Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Mục lục Trang A M U I Đặt vấn đề Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải 2 í nghĩa tác dụng giải pháp 3 Phạm vi nghiên cứu đề tài II Ph-ơng pháp tiến hành Cơ sở lí luận thực tiễn có tính định h-ớng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp đề tài Các biện pháp tiến hành thời gian tạo giải pháp B NỘI DUNG I Mơc tiªu …………………………………………………………………….6 II Mô tả giải pháp đề tài Thuyết minh tính mới.6 Khả áp dụng 15 Lỵi Ých kinh tÕ – x· héi…………………………………………………… 15 C KT LUN 17 Tài liệu tham khảo 19 GV: Trương Thị Ngọc Phượng Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm häc: 2011 - 2012 A MỞ ĐẦU I – Đặt vấn đề Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải quyết: Trong xu chung năm gần đây, viêc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhầm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học không giảng lý thuyết, mà luyện tập Luyện tập việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức học cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Trước tình hình phát triển đất nước để tiến tới xây dựng cơng nghiệp hóa,hiện đại hóa, mơn Tốn góp phần không nhỏ việc nâng cao sống người làm giàu cho đất nước Nâng cao chất lượng giảng dạy học tập mơn Tốn trường THCS vấn đề nhiều người quan tâm cấp quản lý người trực tiếp đứng lớp Việc nâng cao chất lượng địi hỏi giáo viên phải khơng ngừng cải tiến phương pháp giảng dạy , phát huy tính tích cực học sinh , tạo cho học sinh thích thú khám phá , sáng tạo hay , q trình học tập mơn Đồng thời qua rèn luyện tính kiên trì , chịu khó để hồn thành cơng việc Hiện nay, với phân hoá đối tượng học sinh lực lên rõ số học sinh giỏi chiếm tỷ lệ tương đối, nhu cầu nâng cao, mở rộng kiến thức em học sinh lớn Căn vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức phương trình phương trình đưa phương trình bậc hai chương trình THCS chưa đề cập đến nhiều Đội ngũ giáo viên chưa chuẩn bị chu bắt tay vào dạy bồi dưỡng cho học sinh giỏi, địi hỏi người giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng Chính nội dung bồi dưỡng phần kiến thức chưa có thống nhất, gây khơng khó khăn cho người học người dạy Nghiên cứu sách giáo khoa chương trình hành ta thấy: SGK Đại số đưa cho học sinh số loại phương trình quy phương trình bậc hai như: phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình tích, phương trình trùng phương, Song nhìn chung GV: Trương Thị Ngọc Phượng Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm häc: 2011 - 2012 mức độ yêu cầu loại dừng lại mức độ nhận dạng, phù hợp với học sinh đại trà, với em học sinh lớp chọn dừng lại yêu cầu chưa đủ, cần hệ thống, phân loại giới thiệu với em mảng kiến thức “Phƣơng pháp giải phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai” Ý nghĩa tỏc dng ca gii phỏp mi: Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung, tính phức tạp hóa gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận với dạng ph-ơng trình ph-ơng trình bậc hai Cùng với tích luỹ kinh nghiệm có đ-ợc thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà đà lĩnh hội đ-ợc ch-ơng trình Đại học Toán mà đặc biệt h-ớng dẫn tận tình thầy cô giáo, xin đề xuất số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai tập minh họa ch-ơng trình toán THCS Qua đề tài, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại đ-ợc số dạng toán giải ph-ơng trình bậc cao, nêu lên số ph-ơng pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc giải ph-ơng trình bậc cao Qua nội dung hy vọng học sinh phát huy đ-ợc khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả t- sáng tạo học tập Trong đề tài nêu số cách giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai Đề tài áp dụng cho giáo viên toán học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải cách trình bày Tuy ,nội dung đề tài hạn chế lực thân Vì mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp thầy cô giáo để đề tài đ-ợc hoàn thiện h¬n Phạm vi nghiên cứu đề tài: Phát triển lực, tư học sinh thông qua tốn liên quan đến phương trình bậc hai học sinh THCS Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu học sinh lớp luyện tập, bồi dưỡng học sinh mũi nhọn bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập cuối năm ôn tập cho kỳ thi trường, thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 II – Phƣơng pháp tiến hành Cơ sở lý luận thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp đề tài: Đối với mơn tốn lớp 9, phần “ phương trình bậc hai”, “phương trình quy phương trình bậc hai” phần kiến thức trọng tâm, phần kiến thức thường xuyên GV: Trương Thị Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 xut đề thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Do đó, theo tơi học sinh cần nắm thật chắn mảng kiến thức này, đặc biệt học sinh giỏi cần có nhìn thật đầy đủ “phương trình quy phương trình bậc hai” Sau nghiên cứu nhiều tài liệu tham khảo viết vấn đề thấy, tác giả đưa toán đa dạng phong phú, nhiên dạng tản mạn, nằm nhiều tài liệu khác nhau, gây khơng khó khăn cho việc dạy giáo viên học sinh Để thực mục tiêu giảng dạy đồng thời nâng cao chất lượng, hiệu việc dạy học theo hướng đổi phương pháp, tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát huy khả tự học, hình thành cho học sinh tích cực tư độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kĩ áp dụng kiến thức vào thực tiễn, từ tác động đến tình cảm đem lại hứng thú học tập Do việc dạy mơn Tốn THCS vấn đề nặng nề, để giúp học sinh hiểu thấu đáo vấn đề, đòi hỏi người thầy phải có phương pháp phù hợp để truyền thụ, đồng thời linh hoạt áp dụng phương pháp cho phù hợp đối tượng học sinh Từ thực tế quan sát, học sinh ngại phải tư suy nghĩ, lứa tuổi chưa xác định tương lai “học để làm gì” việc ép học điều khơng thể Để bảo đảm tiến trình lên lớp, truyền tải đủ kiến thức không cứng nhắc ràng buộc lớn Phải làm để học sinh cảm nhận chấp nhận kiến thức cách dễ dàng, tránh học “vẹt” học sinh Nếu vấn đề không giải quyết, học sinh chán chường, học khơng, dẫn đến tình trạng bỏ học, trốn tiết, trầm, sợ sệt mặc cảm Trong trình dạy – học, tương tác thầy – trị đóng vai trị quan trọng lớn giáo dục nay, vấn đề dẫn đến việc có hay khơng hứng thú với mơn học phức tạp Trước tình hình đó, sau nghiên cứu kỹ tài liệu, tơi mạnh dạn đưa hệ thống kiến thức nói “phương trình quy phương trình bậc hai” với mong ước làm tài liệu ôn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho người dạy người học việc bồi dưỡng học sinh giỏi “Một số phương pháp giải phương trình đưa phương trình bậc hai” hệ thống kiến thức có đặc thù riêng, tích hợp từ nhiều tài liệu khác Nói cách giải số loại phương trình đưa phương trình bậc hai như: Phương trình chứa ẩn mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậc bốn; phương trình vơ tỷ… GV: Trương Thị Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét