Sử dụng kỹ thuật phễu và cây phễu để tìm đường đi ngắn nhất trên bề của mặt khối đa diện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Mỹ Hạnh SỬ DỤNG KỸ THUẬT “PHỄU” VÀ “CÂY PHỄU” ĐỂ TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Mỹ Hạnh SỬ DỤNG KỸ THUẬT “PHỄU” VÀ “CÂY PHỄU” ĐỂ TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Phan Thành An Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đề tài: Sử dụng kỹ thuật “phễu” “cây phễu” để tìm đường ngắn bề mặt khối đa diện trình bày ba báo [7], [10] [5], ví dụ số liệu luận văn trung thực Nếu không nêu trên, xin hoàn toàn chịu trách nhiệm đề tài Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2020 Nguyễn Thị Mỹ Hạnh LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Phan Thành An hướng dẫn tơi hồn thiện luận văn Mặc dù bận rộn với công việc thầy dành thời gian quý giá để hướng dẫn bảo tơi tận tình Trong q trình làm luận văn thân tơi cịn có nhiều thiếu sót, nhiên thầy luôn động viên tạo điều kiện tốt để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tồn thể thầy Viện Toán học truyền đạt, chia sẻ cho tơi kiến thức bổ ích Đồng thời, tơi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới thầy cô anh chị em Học viện Khoa học Công nghệ giúp đỡ quan tâm tơi suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị nhóm nghiên cứu ln cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi q trình tham gia nhóm nghiên cứu để tơi củng cố kiến thức trau dồi kĩ sử dụng phần mềm hỗ trợ cho đề tài Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2020 Nguyễn Thị Mỹ Hạnh Mục lục LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN 1.1 ĐA GIÁC ĐƠN 1.2 ĐỒ THỊ, CÂY VÀ CHU TRÌNH, CÂY ĐỐI NGẪU 1.3 HÌNH ỐNG TAY VÀ HÌNH “PHỄU” 11 1.4 THUẬT TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN 14 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN 19 2.1 PHÉP LẬT 19 2.2 THUẬT TOÁN DÙNG NGUỒN SÁNG VÀ BĨNG 23 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG MỘT DÃY MẶT TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU 31 3.1 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA THẲNG NHẤT VÀ CÁC PHỄU DỌC THEO DÃY MẶT TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU 31 3.2 3.3 THUẬT TỐN TÌM CHÍNH XÁC ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM DỌC THEO DÃY MẶT TAM GIÁC 35 ỨNG DỤNG THUẬT TỐN NFU TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TỪ MỘT ĐIỂM TỚI TẤT CẢ CÁC ĐIỂM TRÊN BỀ MẶT KHỐI ĐA DIỆN 43 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 DANH MỤC KÍ HIỆU [a, b] Một đoạn thẳng giới hạn hai điểm a b E = (e1 , , em ) Một dãy cạnh chung F = (f1 , , fm+1 ) Một dãy mặt có m + tam giác liền kề Fpq (s) Một phễu dọc theo F tương ứng với [p, q] có chóp điểm s G Một đồ thị vơ hướng P = (q1 , q2 , , qn ) Một đa giác đơn có n đỉnh di Một đường chéo đa giác P vi (1) ; vi (2) SP (s, vi (j) Hai điểm đầu mút đường chéo di ) Đường ngắn từ s tới điểm cuối vi (j) Ri Phễu giới hạn SP (v, vi (1) ), SP (v, vi (2) ) đường chéo di I ei Ảnh của điểm nguồn s lên cạnh ei Ie P rojei i Hình chiếu Iei lên cạnh ei CF (u, v) Đường trắc địa thẳng từ u tới v MỞ ĐẦU Hiện nay, vấn đề nhà khoa học nghiên cứu lĩnh vực tối ưu, hình học tính tốn tính đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện, điều có ích ngành công nghiệp chế tạo rô-bốt, tối ưu hệ thống thông tin địa lý điều hướng (xem [1, 2, 3, 4]) Để giải tốn nói trên, nhiều nhà khoa học đưa phương án cho việc tìm đường ngắn hai điểm dãy mặt tam giác bề mặt khối đa diện (xem [5, 6]) Năm 1984, Lee Preparata [7] giới thiệu thuật tốn để tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn với độ phức tạp thời gian O(n log n) với n số đỉnh đa giác đơn Năm 1986, Sharir and Schorr [8] trình bày thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện lồi với n đỉnh khối đa diện độ phức tạp thời gian O(n3 log n) Thuật toán cải tiến với độ phức tạp thời gian O(n2 log n) Mount vào năm 1987 [9] Với tốn tìm đường ngắn từ điểm cố định tới đỉnh lại bề mặt khối đa diện, khối đa diện không thiết phải lồi, năm 1990, Chen and Han cơng bố thuật tốn với độ phức tạp thời gian O(n2 ) [10] với n số mặt khối đa diện xét Tuy nhiên, điểm yếu thuật toán mà Chen Han đưa phải lật mặt tam giác dãy mặt tam giác liền kề xếp chúng lại theo thứ tự Năm 2019, An sử dụng kĩ thuật lật phẳng với ý tưởng "Phễu" dọc theo dãy mặt tam giác để tính tốn đường ngắn hai điểm với độ phức tạp thời gian O(n2 ) với n số mặt dãy tam giác xét Luận văn trình bày lại số thuật tốn tìm đường ngắn đa giác đơn, khối đa diện dãy mặt tam giác không gian ba chiều theo ba chương Chương 1: Tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn Chương đầu tiên, luận văn trình bày lại số khái niệm lý thuyết đồ thị, giới thiệu khái niệm đa giác đơn, đối ngẫu để từ hình thành khái niệm hình ống tay, hình phễu Bên cạnh đó, luận văn trình bày thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn Lee Preparata (hay gọi thuật toán "Phễu") năm 1984 [7] đưa ví dụ minh hoạ cho thuật tốn Chương 2: Tìm đường ngắn bề mặt khối đa diện Trong chương này, luận văn trình bày lại khái niệm phép lật dãy mặt tam giác lên mặt phẳng, định nghĩa hình chiếu ảnh nguồn lên cạnh, bóng hình chiếu thuật tốn "tìm đường ngắn từ điểm nguồn tới tất đỉnh lại bề mặt khối đa diện" việc sử dụng nguồn sáng bóng Thuật tốn trình bày [10] năm 1990 Chương 3: Tìm đường ngắn hai điểm dãy mặt tam giác không gian ba chiều Ở chương cuối cùng, luận văn trình bày thuật tốn “Tìm đường ngắn hai điểm dãy mặt tam giác không gian ba chiều” đưa An năm 2019 [5] việc sử dụng ý tưởng “phễu” kĩ thuật lật phẳng Luận văn trình bày lại khái niệm đường trắc địa thẳng nhất, khái niệm “phễu” việc xác định "phễu" qua phép lật phẳng Bên cạnh đó, luận