Approximation of semigroups by gereralized characters

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN TRỌNG XẤP XỈ NỬA NHÓM BỞI CÁC ĐẶC TRƯNG TỔNG QUÁT (Approximation of semigroups by generalized characters) Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH,THÁNG NĂM 2020 CƠNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM Cán hướng dẫn khoa học: TS ĐẶNG VĂN VINH Cán chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THI Cán chấm nhận xét 2: PGS TS NGUYỄN HUY TUẤN Luận văn thạc sĩ bảo vệ trường Đại học Bách Khoa, ĐH Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh, ngày 02 tháng 08 năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn bao gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị thành viên Hội đồng đánh giá luận văn.) Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI Phản biện 2: PGS TS NGUYỄN HUY TUẤN Ủy viên: TS PHAN TẤT HIỂN Xác nhận chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn chỉnh sửa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Cộng hịa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Trường Đại học Bách Khoa NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN TRỌNG MSHV: 1870181 Ngày, tháng, năm sinh: 29.03.1994 Nơi sinh: Quảng Ngãi Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã ngành: 8460112 I TÊN ĐỀ TÀI: XẤP XỈ NỬA NHÓM BỞI CÁC ĐẶC TRƯNG TỔNG QUÁT NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG - Kiến thức sở - Xấp xỉ nửa nhóm đặc trưng tổng quát - Ứng dụng II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2019 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 27/7/2020 IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS ĐẶNG VĂN VINH Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TS ĐẶNG VĂN VINH TRƯỞNG KHOA ii LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn xin chân thành gửi tới Thầy, TS Đặng Văn Vinh, người nhiệt tình giảng dạy, định hướng giúp đỡ tơi q trình học tập chương trình Cao học Tốn Ứng dụng, q trình thực hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn tất Thầy Cô mơn Tốn Ứng dụng, khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, người truyền thụ kiến thức giúp tơi có tảng tri thức khoa học để thực luận văn hoàn tất khóa học Tơi xin chân thành cảm ơn tất người bạn lớp Cao học Toán Ứng dụng khóa 2018, có nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tơi q trình học tập thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất người thân gia đình tơi, ln đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn tạo điều kiện tốt cho học tập làm việc Sau cùng, xin trân trọng tiếp nhận tất đánh giá góp ý quý báu quý Thầy Cô, bạn bè đồng nghiệp tất có quan tâm đến luận văn này, giúp tơi có hội bổ sung kiến thức để hoàn thiện hạn chế thiếu sót khó tránh khỏi q trình thực luận văn Rất trân trọng xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, 2020 Người thực Luận văn Nguyễn Trọng i TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn tiếp nối nghiên cứu xấp xỉ nửa nhóm Ở chọn hàm xấp xỉ các đặc trưng tổng quát - lớp hàm quan trọng lý thuyết nửa nhóm mà từ trước