Công nghệ CAD / CAM Phần 3

C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Chương 3. MÔ HÌNH HOÁ CÁC THỰC THỂ HÌNH HỌC 3.1. MÔ HÌNH ĐƯỜNG CONG Về mặt lý thuyết có thể sử dụng phương trình toán học bất kỳ để định nghĩa đường cong. Tuy nhiên, mô hình toán học dưới dạng phương trình đa thức được sử dụng phổ biến nhất do có đặc tính dễ dàng xử lý, đủ linh hoạt để mô tả phần lớn các loại đường cong sử dụng trong kỹ thuật. 3.1.1. PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC. Mô hình toán học bi ểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn, phương trình tường minh hoặc phương trình tham số. Phương trình ẩn và phương trình tường minh chỉ được sử dụng cho đường cong 2D. Đường cong đa thức tương ứng với các dạng phương trình toán học được trình bày dưới dạng tổng quát sau: Phương trình đa thức ẩn. 0),( 00 == ∑∑ == m i n j ji ij yxcyxg Phương trình đa thức tường minh. .)( 2 +++== cxbxaxfy (theo toạ độ Đề các) .)( 2 +++== γθβθαθ hr (theo toạ độ cực) Phương trình đa thức tham số. .))(),(),(()( 2 +++=≡ ctbtatztytxtr Các dạng đường cong đa thức tham số được sử dụng phổ biến nhất bao gồm: 1, Đường cong đa thức chuẩn tắc, 2, Đường cong Ferguson, 3, Đường cong Bezier, 4, Đường cong B-spline đều, 5, Đường cong B-spline không đều. 3.1.2. ĐƯỜNG CONG 2D. Đường cong 2D được sử dụng như các đối tượng hình học cơ sở trên các bản vẽ kỹ thuật truyền thống để mô tả hình thể 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức ẩn. Phương trình ẩn g(x,y) = 0 biểu diễn đường cong trên mặt phẳng x-y, ví dụ như đường tròn và đường thẳng được biểu diễn bởi phương trình: C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 0)()( 222 =−−+− rbyax ; 0=++ cbyax Mô hình này có ưu điểm: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến, - Dễ dàng xác định vị trí tương đối giữa điểm với đường cong. Phương trình đa thức bậc 2 g(x,y) = 0 biểu diễn họ đường cong conic là giao tuyến giữa mặt cắt phẳng và mặt nón trụ. Tuỳ theo vị trí tương đối giữa mặt phẳng cắt và mặt nón, đường cong conic có th ể là: 1, Elip : 01 2 2 2 2 =−+ b y a x 2, Parabôn : 04 2 =− axy 3, Hyperbôn : 01 2 2 2 2 =−− b y a x Nhược điểm chính của mô hình đường cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự, đây là chức năng quan trọng trong đồ hoạ điện toán. Do vậy trong mô hình hoá hình học, đường cong conic dưới dạng phương trình tham số được sử dụng phổ biến hơn cả. Thực tế mô hình dạng phương trình đa thức ẩn có bậc cao hơn 2 rất ít được s ử dụng. 2. