Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC. a) Chứng minh tam giác ABM cân.[r]
(1)Trường THCS Vô Tranh
-o0o -KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN: TOÁN
Năm học 2016 – 2017
Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
-o0o -Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị biểu thức
a) A =
5
10 8 20
2
4 2.6
;
b) B =
2016 2015
1 3
2
Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm x biết:
15
28 x 14 12
b) Tìm x, y nguyên biết: 25 y2 4(x 2016)2 Bài 3: (4 điểm)
a) Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c
Biết 13a + b + 2c = Chứng minh f(-2) f(3) ≤
b) Cho số thực x, y, z 0 thỏa mãn:
xy yz xz x y y z x z
Tính giá trị cuả biểu thức: M =
2 2
x y z
xy yz xz
. Bài
: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có phân giác BD, CE cắt I. Gọi M, N hình chiếu D, E BC
a) Chứng minh tam giác ABM cân b) Chứng minh MN = AB + AC – BC c) Tính góc MAN
d) Gọi G, K giao điểm BD AN; CE AM Tia AI cắt GK H Tính góc AHG
-Hết
(2)Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi mơn tốn 7 Năm học 2016-2017
-o0o -Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm
1
a)
2đ A =
10 10 10
10 10 10
2 3 (1 3)
2 3 (1 5)
b) 2đ
Đặt M = 1+3+32+…+32015
Ta có 3M=3+32+33+…+32016
3M - M=32016 – => M = 2016
3
2 Khi B =
2016
3
2 2-
2016
3
2 = -1 1,5 0,5 2 a) 2đ
3 15 14 28 12
x
<=>
3 80 14 84
x
80
14 84
x
3 80 14 84
x
3 80 14 84
x
3 80 14 84
x
7 x 31 42 x Vậy x ; 31 42 x 0,5 0,5 0,5 0,5 b 2đ
Ta có ( x – 2016)2 với x nên 25 - y20 => y225 Mà ( x – 2016)2 là số phương chẵn => 25 - y2 chẵn
=>y lẻ
y2 số phương lẻ,
y225 => y2 {1;9;25} + Nếu y2=25 => 4 ( x – 2016)2=0 => x=2016 + Nếu y2=9 => 4 ( x – 2016)2=16 => x=2016 => ( x – 2016)2= 4
x-2016 =2 x-2016 = -2 x = 2018 x = 2014
+ Nếu y2 =1 => ( x – 2016)2= 24 số
phương (loại )
Vậy với y = 3 x = 2018; x = 2014
Với y = 5 x = 2016
0,5 1,0 0,5 3 a) 2đ
Ta có f(3)= 9a+3b+c ; f(-2)= 4a-2b+c f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = => f(3)= -f(-2)
f(3).f(-2) = -f(3)2
0,5 0,5 1,0 b)
2đ Vì x, y, z nên theo ta có:
x y y z x z
x y y z x z
1 1
x y z => x = y = z.
(3)(4)Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm
4
a) 2đ cân B.ABD =MBD(cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM => AMB 2,0
b) 2đ
Ta có AEC= NEC => CN = CA
Khi AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN MN = AB + AC - BC
0,5 1,0 0,5
c) 2đ
Từ AMB cân M =>
180 90
2
o
o
ABC ABC
AMB
Từ ANC cân N =>
180 90
2
o
o
ACB ACB
ANB
Trong AMN có MAN 180o AMB ANC
=
180 (90 ) (90 )
2
o o ABC o ACB
=
90
45
2 2
o o
ABC ACB
(Vì ABC vng A nên ABC ACB 90o)
Vậy MAN 45o
0,5 0,5
1,0
d) 2đ
Vì AMB cân B nên đường phân giác BD đồng thời đường
cao => BDAM hay GI AK
ANC cân C => đường phân giác CE đồng thời đường cao => CEAN hay KI AG
Trong AKG có đường cao xuất phát từ G, K cắt I =>
I trực tâm AKG.
AI GK ở H => AHG90o