đến chưa có nhóm nghiên cứu xem xét cách tổng quát, có hệ thống Nội dung luận văn gồm chương Chương làKiến thức chuẩn bị, Chương trình bày Xấp xỉ nửa nhóm đặc trưng tổng quát tương ứng với mệnh đề khác phần trọng tâm luận văn Chương đưa số Vấn đề tìm nửa nhóm xấp xỉ nhỏ Chương Lớp xấp xỉ ABSTRACT This thesis is a continuation of the studies of approximately half the group Here we choose the approximation functions as the general characteristics - a functional class important in half group theory that no research team has so far review in a general, systematic manner The thesis content consists of chapters Chapter is Preparatory knowledge, Chapter presents Approximately half of the group by general characteristics corresponding to different propositions And this is the central part of the thesis Chapter gives some The problem of finding the least approximation half group Chapter Class of approximations ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Trọng, MSHV: 1870181, học viên cao học chuyên ngành Tốn Ứng dụng khóa 2018-2020 trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Xin cam đoan tồn trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn trực tiếp TS Đặng Văn Vinh, khoa Khoa học Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP HCM Trong toàn luận văn, hầu hết kết nghiên cứu từ cơng trình khoa học tác giả khác, thu thập, chọn lọc để trình bày, trích dẫn tham khảo, tơi có ghi rõ địa để người đọc tham chiếu Tơi xin cam đoan nêu thật xin chịu toàn trách nhiệm gian dối tác quyền có luận văn TP Hồ Chí Minh, 27 tháng năm 2020 Người thực luận văn Nguyễn Trọng iii Mục lục LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN ii LỜI CAM ĐOAN iii Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa đồng cấu 1.1.3 Ideal 1.2 Lớp nửa nhóm 14 1.2.1 Nửa nhóm giao hốn, tách [10] 14 1.2.2 Nửa nhóm quy [11] 18 1.2.3 Nửa nhóm ngược 20 1.2.4 Nửa nhóm đơn 23 1.2.5 Nửa nhóm tuần hồn [10] 23 1.2.6 Nửa nhóm hợp nhóm [10] 24 1.2.7 Mở rộng nửa nhóm [10] 25 1.2.8 Các đặc trưng nửa nhóm giao hốn [10] 26 1.2.9 Quan hệ Green [10] 28 1.3 Liên quan tới đồng cấu nửa nhóm [10] 30 1.3.1 Tính chất tích đồng cấu [11] 33 1.3.2 Đồng cấu nửa nhóm ngược [11] 36 1.3.3 Một số định lý đồng cấu [15] 36 1.4 Nhận xét 38 iv Chương XẤP XỈ NỬA NHÓM ỨNG VỚI CÁC MỆNH ĐỀ KHÁC NHAU 39 2.1 Xấp xỉ nửa nhóm 39 2.2 Nhận xét 47 Chương NỬA NHÓM XẤP XỈ NHỎ NHẤT 3.1 Định nghĩa 48 48 3.2 Nửa nhóm nhỏ với mệnh đề "phần tử thuộc nửa nhóm con" 50 3.3 Nhận xét Chương LỚP NỬA NHÓM XẤP XỈ 57 59 4.1 Tổng quan 59 4.2 Nhận xét 69 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 v Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm 1.1.1 Các định nghĩa [10] Ta gọi phép toán hai tập S ánh xạ từ S × S vào S, S × S tập tất cặp có thứ tự phần tử thuộc S Nếu ánh xạ kí hiệu dấu chấm (.) ảnh S phần tử (a, b) ∈ S × S kí hiệu a.b Thường ta bỏ dấu chấm viết đơn giản ab Để kí hiệu phép tốn hai ta dùng dấu +, ◦, ∗ [10] Ta gọi nhóm hệ thống S(.) gồm tập S khác rỗng phép tốn hai ngơi (.) Thường ta viết S thay cho S(.), điều khơng dẫn tới hiểu lầm [10] Một phép tốn hai ngơi phận tập S ánh xạ từ tập khác rỗng tập S × S vào S Một nhóm phận hệ thống S(.) gồm tập S khác rỗng phép tốn hai ngơi phận [10] Phép tốn hai (.) S gọi kết hợp a.