sè ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Vi mi loi phương trình sau trình bày cách giải có kèm theo ví dụ minh hoạ, cuối dạng cịn có nhận xét lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp: Thơng qua tốn toán liên quan đến phương trình bậc hai, nghiên cứu tìm phương pháp giải cho dạng phương trình để quy phương trình bậc hai Từ đó, ứng dụng giải tập, ý khắc phục số sai lầm hay gặp đưa số tập vận dụng Thời gian tạo giải pháp bắt đầu học chương IV – Đại số SGK năm học 2009 – 2010, 2010 – 2011, 2011 – 2012 GV: Trương Thị Ngọc Phượng Trường THCS Nguyễn Huệ Mét số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 B NI DUNG I Mc tiờu - Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục kiến thức cách có hệ thống (về toán học nói chung nh- phần ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai ch-ơng trình dạy toán lớp 9) theo ph-ơng pháp tinh giảm dễ hiểu - Bài tập phương pháp quy phương trình bậc hai nhằm rèn luyện cho HS kĩ thực hành giải toán ph-ơng trình bậc hai Rèn luyện cho HS c¸c thao t¸c t- ,so s¸nh ,kh¸i quát hoá ,trừu t-ợng hoá ,t-ơng tự - Rèn luyện cho HS lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu dễ dàng môn học khác tr-ờng THCS Mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế - Bài tập Phương trình quy phương trình bậc hai góp phần rèn luyện cho HS đức tính cẩn thận ,sáng tạo - Nêu đ-ợc ph-ơng pháp giải ph-ơng trình bậc cao ph-ơng trình có dạng khó cách đ-a ph-ơng trình bậc hai đà biết cách giải - Các ví dụ minh hoạ - Rèn kĩ vận dụng kiến thức để giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Cđng cè vµ h-íng dÉn häc sinh lµm bµi tËp II – Mô tả giải pháp đề tài Thuyết minh tính mới: 1.1 Những kiến để gii phng trỡnh bc hai: * Định nghĩa: Ph-ơng trình bậc hai ẩn ph-ơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0; x ẩn số; a, b, c hệ số đà cho; a *Cách giải: đ-a d-ới dạng đồ t- (kÌm theo) 1.2 Phƣơng pháp giải số phƣơng trình quy phƣơng trình bậc hai: 1.2.1 Ph-¬ng trình bậc : Ph-ơng trình bậc dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 Trong x ẩn , a, b, c, d, e hệ số ; ( a ) Một ph-ơng trình bậc mà qua phép đặt ẩn phơ ta cã thĨ quy vỊ PT bËc hai a) Ph-ơng trình trùng ph-ơng: Ph-ơng trình trùng ph-ơng có dạng tỉng qu¸t : ax4 + bx + c = (1) Trong x ẩn ; a , b ,c hệ số ( a ) * Cách giải : Khi giải ph-ơng trình ta dùng ph-ơng pháp đổi biến x = t (t 0) (2) Khi ph-ơng trình (1) d-a đ-ợc dạng ph-ơng trình bậc hai trung gian at2 + bt + c = (3) GV: Trương Thị Ngọc Phượng Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Giải ph-ơng trình (3) thay giá trị t tìm đ-ợc ( với t 0) vào (2) ta đ-ợc ph-ơng trình bậc hai với biến x giải ph-ơng trình ta tìm đ-ợc nghiệm ph-ơng trình trùng ph-ơng ban đầu *Ví dụ : Giải ph-ơng trình sau 4x 109 x2 + 225 =0 (1) Giải Đặt x = t (t 0) ph-ơng trình (1) trở thành 4t2 109t + 225 = (2) Giải ph-ơng trình (2) đ-ợc nghiệm t1 = ; t2 =25 C¶ hai nghiƯm ph-ơng trình (2) thoả mÃn điều kiện t + Víi t1 = ta cã x2 = x 1,2 + Víi t2 = 25 ta cã x = 25 x ,4 Vậy ph-ơng trình (1) có nghiệm : x 1,2 , x ,4 * NhËn xÐt : - Khi nghiªn cøu sè nghiƯm ph-ơng trình trùng ph-ơng (1) ta thấy : - Ph-ơng trình vô nghiệm : + Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm +Hoặc ph-ơng trình bËc hai trung gian cã cïng hai nghiƯm ©m - Ph-ơng trình trùng ph-ơng có hai nghiệm : + Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép d-ơng + Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian cã nghiƯm ®ã cã mét nghiƯm âm nghiệm d-ơng - Ph-ơng trình trùng ph-ơng có nghiệm ph-ơng trình bậc hai có nghiệm có nghiệm d-ơng nghiệm - Ph-ơng trình trùng ph-ơng có nghiệm ph-ơng trình hai trung gian có hai nghiệm d-ơng phân biệt b) Ph-ơng trình hệ số đối xøng bËc a x4 + bx 3+ cx2 + dx + e =0 (Trong x ẩn , a, b, c, d, e hệ số ; a ) * Đặc điểm : vế trái hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối * Ví dụ : Giải ph-ơng trình sau 10x4 - 27x3 - 110x2 - 27x + 10 = (1) Ta nhận thấy x = nghiệm pt(1) Do chia hai vế cho x2 ta ®-ỵc 10x2 - 27x – 110 - 27 10 x x =0 Nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta đ-ợc ph-ơng trình: 10 x x 27 x GV: Trương Thị Ngọc Phượng 110 (2) x Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Đặt ẩn phụ (x + 1 = t (3) => x2 + ) x x = t2 -2 thay vµo (2) ta cã 2 10t - 27t – 130 = (4) Gi¶i (4) ta đ-ợc + Với t1=- t1=1 (x + ) 26 ; t 2= 5 =- x 2x2 +5x + = cã nghiƯm lµ x1=-2 ; x2= +Víi t 2= 26 (x+ ) = x 26 5x2 - 26x + = cã nghiƯm lµ x3 =5 ; x4 = Vậy ph-ơng trình (1) có tập nghiệm S= ; 2; ;5 * NhËn xÐt : - Về ph-ơng pháp giải gồm b-ớc +Nhận xét x=0 nghiệm (1) ta chia hai vế (1) cho x nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta đ-ợc ph-ơng trình (2) +Đặt ẩn phô : (x+ ) (3) => x2+ =t x x =t2 -2 thay vào (2) +Giải ph-ơng trình ta đ-ợc t +Thay giá trị t vào (3) để tìm x trả lời nghiệm (1) - Về nghiệm số ph-ơng trình: x0 nghiệm (1) nghiệm x0 (ví dụ : -2 nghiệm ngịch đảo nghiệm ;5 nghịch đảo nhau) c) Ph-ơng trình dạng ax4 + bx3 + c2 kbx + k2a = (ka ≠ 0) : * C¸ch giải: - Do x = nghiệm ph-ơng trình (1) nên chia hai vế cho x2 ta đ-ợc a (x + k x - §Ỉt x k x 2 ) k b(x = t => x2 +( ) c 2k t (2) x k x 2 ) => x k x 2 t 2k Khi ®ã ta có ph-ơng trình: a(t2 + 2k) + bt + c = - Ta đ-ợc ph-ơnmg trình (3) trung gian nh- sau : at2 + bt + c + 2ak = (3) - Giải (3) ta đ-ợc nghiệm ph-ơng trình ban đầu * Ví dụ Giải ph-ơng trình : x4 + = 5x(x2 – 2) (1) NhËn xÐt: Tõ (1) x4 – 5x3 + 10x + = (a = 1, b = - 5, c = 2, k = 2) GV: Trương Thị Ngọc Phửụùng Trửụứng THCS Nguyeón Hueọ Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 x=0 nghiệm (1) Do chia hai vế ph-ơng trình cho x2 ta đ-ợc: x x * Đặt t = ( x - ) (3) => t2 +4 = ( x2 + x x ) 5(x 2 ) x thay vào (2) Ph-ơng trình (1) trở thành: t2 - 5t + = cã nghiƯm lµ t1=1 ; t2=4 +Víi t1=1 ta cã: x2 – x – = x1= - 1; x2= + Víi t2=4 ta cã: x2 – 4x - = cã nghiƯm lµ x3,4 = Vậy tập nghiệm ph-ơng trình đà cho S= d) Ph-ơng trình dạng : 1; ; (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d ) = m (Trong a+d=b+c) *Cách giải : Nhãm ( x+a) víi (x+d) ; (x+b) víi (x+c) råi triển khai tích Khi ph-ơng trình có d¹ng: [x2 +( a+d)x + ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =m a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k ad bc ) ta có ph-ơng trình At +Bt + C =0 (Với A=1) Giải ph-ơng trình ta tìm đ-ợc t sau thay vào (2) giải tìm đ-ợc nghiệm x * Ví dụ : Giải ph-ơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1) nhËn xÐt 1+7 =3+5 Nhãm hỵp lý, ta đ-ợc ph-ơng trình: (x2 +8x +7 )(x2 + 8x + 15) = - 15 (2) *Đặt x2 +8x +7 = t (3) thay vào (2) ta đ-ợc: t( t+ 8) = - 15 t2 +8t +15 =0 cã nghiÖm t1=-3 ; t2=-5 Thay vào (3) ta đ-ợc hai ph-ơng tr×nh 1/ x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = - 2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = cã nghiÖm x3 =-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm