Ước lượng các bài toán tối ưu bằng hội tụ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PHAN MINH HUỲNH ƯỚC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU BẰNG HỘI TỤ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2020 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM Cán hướng dẫn khoa học : TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Cán chấm nhận xét : Cán chấm nhận xét : Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 06 tháng 12 năm 2020 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Chủ tịch: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thư ký: TS NGUYỄN TIẾN DŨNG Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI Phản biện 2: TS CAO THANH TÌNH Ủy viên: TS HỒ ĐẮC NGHĨA Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh Phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Mã số học viên: 1670706 Nơi sinh: TPHCM Mã số: 60460112 Họ tên học viên: PHAN MINH HUỲNH Ngày, tháng, năm sinh: 04/02/1985 Chuyên ngành: Toán ứng dụng I TÊN ĐỀ TÀI: ƯỚC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU BẰNG HỘI TỤ BIẾN PHÂN II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Ước lượng số toán tối ưu III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/09/2020 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 15/11/2020 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Tp HCM, Ngày tháng năm CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO (Họ tên chữ ký) CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) TS HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM TS NGUYỄN TIẾN DŨNG TRƯỞNG KHOA (Họ tên chữ ký) PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn xin gởi đến TS Huỳnh Thị Hồng Diễm, khoa Khoa học Ứng dụng, trường Đại học Bách khoa TPHCM, người trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tận tình tạo nguồn động lực cho tơi hồn thành tốt luận văn Xin cảm ơn đến Q Thầy Cơ mơn Tốn Ứng dụng trường Đại học Bách khoa TPHCM giảng dạy truyền đạt kiến thức cho suốt hai năm theo học trường, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn này, đồng thời cảm ơn đến tất bạn khoa Toán Ứng dụng có chia thiết thực, qua giúp tơi học hỏi nhiều vấn đề chuyên môn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tơi, người thân tất bạn bè ủng hộ cho tơi có thêm nguồn động lực để hồn thành tốt luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020 Tác giả Phan Minh Huỳnh i TÓM TẮT LUẬN VĂN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày nội dung gồm có chương sau: Chương Hội tụ biến phân Chương Ước lượng toán tối ưu hội tụ biến phân miền chữ nhật Chương Ước lượng toán tựa cân Ở nội dung chương 1, nhắc lại số kiến thức quan trọng theo hướng ứng dụng đề tài Trong chủ yếu xoay quanh vấn đề hội tụ biến phân song hàm miền chữ nhật miền tổng quát, đồng thời có so sánh, nhận xét mối tương quan loại hội tụ Ở chương 3, chúng tơi trình bày việc ứng dụng tính chất hội tụ biến phần miền khác vào việc ước lượng nghiệm toán tối ưu cụ thể chương, có việc xem xét đến tính đổi ngẫu loại tốn ii ABSTRACT In this thesis, we present the content consists