(b.c) = (a.b).c, ∀a, b, c ∈ S Nguyễn Trọng Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Định nghĩa 1.1.1 [10] Nửa nhóm nhóm S(.), phép tốn (.) có tính kết hợp Ví dụ 1.1.1 Tập ( N; +) (N ; ) nửa nhóm Ví dụ 1.1.2 Tập phép chiếu tắc nửa nhóm Ví dụ 1.1.3 Trong tập số nguyên dương N ta xét phép toán sau :x∗ y = xy , ∀x, y ∈ N nhóm (N, ∗) khơng phải nửa nhóm phép tốn (*) khơng có tính kết hợp [10]Phép biến đổi tập X ánh xạ từ X vào Ta kí hiệu ảnh phần tử x ∈ X qua phép biến đổi ánh xạ α αx [10]Tích( hay hợp thành) hai phép biến đổi α β tập X phép biến đổi αβ định nghĩa sau: (αβ)x = α(βx) với x ∈ X Luật kết hợp α(βγ) = (αβ)γ thoả mãn, với x ∈ X : (α(βγ))(x) = α(βγ(x)) = αβ(γ(x)) = (αβ)γ(x) Do tập gx tất phép biến đổi tập X nửa nhóm phép hợp thành Ta gọi gx nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi X [10] Tập T khác rỗng nhóm S gọi nhóm S, từ a ∈ T ; b ∈ T ⇒ a.b ∈ T [10] Giao họ tuỳ ý nhóm rỗng nhóm Nguyễn Trọng Tốn ứng dụng Luận văn Thạc sĩ quát θ : S −→ B1 cho θ(e1 ) = θ(e2 ) Ta có θ(e1 ) = θ(e2 ) = Do tập hợp {θ(e1 ); θ(e2 )} phải nửa nhóm nửa nhóm B1 Điều mâu thuẫn với giả thiết (*) Định lý 4.1.3 Gọi C1 lớp nửa nhóm giao hốn tách Nếu có nửa nhóm lớp S1 chứa nửa nhóm đẳng cấu với nửa nhóm C ∗ , lớp S1 lớp xấp xỉ lớp C1 tương ứng với mệnh đề hai phần tử Chứng minh Giả sử nửa nhóm S1 chứa nửa nhóm M đẵng cấu với nửa nhóm C ∗ Cho A nửa nhóm từ lớp C1 Bởi A nửa nhóm giao hốn nên theo [2], định lý 4.13, trang 132, A = ∪Ae , e ∈ E nửa dàn thành phần Archimed Ae Hơn nữa, A nửa nhóm tách nên theo [2], định lý 4.13, trang 134, A nhúng vào nửa nhóm T = ∪Ge , Ge nhóm chứa Ae Giả sử a, b ∈ A a = b Giả sử a ∈ Aea , b ∈ Aeb Tồn hai trường hợp: Trường hợp ea = eb Khi ea eb = ea or ea eb = eb Khơng tính tổng qt, giả sử ea eb = ea ∗ Chúng ta xây dựng  ánh xạ ψ : A −→ C sau:     aq0 , if x ∈ Aex and ex ea = ea ; ∀x ∈ A, ψ(x) = ,     a , if x ∈ A and e e = e ; p0 ex x a a với p0 , q0 hai số nguyên tố cho trước thỏa p0 > q0 > Ánh xạ ψ đồng cấu Nguyễn Trọng 64 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Thật vậy, với x ∈ Aex y ∈ Aey a/ ex ea = ea ey ea = ea Khi exy ea = ex ey ea = ex ea = ea ψ(xy) = eq0 = eq0 eq0 = ψ(x)ψ(y) b/ ex ea = ea ey ea = ea Khi exy ea = ex ey ea = ex ea = ea ψ(xy) = ep0 = ep0 eq0 = ψ(x)ψ(y) c/ ex ea = ea ey ea = ea Giả sử ea = exy ea = ex ey ea = ex ex ey ea = ex exy ea = ex ea = ea Suy exy ea = ea Vậy ψ(xy) = ep0 = ep0 ep0 = ψ(x)ψ(y) ψ đồng cấu nhóm từ A vào C ∗ ψ(a) = eq0 = ep0 = ψ(b) Trường hợp Hai phần tử a, b thuộc thành phần Archimed Ae0 nửa nhóm A Đặt ea = eb = e0 Bởi a = b, g = ab−1 = e0 , với g ∈ Ge0 Ge0 nhóm chứa nửa nhóm Ae0 Giả sử h chiều cao phần tử g Theo [?], Bổ đề 26.4, trang 85, tồn nhóm H nhóm Ge0 , cho g ∈ H Ge0 /H ≈ C(q0h+1 ) Từ suy tồn đồng cấu nhóm ϕ : Ge0 −→ C(q0h+1 ) thỏa mãn ϕ(H) = eq0 ϕ(g) = eq0 Bởi g = ab−1 nên ϕ(ab−1 ) = eq0 Cuối cùng, ϕ(a) = ϕ(b) Để ý C(q0h+1 ) nhóm nhóm C(q0 ) C(q0 ) ≈ Gq0 , với Gq0 nhóm