ph-ơng trình (1) S = ; ; * Nhận xét : -Đối với ph-ơng trình có dạng đặc biệt nh- ,nếu ta khai triển vế trái ta đ-ợc ph-ơng trình bậc ( th-ờng loại bậc đầy đủ ) Đối với HS THCS việc giải khó khăn Vì từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số ph-ơng trình nhóm cách hợp lí Khi khai triển nhóm ,ta đổi biến ph-ơng trình đ-a ph-ơng trình bậc hai trung gian - Ta thấy ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm ph-ơng trình ban đầu vô nghiệm Nếu ph-ơng trình trung gian có nghiệm ta trả biến lại giải tiếp ph-ơng trình bậc hai biến x, nghiệm ph-ơng trình nghiệm ph-ơng trình ban đầu e) Ph-ơng trình dạng: GV: Trửụng Thũ Ngoùc Phửụùng (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) Trường THCS Nguyễn Huệ Mét số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 (Trong xlà ẩn số ;a, b, c hệ số ) *Cách giải : Đối với dạng ph-ơng trình ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x+a) (x+b) Đặt t =x+ a b => x a t b 2 Ta cã x+a =t+ a b x+b=t - a b Khi ph-ơng trình (1) trở thành : t a b a t 2t4 +12 ( b a b )2 t2 + 2( a b )4 – c =0 Đây ph-ơng trình trùng ph-ơng đà biết cách giải Chú ý đẳng thức: (x y)4 = x4 ± 4x3y + 6x2y2 ± 4xy3 + y4 *Ví dụ Giải ph-ơng trình sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Ỉt t = x+ ( 1) x => x = t Ta có ph-ơng trình : (t+2)4 + (t – 2)4 = 626 t4 + 24t2 - 297 =0 cã nghiƯm lµ t1 =9 t2 = - 33 Từ tìm đ-ợc x1 = vµ x2 = - 34 lµ nghiƯm cđa ph-ơng trình đà cho 1.2.2.Ph-ơng trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = (trong x ẩn; a ; f(x) đa thức biến ) *Cách giải: - Tìm TXĐ ph-ơng trình - đổi biến cách đặt f(x) =t ó ph-ơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) PT bậc hai đà biết cách giải + (2) có nghiệm t=t0 ta giải tiếp ph-ơng trình f(x) =t + nghiệm ph-ơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mÃn TXĐ ph-ơng trình đà cho ) nghiệm ph-ơng trình (1) * Ví dụ : Giải ph-ơng trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TXĐ : x R Biến ®ỉi vÕ tr¸i ta cã VT = (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 Vậy ta có ph-ơng trình t-ơng đ-ơng : (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0 Đặt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT : t2 - 4t +3 = cã nghiƯm lµ t1=1 ;t2=3 GV: Trương Thị Ngọc Phửụùng Nguyeón Hueọ 10 Trửụứng THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Với t1=1 ta có: x2+ 3x = 1 x2 +3x -1=0 cã nghiƯm lµ x1 , = Víi t2=3 ta cã: x2+ 3x = 3 x2+ 3x – =0 cã nghiÖm x3, = 13 21 nghiệm thoả mÃn TXĐ Vậy ph-ơng trình đà cho có nghiƯm lµ x1 , = x3, = 13 ; 21 *NhËn xÐt : -Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đ-a ph-ơng trình a[ f(x)]2 +b f(x) +c = dạng ph-ơng trình bậc hai đà biết cách giải - Tuy nhiên có số ph-ơng trình phải qua số phép biến đổi xuất dạng tổng quát ( ví dụ ) Cũng nh- số loại ph-ơng ph-ơng trình khác mà đà giới thiệu số nghiệm ph-ơng trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm ph-ơng trình bậc hai trung gian *Chú ý : - Tất ph-ơng trình đà đề xuất thực chất chúng có dạng tổng qu¸t: a[ f(x)]2 +b f(x) +c = (1) (sau đà biến đổi ) - Ph-ơng trình trùng ph-ơng kể ph-ơng trình bbậc hai dạng đặc biệt ph-ơng trình a x2n+ bx n +c = Gọi ph-ơng trình tam thức (trong x ẩn ;a ; n 1) Và ph-ơng trình dạng đặc biệt ph-ơng trình (1) Với f(x)=xn 1.2.3 Ph-ơng trình tam thức Ph-ơng trình tam thøc d¹ng : a x2n + bxn +c=0 (1) (a, b, c số thực ;n nguyên d-ơng ;n ; a ) * NÕu a, b, c đồng thời khác không n=2 ph-ơng trình (1) ph-ơng trình trùng ph-ơng đà nghiên cứu * Xét tr-ờng hợp n>2 -Ta đặt xn =t - Để tìm nghiệm (1) ta giải hệ sau : x n at t bt c * Ví dụ : Giải ph-ơng trình x6- 9x3+8=0 (1) Cách 1: Đặt x3 = t ta có ph-ơng trình t2 -9t +8= cã nghiÖm t1 =1 ; t2 =8 -Víi t1 =1 x3 =1 x=1 -Víi t2 =8 x3= x=2 Cách : Đ-a ph-ơng trình tích (1) (x6 x3) ( 8x3-8) =0 ( x3 -1) (x3 -8) =0 (x3 -1) =0 hc (x3 -8) =0 x=1 hc x=2 GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyễn Huệ 11 Trường THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Vậy ph-ơng trình đà cho có nghiệm x=1 ; x=2 1.2.4 Ph-ơng trình bậc ba có nghiệm cho tr-íc x = α a x3 + bx2 + cx + d = ( x ẩn ; a,b,c,d hệ số ;a ) * Cách giải : - Bằng phép chia đa thức (hoặc dùng sơ đồ Horner) phân tích vế trái thành: (x )(ax2 + b1x + c1) để đ-a ph-ơng trình vỊ d¹ng tÝch: x (x – α)(ax2 + b1x + c1) = ax b1x c1 Giải ph-ơng tr×nh bËc hai ax2 + b1x + c1 = ta đ-ợc nghiệm khác nghiệm x = ph-ơng trình bậc ba - Sơ đồ Horner: Chia ®a thøc P(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an – 1x + an cho x = α ta cã: P(x) = (x – α)(b0xn-1 + b1xn-2 + …+ bn-1) + bn Sơ đồ xác định bi: a0 a1 a2 … an bn α b0 b1 b2 … Víi b0 = a0 vµ bi = αbi-1 + a1 (i = 1, 2, , n) *Ví dụ : Giải ph-ơng trình: 2x3 +7x2 +7x + 2=0 Gi¶i Ta cã: – + = nên ph-ơng trình cã mét nghiÖm x = - Thùc hiÖn phÐp chia đa thức vế trái cho x + ta đ-ợc th-ơng 2x2 + 5x + Sơ đồ Horner: 7 NghiÖm – Dòng 1: hệ số đa thức Dòng 2: hệ số th-ơng Số đem xuống (a0 = b0); Muốn có lấy (-1) nhân cộng với dòng (αb0 + a1 = b1); TiÕp tơc víi (αb1 + a2 = b2) Vậy ph-ơng trình đà cho (x+1) (2x2+5x +2) = x 2x x 1 5x VËy tËp nghiƯm cđa ph-¬ng trình là: x1 ,x S 1; 2; 2 *NhËn xÐt : Khi gi¶i mét ph-ơng trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đ-a ph-ơng trình dạng ph-ơng trình tích - Chú ý : tính chất ph-ơng trình bậc ba : ax3 +bx2 +cx + d =0 ( a ) GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyeón Hueọ 12 Trửụứng THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 +Nếu a+b+c +d =0 ph-ơng trình có nghiệm x=1 +Nếu a-b+c-d =0 ph-ơng trình có nghiệm x= -1 Khi đà nhận biết đ-ợc nghiệm ph-ơng trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử - Ph-ơng trình : a x3 + bx2 + cx + d = ( a ) với hệ số nguyên Nếu có nghiệm nguyên nghiệm nguyên phải -ớc hạng tử tự (định lí tồn nghiệm nguyên ph-ơng trình nghiệm nguyên ) 1.2.5 Ph-ơng trình chứa ẩn mẫu: * Cách giải: Thực b-ớc sau: B-ớc 1: Tìm điều kiện xác định ph-ơng trình B-ớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức B-ớc 3: Giải ph-ơng trình vừa nhận đ-ợc B-ớc 4: Trong giá trị tìm đ-ợc ẩn, loại giá trị không thỏa mÃn điều kiện xác định, giá trị thỏa mÃn điều kiện xác định nghiệm ph-ơng trình đà cho * Ví dụ1: Giải biện luận ph-ơng trình theo a, b: a b x Điều kiện: Giải: 2(x Ta có: (1) a )( x 2x 2x (a b) x x a(x a) b)x a 3(a b)x (a b) x1 a b ; x1 b a * x2 a a b; x2 b a b b; a 0 * Vậy với a b) ab Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x (1) b : b(x b a a, x 3(a b) b 0, b a b ; x a b (1) có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 3x 8x 12 x 4 2x 7x 2x Phân tích mẫu thành nhân tử ta có: (x ĐKXĐ: )( x )( x x 2, x 3) (x 2, x )( x 2) (x )( x 3) 2x 3 GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyễn Huệ 13 Trửụứng THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Mẫu thức chung: (x-2)(x+2)(2x+3) Quy đồng khử