of chapters as follows: Chapter 1: Variational convergence Chapter 2: Approximations of optimization problems by variational convergence on the rectangular domain Chapter 3: Approximations of quasi-equilibrium problem In chapter 1, we repeat some important knowledge towards the application of the topic In which mainly revolves around the problem of the convergent convergence of bifunctions on the the rectangular and general domain, and also comparing and commenting on the correlation of these types of convergence In chapters and 3, we present the application of the properties of the variational convergence over different domains to approximations of specific optimization problems in each chapter, including consideration of the randomness of the types iii LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Phan Minh Huỳnh, mã học viên: 1670706, học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2016 - 2020 Tơi xin cam đoan ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, cơng việc trình bày luận văn tơi thực hướng dẫn TS Huỳnh Thị Hồng Diễm tơi hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực đề tài nghiên cứu Tp Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 11 năm 2020 Học viên thực Phan Minh Huỳnh iv DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên R ¯ = R ∪ {±∞} R Tập số thực Rn Không gian Euclide n chiều ∅ Tập rỗng φ:X ×Y →R Song hàm khơng gian tích clC Bao đóng tập C intC Phần tập C d(x, C) Khoảng cách từ điểm x đến tập hợp C epif Trên đồ thị hàm f hypof Dưới đồ thị hàm f gphf Đồ thị hàm f domf Miền xác định hàm f lev≤α (f ) Tập mức hàm f B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r P −K Cn −→ C Tập số thực mở rộng Dãy Cn hội tụ Painlevé-Kuratowski đến C e Dãy {f k }k hội tụ epi đến hàm f h Dãy {f k }k hội tụ hypo đến hàm f f k −→ f f k −→ f fv-biv(Rn × Rm ) Lớp song hàm có giá trị hữu hạn khơng gian Rn × Rm biv(Rn × Rm ) e/h Lớp song hàm xác định khơng gian tích Rn × Rm φk −→ φ Dãy {φk }k hội tụ epi/hypo đến φ Ls Giới hạn theo nghĩa Painlevé-Kuratowski Li Giới hạn theo nghĩa Painlevé-Kuratowski ls lim sup li lim inf v elif Giới hạn epi hàm f elsf Giới hạn epi hàm f e/h-liφ Giới hạn epi/hypo song hàm φ e/h-lsφ Giới hạn epi/hypo song hàm φ sup A Cận tập số thực A inf A Cận tập số thực A intA Phần tập số thực A bdA Bao đóng tập số thực A argminf Tập điểm cực tiểu hàm f argmaxf Tập điểm cực đại hàm f vi LỜI MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu nước Gần đây, nhiều tác giả xét ổn định định tính theo nghĩa hội tụ biến phân gọi tên (chưa thống nhất) ổn định (stability), xấp xỉ (approximation), ước lượng (estimator) Đề tài nghiên cứu phát triển theo hướng chọn thuật ngữ hợp lí “xấp xỉ” Lĩnh vực hội tụ biến phân mở đầu năm 1964 Wijsman [20], Walkup [19] Wets [1], [2], [3], [10], [11], với khái niệm hội tụ epi hàm biến xác định không gian lấy giá trị thực mở rộng Từ năm 80 hội tụ epi/hypo lopside hàm hai biến (mà ta muốn cực tiểu theo biến cực đại theo biến kia) với miền xác định khơng gian có giá trị thực mở rộng quan tâm nghiên cứu Nhiều ứng dụng tối ưu công bố Năm 