nửa nhóm C ∗ Từ có đồng cấu nhóm ϕ : Ge0 −→ C ∗ Nguyễn Trọng 65 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ e0 = eq0 Tiếp theo chúngta xây dựng ánh xạ ψ : T −→ C ∗ :     eq0 , if x ∈ Gex and ex e0 = e0 ; , ∀x ∈ T , ψ(x) =     ϕ(xe ) , if x ∈ G and e e = e ex x 0 p0 số nguyên tố cho trước thỏa mãn p0 = p0 > q0 Nếu x ∈ Gex ex e0 = e0 , xe0 ∈ Ge0 Chúng ta có ψ đồng cấu Thật vậy, với hai phần từ x ∈ Gex , y ∈ Gey : Nếu ex e0 = e0 ey e0 = e0 , exy e0 = e0 ψ(xy) = ψ(xye0 ) = ψ(xe0 )ψ(ye0 ) = ψ(x)ψ(y) Nếu ex ea = ea ey ea = ea , exy ea = ex ey ea = ex ea = ea ψ(xy) = ep0 = ep0 ψ(ye0 ) = ψ(x)ψ(y) Nếu ex ea = ea ey ea = ea , exy ea = ea ψ(xy) = ep0 = ep0 ep0 = ψ(x)ψ(y) Trong trường hợp, ta chứng tỏ ψ đồng cấu nửa nhóm từ T vào nửa nhóm C ∗ thỏa mãn ψ(a) = ϕ(a) = ϕ(b) = ψ(b) Hiển nhiên, ánh xạ ψ đồng cấu nửa nhóm từ A vào C ∗ đồng cấu tách hai phần tử nửa nhóm A Định lý 4.1.4 Cho C2 nửa nhóm giao hốn có phần tử lũy đẵng Lớp S2 nửa nhóm lớp nửa nhóm xấp xỉ cho lớp C2 tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm tồn nửa nhóm S2 chứa Nguyễn Trọng 66 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ nửa nhóm đẵng cấu với nửa nhóm T Chứng minh Giả sử S2 chứa nửa nhóm nửa nhóm có nửa nhóm M đẳng cấu với nửa nhóm T Cho A nửa nhóm lớp nửa nhóm S2 Theo [7], trang 33, bổ đề 2, nửa nhóm A xấp xỉ đặc trưng tổng quát từ A vào T tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm Ngược lại, cho S2 lớp nửa nhóm xấp xỉ lớp C2 Theo bổ đề 1, nửa nhóm A xấp xỉ đươc đặc trưng tổng quát từ A vào nửa nhóm C , nửa nhóm C phải chứa nửa nhóm đẵng cấu với nửa nhóm T Nửa nhóm T nửa nhóm xấp xỉ nhỏ mà lớp C2 nửa nhóm cần phải có để trở thành lớp nửa nhóm xấp xỉ cho lớp S2 tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm Định lý 4.1.5 Cho C3 lớp nửa nhóm quy hồn tồn tuần hồn Nếu nửa nhóm lớp nửa nhóm S3 chứa nửa nhóm nửa nhóm đẵng cấu với nửa nhóm C ∗ , lớp S3 lớp nửa nhóm xấp xỉ cho lớp C3 tương ứng với quan hệ Green -tương đương Chứng minh Nguyễn Trọng 67 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Giả sử có nửa nhóm lớp S3 chứa nửa nhóm M M đẵng cấu với nửa nhóm C ∗ Với nửa nhóm giao hốn, quy hồn tồn tuần hồn A Cho a, b hai phần tử nửa nhóm A thỏa mãn a ¯b Khi A1 a = A1 b, với A1 a, A1 b hai ideal trái A hai ideal sinh hai phần tử a b tương ứng Ở có hai khả năng: a ∈ A1 b b ∈ A1 a Chúng ta xét trường hợp a ∈ A1 b ( với trường hợp cịn lại ta chứng minh hồn tồn tương tự) Bởi A1 b ideal trái nửa nhóm giao hốn, quy hồn tồn tuần hồn, nên theo [28], trang 105, định lý IV.1.6, A1 b ideal cô lập, theo [28], trang 37, định lý II.3.7, A1 b phần giao ideal lập hồn tồn Suy A1 b = ∩Jξ , với ξ ∈ Ω Bởi a ∈ A1 b, nên tồn phần tử ξ0 , cho a ∈ Jξ0 Xét đặc trưng  tổng quát ϕ ∈ Φ, định nghĩa sau:     eq , if x ∈ Jξ0 , ∀x ∈ A : ϕ(x) == , với p q hai số nguyên tố cho trước thỏa     e , if x ∈ J p ξ0 mãn q > p > Do Jξ0 ideal lập hồn tồn, nên ϕ đặc trưng tổng quát ϕ(a) = ep , ϕ(b) = eq Tại b ∈ A1 b, b ∈ Jξ với ξ ∈ Ω, suy b ∈ Jξ0 Hiển nhiên, eq ¯ep nửa nhóm C ∗ Điều suy ϕ(a) ¯ϕ(b) Nguyễn Trọng 68 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Từ chứng minh định lý trên, ta có kết sau: Ký hiệu C ∗∗ = {ep ; eq }, với p > q ≥ nửa nhóm nửa nhóm C ∗ Định lý 4.1.6 Một lớp K nửa nhóm lớp nửa nhóm xấp xỉ cho lớp C3 tương ứng với quan hệ Green -tương đương tồn nửa nhóm lớp K nửa nhóm chứa nửa nhóm đẵng cấu với nửa nhóm C ∗∗ Nếu lớp nửa nhóm S4 tồn nửa nhóm nửa nhóm chứa nửa nhóm đẵng cấu với nửa nhóm C ∗ , báo [7], trang 35, tác giả chứng minh lớp nửa nhóm xấp xỉ đặc trưng tổng quát vào lớp C ∗ Từ có định lý sau Định lý 4.1.7 Cho lớp C4 nửa nhóm giao hốn, quy tuần hồn Nếu tồn nửa nhóm lớp S4 nửa nhóm chứa nửa nhóm đẵng cấu với nửa nhóm C ∗ , lớp S4 lớp nửa nhóm xấp xỉ lớp C4 tương ứng với mệnh đề phần tử thuộc nửa nhóm 4.2 Nhận xét Bài tốn tìm lớp nửa nhóm xấp xỉ giáo sư Leshokhin M.M phát biểu nghiên cứu thời gian gần Bài tốn có nhiều ý nghĩa thực tế tốn khó Các kết bước đầu nhóm nghiên cứu Đặng Văn Nguyễn Trọng 69 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Vinh, Korabelsh’chikova S.Yu Mel’nicov B.F tìm thấy tạp chí uy tín Nga Izvestia, xem [5] tạp chí khoa học cơng nghệ đại học Quốc gia Hồ Chí Minh, [4] Trong chương này, chúng tơi trình bày vấn đề lớp nửa nhóm xấp xỉ với kết đăng [4], [5] có kết định lý 4.1.2 chúng tơi trình bày lời chứng minh rõ ràng, chi tiết Nguyễn Trọng 70 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu ba vấn đề tốn xấp xỉ: 1/ Tìm điều kiện cần đủ để nửa nhóm A xấp xỉ vào nửa nhóm B đặc trưng tổng quát tương ứng với mệnh đề khác nhau; 2/ Tìm nửa nhóm thực nhỏ B1 B cho A xấp xỉ vào B1 tương ứng với mệnh đề toán 1; 3/ Tìm lớp nửa nhóm xấp xỉ Ở xét đến cấu trúc đại số lý thuyết nửa nhóm Chúng ta xét ba toán cho cấu trúc khác đại số như: nhóm, vành, trường, mơđun, đại số, Như lý thuyết xấp xỉ hướng nghiên cứu rộng lớn Trong tương lai, tiếp tục nghiên cứu ba toán cho cấu trúc đại số khác với nửa nhóm xét ánh xạ quan mệnh đề quan trọng cấu trúc đại số xét Ứng dụng lý thuyết xấp xĩ nửa nhóm nửa nhóm tự nghiên cứu Giáo sư Kublanovski S.I Kostưrev I.I Trong thời gian gần vấn đề nhóm gồm Đặng Văn Vinh, Korabel’shchikova, Mel’nikov nghiên cứu có số kết bước đầu gởi đăng Penza, Nga, [9] Nguyễn Trọng 71 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chúng tơi tìm điều kiện cần xấp xĩ tương ứng với số mệnh đề quan trọng lý thuyết nửa nhóm: "sự hai phần tử", "phần tử thuộc nửa nhóm con", phần tử thuộc nhóm cực đại", "phần tử thuộc nhóm con", "phần tử thuộc idean", "tính chia hết hai phần tử", " hai phần tử nằm quan hệ L, H, R, D-Grin" Bên cạnh việc tìm điều kiện cần đủ để xấp xĩ nửa nhóm, chúng tơi cịn tìm nửa nhóm xấp xĩ nhỏ tương ứng với mệnh đề xét Đặc biệt luận văn, chúng tơi trình bày rõ ràng chi tiết kết chương cho toán nghiên cứu lớp xấp xỉ Bài toán tác giả Đặng Văn Vinh, Korabelsh’chikova S.Yu Mel’nicov B.F nghiên cứu hai năm trở lại bước đầu có số kết quan trọng [4], [5] Luận văn giúp phát triển lý thuyết xấp xĩ nửa nhóm đồng cấu tạo tiền đề để phát triển ứng dụng lý thuyết thuật toán tìm kiếm Luận văn làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên, giảng viên cộng đồng nghiên cứu lĩnh vực Nguyễn Trọng 72 