Bài Tập 1: Một người tiêu dùng có thu nhập I = 900 dùng để mua sản phẩm X Y với Px = 10đ/sp; Py =40đ/sp Mức thỏa mãn thể qua hàm số TU =(X-2)*Y Yêu cầu: Viết phương trình đường ngân sách theo dạng khác Viết phương trình hữu dụng biên cho hai loại hàng hóa Tìm phối hợp tối ưu hai loại hàng hóa tính tổng hữu dụng tối đa đạt Nếu thu nhập tăng lên 1220, giá hàng hóa khơng đổi, phối hợp tối ưu tổng hữu dụng đạt bao nhiêu? Nếu thu nhập giảm xuống cịn 740, giá hàng hóa khơng đổi, phối hợp tối ưu tổng hữu dụng đạt bao nhiêu? Mô tả câu đồ thị vẽ đường tiêu dùng thu nhập dựa vào kết câu từ 3-5 Vẽ đường Engel mô tả mối quan hệ thu nhập cầu hàng hóa X tính hệ số co giãn cầu theo theo thu nhập khoảng thu nhập: (1) từ 720 đến 900 (2) từ 900 đến 1220 Lời giải Câu 1: Người tiêu dùng có thu nhập 900 (I) để mua hàng hóa nên số tiền tổng số tiền chi mua hàng hóa X (PX*X) cộng với tiền chi mua hàng hóa Y (PX*X), phương trình đường ngân sách là: 10X +40Y = 900 X + 4Y = 90 (1) Phương trình viết lại dạng Y=f(X) X=f(Y) cách chuyển vế sau: X = -4Y +90 (2), Y = -1/4X +45/2 (3) Câu 2: Từ lý thuyết ta biết được, hàm hữu dụng biên đạo hàm hàm tổng hữu dụng ð MUX =(TU)x’ = Y MUY =(TU)Y’ = X-2 Câu 3: Theo lý thuyết, phối hợp tối ưu hàng hóa đạt thỏa mãn hệ phương trình: I = Px*X + PY*Y (1) - PT đường ngân sách MUX*PY = MUY*PX (2) - PT tối ưu tiêu dùng Thế giá trị có từ đề kết câu vào, ta 900 = 10*X + 40*Y (1’) Y*40 = (X-2)*10 (2’) 90 = X + 4Y (1’’) = X – 4Y (2’’) Lấy (2’’) + (1’’) => X = 92 ó X = 46 Thế vào (2’’) => Y = 11 Thế giá trị X, Y vào hàm tổng hữu dụng ta TU = (46 – 2)*11 = 484 (đơn vị hữu dụng) Vậy phối hợp tối ưu 46 sản phẩm X 11 sản phẩm Y Phối hợp đạt tổng hữu dụng cao 484 đơn vị hữu dụng Câu 4: Khi thu nhập tăng lên đến 1220, yếu tố khác khơng đổi, để tìm phối hợp tối ưu ta cần thay đổi thu nhập việc xây dựng PT đường ngân sách giải hệ phương trình theo phương pháp giống câu Cụ thể, ta có hệ phương trình 1220 = 10*X + 40*Y (1’) Y*40 = (X-2)*10 (2’) 122 = X + 4Y (1’’) = X – 4Y (2’’) Lấy (2’’) + (1’’) => X = 124 ó X = 62 Thế vào (2’’) => Y = 15 Thế giá trị X, Y vào hàm tổng hữu dụng ta TU = (62 – 2)*15 = 900 (đơn vị hữu dụng) Vậy phối hợp tối ưu với ngân sách 60 sản phẩm X 15 sản phẩm Y Phối hợp đạt tổng hữu dụng cao 900 đơn vị hữu dụng Câu 5: Khi thu nhập tăng lên đến 1220, yếu tố khác không đổi, lý luận tương tự câu ta hệ phương trình 740 = 10*X + 40*Y Y*40 = (X-2)*10 (1’) (2’) ó 74 = X + 4Y (1’’) = X – 4Y (2’’) Lấy (2’’) + (1’’) => X = 76 ó X = 38 Thế vào (2’’) => Y = Thế giá trị X, Y vào hàm tổng hữu dụng ta TU = (38 – 2)*9 = 324 (đơn vị hữu dụng) Vậy phối hợp tối ưu với ngân sách 38 sản phẩm X sản phẩm Y Phối hợp đạt tổng hữu dụng cao 324 đơn vị hữu dụng Câu Câu 7: Ta có cơng thức tính hệ số co giãn cầu theo thu nhập Tại mức thu nhập 720, ta tính lượng cầu hàng hóa X 38 (câu 5) Tại mức thu nhập 900, ta tính lượng cầu hàng hóa X 46 (câu 3) Thay giá trị thu nhập lượng cầu hàng hóa X khoảng thu nhập 720 đến 900, ta EI = [(46-38)*(900+720)]/[(900-720)*(46+38) = 0,86 Tại mức thu nhập 900, ta tính lượng cầu hàng hóa X 46 (câu 3) Tại mức thu nhập 1220, ta tính lượng cầu hàng hóa X 62 (câu 4) Thay giá trị thu nhập lượng cầu hàng hóa X khoảng thu nhập 900 đến 1220, ta EI = [(62-46)*(1220+900)]/[(1220-900)*(62+46)= 0,98 Bài tập 2: Một người tiêu dùng có khoảng thu nhập I = 4.400.000 đồng dùng để mua loại thực phẩm thịt gạo với Pt = 80.000đồng/kg Pg =20.000đ/sp Mức hữu dụng loại thể qua hàm số sau: TUT = -T2 +40*T TUG= - ½*G2+95*G u cầu: 1.Viết phương trình đường ngân sách theo dạng khác 2.Viết phương trình hữu dụng biên cho hai loại hàng hóa 3.Tìm phối hợp tối ưu hai loại hàng hóa tính tổng hữu dụng tối đa đạt Nếu giá thịt tăng lên 100.000đ/kg, thu nhập giá gạo không đổi, phối hợp tối ưu tổng hữu dụng đạt bao nhiêu? 