2009, với nhận xét hàm hai biến không gian không thuận tiện cho nghiên cứu áp dụng, miền hiệu (domain) phức tạp người ta khơng có lý thuyết đẹp hàm biến không gian lấy giá trị thực mở rộng phát triển Moreau Rockafellar [15], Jofre’ Wets [10], [11] định nghĩa hội tụ lopside cho hàm hai biến giá trị hữu hạn xác định miền chữ nhật Các tính chất biến phân nhiều nhà toán học (như Lopez [12], [13], [14], Soueycatt [17], [18], ) nghiên cứu áp dụng để xét xấp xỉ số toán biến phân điển hình chọn lọc: tốn cân bằng, cực tiểu nhiều mục tiêu, toán cân Nash, Ln cập nhật tính khoa học tốn học tìm ứng dụng vấn đề cập nhật, toán tối ưu tựa cân hay gặp vii Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ điểm minsup N với miny∈C supx∈C N (x, y) = Vì thế, tốn đối ngẫu G có nghiệm khoảng cách đối ngẫu 0, đó, nghiệm x G (x, y) điểm yên ngựa N (d) x điểm cân Nash inf y∈C N (x, y) = Đối ngẫu G có nghiệm y supx∈C N (x, y) = Bây giả sử trò chơi bị xáo trộn, ta có dãy trị chơi xấp xỉ Gn := {(Cin , rin )|i ∈ I} Kí hiệu tập nghiệm Gn G tương ứng S n S Áp dụng Mệnh đề 3, có kết gần Mệnh đề 2.3.2 Cho ∀i ∈ I , rin hội tụ liên tục đến ri liên quan đến Cin → Ci rin hội tụ đồ thị đến r Khi Limsupn Sn ⊂ S Chứng minh : Trước tiên, giả sử rin hội tụ liên tục đến ri với Cin → Ci Rõ ràng −rin hội tụ liên tục đến −ri với Cin → Ci Vì dễ dàng nhận thấy N n hội tụ hypo/epi đến N ( trường hợp Cin , i ∈ I, C n → C) Do đó, Mệnh đề [7] chứng minh đươc điều Tiếp đến rin hội tụ đồ thị Sử dụng Mệnh đề [7] phần (ii), dễ dàng thấy N n hội tụ hypo đến N Mệnh đề chứng minh Như toán cân Nash ước lượng dựa sở tính chất hội tụ epi/hypo, đồng thời liên kết với tính đối ngẫu chúng Việc ước lượng toán Nash nhiên cứu chi tiết [8] khơng có tính đối ngẫu khơng thảo luận hội tụ epi/hypo Phan Minh Huỳnh 39 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chương ƯỚC LƯỢNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG Hội tụ epi/hypo mở rộng cho trường hợp song hàm xác định miền tổng quát nhằm mục đích áp dụng cho lớp rộng toán tựa biến phân thực tế, mà khái niệm có hội tụ miền chữ nhật áp dụng Các đặc trưng thiết lập Các tính chất biến phân điểm yên ngựa, điểm yên ngựa yếu, điểm minsup, phép chiếu sup, v.v song hàm chứng minh bảo toàn qua giới hạn epi/hypo (có thể thêm giả thiết cần) Xấp xỉ biến phân toán tựa cân toán đối ngẫu chúng xét theo nghĩa dùng hội tụ epi/hypo Các kết đạt hoàn toàn khác đáng kể so với trường hợp hội tụ epi/hypo miền chữ nhật, phát triển trước (mà cho trường hợp đặc biệt) 3.1 Bài toán tựa cân (Quasi-Equilibrium Problems) Trong phần này, thảo luận số đặc điểm tốn tựa cân bằng, có liên quan tương ứng khác so với toán cân X Y không gian mettic suốt chương Cho A ⊂ X, B ⊂ Y tập khác rỗng, D : A ⇒ B xác định A E : gphD → R Bài toán tựa cân có dạng sau: (QEP) Tìm x ∈ A cho E(x, y) ≤ với ∀y ∈ D(x) Phan Minh Huỳnh 40 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chúng ta kí hiệu tốn tựa cân (QEP(E, D)) với liệu rõ ràng Chúng đảm bảo rằng, hầu hết tốn tựa cân viết chuyển sang dạng đặc biệt (QEP) Chúng ta xét vài ví dụ sau (i) ˆ : Aˆ ⇒ Aˆ, Eˆ1 : gphD ˆ → R Một toán