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức tường minh. Phương trình tường minh dạng : y = f(x) = a + bx + cx 2 + . mô tả đường cong trên mặt phẳng x-y. Nếu f(x) là đa thức bậc 2, đường cong là Parabol. Đặc tính tiêu biểu của đa thức tường minh là có thể chuyển đổi thành phương trình ẩn hoặc phương trình tham số. Nếu y = f(x) , trong đó f(x) là đa thức của x, tức là: 0)(),( =−≡ xfyyxg hoặc x(t) = t ; y(t) = f(t) (3.1) Do vậy phương trình đa thức tường minh có ưu điểm của phương trình ẩn và phương trình tham số, đó là: - Dễ dàng xác định vectơ tiếp tuyến và pháp tuyến. - Dễ dàng xác định vị trí tương quan giữa điểm với đường cong. - Dễ dàng thực hiện đồ hình tuần tự. Nhược điểm chính của dạng phương trình tường minh là không thể đ iều khiển đường cong khép kín hoặc đường thẳng đứng. Dạng phương trình (3.1) còn được gọi là dạng phi tham số. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3.1.3. ĐƯỜNG CONG ĐA THỨC THAM SỐ. Khảo sát việc thiết lập đường cong với điều kiện biên cho trước bao gồm toạ độ và tiếp tuyến tại 2 điểm đầu và cuối: P 0 , P 1 , t 0 , t 1 . Vì rằng đường cong được định nghĩa bởi 2 vectơ vị trí và 2 vectơ tiếp tuyến có thể biểu diễn chúng dưới dạng phương trình đa thức vectơ bậc 3. Đa thức bậc 3 được sử dụng rất phổ biến, bởi vì đó là bậc tối thiểu, đủ để dựng các loại đường cong trong không gian 3D. 1. Mô hình đường cong dưới dạng phương trình đa thức chuẩn tắc. Đặc tính của mô hình đa thức chuẩn tắc là dễ dàng xác định. Xét phương trình đa thức vectơ bậc 3: r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = a + bu + cu 2 + du 3 Có thể biểu diễn phương trình đa thức này dưới dạng ma trận theo vectơ cơ sở U và vectơ hệ số A như sau: [] UA d c b a uuuur = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 32 1)( với 10 ≤≤ u (3.2) Phương trình đa thức bậc 3 (3.2) không thể hiện được ý nghĩa hình học, nhưng có thể được sử dụng để thiết lập đường cong trơn láng đi qua 4 điểm dữ liệu { P i : i = 1, .,4} theo phương pháp sau: Đặt d i là chiều dài cát tuyến giữa điểm P i và P i+1 : iii PPd −= +1 với i = 0, 1, 2 Từ đó giá trị tham số u i tại các điểm P i được xác định như sau: 0 0 =u ; ∑ = i ddu / 01 ; ∑ += i dddu /)( 102 ; 1 3 =u Đường cong bậc 3 (3.2) đi qua các điểm dữ liệu phải thoả điều kiện: ii Pur =)( ; với i = 1, .,4 Tổng quát, đường cong đa thức bậc n đi qua (n+1) điểm dữ liệu được biểu diễn bởi phương trình đa thức: ∑ = = n i i i uaur 0 )( 2. Đường cong Ferguson. Ferguson giới thiệu một phương pháp khác sử dụng phương trình (3.2). Theo đó đường cong được thiết lập bởi (Hình 3.1): a. Hai điểm đầu cuối P 0 và P 1. b. Tiếp tuyến đầu cuối t 0 và t 1 . r(u) t 0 t 1 P 0 P 1 Hình 3.1 - Đường cong Ferguson C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Đường cong bậc 3 (3.2) thoả điều kiện biên P 0 , P 1 , t 0 , t 1 chúng phải đảm bảo: dcbrt brt dcbarP arP 32)1( )0( )1( )0( 1 0 1 0 ++== == +++== == & & (3.3) Sau các phép biến đổi, hệ số PT đa thức được xác định theo biểu thức: CS t t P P d c b a A ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 0 1122 1233 0100 0001 (3.4) Kết hợp biểu thức (3.2) và (3.4), đường cong Ferguson r(u) theo điều kiện biên như trên được biểu diễn bởi ma trận hệ số Ferguson C và vectơ điều kiện biên Ferguson S như sau: S)( UCUAur == , với 10 ≤≤ u (3.5) Thực tế dễ dàng xác định được độ lớn của vectơ tiếp tuyến, do đó độ lớn của vectơ được chọn bằng chiều dài cát tuyến 0110 PPtt −== . Sự lựa chọn này thoả yêu cầu về hình dáng. Phương trình (3.2) và (3.5) đều được biểu diễn dưới dạng ma trận cơ sở. Có thể biểu diễn (3.5) dưới dạng khác: r(u) = (U C) S = (1- 3u 2 +2u 3 )P 0 + (3u 2 - 2u 3 )P 1 + (u - 2u 2 + u 3 )t 0 + (-u 2 + u 3 )t 1 (3.6) = 1 3 31 3 20 3 10 3 0 )()()()()()( PuHutuHutuHPuH +++ trong đó: )231()( 323 0 uuuH +−= ; )2()( 323 1 uuuuH +−= )()( 323 2 uuuH +−= ; )23()( 323 3 uuuH −= )( 3 uH i là hàm kết nối Hermite bậc 3 thoả điều kiện biên tại u = 0, 1 như sau: 0)0()1()0()1( 1)1()0()1()0( 3 2 3 1 3 3 3 0 3 2 3 1 3 3 3 0 ==== ==== HHHH HHHH && && 0)()()()( 3 2 3 1 3 2 3 1 ==== jHjHjHjH && với mọi j = 0,1 Dễ dàng xác nhận rằng phương trình (3.6) thoả điều kiện biên (3.3). Phương trình (3.6) là định nghĩa chuẩn về đường cong kết nối Hermite. C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 3. Đường cong Bezier Đường cong Bezier được định nghĩa bằng nhiều phương pháp. Hãy xét phương pháp xây dựng đường cong Bezier bậc 3 từ phương trình đường cong Ferguson (3.5). Bốn đỉnh điều khiển Bezier V 0 , V 1 , V 2 , V 3 (hình 3.2a) thoả điều kiện: V 0 là điểm đầu của đường cong, V 1 là vị trí 1/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến đầu, V 2 là vị trí 2/3 chiều dài trên vectơ tiếp tuyến cuối, V 3 là điểm cuối của đường cong. Đỉnh điều khiển Bezier được biểu diễn theo điều kiện Ferguson như sau: V 0 = P 0 ; V 1 = (V 0 + t 0 /3) ; V 2 = (V 3 - t 1 /3) ; V 3 = P 1 Ngược lại, điều kiện biên Ferguson được biểu diễn theo đỉnh điều khiển Bezier V i là: P 0 = V 0 ; P 1 = V 3 ; t 0 = 3(V 1 -V 0 ) ; t 1 = 3(V 3 -V 2 ) hay dưới dạng ma trận: LR V V V V t t P P S ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 3 2 1 0 1 0 1 0 3300 0033 1000 0001 (3.7) Cuối cùng ta thay thế kết quả (3.7) vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong Bezier bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số Bezier M và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S = U C (L R) = U (C L) R = U M R , với 10 ≤≤ u (3.8) trong đó: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = 1331 0363 0133 0001 M ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 0 V V V V R Đặc tính tiêu biểu của đường cong Bezier là hình dáng của đường cong phụ thuộc vào đa tuyến lồi giới hạn bởi các đỉnh điều khiển ( Hình 3.2) . Tương tự như V 0 =P 0 V 3 =P 1 V 2 V 1 t 1 t 0 a, V 3 V 0 V 1 V 2 r(u) r(u) b, V 0 V 1 V 2 V 3 r(u) c, Hình 3.2 - Đường cong Bezier bậc 3 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH đường cong Ferguson có thể biểu diễn đường cong Bezier (3.8) dưới dạng phương trình đa thức: ∑ = = +++= = 3 0 3 3 3 32 3 21 3 10 3 0 )( )()()()( )()( i ii VuB VuBVuBVuBVuB RUMur (3.9) trong đó: 33 0 )1()( uuB −= ; 23 1 )1(3)( uuuB −= )1(3)( 23 2 uuuB −= ; 33 3 )( uuB = là đa thức Bernstein bậc 3. Đa thức Bernstein bậc n có dạng : inin i uu in n uB − − − = )1( !)