Đa tạp bất biến chấp nhận được đối với một số lớp phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- ĐINH XUÂN KHÁNH ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- ĐINH XUÂN KHÁNH ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Ngành: Tốn học Mã số: 9460101 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH NGUYỄN THIỆU HUY TS PHAN XUÂN THÀNH Hà Nội - 2018 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KHÔNG GIAN HÀM, NỬA NHÓM VÀ HỌ TIẾN HÓA 1.1 1.2 1.3 11 Không gian hàm 11 1.1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận 11 1.1.2 Bất đẳng thức nón 15 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định nhị phân mũ 15 1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 15 1.2.2 Tính ổn định nhị phân mũ 17 Họ tiến hoá, nhị phân mũ 20 Chương TÍNH HÚT CỦA ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MƠ HÌNH FISHER-KOLMOGOROV 24 2.1 Nghiệm phương trình tiến hóa khơng gian E-lớp 25 2.2 Sự tồn đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định khơng gian E-lớp tính hút 28 2.3 Ứng dụng mô hình Fisher-Kolmogorov 34 Chương ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC KHƠNG ỔN ĐỊNH THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN 41 TÍNH CĨ TRỄ i 3.1 Nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ không gian E-lớp 42 3.2 Đa tạp bất biến chấp nhận không ổn định tính hút 50 3.3 Ứng dụng vào mơ hình Fisher-Kolmogorov 61 Chương ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ỔN ĐỊNH ĐỊA PHƯƠNG THUỘC E-LỚP CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA 67 TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ 4.1 Sự tồn nghiệm phương trình tiến hóa có trễ 68 4.2 Đa tạp bất biến chấp nhận ổn định địa phương thuộc E-lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ 76 4.3 Ứng dụng vào mơ hình Hutchinson 80 KẾT LUẬN 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 91 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, TS Phan Xuân Thành Tất kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác công bố Hà Nội, ngày 27 tháng năm 2018 T/M tập thể hướng dẫn Tác giả PGS.TS Nguyễn Thiệu Huy Đinh Xuân Khánh LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy, TS Phan Xuân Thành, người thầy vô mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường nghiên cứu khoa học Thầy bảo suốt trình nghiên cứu, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy thú vị, ln tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo, tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm NCS Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tơi nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy cô Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Toán Trường Đại học Hải Phòng tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp tồn thể bạn bè ln khuyến khích, động viên để tơi vững bước đường