tựa Giả sử Aˆ ⊂ X, D cân thường gặp là: (QEP1) ˆ ˆ tìm x ∈ D(x) cho Eˆ1 (x, y) ≤ ∀y ∈ D(x) ˆ ˆ D : Bằng cách đặt: A = FixDˆ tập điểm thay đổi Dˆ , B = D(Fix D), ˆ A ⇒ B xác định D(x) = D(x) E1 : gphD → R xác định E1 (x, y) = Eˆ1 (x, y) Chúng ta chuyển (QEP1) sang trường hợp đặc biệt (QEP(E1 , D)) (QEP) (ii) ˆ D2 : FixD1 ⇒ B cho Giả sử Aˆ ⊂ X, B ⊂ Y, D1 : Aˆ ⇒ A, D2 (FixD1 ) = B E2 : gphD2 → R Một dạng khác thường gặp toán tựa cân là: (QEP2) tìm x ∈ D1 (x) cho Eˆ2 (x, y) ≤ 0, ∀y ∈ D2 (x) Bằng cách đặt: A = FixD1 , D = D2 E2 : gphD → R xác định ˆ y) E(x, y) = E(x, Bài toán (QEP2) trở thành trường hợp đặc biệt (QEP(E2 , D)) (QEP) Gọi Sol(QEP) tập nghiệm (QEP) Ta thấy x ∈ A với supy∈D(x) E(x, y) ≤ thuộc tập nghiệm Sol(QEP), bao gồm điểm minsup (misE ) gphD thỏa bất đẳng thức Tuy nhiên, nghiệm (QEP) khơng phải điểm minsup trường hợp chữ nhật đặc biệt Vì dễ thấy cho E(x, y) = −x − y D : [0, 1] ⇒ [0, 1] với D(x) = [0, 1], ∀x ∈ [0, 1] Khi đó, Sol(QEP) = [0,1] misE = {1} Do chúng tơi nghiên cứu tốn tựa cân mạnh sau tìm x ∈ A thỏa minx∈A supy∈D(x) E(x, y) ≤ (SQEP) Ta có định nghĩa nghiệm xấp xỉ : với ε ≥ 0, xε ∈ A nghiệm ε Phan Minh Huỳnh 41 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ (QEP) hay (SQEP) tương ứng với điều kiện sau: E(xε , y) ≤ ε, ∀y ∈ D(xε ) xε điểm nhỏ thỏa mãn minx∈A supy∈D(x) E(x, y) ≤ ε Miền đồ thị gphD song hàm tổng quát E (QEP) biểu thị cho tập X × Y Vì thế, tốn đặt trở nên tổng quát Chúng ta kí hiệu A := domD (miền xác định D) B := rangeD = D(A) tập đồ thị giá trị D : A ⇒ B Chúng ta thảo luận tính chất biến phân song hàm E Định nghĩa 3.1.1 (i) Một điểm x ∈ A gọi điểm minsup (maxinf tương ứng) E (trên gphD), kí hiệu x ∈ misE (x ∈ maiE) nếu: supy∈D(x) E(x, y) = minx∈A supy∈D(x) E(x, y) inf x∈D−1 (y) E(x, y) = maxy∈B inf x∈D−1 (y) E(x, y) (tương ứng điểm maxinf ) Với x ∈ misE, (x, y) gọi điểm cực tiểu (minmax − point) E , kí hiệu (x, y) ∈ mimaE y ∈ argmaxy∈D(x) E(x, y) Xác định tương tự cho (x, y) ∈ mimaE điểm maxinf (ii) (x, y) ∈ gphD gọi điểm yên ngựa yếu E (trên gphD), kí hiệu (x, y) ∈ wsdlE E(x, y) ≤ E(x, y) ≤ E(x, y) E(x, y) ≤ E(x, y) với (x, y) (x, y) thuộc gphD (iii) Phương trình minimax giữ cho E nằm gphD là: inf x∈A supy∈D(x) E(x, y) = supy∈B inf x∈D−1 (y) E(x, y) (iv) Bất kì điểm (x, y) ∈ mimaE ∩ mamiE điểm yên ngựa E gphD, kí hiệu (x, y) ∈ sdlE Mệnh đề 3.1.1 (i) (x, y) ∈ sdlE ⇔ (x, y) ∈ wsdlE phương trình minimax tuong đương với (x, y) ∈ wsdlE với x ∈ misE y ∈ maiE (ii) Nếu D(x) ≡ B , tương ứng với gphD hình chữ nhật Khi sdlE = wsdlE Phan Minh Huỳnh 42 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chứng minh Phần (i) (x, y) ∈ sdlE ⇔ (x, y) ∈ wsdlE hiển nhiên Vì (x, y) ∈ wsdlE nghĩa : inf x∈A supy∈D(x) E(x, y) ≤ E(x, y) ≤ supy∈B inf x∈D−1 (y) E(x, y) (1) Bất phương trình phương trình mimimax cho ta (x, y) ∈ sdlE Ta thấy rằng, với x ∈ misE ta có : E(x, y) ≤ supy∈D(x) E(x, y) = minx∈A supy∈D(x) E(x, y) Đây phương trình chứng tỏ (x, y) ∈ wsdlE E(x, y) ≥ supy∈D(x) E(x, y) Do (x, y) ∈ mimaE Chứng minh tương tự ta có (x, y) ∈ mamiE Phần (ii): từ (1), D(x) ≡ B inf x∈A supy∈B E(x, y) ≤ E(x, y) ≤ supy∈B