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Thị Khuyên Xấp xỉ nửa nhóm nhỏ nhất, Luận văn thạc sỹ, Đại học Bách Khoa Hồ Chí Minh, 2017 [2] Clifford A.H and Preston G.B.,The Algebraic Theory of Semigroups, volume 1, the American Mathematical Society, 1977 [3] A Cliphot, G Preston ( Trần Hạo, Hồng kỳ dịch), Lý thuyết nửa nhóm, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp,1979 [4] Dang V.V About the class of approximation by generalized characters, tạp chí phát triển khoa học cơng nghệ, Đại học Quốc Gia HCM, 2020 [5] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F Class of approximation, Izvestia Vushix Uchevnux Zavedenhia, UDK 512.53, 510.54, DOI 10.21685/2072-3040-2019-1-3, Russia 2020 [6] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F., Dodonova N.L., SH - weak duality of semigroups and minimum semigroup of SH - approx- 73 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ imation, Izvestia Vushix Uchevnux Zavedenhia, UDK 512.53, 510.54, DOI 10.21685/2072-3040-2019-1-3, Russia 2019 [7] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F.,Minimal SHapproximation of semigroups, Algebras and Lattices in Hawai’i , Honolulu, United States, pages 31-38, 2018 [8] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F., Semigroups approximation with respect to some ad hoc predicates, Arctic envirenmontal research, volume 17,pages 133 - 140, 2017 [9] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F.,Some issues of semigroup approximations , Izvestia Vushix Uchevnux Zavedenhia, 10.21685/2072-3040-2017-4-4, 46-57, 2017 [10] Dang V.V, Korabelsh’chikova S.Yu, Mel’nicov B.F.,On the problem of finding minimum semigroup of approximation, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenhii, Povolzhskiy Region, pages 88 - 98, 2015 [11] Dang V.V, International Conference " Semigroups and their applications including semigroup rings" in honour of E.S Ljapin, page 79, Saint Petersburg, Russia 1995 [12] Dang V.V, Approximation of semigroups , Modern Algebra, vol 1, page 16-20 Rostov na Don, Russia, 1996 Nguyễn Trọng 74 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [13] Dang V.V, International Algebraic Coference dedicated to the memory of D.K Faddeev, page 191,Saint Petersburg, Russia, 1997 [14] Dang V.V, Problem of minimization of semigroup approximation and SH-approximation, Modern Algebra,vol 3, page 43-47 Rostov na Don, Russia, 1998 [15] Dang V.V, International Conference " Second International Conference on Semigroups" in honour of Prof E.S Ljapin, page 60, Saint Petersburg, Russia 1999 [16] Dang V.V, Approximation of semigroup by generalized characters, The 11th SEATUC Symponium, Ho Chi Minh city, Vietnam 2017 [17] Golubov E.A The finite approximability of separable, naturally linearly ordered commutative semigroups, Izv Vuzov, Matem., No 2, 1969 p 23–31 [18] Grillet P.A., Semigroups, An introduction to the structure theory, Tulane University New Orleans, Louisiana [19] Ignatyeva I.V SH approximation of semigroup by finite characters, Modern algebra (Interuniversity collection of scientific