mẫu ta có: 4- (2x+3) - 4(x-2) + (x-2)(x+2) = x 2x 6x 4x x 0 Giải phương trình : x2-6x+5=0 ta nghiệm: x1=1, x2=5 Đối chiếu với ĐXKĐ ta thấy x1 = x2 = nghiệm pt * Nhận xét: + Loại phương trình chứa ẩn mẫu loại thường gặp trường phổ thông + Khi giải loại cần lưu ý: Cần so sánh giá trị tìm ẩn với TXĐ trước kết luận nghiệm phương trình 1.2.6 Phương trình có chứa thức: * Cách giải: Áp dụng phương pháp: - Đặt ẩn phụ, điều kiện ẩn phụ - Đặt điều kiện bình phương hai vế hai vế dương * Ví dụ: Giải phương trình sau: Điều kiện: x≥7 Cách 1: đặt t x x x ≥ 0, suy x = t2 + t Ta có: t = t2 + – t2 – t – = t Với t = ta có x x x (>7) Vậy tập nghiệm phương trình S = {9 Cách 2: Với điều kiện x ≥ hai vế dương Bình phương hai vế ta được: X – = x2 – 14x + 49 x2 – 15x + 54 = x x * Chú ý: Sau tìm nghiệm, cần phải kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp 1.2.7 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Áp dụng phương pháp sau: GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyễn Huệ 14 Trường THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 - Đặt ẩn phụ, điều kiện ẩn - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối định nghĩa: * Ví dụ: Giải phương trình: x x 2x (1) Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt t Khi đó: x t , t ≥ x x 2x x 2x t (1) trở thành: t2 – + t – = t2 + t – = t1 t2 Với t = ta có x x x 1 x x 1 Vậy tập nghiệm phương trình S = {0; 2} * Chú ý: Chọn nghiệm thích hợp với điều kiện đặt quy trình giải Khả áp dụng: Trong buổi tổ chức học tự chọn bồi d-ỡng học sinh giỏi lớp đà truyền thụ cho học sinh hệ thống dạng ph-ơng pháp giải nêu nhận thấy đa số học sinh nắm vững d-ợc kiến thức giải thành thạo dạng toán giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai Với hệ thống kiến thức, dạng toán ph-ơng pháp giải đ-ợc xây dựng đơn giản dễ nhớ nên học sinh nắm nhanh đà hình thành cho học sinh niềm thích thú gặp dạng toán Vì thời gian kinh nghiệm hạn chế nên hệ thống kiến thức nhiều điểm cần xây dựng sâu bổ sung dạng toán phong phó h¬n Lợi ích kinh tế - xã hội: Qua việc áp dụng đề tài vào giảng dạy, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, thấy kết thu khả quan: - Đa phần em có hứng thú học tập, chăm học hơn, việc bỏ tiết hạn chế rõ rệt - Học sinh mạnh dạn học hỏi từ bạn, từ thầy, cô giáo - Đa phần em thường xuyên phát biểu, trả lời câu hỏi thắc mắc giáo viên kiến thức học em - Sự giao lưu kiến thức thầy - trị khơng có vách tường ngăn cách GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyễn Huệ 15 Trường THCS Mét sè ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 - Nõng cao chất lượng môn Qua khảo sát chất lượng năm học 2010 2011, kết học sinh nâng cao rõ rệt Lớp sĩ số Điểm Điểm SL % SL % Điểm 8-10 % 9A1 14,3% 57,1% 28,6% 9A4 13 15,3% 46,2% 38,5% GV: Trương Thị Ngọc Phửụùng Nguyeón Hueọ 16 Trửụứng THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 C KT LUN Phỏt trin tư toán học nhận thức sáng tạo cho em học sinh việc làm khó Để làm điều người giáo viên phải người có kiến thức, có phương pháp sư phạm tốt, hết lòng thương yêu học sinh cần phải kỳ cơng với giảng Sau thời gian giảng dạy, qua nghiên cứu kết học tập học sinh lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, qua trao đổi với đồng nghiệp thấy Khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi phần kiến thức phương trình quy phương trình bậc hai theo nội dung đề tài em có tiến rõ rệt Thể hiện, có nhìn tồn diện mảng kiến thức này, khơng cịn lúng túng giải dạng phương trình học Đối với giáo viên, việc thực giảng dạy kiến thức trở nên dễ dàng nhiều, đồng nghiệp đánh gái cao hệ thống kiến thức coi tài liệu cho việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi lớp 9.(Mảng kiến thức phương trình) Trong trình thực đề tài thân rút số học kinh nghiệm giải pháp thực sau: - Để thực tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật tốn, giải tốn khó cách thành thạo Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tị mị, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải toán khác thể loại - Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyeón Hueọ 17 Trửụứng THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm häc: 2011 - 2012 khó khăn bước đầu học tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa - Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần tránh cho học sinh biểu tự đắc, cho giỏi Điều làm cho em khó tránh khỏi thất bại tham dự thi lớn Chính vậy, giáo viên cần ln có tốn khó, u cầu cao để em thấy trình học bồi dưỡng học sinh giỏi q trình khơng thể diễn ngày một, ngày hai, mà trình lâu dài, thường xuyên, liên tục Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục khơng giải tốn khó gây cho em nản chí, niềm tin vào khả * Kiến nghị, đề xuất - Cần tăng cường thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi mơn Tốn nói lớp - Tổ chức, xây dựng chuyên đề cách thường xuyên để giáo viên học tập kinh nghiệm lẫn từ có phương pháp dạy học phù hợp - Nhà trường nên mở lớp dạy thêm để phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi Quy Nhơn, ngày 20 / 03 / 2012 Người viết Trương Thị Ngọc Phượng GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyeón Hueọ 18 Trửụứng THCS Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 Tài liệu tham khảo Đại số NXB Giáo Dục Ngô HữuDũng -Trần Kiều Ngô HữuDũng - Trần Kiều ĐàoNgọc Nam-Tôn Nhân Bài tập đại số NXB Giáo Dục Vũ Hữu Bình Một số vấn đề phát triển đại số NXB Dục Để học tốt đại số NXB Giáo Dục Bùi Văn Tuyển Giáo Hoàng Chúng Bài tập nâng cao số chuyên NXB Giáo Dục Vũ D-ơng Thuỵ đề toán Nguyễn Ngọc Đạm Toán nâng cao chuyên đề NXB Giáo Dục Tôn Thân -Vũ Hữu Bình đại số Các dạng toán ph-ơng pháp giải NXB Giáo Dục Nguyễn Vũ Thanh - Bùi toán Văn Tuyển GV: Trửụng Thũ Ngọc Phượng Nguyễn Huệ 19 Trường THCS Mét sè ph-¬ng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 NHN XẫT NH GA CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC GIÁO DỤC TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ NGUYỄN HUỆ GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyễn Huệ 20 Trường THCS Mét số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc hai - Năm học: 2011 - 2012 GV: Trương Thị Ngọc Phượng Nguyễn Huệ 21 Trường THCS ... có hai nghiệm : + Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian cã hai nghiƯm kÐp d-¬ng + Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian có nghiệm có nghiệm âm nghiệm d-ơng - Ph-ơng trình trùng ph-ơng có nghiệm. .. trùng ph-ơng có nghiệm ph-ơng trình bậc hai có nghiệm có nghiệm d-ơng nghiệm - Ph-ơng trình trùng ph-ơng có nghiệm ph-ơng trình hai trung gian có hai nghiệm d-ơng phân biệt b) Ph-ơng trình hệ... nghiên cứu số nghiệm ph-ơng trình trùng ph-ơng (1) ta thấy : - Ph-ơng trình vô nghiệm : + Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm +Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm âm