inf x∈A E(x, y) Những điểm gần với Định nghĩa 3.1.1 tồn thường xuyên so với nghiệm xác Vì thế, góc nhìn tính tốn lý thuyết hay ứng dụng, đối tượng xấp xỉ với điểm ứng dụng nhiều Cho ε ≥ 0, điểm (x, y) ∈ gphD gọi điểm yên ngựa yếu ε E ∈ nrec(X × Y ) gphD, kí hiệu (x, y) ∈ ε-wsdlE với (x, y) (x, y) thuộc gphD, E(x, y) − ε ≤ E(x, y) ≤ E(x, y) + ε Một điểm (x, y) ∈ gphD gọi điểm yên ngựa ε Φ , kí hiệu (x, y) ∈ ε-sdlΦ , (x, y) ∈ εwsdlΦ, x ∈ misΦ y ∈ maiΦ 3.2 Ước lượng toán tựa cân (Approximations of Quasi-Equilibrium Problems) Trong phần này, khảo sát tính xấp xỉ tốn tựa cân (QEP) toán tựa cân mạnh (SQEP) định nghĩa phần 3.1 Sự xấp xỉ toán thể dạng (QEPk ) (SQEPk ) định nghĩa : Ak ⊂ X, B k ⊂ Y, Dk : Ak ⇒ B k E k : gphDk → R cho Dk xác định toàn Ak ánh xạ lên B k Mệnh đề 3.2.1 (i) e/h Nếu E k → E εk Lsk εk − Sol(QEPk ) ⊂ Sol(QEP) (ii) e/h Nếu E k → E chặt theo x miền ζ k ζ khác rỗng ngồi Phan Minh Huỳnh 43 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ việc bao gồm (i); với εj 0, Sol(QEP) ⊂ {limj xkj |xkj ∈ εj − Sol(QEPkj )} cho dãy {kj }j (iii) e/h Nếu E k → E (thuộc fv-fcn(X ×Y )), εk trường hợp Ak ×B k = A × B , khơng có dãy (xk , y k ) bên ngồi gphD có xu hướng đến điểm gphD Lsk εk -Sol(QEPk ) ⊂ Sol(QEP) Chứng minh (i) Cho x ∈ Lsk εk - Sol(QEPk ), nghĩa tồn dãy {xkj }j εkj -Sol(QEPkj ) hội tụ đến x Nếu x ∈ A với y ∈ D(x), theo phần (a) Định nghĩa 1.5.1 tồn dãy y kj ∈ Dkj (xkj ) → y cho lij E kj (xkj , y kj ) ≥ E(x, y) Khi xkj ∈ εkj -Sol(QEPkj , E(x, y) ≤ 0, nghĩa x nằm Sol(QEP) Giả sử x ∈ / A, theo điều kiện (a), ta có y kj ∈ Dkj (xkj ) cho E kj (xkj , y kj ) → +∞ Điều trái với thực tế E kj (xkj , y) ≤ εkj , ∀y ∈ Dkj (xkj ) (ii) e Nếu x ∈ Sol(QEP) x ∈ domζ Tuy nhiên, ζ k → ζ theo Định lí 1.5.5 Do tồn dãy xk ∈ domζ k → x cho lsk ζ k (xk ) ≤ ζ(x) ≤ Vì tồn dãy {kj }j với ζ kj (xkj ) ≤ εj , nghĩa xkj ∈ εj -Sol(QEPkj ) (iii) Cho dãy {xkj }j nằm Sol(QEPkj ) có xu hướng đến x Với dãy y kj ∈ Dkj (xkj ) → y , điểm (x, y) phải thuộc gphD, khơng giả định hội tụ epi vơ lí E kj (xkj , y kj ) → +∞ Khi (x, y) ∈ gphD, điều kiện (a) hội tụ e/h Định nghĩa 1.3.1 cho ta lij E kj (xkj , y kj ) ≥ E(x, y) Do E(x, y) ≤ Tiếp theo xét đến đối ngẫu tốn tựa cân Tìm y ∈ B cho E(x, y) ≥ 0, ∀x ∈ D−1 (y) (DQEP) (QEP) thường gọi toán tựa cân Stampacchia (DQEP) gọi toán tựa cân Minty Chúng ta thấy rằng, (QEP) (DQEP) đối ngẫu Đối ngẫu (DQEP) (QEP) Thật vậy, ˆ x) = −E(x, y) , (DEQP) trở thành (QEP) ˆ cách đặt E(y, với Eˆ gphD−1 Khi ˆ đó, ta dễ dàng kiểm tra đối ngẫu (QEP) (QEP) Đối ngẫu (SQEP) Phan Minh Huỳnh 44 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ định nghĩa tương tự (DQEP) kí hiệu (DSQEP) Mối quan hệ tập nghiệm toán với wsdlE sdlE nêu rõ phần Mệnh đề 3.2.2 (i) x nghiệm (QEP) , y nghiệm (DQEP) (x, y) ∈ gphD (x, y) điểm yên ngựa yếu E E(x, y) = (ii) x nghiệm (SQEP), y nghiệm (DSQEP) (x, y) ∈ gphD (x, y) điểm yên ngựa E với E(x, y) = Do đó, tồn cặp nghiệm hai tốn đối ngẫu khoảng cách đối ngẫu Chứng minh (i) Trước tiên ta thấy rằng, E(x, y) = Khi đó, inf x∈D−1 (y) E(x, y) đạt đến x supy∈D(x) E(x, y) đạt đến y Do (x, y) ∈ wsdlE (ii) Ta thấy