!1( ! )( (3.10a) Đa thức Bernstein được gọi là hàm cơ sở Bezier sử dụng để định nghĩa đường cong Bezier bậc n bằng cách kết nối (n+1) đỉnh điều khiển: ∑ = = n i i n i VuBur 0 )()( , với 10 ≤≤ u (3.10b) Đường cong Bezier bậc n thoả điều kiện biên sau: r(0) = V 0 ; r(1) = V 1 ; )()0( 01 VVnr −= & ; )()1( 1 − −= nn VVnr & (3.11) Định nghĩa chuẩn về đường cong Bezier theo hàm cơ sở Bezier (3.10b) thể hiện tính chất hình học của đường cong tốt hơn so với biểu diễn dưới dạng ma trận (3.8), ví dụ như có thể chia nhỏ hoặc tăng bậc cho đường cong. Ngược mại dạng ma trận có ưu điểm là dễ dàng xử lý dữ liệu. 4. Đường cong B-spline đều. Mô hình toán học của đường cong B-spline là phương trình đại số. Ta sẽ nghiên cứu phép dựng hình để hiểu rõ tính chất hình học của dạng mô hình này. Xét 4 đỉnh điều khiển V 0 , .,V 3 và các điểm M 0 , M 1 , P 0 , P 1 với tính chất như sau: (Hình 3.3). M 0 là điểm giữa của đoạn thẳng V 0 V 2 : M 0 = (V 0 +V 2 )/2 M 1 là điểm giữa của đoạn thẳng V 1 V 3 : M 1 = (V 1 +V 3 )/2 P 0 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V 1 M 0 : P 0 = (2V 1 +M 0 )/3 P 1 là điểm 1/3 của đoạn thẳng V 2 M 1 : P 1 = (2V 2 +M 1 )/3 Cần thiết lập đường cong bậc 3 r(u) thoả điều kiện: 1. Đường cong bắt đầu từ điểm P 0 và kết thúc tại điểm P 1 , 2. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P 0 có giá trị bằng (M 0 -V 0 ), 3. Vectơ tiếp tuyến tại điểm P 1 có giá trị bằng (M 1 -V 1 ). Như vậy ta có thể biểu diễn điểm biên P 0 , P 1 và tiếp tuyến t 0 , t 1 theo đỉnh điều khiển như sau: C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH P 0 ≡ r(0) = [4V 1 +(V 0 +V 2 ) ]/6 (3.12a) P 1 ≡ r(1) = [4V 2 +(V 1 +V 3 ) ]/6 (3.12b) t 0 ≡ r & (0) = (V 2 - V 0 ) /2 (3.12c) t 1 ≡ r & (0) = (V 3 - V 1 ) /2 (3.12d) hay dưới dạng ma trận: KR V V V V t t P P S ≡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≡ 3 2 1 0 1 0 1 0 3030 0303 1410 0141 6 1 Thay kết quả trên vào phương trình đường cong Ferguson (3.5) để đạt được phương trình đường cong B-spline đều bậc 3 biểu diễn bởi ma trận hệ số B-spline đều N và vectơ đỉnh điều khiển R: r(u) = U C S = U C (K R) = U (C K) R = U N R với 10 ≤≤ u trong đó: C là ma trận Ferguson ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = 1331 0363 0303 0141 6 1 N Tương tự như đường cong Bezier ta có thể biểu diễn đường cong B-spline đều bậc 3 bởi hàm kết nối B-spline đều )( 3 uN i : ∑ = == 3 0 3 )()()( i ii VuNRUNur (3.14) trong đó: 6/)331()( 323 0 uuuuN −+−= ; 6/)364()( 323 1 uuuN +−= 6/)3331()( 323 2 uuuuN −++= ; 6/)( 33 3 uuN = 3.1.4. ĐƯỜNG CONG B-SPLINE KHÔNG ĐỀU (NURBS) NURBS – Non-Uniform Rational B-Spline Phần này sẽ cung cấp định nghĩa toán học về đường cong B-spline không đều và chỉ ra rằng đường cong Bezier và B-spline đều là trường hợp đặc biệt của NURBS. V 1 V 2 V 3 V 0 M 1 M 0 P 0 P 1 r(u) t 1 t 0 Hình 3.3 - Đường cong B-spline đều bậc 3 C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 1. Hàm cơ sở B-spline. Xét hàm vô hướng đệ qui )(tL n i được định nghĩa theo chuỗi điểm không giảm {t i }: )( )( )( )( )( )( )( 1 1 1 1 1 1 tL tt tt tL tt tt tL n i ini i n i ini i n i − + ++ + − −+ − − + − − = (3.15) trong đó: khác t các ],,[ ,0 ,1 )( 1 1 + ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = ii i ttt tL 1+ < ii tt Hàm đệ qui (3.15) được gọi là hàm đệ qui Cox-deBoor là phương pháp chuẩn định nghĩa hàm cơ sở B-spline (bậc n-1). Ta sẽ khảo sát hàm này để hiểu rõ tính chất hình học của chúng. Xét n = 2: )( )( )( )( )( )( )( 1 1 12 1 1 1 2 tL tt tt tL tt tt tL i ii i i ii i i + ++ + + − − + − − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ −− −− = ++ + +++ + khác t các ],[ ],[ ,0 ),/()( ),/()( 21 1 122 1 ii ii iii iii ttt ttt tttt tttt Để đơn giản các phép tính đại số ta sử dụng toán tử vi phân ∇ để biểu diễn khoảng cách giữa các điểm nút: )( 1 iii tt −=∇ + (3.16a) )( . 1 ikikii k i tt −+∇++∇=∇ +−+ (3.16b) Sử dụng toán tử vi phân ∇ , hàm Cox-deBoor với n = 2 có giá trị: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ ∇− ∇− == ++ + ++ khác t các ],[ ],[ ,0 ,/)( ,/)( )( 21 1 12 2 ii ii ii ii i ttt ttt tt tt tL Với n = 3, ta có: )( )( )( )( )( 2 1 2 3 2 2 3 tL tt tL tt tL i i i i i i i + + ∇ − + ∇ − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∇∇− ∇∇∇−∇−∇∇− ∇∇− = +++ +++ 0 ),/()( ),/()()/()( ),/()( 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 322 22 iii iiiiiiii iii tt tttt tt ],[ ],[ ],[ 32 21 1 ++ ++ + ∈ ∈ ∈ ii ii ii ttt ttt ttt (3.17) C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH Biểu thức (3.17) là hàm cơ sở B-spline bậc 2. Hình dáng chức năng của hàm cơ sở B-spline bậc nhỏ hơn 4 được thể hiện trên hình 3.4. Vì hàm cơ sở B-spline có hình dạng khác biệt trên từng miền tham số, hàm cơ sở trong khoảng thứ k được phân biệt bởi chỉ số thứ hai [k]: )()( ][ tLtL n i n ki ≡ với nkttt kiki , .,2,1:],[ 1 =∈ +−+ (3.18) Theo qui ước trên thì hàm cơ sở B-spline (3.17) trên miền tham số đầu tiên ],[ 1 + ∈ ii ttt được trình bày lại như sau: )()( 33 ]1[ tLtL ii ≡ với )/()(],[ 22 1 iiikiki ttttt ∇∇−=∈ +−+ Hãy định nghĩa phép chuyển đổi tuyến tính giữa tham số u và t như sau: u = (t - t i )/(t i+1 - t i ) = (t - t i )/∇ i (3.19) Như được minh họa trên hình 3.5 chỉ có 3 hàm cơ sở B-spline bậc 2 có giá trị khác không trên miền ],[ 1 + ∈ ii ttt , bao gồm )( 3 ]3[2 tL i− , )( 3 ]2[1 tL i− , )( 3 ]1[ tL i− . )./()()( 2 1 2 1 3 ]3[2 iiiii tttL ∇∇−= −+− )/()/2()/( 2 1 22 1 2 1 −−− ∇∇+∇∇−+∇∇= iiiiii uu (3.20a) )( 2 0 uN≡ với 10 ≤≤ u t t t t )( 1 tL i )( 2 tL i )( 3 tL i )( 4 tL i t i t i+1 t i+2 t i+3 t i+4 Hình 3.4 - Hàm cơ sở B-spline không đều C3 