tốn học chọn Tác giả MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm R− : tập số thực không dương C : tập số phức 1/p Lp (R) := u:R→R u p p |u(x)| dx = < +∞ , ≤ p < ∞ R L∞ (R) := u : R → R u ∞ = ess sup |u(x)| < +∞ x∈R L1,loc (R) := u : R → R u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R , ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], r > 0, nhận giá trị X với chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] L(X), L(C, X) : khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn   t+1   M := f ∈ L1, loc (R+ ) sup |f (τ )|dτ < ∞ ,   t≥0 t t+1 với chuẩn f M |f (τ )|dτ := sup t≥0 t EI : không gian hàm Banach chấp nhận I X, Y : không gian Banach Cb (R+ , X) := v : R+ → X | v liên tục sup v(t) < ∞ , t∈R+ với chuẩn v Cb (R, X) Cb (R+ ,X) := sup v(t) t∈R+ := v : R → X | v liên tục sup v(t) < ∞ t∈R với chuẩn v Cb (R,X) := sup v(t) t∈R Cb ([−r, ∞), X) := v : [−r, ∞) → X | v liên tục sup t∈[−r,∞) với chuẩn v Cb := sup t∈[−r,∞) v(t) v(t) < ∞, r > MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Các phương trình vi phân tiến hóa nảy sinh từ hệ thống tự nhiên, kỹ thuật đa dạng, hệ khuếch tán, hệ xử lý tín hiệu, hệ sinh thái quần thể, Bằng cách chọn khơng gian tốn tử thích hợp, phương trình viết dạng phương trình vi phân trừu tượng với toán tử tác động khơng gian Banach Xét phương trình dạng trừu tượng không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng phương pháp dựa phát triển gần tốn học để tìm hiểu vấn đề mang tính chất nghiệm phương trình Luận án nhằm nghiên cứu đánh giá tồn đa tạp bất biến thuộc lớp chấp nhận được, từ tìm hiểu tính chất tiệm cận (ổn định, không ổn định, ) nghiệm phương trình tiến hóa mơ tả hệ thống kể thời gian đủ lớn thông qua phương pháp toán học đại lý thuyết phổ toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết khơng gian hàm chấp nhận được, lý thuyết đa tạp bất biến, vv Bài toán tồn đa tạp bất biến chấp nhận vấn đề nhận quan tâm lớn nhiều tác giả Để nghiên cứu tồn đa tạp, người ta thường quan tâm đến đặc trưng nhị phân mũ phần tuyến tính khơng gian hàm Tính nhị phân mũ phần tuyến tính phương trình tiến hóa trình bày tài liệu ([4, 19, 32, 33]) Và điều kiện quan trọng phần phi tuyến cho tồn đa tạp tính liên tục Lipschitz với số Lipschitz đủ nhỏ Ta tìm hiểu sâu vấn đề tài liệu tham khảo ([2, 6, 10, 17, 28]) Tuy nhiên, mơ hình thực tế phần phi tuyến có hệ số Lipschitz phụ thuộc vào thời gian không đủ nhỏ Gần đây, cách sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron không gian hàm chấp nhận người ta đưa điều kiện tổng quát cho phần phi tuyến tồn đa tạp tích phân (xem [22, 21, 20]), điều kiện liên tục Lipschitz khơng (tính ϕ-Lipschitz) với ϕ hàm thực dương thuộc không gian hàm chấp nhận Sự tồn đa tạp bất biến kiểu chứng minh kết PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Luận án "Đa tạp bất biến chấp