papers), V.1 (21), Rostov on Don, Russia, 1996, p 25–30 Nguyễn Trọng 75 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [20] Korabel’shchikova S.Yu About minimal semigroup approximation with respect to the predicate of belonging an element to a subsemigroup, Modern Algebra, volume 2, Rostov - na - Donu, Russia, (1997), 46-48 [21] Kublanovskiy S.I On the residual finiteness prevarieties semigroups with respect to the predicate, Modern algebra Groupoids and their homomorphisms – Leningrad., 1980, p 58–88 [22] Lesokhin M.M On the approximation of semigroups with respect to the predicate, Uch Zap of Herzen LGPI 1971 Vol 404, p.191-219 [23] Lesokhin M.M., Golubov E.A The finite approximability of commutative semigroups, Matem Zap Uralskogo Un-ta, 5, No 3, 1966, p 82–90 [24] Lesokhin M.M.About homomorphic representations of semigroups , Izvestia Vushix Uchevnux Zavedenhia, Tom 5, pages 80 - 85, 1965 [25] E.S Ljapin, Semigroups, American Mathematical Society providence Volume 3, Rhode Island, 1963 [26] Malsev A.I.On homomorphisms onto finite groups, Uchen Zap Karel Ped Inst Ser Fiz -mat Nauk 18, 49-60(1958) [27] Mamikonyan S.G Varieties of finitely approximate semigroups, Matem.Sb., 88, No.3, 1972, p 353–359 [28] Mario Petrich, Introduction to semigroups Columubs, Ohio, USA, 1997 Nguyễn Trọng 76 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [29] Tutygin A.G, Yashina E.Yu The dependence of conditions of approximation semigroups with respect to various predicates, Modern algebra (Interuniversity collec-tion of scientific papers), V.3 (23), Rostov on Don, Russia,1998, p 136–141 [30] Zyabliceva L.V., Korabelshchikova S.Yu., Popov I.N Some special semigroups and their homomorphisms, Arkhangelsk,Pomor State University, 2013,122p Nguyễn Trọng 77 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên học viên: NGUYỄN TRỌNG Ngày, tháng, năm sinh: 29.03.1994 MSHV: 1870181 Nơi sinh: Quãng Ngãi Địa chỉ: 126/9 đường số 28, phường 6, quận Gò Vấp, TP HCM Địện thoại liên lạc: 0855460717 I QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO - Từ năm 2013 đến 2017, sinh viên khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM - Từ năm 2018 đến nay, học viên Cao học ngành Toán ứng dụng trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc Gia TP HCM II Q TRÌNH CƠNG TÁC - Từ năm 2017 đến 2019, giảng dạy trung tâm toán TiTan TP.HCM - Từ năm 2019 đến nay, giảng dạy trường CĐ Kỹ thuật Lý Tự Trọng TP HCM ... propositions And this is the central part of the thesis Chapter gives some The problem of finding the least approximation half group Chapter Class of approximations ii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn... general, systematic manner The thesis content consists of chapters Chapter is Preparatory knowledge, Chapter presents Approximately half of the group by general characteristics corresponding to different... xỉ nhỏ Chương Lớp xấp xỉ ABSTRACT This thesis is a continuation of the studies of approximately half the group Here we choose the approximation functions as the general characteristics - a functional