rằng, theo (i) (x, y) điểm yên ngựa yếu, cặp nghiệm hai toán cân mạnh nên x ∈ misE y ∈ maiE Do đó, (x, y) điểm yên ngựa (theo Mệnh đề 3.1.1, (i)) Ví dụ 3.2.1 Cho A×B = [0, 1]2 , D(x) = {x} , (x, y) ∈ [0, 1]2 E(x, y) := x2 +y Khi đó, x = nghiệm (QEP) (SQEP), điểm minsup E Trong tất điểm thuộc đoạn [0,1] nghiệm (DQEP), yˆ = nghiệm (DSQEP) Do đó, điểm thỏa Mệnh đề 3.2.2 phần (i) (x, y)(0, 0) khơng có điểm thỏa mãn phần (ii) mệnh đề Ngoài ra, điểm (x, x) với x ∈ [0, 1] điểm n ngựa yếu khơng có điểm yên ngựa trường hợp Lưu ý nghiệm tốn số bốn tốn khơng trường hợp tổng quát Chúng ta dễ dàng thấy trường hợp E = (hàm số 0) D tùy ý, điểm thuộc gphD cặp nghiệm hai toán mạnh (SQEP) (DSQEP) Phan Minh Huỳnh 45 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Kết đối ngẫu (QEP) (DQEP) liên quan đến khái niệm điểm yên ngựa yếu, (SQEP) (DSQEP) điểm yên ngựa Hơn nữa, Mệnh đề 3.1.2(i), cặp cặp tốn đối ngẫu (SQEP) (DSQEP) có nghiệm tập nghiệm chúng trùng với tập nghiệm cặp toán (QEP) (DQEP) Trong trường hợp đặc biệt miền chữ nhật, tính chất tương đương điều kiện Mệnh đề 3.1.1 (ii) Chúng ta có định nghĩa nghiệm xấp xỉ sau: xε ∈ A ε-nghiệm (QEP) y ε ∈ B ε-nghiệm (DQEP) thỏa tương ứng điều kiện: E(xε , y) ≤ ε, ∀y ∈ D(xε ) E(x, y ε ) ≥ −ε, ∀x ∈ D−1 (y ε ) xε ∈ A ε-nghiệm (SQEP) y ε ∈ B ε-nghiệm (DSQEP) thỏa tương ứng điều kiện: xε điểm cực tiểu thỏa minx∈A supy∈D(x) E(x, y) ≤ ε y ε ∈ B điểm cực đại thỏa maxy∈B inf x∈D−1 (y) E(x, y) ≥ −ε Mệnh đề 3.2.3 (i) xε ε-nghiệm (QEP) , y ε ε-nghiệm (DQEP) E(xε , y ε ) = (xε , y ε ) điểm yên ngựa yếu ε E với E(xε , y ε ) = (ii) xε ε-nghiệm (SQEP) y ε ε-nghiệm (DSQEP) E(xε , y ε ) = (xε , y ε ) điểm yên ngựa ε E với E(xε , y ε ) = Chứng minh Phần (i) hiển nhiên Chúng ta chứng minh phần (ii) Dễ thấy (xε , y ε ) điểm yên ngựa yếu ε inf x∈D−1 (yε ) E(x, y ε ) + ε ≥ = E(xε , y ε ) tương tự supy∈D(xε ) E(xε , y) − ε ≤ E(xε , y ε ) Điểm (xε , y ε ) điểm yên ngựa xε ∈ misE y ε ∈ maiE Từ Định lí hội tụ điểm yên ngựa yếu xấp xỉ 1.5.4 Mệnh đề 3.2.3, ta có mệnh đề sau i−e/h Mệnh đề 3.2.4 Cho E k → E miền (X × Y ), εk ε ≥ 0, E(xkε , y kε ) = xkεk , y kεk nghiệm εk tương ứng (QEPk ) (DQEPk ) Phan Minh Huỳnh 46 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Nếu (xε , y ε ) ∈ gphD giới hạn {(xkεk , y kεk )}k∈N cho dãy N N xε y ε ε-nghiệm tương ứng (QEP) (DQEP) ta có E(xε , y ε ) = limk∈N E k (xkεk , y kεk ) Kí hiệu tập nghiệm ε-nghiệm tương ứng (DQEP) Sol(DQEP) ε-Sol(DQEP), sử dụng tương tự kí hiệu cho tốn liên quan khác Ta có thêm ghi DE k0 := {(x, y) | E k (x, y) = 0}, DE := {(x, y) | E(x, y) = 0} i−e/h Mệnh đề diễn đạt lại sau: E k → E εk Limsupk [DE k0 ∩ (εk − sol(QEPk ) × εk -sol(DQEPk ))] ⊂ DE ∩ [Sol(QEP) × Sol(DQEP)] Đối với cặp tốn mạnh, chúng tơi có điều sau Mệnh đề 3.2.5 Cho E k hội tụ epi/hypo chặt theo x y đến E Khi đó, Limsupk [DE k0 ∩ (Sol(SQEPk )×Sol(DSQEPk ))] ⊂ DE k0 ∩ (Sol(SQEP)×Sol(DSQEP)) Chứng minh Cho (x, y) = limk∈N (xk , y k ), dãy N N, thuộc thành phần bên trái công thức Ta thấy (xk , y k ) ∈ sdlE k Mệnh đề 3.2.2 (ii) Vì thế, Định lí 1.5.6 hội tụ điểm yên ngựa xấp xỉ (x, y) ∈ sdlE Vậy Mệnh đề 3.2.2 (ii) điểm nằm bên phải công thức Điều quan trọng cần đề cập liện hệ wsdlE với việc xem xét song hàm φ miền chữ nhật gphD × gphD xác định Φ((x, y), (x , y )) := E(x, y ) − E(x , y) với (x, y), (x , y ) ∈ gphD Mệnh đề Ta kí hiệu (EPφ ) (DEPφ ) cho cặp toán định nghĩa theo φ miền A × B := gphD × gphD Mệnh đề 3.2.6 (x, y) ∈ wsdlE (x, y) nghiệm (EPφ ) (DEPφ ), ((x, y), (x, y)) ∈ sdlφ Phan Minh Huỳnh 47 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Chứng minh Chúng ta cần kiểm tra vế mệnh đề, vế thứ hai hiển nhiên φ((x, y), (x, y)) = với (x, y) ∈ gphD Khi (x, y) nghiệm (EPφ ), ta có ≥ φ((x, y), (x , y )) = E(x, y ) − E(x , y) với (x , y ) ∈ gphD Cho x = x y = y ta thu kết tương ứng E(x, y ) ≤ E(x, y) E(x, y) ≤ E(x , y) với (x , y ) ∈ gphD Điều có nghĩa (x, y) ∈ wsdlE Phan Minh Huỳnh 48 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp kiến thức từ báo khoa học chuyên ngành, từ buổi seminar trình hoc thạc sĩ, kết trích chủ yếu từ hai báo [6] [7] Qua đó, chúng tơi trình bày cách có hệ thống tồn diện hội tụ biến phân song hàm hai miền chữ nhật không chữ nhật, nêu lên nhận xét so sánh tình tương đương nhau, ứng dụng tốn tối ưu Nội dung luận văn cho thấy hội tụ epi/hypo loại hội tụ phù hợp song hàm dùng để ước lượng lớp toán xấp xỉ tối ưu lớp toán cân hay tựa cân Hướng phát triển tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu hội tụ lopside tính chất biến phân miền tổng quát ứng dụng nó, cụ thể áp dụng vào tốn mạng giao thơng, đồng thới chúng tơi tiến hành viết thuật toán cho hội tụ biến phân nghiên cứu luận văn Hội tụ biến phân hướng nghiên cứu tối ưu toán học có nhiều tốn làm tiếp tục phát triển kết hợp với tối ưu ngẫu nhiên dựa sở nội dung luận văn Phan Minh Huỳnh 49 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ Tài liệu tham khảo [1] Attouch, H., Wets, R.J.-B.: A convergence theory for saddle functions, Trans Am Math Soc 280, 1–41 (1983) [2] Attouch, H., Wets, R.J.-B.: Convergence des points min/sup et de points fixes, Comptes Ren Acad Sci Paris 296, 657–660 (1983) [3] Attouch, H., Wets, R.J.-B In: Mangasarian, O., Meyer, R., Robinson, S (eds.).: Approximation and Convergence in Nonlinear Optimization,pp 367–394 Academic Press, New York (1981) [4] Diem, H.T.H.: Some topics in variational Analysis and optimization, PhD Thesis, Uni Science, Vietnam National University-Hochiminh City (2014) [5] Diem, H.T.H., Khanh, P.Q.: Criteria for epi/hypo convergence of finite-valued bifunctions, Vietnam J, Math (2015) [6] Diem, H.T.H., Khanh, P.Q.: Epi/Hypo-Convergence of Bifunctions on General Domains and Approximations of Quasi-Variational Problems, Set-Valued Var Anal 28, 519–536 (2020) [7] Diem, H.T.H., Khanh, P.Q.: Approximations of Optimization-Related Problems In Terms of Variational Convergence, Vietnam J Math 314, 399–417 (2006) [8] Gurkan, G., Pang, J.P.: Approximations of Nash equilibria.,Math Program Ser B 117 223–253 (2009) Phan Minh Huỳnh 50 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [9] Gutierrez, C., Lopez, R., Novo, V.: Generalized ´ -quasi solutions in multiobjective optimization problems: existence results and optimality conditions, Nonlinear Anal 72, 4331–4346 (2010) [10] Jofre, A., Wets, R.J.