văn chứng minh ảnh “phễu” sau lật không bị đè lên Phần cuối cùng, luận văn trình bày việc ứng dụng thuật tốn “tìm đường ngắn hai điểm dọc theo dãy mặt tam giác không gian ba chiều” để giải tốn “tìm đường ngắn bề mặt khối đa diện” Chương TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN Trong chương này, luận văn trình bày lại số kiến thức lý thuyết đồ thị, khái niệm đa giác đơn, đối ngẫu, hình ống tay “Phễu” không gian hai chiều trình bày tảng để xây dựng thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn có sử dụng kĩ thuật “Phễu” 1.1 ĐA GIÁC ĐƠN Để giải toán tìm đường ngắn hai điểm s t nằm đa giác đơn mà đường ngắn khơng cắt biên đa giác, chúng tơi trình bày lại vài định nghĩa sau: Hình 1.1 Một đường gấp khúc đơn 39 Hình 3.7 Phễu (F, v4 , v2 , v0 , SPF (v0 , v4 )) tương ứng với cạnh chung [v2 , v4 ] Hình 3.8 Phễu (F, v5 , v4 , v0 , SPF (v0 , v5 )) tương ứng với cạnh chung [v4 , v5 ] 40 Hình 3.9 Phễu (F, v6 , v4 , v0 , SPF (v0 , v6 )) tương ứng với cạnh chung [v4 , v6 ] Hình 3.10 Phễu (F, v7 , v4 , v0 , SPF (v0 , v7 )) tương ứng với cạnh chung [v4 , v7 ] 41 Hình 3.11 Phễu (F, v9 , v7 , v0 , SPF (v0 , v9 )) tương ứng với cạnh chung [v7 , v9 ] Hình 3.12 Đường ngắn từ v0 tới đỉnh v4 phễu (F, v8 , v9 , v4 , SPF (v4 , v8 )) tương ứng với cạnh chung [v9 , v8 ] 42 Hình 3.13 Đường ngắn từ v0 tới đỉnh v4 phễu (F, v11 , v9 , v4 , SPF (v4 , v11 )) tương ứng với cạnh chung [v9 , v11 ] Hình 3.14 Đường ngắn từ đỉnh v0 tới đỉnh v10 dãy mặt tam giác không gian ba chiều 43 3.3 ỨNG DỤNG THUẬT TỐN NFU TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TỪ MỘT ĐIỂM TỚI TẤT CẢ CÁC ĐIỂM TRÊN BỀ MẶT KHỐI ĐA DIỆN Thuật tốn NFU tìm đường ngắn hai điểm dãy mặt tam giác không gian ba chiều khơng giúp giảm số phép tốn q trình tìm đường ngắn mà cịn có ứng dụng tìm đường ngắn hai đỉnh khối đa diện Đối với thuật toán thơ ngây Ví dụ 2.2.1, việc lật nhiều dãy mặt nhiều thời gian tính tốn dãy mặt không hữu dụng, tức có dãy mặt lật khơng xác định đường ngắn Thay việc tìm đường ngắn từ điểm nguồn cho trước tới đỉnh lại bề mặt khối đa diện, tốn chuyển thành tìm đường ngắn từ điểm nguồn cho trước tới đỉnh lại khối đa diện sử dụng thuật toán NFU Ví dụ sau làm rõ tính ứng dụng thuật toán NFU so với thuật toán thơ ngây Ví dụ 3.3.1 Xét khối đa diện mà mặt tam giác phân thành 16 mặt (xem hình 2.8) đỉnh s(1.5, 1.5, 6), v1 (0, 0, 3), v2 (3, 0, 3), v3 (3, 3, 3) v4 (0, 3, 3), v5 (0, 0, 0), v6 (3, 0, 0), v7 (3, 3, 0), v8 (0, 3, 0), v9 (1.5, 1.5, −3) Tìm đường ngắn từ đỉnh nguồn s tới đỉnh lại bề mặt khối đa diện cách sử dụng thuật toán dùng nguồn sáng thuật toán NFU Bây ta thực giải ví dụ hai thuật toán: thuật toán thơ ngây thuật toán NFU Sử dụng thuật toán “thơ ngây” để giải tốn: Trong ví dụ ta đường ngắn bề mặt khối đa diện từ đỉnh s tới đỉnh v1 , v2 , v3 , v4 3.67, đường ngắn từ s tới v5 , v6 , v7 , v8 6.5287, đường ngắn bề mặt khối đa diện từ s tới v9 9.7 qua dãy cạnh {[v1 , v2 ], [v2 , v5 ], [v5 , v6 ]} 44 Hình 3.15 Minh hoạ khối đa diện khơng gian ba chiều Ví dụ 3.3.1 ❼ Bước 1: Ta gán: root:= s; Các cạnh: [v1 , v2 ], [v2 , v3 ], [v3 , v4 ], [v4 , v1 ] cạnh đối diện với gốc s Khi đó: ([v1 , v2 ], s, [v1 , v2 ]), ([v2 , v3 ], s, [v2 , v3 ]), ([v3 , v4 ], s, [v3 , v4 ]), ([v4 , v1 ], S, [v4 , v1 ]) gốc s Khoảng cách từ đỉnh s tới đỉnh v1 , v2 , v3 , v4 3.67 Hình 3.16 Minh hoạ ∠( Sv1 v2 , v1 v2 v5 ) không gian ba chiều 45 ❼ Bước 2: Do khối đa diện sau mặt tam giác phân có tất 16 mặt nên xây dựng có 16 mức Mức 1: Đối với ([v1 , v2 ], s, [v1 , v2 ]), ([v2 , v3 ], s, [v2 , v3 ]), ([v3 , v4 ], s, [v3 , v4 ]), ([v4 , v1 ], s, [v4 , v1 ]) ta thực lật s quanh cạnh [v1 , v2 ], [v2 , v3 ], [v3 , v4 ], [v4 , v1 ], ta nhận thấy (xem hình 3.16): ∠( Sv1 v2 , v1 v2 v5 ) = 153o 43o ; ∠( Sv3 v4 , v3 v4 v7 ) = 153o 43o ; ∠( Sv2 v3 , v2 v3 v6 ) = 153o 43o ; ∠( Sv4 v1 , v4 v1 v8 ) = 153o 43o Ở mức này, ta thực lật s qua cạnh [v1 , v2 ], [v2 , v3 ], [v3 , v4 ], [v4 , v1 ] lên mặt phẳng chứa mặt v1 v2 v5 , v2 v3 v6 , v3 v4 v7 , v4 v1 v8 ảnh s tương ứng mặt phẳng lật I[v1 ,v2 ] , I[v2 ,v3 ] , I[v3 ,v4 ] , I[v4 ,v1 ] Đối với sv1 v2 v1 v2 v5 sau đồng phẳng, ta gán e := [v1 , v5 ], [v2 , v5 ] I[v ,v ] thực tính hình hình chiếu P roj[v11,v55] ảnh nguồn I[v1 ,v5 ] lên I[v ,v ] cạnh [v1 , v5 ] P roj[v22,v55] ảnh nguồn I[v2 ,v5 ] lên cạnh [v2 , v5 ] I[v ,v ] Thêm [v1 , v5 ], I[v1 ,v5 ] , P roj[v11,v55] I[v ,v ] [v2 , v5 ], I[v2 ,v5 ] , P roj[v22,v55] ([v1 , v2 ], s, [v1 , v2 ]) Từ đây, ta tính đường ngắn từ s tới đỉnh v5 6.5287 qua cạnh [v1 , v2 ] Tương tự sv2 v3 v2 v3 v6 , sv3 v4 v3 v4 v7 , sv4 v1 v4 v1 v8 ta tính đường ngắn từ s tới đỉnh v6 , v7 , v8 6.5287 I[v ,v ] Mức 2: Đối với [v2 , v5 ], I[v2 ,v5 ] , P roj[v22,v55] ta lại tiếp tục thực việc lật I[v2 ,v5 ] quanh cạnh [v2 , v5 ] [v1 , v5 ] để ảnh nguồn tương ứng I[v2 ,v5 ] I[v1 ,v5 ] Từ ta tính đường ngắn từ I[v2 ,v5 ] tới đỉnh v6 6.5287 Các khác mức ta làm tương tự để tìm đường ngắn từ ảnh nguồn tới đỉnh v7 , v8 I[v ,v ] Mức 3: Đối với [v5 , v6 ], I[v5 ,v6 ] , P roj[v55,v66] ta lại tiếp tục thực việc lật I[v2 ,v5 ] quanh cạnh [v5 , v6 ] để ảnh nguồn tương ứng I[v5 ,v6 ] Từ ta tính đường ngắn từ I[v5 ,v6 ] tới đỉnh v9 9.7 46 Hình 3.17 Minh hoạ đường ngắn từ I[v1 v2 ] đến v5 không gian ba chiều Hình 3.18 Minh hoạ đường ngắn từ I[v2 ,v5 ] đến v6 không gian ba chiều Tiếp tục việc lật tính tốn hình chiếu mức thứ 16, tất đường ngắn từ điểm nguồn s tới đỉnh cịn lại tính 47 Hình 3.19 Minh hoạ đường ngắn từ I[v5 ,v6 ] đến v9 không gian ba chiều Sử dụng thuật toán NFU để giải toán: Đối với thuật tốn NFU, để tìm đường ngắn từ điểm nguồn s tới đỉnh lại bề mặt khối đa diện, ta chuyển toán thành toán nhỏ Đối với đỉnh kề với đỉnh s v1 , v2 , v3 , v4 ta tìm ln đường ngắn từ điểm nguồn s tới