nhận số lớp phương trình vi phân" nghiên cứu tồn đa tạp bất biến chấp nhận ổn định không ổn định thuộc khơng gian E-lớp, chứng minh tính hút đa tạp bất biến chấp nhận khơng ổn định Từ đó, áp dụng kết thu cho số mơ hình thực tế Cụ thể sau: Chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng d u(t) = A(t)u(t) + f (t, u), dt t ∈ R, (1) phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có trễ liên tục d u(t) = A(t)u(t) + f (t, ut ), dt t ∈ R t ∈ R+ , (2) A(t) tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) khơng gian Banach X sinh họ tiến hóa U (t, s), phần phi tuyến f toán tử ϕ-Lipschitz; ut hàm lịch sử ut (s) = u(t + s) Một số kết ban đầu không gian hàm chấp nhận được, nhị phân mũ đa tạp bất biến chấp nhận được Nguyễn Thiệu Huy số tác giả khác nghiên cứu Luận án nhằm phát triển bổ sung kết tồn đa tạp bất biến chấp nhận phương trình để nhận kết tổng quát ứng dụng vào mơ hình hệ thống cụ thể Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu thuộc vào s ≥ cho ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s, (4.10) (iv) S bất biến dương phương trình (4.4), tức là, u(t), t ≥ s − r, nghiệm phương trình (4.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu us ∈ Ss χ[s,∞) (t)ut ∈ Bρ ⊂ E có ut ∈ St với t ≥ s Chú ý đồng X0 (t) ⊕ X1 (t) với X0 (t) × X1 (t), viết St = graph(Φt ) ( xem [18, 21, 26]) Định lý 4.2.2 Với giả thiết Bổ đề 4.1.2; cho ϕ ∈ E hàm E-bất biến mũ hν (·) định nghĩa Giả thiết 1.1.8 định nghĩa hàm eν (t) = e−νt với t ≥ Khi đó, hàm f ϕ-Lipschitz với ϕ thỏa mãn max{ N (1 + H)eνr (N1 Λ1 T1+ ϕ N (1 + H)eνr ( hν E ∞ + N2 Λ ϕ + N N1 eν E ϕ E ∞ ), ) } < 1, tồn đa tạp bất biến chấp nhận ổn định địa phương S thuộc E-lớp cho nghiệm phương trình (4.4) Chứng minh Vì (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ, có với t ≥ khơng gian pha C phân tích thành tổng trực tiếp C = ImP (t)⊕KerP (t) phép chiếu P (t), t ≥ 0, định nghĩa đẳng thức (4.3) Rõ rằng, supt≥0 P (t) < ∞ Bây xây dựng đa tạp địa phương S = {(t, St )}t≥0 cho nghiệm phương trình (4.4) Để làm điều này, xác định mặt St với t ≥ công thức St := {φ + Φt (φ) : φ ∈ Bl ∩ ImP (t)} ⊂ C ρ , Bl := {φ ∈ C : φ 2N N1 eνr eν định nghĩa với t ≥ l = C ≤ l}, toán tử Φt ∞ G(t − θ, τ )f (τ, uτ )dτ với θ ∈ [−r, 0], Φt (φ)(θ) = t 77 u(·) nghiệm phương trình (4.4) [−r + t, ∞) thỏa mãn P (t)ut = φ χ[t,∞) ut ∈ Bρ ⊂ E(R+ , C) (Chú ý tồn nghiệm u(·) suy Định lý 4.1.4) Mặt khác, định nghĩa hàm Green G (xem phương trình (1.8)) có Φt (φ) ∈ KerP (t) Tiếp theo chứng minh đa tạp S thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 4.2.1 Trước tiên, chứng minh Φt0 liên tục Lipschitz địa phương với số Lipschitz không phụ thuộc vào t0 Thật vậy, với φ ∈ Bl ∩ ImP (t0 ) có ∞ Φt0 (φ)(θ) e−ν|t0 −θ−τ | ϕ(τ ) uτ ≤ N (1 + H) t0 C dτ ∞ e−ν|t0 −τ | ϕ(τ ) uτ νr ≤ N (1 + H)e t0 ≤ N (1 + H)eνr hν u E ≤ E C dτ ρ với θ ∈ [−r, 0].