-B.: Variational convergence of bivariate functions: lopsided convergence, Math ´ Program Ser B 116, 275–295 (2009) [11] Jofre, A., Wets, R.J.-B.: Variational convergence of bifunctions: motivating applications, SIAM J Optim ´ 24, 1952–1979 (2014) [12] Lopez, R.: Approximations of equilibrium problems, SIAM J Control Optim 50, 1038–1070 (2012) [13] Lopez, R.: Variational convergence for vector-valued functions and its applications to convex multiob- ´ jective optimization, Math Meth Oper Res 78, 1–34 (2013) [14] Lopez, R., Vera, C.: On the set of weakly efficient minimizers for convex multiobjective programming., Oper Res Lett 36, 651–655 (2008) [15] Rockafellar, R.T., Wets, R.J.-B: Variational Analysis, 3rd edition,Grundlehren der Mathematischen Wissenschatt, vol.317 Springer, Berlin (2009) [16] Royset, J.O., Wets, J.B.R.: Lopsided convergence: An extention and its quantification, Math Program A 177, 395–423 (2019) [17] Soueycatt, M.: Stabilite quantitative des fonctions convexes-concaves Topol ´ epi/hypo-distance, Seminaire d’Anal Conv., Univ Montpelier II 20, 2.1–2 54 (1990) [18] Soueycatt, M.: Analyse epi/hypo-graphique ´ des problemes de pointsselles, PhD thesis, Univ Montpelier (1991) Phan Minh Huỳnh 51 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ [19] Walkup, D.W., Wets, R.J.-B.: Continuity of some convex-cone-valued mappings, Proc Am Math Soc 18, 229–235 (1967) [20] Wijman, R.A.: Convergence of sequences of convex sets, cones and functions II, Trans Am Math Soc 123, 32–45 (1966) [21] Zeng, J., Li, S.J., Zhang, W.Y., Xue, X.W.: Stability results for convex vector-valued optimization problems Positivity 15, 441–453 (2011) Phan Minh Huỳnh 52 Toán ứng dụng Luận văn Thạc sĩ LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I Sơ lược cá nhân: Họ tên:PHAN MINH HUỲNH Ngày, tháng, năm sinh: 04/02/1985 Nơi sinh: TPHCM Địa liên lạc: 38/14 Bình Chiểu, Phường Bình Chiểu, Quận Thủ Đức, Tp Hồ Chí Minh II Q trình đào tạo: Thời gian Tên trường Chun ngành Hình thức đào tạo Giảng dạy mơn Đại Học Bách Khoa 2016 - 2020 Toán Ứng Dụng học luận văn Tp Hồ Chí Minh thạc sĩ Đại Học Sư Phạm 2011 - 2013 Kỹ Thuật Tp Hồ Điện-Điện tử Chính Quy Chí Minh III Q trình công tác: Thời gian Cơ quan Chức vụ 01/09/2016 - Hiện Cty TNHH TMDV XNK Vạn Năng NVKT Phan Minh Huỳnh 53 ... 1.5 Hội tụ biến phân tính chất biến phân song hàm miền tổng quát 16 Chương ƯỚC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU BẰNG HỘI TỤ BIẾN PHÂN TRÊN MIỀN CHỮ NHẬT 28 2.1 Ước lượng toán. .. miền C n × Dn → C × D hội tụ e/h, hội tụ minsup-lop hội tụ maxinf-lop Do đó, hội tụ liên tục hội tụ biến phân, hội tụ mạnh nên khó thỏa mãn (ii) Các giới hạn dãy hội tụ e/h Các giới hạn tạo thành... 04/02/1985 Chuyên ngành: Toán ứng dụng I TÊN ĐỀ TÀI: ƯỚC LƯỢNG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU BẰNG HỘI TỤ BIẾN PHÂN II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Kiến thức sở - Ước lượng số toán tối ưu III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: