Đề thi môn Chuyên khối 10 HK1

Chứng minh rằng tứ giác AHMI nội tiếp.. Giải.[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUN ĐỀ THI MƠN CHUN LỚP 10 HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014 - 2015

MƠN: TỐN; Thời gian làm bài: 150 phút Câu (3,0 điểm)

a) Giải phương trình 2x22x5 2x22 3x22x1 x26

b) Giải hệ phương trình

 

  

    



 

  

 

 2

2

( , ) 2

x y x y

x y xy x y

Câu (1,5 điểm) Giả sử a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

     

  



 

2 2

3 3

a b c

P

c a

b c a b .

Câu (1,5 điểm) Tìm tất hàm f :   thỏa mãn

 ( )   ( )  ( ) ( )   , ,   ff x y f x ff y f x x x y

Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn  O đường kính BC M điểm đoạn thẳng OC (M khác O C) AE dây cung  O qua M vng góc với BC Tiếp tuyến A  O cắt BC D

a) Chứng minh EC phân giác AED

b) Gọi K hình chiếu A lên BE, I là trung điểm AK BI cắt  O H Chứng minh tứ giác AHMI nội tiếp

Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp  O , ngoại tiếp  I Gọi IA,IB,IC lần lượt tâm đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Đường tròn ngoại tiếp tam giác II IB C cắt  O H K Gọi E là giao điểm BI AC, F giao điểm CI AB

a) Chứng minh E, F, H, K thẳng hàng b) Chứng minh OIA EF

HẾT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN CHUN LỚP HỌC KÌ I NĂM HỌC 2014 - 201510

MƠN: TỐN; Thời gian làm bài:150 phút Câu 1a (1,5 điểm) Giải phương trình

2 2

2x 2x5 2x 2  3x 2x 1 x 6

Giải Bình phương hai vế phương trình ta được

2 2

2x 2x5 2x 2  3x 2x1 x 6

2x2 2x 5 2  x2 2 3x2 2x 1 x2 6

       

4

4x 4x 14x 4x 10 3x 2x 19x 12x

         

   

5

x x x x

     

 4  2 1 0

1 x

x x x

x            

Câu 1b (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

 

   

2

2

( , ) 2

x y x y

x y

xy x y

             

Giải Đặt 2x2 x u ; 2y2  yv hệ cho trở thành 1, 3 3,

u v u v

uv u v

             

Từ giải nghiệm hệ

1 ( , ) ( 1,1),( 1, 3), ,1 , ,

2 x y         

    hoán vị.

Câu (1,5 điểm) Giả sử a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị

nhỏ biểu thức      

2 2

3 3

a b c

P

b c c a a b

  

  

Giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

   

2

9( ) 16

a b c a

b c b c



 



 Từ suy

9

,

8

a b c

P

b c c a a b

 

      

  

  (theo Nesbit).

Do

P

Dấu đẳng thức xảy

Câu (1,5 điểm) Tìm tất hàm f :  thỏa mãn

 ( )  ( )  ( ) ( ) , ,

f f x  y f x  f f y  f  x x x y   Giải Thay yf x( ) x ta f toàn ánh.

Đặt f(0)a Thay x y vào phương trình ban đầu thu f a( )  a (1) Thay x0,y a vào phương trình ban đầu thu f a( ) 0. Kết hợp với (1) ta có

0

a  Vậy f(0) 0.

Thay x0 vào phương trình ban đầu thu

 

( ) ( ) ,

f  y f f y   y

Hay f( x)f f x ( ) ,   x (2)

Từ ta có f x( )f f (x) f f f x  ( ) ,   x Do f toàn ánh nên ta có f f x ( ) x,  x (3) Từ (2) (3) ta có f x( ) x,  x Thử lại thỏa mãn

Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính BC M điểm đoạn thẳng OC (M khác O C) AE dây cung (O) qua M vng góc với BC Tiếp tuyến A (O) cắt BC D

a) Chứng minh EC phân giác AED

b) Gọi K hình chiếu A lên BE, I trung điểm AK BI cắt (O) H Chứng minh tứ giác AHMI nội tiếp

Giải a) Từ giả thiết suy DE tiếp tuyến (O) Suy

    .

2

Do EC phân giác AED

b) Ta có IM đường trung bình tam giác AEK nên IM//BE Do AMIAEBAHI (cùng chắn cung AB).

Từ suy tứ giác AHMI nội tiếp

Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I) Gọi IA, IB, IC

là tâm đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Đường tròn ngoại tiếp tam giác II IB C cắt (O)

tại H K Gọi E giao điểm BI AC, F giao điểm CI AB a) Chứng minh E, F, H, K thẳng hàng

b) Chứng minh OIA EF

Giải a) Gọi (J) đường tròn ngoại tiếp tam giác II IB C Ta có HK trục đẳng phương

của (O)  J

Từ tứ giác nội tiếp AIBIC suy PF O/  FA FB FI FI  C PF J/ . Do F thuộc trục

đẳng phương (O)  J Tương tự E cũng thuộc trục đẳng phương (O)  J Từ suy E, F, H, K thẳng hàng.

Vì I O JA, , trực tâm, tâm đường tròn Euler tâm đường tròn ngoại tiếp