CAD-CAM>MHHCACTTHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH )/()()./()()( 1 223 11 2 1 2 1 3 ]2[1 −−−−−− ∇∇∇−∇−∇∇−= iiiiiiiii tttttL ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ ∇ +∇∇+∇∇= − −− −−− 2 3 1 2 11 22 1 2 11 )/()/( i i i i i i iiii uu (3.20b) )( 2 1 uN≡ với 10 ≤≤ u )./()()( 223 ]1[ iiii tttL ∇∇−= − )./()( 22 iii u ∇∇∇= (3.20c) )( 2 2 uN≡ với 10 ≤≤ u 2. Đường cong B-spline không đều. Với chuỗi điểm 3D cho trước {P j } và hàm cơ sở B-spline (bậc 2) )( 3 tL j (3.17) trên miền tham số ],[ 1 + ∈ ii ttt , ta thiết lập hàm vectơ: ∑ −= + ∈= i ij iijj ttttLPtr 2 1 3 ],[:)()( (3.21) Như đã minh hoạ trên hình 3.5, hàm kết nối (3.21) có giá trị khác 0 chỉ khi j=i- 2, i-1, i. Ta đặt: V 0 = P i-2 ; V 1 = P i-1 ; V 2 = P i từ (3.17) và (3.20) hàm vectơ (3.21) được biểu diễn bởi: ∑ −= = i ij jj tLPtr 2 3 )()( với ],[ 1 + ∈ ii ttt )()()( 33 11 3 22 tLPtLPtLP iiiiii ++= −−−− với ],[ 1 + ∈ ii ttt (3.22) )()()( 3 ]1[2 3 ]2[11 3 ]3[20 tLVtLVtLV iii ++= −− )()()( 2 22 2 11 2 00 uNVuNVuNV ++= )(urRUN q ≡= với ]1,0[∈u trong đó: [] 2 1 uuU = ; [ ] T VVVR 210 = t i-2 t i+1 t i-1 t i t i+2 3 1+i L t i+3 3 ]2[1−i L 3 ]1[i L 3 ]3−i L 3 ]3[2−i L Hình 3.5 - Hàm cơ sở B-spline bậc 2 khác 0 trên miền [t i , t i+1 ][2] t [...]... bậc 3: C3 CAD- CAM> MHHCACTTHH 24 GVC NGUYỄN THẾ TRANH 0 ≤ u ≤ 1; i=0,1, ,n-1 r i (u ) = UN ci R i i (3. 60) T R = [Vi Vi+1 Vi+2 Vi +3] trong đó: 2 (∇ i −1 ) 2 ⎡ (∇ i ) ⎤ 1 − n11 − n 13 0 ⎥ 2 2 3 2 ⎢∇ ∇ ∇ i −1∇ i −1 ⎢ i −1 i −2 ⎥ 3 i ∇ i −1 ⎢ − 3n11 (3n11 − n 23 ) 0 ⎥ 3 2 ⎢ ⎥ ∇ i −1∇ i −1 N ci = ⎢ 2 ⎥ 3( ∇ i ) − (3n11 + n 33 ) 0 ⎥ ⎢ 3n11 ∇ 3 1∇ i2−1 i ⎢ ⎥ (∇ i ) 2 ⎥ ⎢ (n11 − n 43 − n44 ) n 43 ⎢ − n11 ∇ 3 i2... nội suy qua (4x4) dãy điểm 3D {Pij ; i =0, ,3; j = 0, ,3} (Hình 3. 11): P 03 Đặt giá trị tham số tại các P 13 điểm góc lưới: P02 P12 P00 : u = v = 0 P 03 : u = 0 , v = 1 P30 : u = 1 , v = 0 P 33 : u = 1 , v = 1 Gía trị tham số tại các điểm khác lấy theo chiều dài cát tuyến: P01 P 23 P22 P11 P 33 P21 v P00 P32 u P10 P20 P31 P30 Hình 3. 11 - Mặt lưới đa thức chuẩn tắc bậc 3 kép C3 CAD- CAM> MHHCACTTHH Ví dụ tại... Hermite bậc 3 H i3 (v) : r (u , v) = H 03 (v)r0 (u ) + H 13 (v)t 0 (u ) + H 23 (v)t1 (u ) H 33 (v)r1 (u ) trong đó: H 03 (v) = (1 − 3v 2 + 2v 3 ) ; H 23 (v) = (−v 2 + v 3 ) ; ri(u) ti(u) (3. 71) H 13 (v) = (v − 2v 2 + v 3 ) H 33 (v) = (3v 2 − 2v 3 ) : đường biên (i = 0, 1) : tiếp tuyến biên ngang (i = 0, 1) 3 Mặt lưới Coons chữ nhật Thiết lập mặt cong r(u,v) nội suy từ các đường biên (Hình 3. 16): a0(v)... V12 V 13 ⎥ ⎥ : Ma trận đỉnh điều khiển Bezier V21 V22 V 23 ⎥ ⎥ V31 V32 V 33 ⎦ V 03 V 13 u=0 Ma trận hệ số Bezier bậc 3 M và ma trận đỉnh điều khiển Bezier B tạo thành khối đa diện đặc tính V02 V01 V 23 V12 V22 V11 v V 33 V21 v=0 V00 u V32 V10 V20 V31 V30 Hình 3. 13 - Mặt lưới Bezierbậc 3 kép Có thể phát triển mô hình mặt lưới Bezier bậc 3 kép tới bậc (m x n): m n r (u , v) = ∑ ∑ Bim (u ) B jn (v)Vij (3. 