(4.11) Do Φt0 (φ)(·) ∈ Bρ/2 ⊂ Bρ Hơn nữa, với φ1 φ2 thuộc Bl ∩ ImP (t0 ) có ∞ Φt0 (φ1 )(θ) − Φt0 (φ2 )(θ) e−ν|t0 −θ−τ | ϕ(τ ) uτ − vτ ≤ N (1 + H) C dτ t0 ∞ ≤ N (1 + H) ϕ(τ ) uτ − vτ C dτ t0 ≤ N (1 + H) ϕ E u − v E (4.12) Hơn nữa, theo phương trình Lyapunov-Perron u(·) v(·) (xem phương trình (4.5)) có u−v E ≤ N eνr e−ν(t−t0 ) φ1 − φ2 C + N (1 + H)eνr hν (t) u − v E với t ≥ t0 Bởi tính chất dàn Banach E e−ν(t−t0 ) = Tt+0 eν (t), đạt u−v E ≤ N eνr Tt+0 eν E φ1 − φ2 C + N (1 + H)eνr hν E u−v ≤ N N1 eνr eν E φ1 − φ2 C + N (1 + H)eνr hν E u − v E 78 E Điều suy u−v E N N1 eνr eν E ≤ − N (1 + H)eνr hν φ1 − φ2 C E Thay bất đẳng thức vào (4.11) thu Φt0 (φ1 ) − Φt0 (φ2 ) C N (1 + H)N1 eνr eν E ϕ ≤ − N (1 + H)eνr hν E E φ1 − φ2 C Do đó, Φt0 liên tục Lipschitz với số Lipschitz N (1 + H)N1 eνr eν E ϕ k := − N (1 + H)eνr hν E E (4.14) Γ := {λ ∈ C : |λ| = 1} Đặt A(t) := a(t)A, ta có họ (A(t))t≥0 sinh họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 định nghĩa công thức U (t, s) = T( t s a(τ )dτ ) Bởi (4.14) có nửa nhóm giải tích (T(t))t≥0 hyperbolic (hoặc có nhị phân mũ) với phép chiếu P thỏa mãn T(t)x ≤ N e−βt x với x ∈ P X, t ≥ 0, T(−t)| x = (T(t)| )−1 x ≤ N e−βt x với x ∈ KerP, t ≥ 0, tốn tử khả nghịch T(t)| hạn chế T (t) KerP N , β số dương 81 Sử dụng tính chất hyperbolic (T(t))t≥0 suy họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu P (t) = P với t ≥ số nhị phân N ν := βγ0 thỏa mãn ước lượng sau: U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P X, t ≥ s ≥ 0, U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP, t ≥ s ≥ Sau định nghĩa hàm f : R+ ×C → X f (t, ϕ) := ψ(t)(δ−1 ϕ)(1+ ϕ) với ϕ ∈ C := C([−1, 0], X) δ−1 hàm Dirac delta tập trung −1,   d u(·, t) = A(t)u(·, t) + f (t, ut (·, θ)), dt u (·, θ) = φ(·, θ) ∈ C Hơn nữa, f (t, ut (·, θ)) − f (t, vt (·, θ)) = ψ(t) ut (·, θ)(1 + u(·, t)) − vt (·, θ)(1 + v(·, t)) = ψ(t) ut (·, θ) − vt (·, θ) + ut (·, θ)u(·, t) − vt (·, θ)u(·, t)+ + vt (·, θ)u(·, t) − vt (·, θ)v(·, t) ≤ ψ(t)( ut (·, θ) − vt (·, θ) + ut (·, θ)u(·, t) − vt (·, θ)u(·, t) + + vt (·, θ)u(·, t) − vt (·, θ)v(·, t)) ≤ (1 + 2ρ)ψ(t) sup ut − vt với ut , vt ∈ Bρ θ∈[−1,0] Chọn ψ(t) := be−αt với t ∈ R+ , với số α > ν, b > Đặt ϕ(t) = (1 + 2ρ)ψ(t) với t ∈ R+ thấy ϕ ∈ Lp (R+ ) với ≤ p < +∞ ∞ ϕ Lp e−pαt dt = (1 + 2ρ)b p = (1 + 2ρ)b αp Tiếp theo, chứng minh hàm ∞ hν (t) = e −pν|t−τ | p ϕ (τ )dτ 82 p với t ∈ R+ p thuộc Lq với q thỏa mãn 1 + = Thật vậy, với t ≥ tính p q p ∞ hν (t) = e −pν|t−τ | p ϕ (τ )dτ = e t ((1 + 2ρ)be −ατ p ) dτ +∞ e−pν|t−τ | e−αpτ dτ + −pνt e = (1 + 2ρ)b −pαt e + p(α + ν) p p 1 + = q p ∞ Lq e−pν|t−τ | e−αpτ dτ t −pαt −e p(α − ν) Do đó, hν ∈ Lq (R+ ) với hν −pν|t−τ | = (1 + 2ρ)b p ∞ = (hν (t))q dt q 2α ≤ (1 + 2ρ)b p(α + ν)(α − ν) p q νq (4.15) Theo Định lý 4.2.2, (1 + 2ρ)bN (1 + H)eνr νq q N N1 (1 + 2ρ)bN (1 + H)eνr αp νq q p + 2α p(α + ν)(α − ν) 2α p(α + ν)(α − ν) p < p