đỉnh Đối với đỉnh v5 , v6 , v7 , v8 , v9 , ta cần tìm tất dãy mặt chứa đỉnh s v5 , s v6 , s v7 , s v8 , s v9 sử dụng thuật tốn NFU để tìm đường ngắn dãy mặt Sau tìm đường ngắn ta so sánh đường ngắn có điểm nguồn điểm tới với chọn đường ngắn Như vậy, sử dụng thuật toán NFU để giải tốn tìm đường ngắn từ điểm nguồn tới đỉnh lại bề mặt khối đa diện số phép toán giảm nhiều so với việc sử dụng thuật tốn thơ ngây 48 Hình 3.20 Đường ngắn màu đỏ từ đỉnh nguồn s tới đỉnh bề mặt khối đa diện Để lược bỏ dãy mặt mà đường ngắn từ đỉnh nguồn tới đỉnh cần tìm khơng phải đường ngắn bề mặt khối đa diện, ta xét lại dãy mặt Ví dụ 3.2.1 dãy mặt tam giác khối đa diện Hình 3.21 Hình 3.21 Dãy tam giác chọn tơ màu xanh Ví dụ 3.2.1 chứa hai đỉnh v0 v10 49 Trong Ví dụ 3.2.1 đường ngắn v0 tới v10 đường màu đỏ qua đỉnh v4 đỉnh v9 khối đa diện khơng cịn đường ngắn từ đỉnh v0 tới đỉnh v10 bề mặt khối đa diện Hình 3.22 Đường ngắn màu đỏ thuộc dãy mặt màu xanh chọn bề mặt khối đa diện Để đảm bảo đường ngắn từ điểm nguồn tới đỉnh cần tìm ngắn bề mặt khối đa diện luận văn sử dụng kỹ thuật cập nhật dãy mặt tam giác Valérie Pham-Trong, Nicolas Szafran Luc Biard trình bày năm 2001 [6] Trong trường hợp đường ngắn dãy mặt tam giác lật phẳng đoạn thẳng tốn tìm đường ngắn giải quyết, đường ngắn dãy mặt tam giác lật phẳng đường gấp khúc (gấp đỉnh có tổng số đo lớn 180o - đỉnh xoay) thuật tốn cập nhật dãy mặt quanh đỉnh xoay Họ chứng minh đường ngắn dãy mặt cập nhật nhỏ đường ngắn dãy mặt trước cập nhật Áp dụng kĩ thuật để giải tốn Ví dụ 3.3.1, ta chọn dãy mặt (xem Hình 3.23) 50 Hình 3.23 Chọn dãy mặt màu tím xoay quanh đỉnh v5 chứa đường ngắn hai đỉnh v0 v10 khác Sử dụng thuật toán NFU để tìm đường ngắn từ đỉnh v0 tới đỉnh v10 dãy mặt tam giác cập nhật ta thu đường ngắn tốt đường ngắn chưa cập nhật dãy mặt tam giác (xem Hình 3.24) Hình 3.24 Đường ngắn màu đỏ từ v0 tới v10 dãy mặt tam giác 51 KẾT LUẬN Luận văn trình bày theo ba chương với nội dung giải tốn tìm đường ngắn hai điểm dãy mặt tam giác không gian ba chiều ý tưởng “phễu” có sử dụng kĩ thuật lật phẳng Từ phát triển thuật tốn việc xây dựng tìm đường ngắn từ điểm nguồn tới đỉnh lại bề mặt khối đa diện việc lựa chọn dãy mặt tam giác khác ❼ Chương 1: Nội dung chương giải tốn tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn Đây tốn giải khơng gian hai chiều có sử dụng kỹ thuật “phễu” ❼ Chương 2: Chương trình bày kỹ thuật lật phẳng dãy mặt tam giác dãy mặt tam giác cho trước sau đưa thuật tốn dùng nguồn sáng bóng (thuật tốn Thơ ngây) để xác định đường ngắn từ điểm nguồn tới đỉnh lại bề mặt khối đa diện Sau đó, luận văn đưa ví dụ để minh hoạ cho thuật tốn, đồng thời cho thấy cồng kềnh số phép tốn việc tính tốn đường ngắn ❼ Chương 3: Chương cuối trình bày lại thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm dọc theo dãy mặt tam giác không gian ba chiều cách sử dụng kĩ thuật lật phẳng mặt tam giác ý tưởng “phễu” (thuật toán NFU) Luận văn đưa ứng dụng thuật tốn NFU việc tìm đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện cách lựa chọn dãy mặt tam giác khác chứa hai điểm cần tìm đường ngắn 52 Tài liệu tham khảo [1] P K Agarwal, S Har-Peled, M Karia Computing approximate shortest paths on convex polytopes Algorithmica 2002;33(2):227–242 [2] J A Sethian Fast marching methods SIAM Rev 1999;41(2):199–235 [3] S Nazari, M R Meybodi, M A Salehigh, S Taghipour An advanced algorithm for finding shortest path in car navigation system 2008 First International Conference on Intelligent Networks and Intelligent Systems 2008;671-674 [4] V Akman Geometry and graphics applied to robotics Theoretical foundations of computer graphics and CAD NATO ASI Series 1988;40:619-638 [5] P T An Finding Shortest paths in a sequence of triangles in 3D by the planar unfolding Numerical Functional Analysis and Optimization 2019; 40(8):1532-2467 [6] V P Trong, N Szafran, L Biard Pseudo-geodesics on threedimensional surfaces and pseudo-geodesic meshes Numerical Algorithms 2001;26(4):305-315 [7] D T Lee, F P Preparata Euclidean shortest paths in the presence of rectilinear barries NETWORKS 1984;14(3):393-410 [8] M Sharir, A Schorr On shortest paths in polyhedral spaces SIAM Journal on Computing 1986; 15(1):193-215 [9] J S B Mitchell, D M Mount, C H Papadimitriou The discrete geodesic problem SIAM Journal on Computing 1987; 16(4):647-668 53 [10] J Chen, Y Han Shortest paths on a polyhedron, Part I: Computing shortest paths International Journal of Computational Geometry and Applications 1990; 6(2):360-369 [11] D M Mount On finding shortest paths on convex polyhedra Maryland Univ College Park Center for Automation Research 1985 [12] P T An Finding shortest paths in a sequence of triangles in 3D by method of orienting curves Optimization 2018; 67(1):159-177 [13] E W Dijkstra A note on two problems in connection with graphs Numerische Mathematik 1959;1:269–271 [14] P R Evans Rotations and rotation matrices Acta Crystallographica Section D, Acta Cryst 2001;57:1355-1359 [15] R J Wilson Introduction to graph thery Fourth edison Addison Wesley Longman Limited Edinburgh Gate, Harlow, Essex CM20 2JE, England 1996 ... thuật tốn ? ?tìm đường ngắn hai đi? ??m dọc theo dãy mặt tam giác khơng gian ba chiều” để giải tốn ? ?tìm đường ngắn bề mặt khối đa diện? ?? 6 Chương TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐI? ??M TRONG ĐA GIÁC ĐƠN... ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐI? ??M TRONG ĐA GIÁC ĐƠN 14 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN 19 2.1 PHÉP LẬT 19 2.2 THUẬT TỐN DÙNG NGUỒN SÁNG VÀ... VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Thị Mỹ Hạnh SỬ DỤNG KỸ THUẬT “PHỄU” VÀ “CÂY PHỄU” ĐỂ TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