67)... nêu trên 3 Mô hình mặt lưới Bezier Hãy xét dãy (4x4) đỉnh điều khiển {Vij} (Hình 3. 13) Bằng cách kết nối các đỉnh điều khiển bởi đa thức Bernstein mặt lưới Bezier bậc 3 kép được định nghĩa như sau: 3 3 r (u , v) = ∑ ∑ Bi3 (u ) B 3 (v)Vij j i =0 j =0 3 3! 3! u i (1 − u ) 3 i v j (1 − v) 3 j Vij j = 0 (3 − i )!i! (3 − j )! j! 3 = ∑∑ i =0 = U M B MT VT (3. 66) trong đó: ⎡V00 ⎢V B = ⎢ 10 ⎢V20 ⎢ ⎣V30 V01... t1 = ( /2 , 0, 0); t2 = (0, /2 , 0); t3 = (0, 0, /2 ) Để thiết lập mặt cong trơn láng từ dữ liệu biên (Hình 3. 17) cần xác định giới hạn tham số cho miền tam giác Xét tam giác đều V1V2V3, đặt λi là khoảng cách vuông góc từ điểm V trong tam giác đến cạnh đối diện đỉnh Vi (Hình 3. 18a): V = (λ1, λ2, 3) P1=e2(1)=e3(0) V1(1,0,0) e2(s2) e3(s3) t2(s2) t3(s3) 3 V λ2 t1(s1) λ1 V3(0,0,1) V2(0,1,0) P2=e3(1)=e1(0)... (Hình 3. 22) được sử dụng như mặt cong tạo hình cơ sở trong các phép dựng hình (Bảng 3. 1) Hình 3. 22 - 6 dạng mặt cong bậc 2 chuẩn tắc C3 CAD- CAM> MHHCACTTHH STT 1 2 3 4 5 6 35 Mặt cong bậc 2 chuẩn tắc Elipsoit (mặt cầu) Hyperboloid đơn Hyperboloid kép Paraboloiđ Elip Paraboloidd Hyperbol Nón Elip GVC NGUYỄN THẾ TRANH Bảng 3. 1 Phương trình ẩn (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1 (x/a)2 + (y/b)2 - (z/c)2 = 1 (x/a)2... Mặt lưới đa thức chuẩn tắc bậc 3 kép được định nghĩa như sau: 3 3 r (u , v) = ∑∑ d ij u i v j ; với 0 ≤ u , v ≤ 1 (3. 62a) i =0 j =0 hay dưới dạng ma trận: trong đó: r(u,v) = U D VT r(u,v) là đa thức vectơ bậc 3 trên miền tham số (u,v) U = [1 u u2 u3 ]; ⎡d 00 ⎢d D = ⎢ 10 ⎢d 20 ⎢ ⎣ d 30 d 01 d11 d 21 d 31 d 02 d12 d 22 d 32 (3. 62b) V = [1 v v2 v3 ] d 02 ⎤ d 13 ⎥ ⎥ d 23 ⎥ ⎥ d 33 ⎦ : Ma trận hệ số đa thức... đều (3. 13) Đường cong kết quả bao gồm nhiều đoạn đường cong B-spline đều bậc 3 kết nối theo điều kiện liên tục C2 b Ví dụ nếu gán thêm điểm điều khiển V3 cho đoạn đường cong B-spline đều trên Hình 3. 3, chúng ta sẽ có đoạn đường cong mới (Hình 3. 10) Phương trình của 2 đường cong có dạng: ra(u) = U N Ra ; trong đó: rb(u) = U N Rb (3. 42) U = [1 u u2 u3] 4 1 ⎡1 ⎢ 3 1 ⎢− 3 0 N= 6⎢ 3 −6 3 ⎢ ⎣−1 3 − 3 0⎤... mặt cong tích Tenxơ các đường cong B-spline đều: 3 3 r (u , v) = ∑ ∑ N i3 (u ) N 3 (v)Vij j i =0 j =0 = U N B NT VT (3. 68) V 03 V02 Ta cũng có thể lập mặt lưới B-spline đều với thứ bậc khác nhau theo phương u và v riêng biệt V01 V12 V 13 V 23 V22 V11 v V 33 u V00 V32 V21 V10 V20 V31 V30 Hình 3. 14 - Mặt lưới B-spline đều bậc 3 kép 3. 3.2 MÔ HÌNH MẶT LƯỚI NỘI SUY BIÊN Dạng mặt lưới này sử dụng tương đối phổ . == 3 0 3 )()()( i ii VuNRUNur (3. 14) trong đó: 6/) 33 1()( 32 3 0 uuuuN −+−= ; 6/) 36 4()( 32 3 1 uuuN +−= 6/) 33 31()( 32 3 2 uuuuN −++= ; 6/) ( 33 3 uuN = 3. 1.4 0 3 3 3 32 3 21 3 10 3 0 )( )()()()( )()( i ii VuB VuBVuBVuBVuB RUMur (3. 9) trong đó: 33 0 )1()( uuB −= ; 23 1 )1 (3) ( uuuB −= )1 (3) ( 23 2 uuuB −= ; 33 3