chứng minh đường thẳng EF AI HM, , đồng quy Bài (3,0 điểm)
Tồn hay khơng số ngun tố p có dạng 3n2 thỏa mãn m23 chia hết cho p? Bài (3,0 điểm)
Tìm tất hàm số f : thỏa mãn:
( )
1
f x f y yf xy với ,x y Bài (5,0 điểm)
Gọi S tập hợp gồm số dương nhỏ 15 Giả sử S khơng có hai tập rời mà tổng phần tử hai tập
a) Chứng minh S có nhiều phần tử
b) Tìm giá trị lớn tổng phần tử
S
.
(2)LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài
a) Giải hệ phương trình:
2
3 2 2 2 2
3
2
x y x y
x x y y x y x y
b) Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:
2 2
2
a b c a b c ab bc ca
Lời giải a) Điều kiện: x x
y
0Ta có
2 2 2
3
2
2
x x y x y x xy y x xy
2
2 22
2
y x y x y
y x y
Suy 2x x
y
3 y 2
x2y2
2x22xy2y2 3
x2y2
Dấu xảy
2 22
x x y x y
y x y x y
x y
Thay x y vào phương trình ban đầu ta được:
2 2 2
2
2
2
3 1
1
1 2
1
x x x x x x x x x
x x
x x x x x
x
Từ ta x y2
Vậy hệ phương trình có nghiệm
x y;
2 2; 2
b) Với x y z, , 0 ta có: x2y2z22xyz 1 2
xyyzzx
Theo ngun lí Dirichle số dương x y z, , có hai số phía với
Khơng tính tổng qt giả sử
x1
y1
0xy 1 x y2xyz2zx2yz2 z Khi ta có: 2 2 22 2
(3)Mà x2y2 2xy nên x2y2 z22yz2zx2z 1 2
xyyzzx
z1
2 2
xyyzzx
Từ suy ra: x2y2z22xyz 1 2
xyyzzx
Đẳng thức xảy xyz1 Quay trở lại toán kết hợp với abc1, ta có:
2 2 2
2 2
a b c a b c a b c abc a b c abc ab bc ca a b c
Do cần chứng minh: a b c 3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
3
a b c abc
Suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ab c Bài
Cho tam giác nhọn ABC Đường tròn nội tiếp
I tiếp xúc với cạnh AB BC CA, , D E F, , GọiP chân đường vuông góc hạ từ D xuống EF, Mlà trung điểm PD H trực tâm tam giác IBC a) Chứng minh ba điểm H D I, , thẳng hàng
b) Chứng minh đường thẳng EF AI HM, , đồng quy Lời giải
a) Gọi CIEFS Ta có 1
2
SIB ACBABC 900 1 1
2
AFE BAC ABCACB
Suy tứ giác BISF nội tiếp BSIBFI 900BSCI Mà BH CIB S H, , thẳng hàng
S
T J K
M H
I P F
E
D
C B
(4)Do IH BC ID, BC nên H D I, , thẳng hàng b) Gọi J AIEF K, HDJP T, BICH
Tam giác BHC có ,S T chân đường cao hạ từ ,B C suy
H I K D, , ,
1Do J H I K D
, , ,
1
JH JI JP JD, , ,
1Mà
JM JI JP JD, , ,
1 M trung điểm PD IJPDSuy H J M, , thẳng hàng Vậy AI HM EF, , đồng quy Bài
Tồn hay không số nguyên tố p có dạng 3n2 thỏa mãn m23 chia hết cho p? Lời giải
Xét phương trình đồng dư m2 3 0(mod ),p p3n2,nN*
Gọi p0 số nguyên tố bé thỏa mãn phương trình xk p0 cho k2 3 0(modp0)(1)
Vì p3n2,nN* nên p số nguyên tố lẻ, k lẻ thay k pk chẵn Nên khơng tính tổng qt ta cần xét với k chẵn Khi ta có trường hợp: k2 1(mod 3);k2 0(mod 3)
Trường hợp 1: k2 1(mod 3) Từ phương trình (1) ta có k2 3(modp0)k2 3 tp0, tp ,0 t lẻ Khi
0 4(mod 3)
tp k
Do p0 2(mod 3) t 2(mod 3)t lẻ có dạng 3n2 Suy t phải có ước nguyên tố lẻ q dạng 3n2 Do k2 3(mod )(2).q Mặt khác q t p0 nên (2) mâu thuẫn với cách chọn p0
Vậy trường hợp vô nghiệm
Trường hợp 2:k2 0(mod 3)k b.3 ,i b không chia hết cho i nguyên dương
Từ (1) ta có k2 3(modp0)32ib2 3(modp0)32 1i b2 1(modp0)32 1i b2 1 p h0 Với h lẻ Do p h0 1(mod 3)
Mặt khác p0 2(mod 3)h2(mod 3)h lẻ có dạng 3n2 Do ước nguyên tố r h có dạng 3n2 Khi 32 1i b2 1(mod )h 1(mod )r 32ib2 3(mod ).r Vì r p0 nên dẫn đến vơ lý
(5)Bài
Tìm tất hàm số f : thỏa mãn:
( )
1
f x f y yf xy với ,x y Lời giải
Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu toán
Thay x y y
vào phương trình cho, ta được:
( ) ( ) 1
y
f f y yf y y
y
Thay y x f x( )
x
vào phương trình cho, ta được:
1
( ) ( ) ( ) ,
x x
f x f f x f x f x xf x x
x x
Từ (1) (2), ta có:
( )
x ( )
( )
( ) x 1 ( ) 1,
3f x xf x f x f x xf x f x f x x
x x x
Vậy f x( )
x
với x1 Suy ra:
1
1f x
x
với x0
Thay x f x( ) 1 (3), ta được:
1 ( )
1 ( ) f f xf x
với số thực dương x Trong phương trình hàm ban đầu cho x1 thay y x ta được:
1 ( )
1
f f x xf x với số thực dương x
Từ suy ra:
1
1 ( )1 ( ) 1 ( )
x
xf x f x
f x x f x x
với x0
Thử lại thấy thỏa mãn Vậy f x( )
x
(6)Bài
Gọi S tập hợp gồm số dương nhỏ 15 Giả sử S hai tập rời mà tổng phần tử hai tập
a) Chứng minh S có nhiều phần tử
b) Tìm giá trị lớn tổng phần tử
S
.
Lời giải a) Ta chứng minh tập
S
mà S 6 không thỏa mãn Số tập khác rỗng có nhiều phần tửS
1
6 6 56
C C C C
Mỗi tập có tổng phần tử không vượt 15 + 14 + 13 + 12 = 54 nên tồn tập có tổng phần tử Giả sử tập
A B
,
Nếu
A
B
ta có điều phải chứng minhNếu AB
a , ta bỏ phần tử a hai tập ta hai tập thỏa mãn Tương tự AB
a b;
AB
a b c, ,
Suy S 5 Một tập S
1;3;5;7;14
thỏa mãn toánb) Xét tập S
a b c d e; ; ; ;
thỏa mãn toán Giả sử ab c d eCó d e 29
c
13
Có C52 10 tập có hai phần tử
S
Do khơng có tập chúng có tổng nhau, đó: Tập
d e;
tập có tổng lớnTập
a b;
tập có tổng nhỏ Suy a b d e 20Do a b c d e 62
Dấu đẳng thức xảy
d
14;
e
15;
c
13;
a b
20
Suy 8; 12
9; 11
a b
a b
không thỏa mãn