5.Nếu giá thịt giảm xuống 60.000đ/kg, thu nhập giá gạo không đổi, phối hợp tối ưu tổng hữu dụng đạt bao nhiêu? 6.Vẽ đường tiêu thụ giá dựa vào kết câu từ 3-5 7.Tính hệ số co giãn cầu theo giá mặt hàng thịt khoảng biến động giá: (1) từ 80 lên 100 (2) từ 80 xuống 60 Lời giải Câu 1: Người tiêu dùng có thu nhập 4.400.000 đ (I) để mua Thịt Gạo nên số tiền tổng số tiền chi mua Thịt (Pt*T) cộng với tiền chi mua Gạo (Pg*G), phương trình đường ngân sách là: 80.000*T +20.000*G = 4.400.000 ó 4*T + G = 220 (1) Phương trình viết lại dạng G=f(T) T=f(G) cách chuyển vế sau: G = -4T +220 (2), T = -1/4G +55 (3) Câu 2: Từ lý thuyết ta biết hàm hữu dụng biên đạo hàm hàm tổng hữu dụng ð MUT =(TUT)’ = -2T+40 MUG =(TUG)’ = -G +95 Câu 3: Theo lý thuyết, phối hợp tối ưu hàng hóa đạt thỏa mãn hệ phương trình: I = PT*T + GY*G (1) - PT đường ngân sách MUT*PG = MUG*PT (2) - PT tối ưu tiêu dùng Thế giá trị có từ đề kết câu vào, ta 220 = 4*T + G (1’) (-2T+40)*20.000 = (-G+95)*80.000 (2’) 220 = 4*T + G (1’’) 170 = - T +2G (2’’) Lấy (1’’) *2 - (2’’) => 9T = 270 ó T = 30 Thế vào (1’’) => G = 100 Thế giá trị T, R vào hàm tổng hữu dụng ta TU = TUT + TUG = -302 +40*30 - ½*1002+95*100 = 6.600 (đơn vị hữu dụng) Vậy phối hợp tối ưu 30 kg thịt 100 kg gạo Phối hợp đạt tổng hữu dụng cao 6600 đơn vị hữu dụng Câu 4: Khi giá Thịt tăng lên 100.000đ/kg, yếu tố khác khơng đổi, để tìm phối hợp tối ưu ta cần thay đổi giá Thịt vào PT đường ngân sách giải hệ phương trình theo phương pháp giống câu Cụ thể, ta có hệ phương trình 4.400.000 = 100.000*T + 20.000*G (1’) (-2T+40)*20.000 = (-G+95)*100.000 (2’) 220 = 5*T + G (1’’) 435 = - 2T +5G (2’’) Lấy (1’’) *2 + (2’’)*5 => 27G = 2615 ó G = 96,8 Thế vào (1’’) => T = 24,6 Thế giá trị T, R vào hàm tổng hữu dụng ta TU = TUT + TUG = -24,62 +40*24,6 - ½*96,82+95*96,8 = 6.103 (đơn vị hữu dụng) Vậy phối hợp tối ưu 24,6 kg thịt 96,8 kg gạo Phối hợp đạt tổng hữu dụng cao 6103 đơn vị hữu dụng Câu 5: Tương tự lý luận giống câu ta hệ phương trình 4.400.000 = 60.000*T + 20.000*G (1’) (-2T+40)*20.000 = (-G+95)*60.000 (2’) 220 = 3*T + G (1’’) 245 = - 2T +3G (2’’) Lấy (1’’) *3 - (2’’) => 11T = 415 ó T = 37,7 Thế vào (1’’) => G = 106,8 Thế giá trị T, R vào hàm tổng hữu dụng ta TU = TUT + TUG = -37,72 +40*37,7 - ½*106,82+95*106,8 = 7.372 (đơn vị hữu dụng) Vậy phối hợp tối ưu 37,7 kg thịt 106,8 kg gạo Phối hợp đạt tổng hữu dụng cao 6103 đơn vị hữu dụng Câu Xem đồ thị Câu 7: Hệ số co giãn cầu thịt theo giá khoảng giá từ 80.000 -100.000 đ/kg Tại mức giá 80.000đ/kg, lượng thịt 30 kg (câu 3) Tại mức giá 100.000đ/kg, lượng thịt 24,6 kg (câu 4) Dựa vào công thức tính hệ số co giãn cầu theo giá (cơng thức khoảng), ta tính hệ số co giãn cầu thịt theo giá khoảng giá từ 80.000 -100.000 đ/kg sau: ED = [(24,6-30)*(80.000+100.000)]/[(100.000-80.000)*(24,6+30) = -0,89 Hệ số co giãn cầu thịt theo giá khoảng giá từ 80.000 -60.000 đ/kg Tại mức giá 80.000đ/kg, lượng thịt 30 kg (câu 3) Tại mức giá 60.000đ/kg, lượng thịt 37,7 kg (câu 5) Dựa vào cơng thức tính hệ số co giãn cầu theo giá (công thức khoảng), ta tính hệ số co giãn cầu thịt theo giá khoảng giá từ 80.000 -60.000 đ/kg sau: ED = [(37,7-30)*(80.000+60.000)]/[(60.000-80.000)*(37,7+30) = -0,79 Hình minh họa