Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 21

Mét c«ng thøc to¸n cã thÓ lµ m« h×nh cña nhiÒu bµi to¸n thùc tÕ cã b¶n chÊt to¸n häc gièng nhau... Bµi to¸n ®­îc chøng minh.[r]

lCâu trả lời khơng điền Để có câu trả lời trên, bạn khai thác yếu tố khác toán, đưa nhiều cách giải Theo hướng suy nghĩ quen thuộc, nhiều bạn xác định chặn trên, chặn tổng số ba ô tròn đoạn thẳng xét dài dòng khả xảy Sau hai cách giải ngắn gọn

Trước hết, giả sử a, b, c, d, e, f, g, h, i, k số 10 trịn (hình vẽ); đơi khác ; nhận giá trị từ đến có tổng 45 (= + + + + + 9)

C¸ch :Theo gi¶ thiÕt ta cã

a + d + b = d + g + e = d + i + f = c + h + k 4(a + d + b) = 2d + (a + b + c + d + e + f + g + h + i + k)

4(a + d + b) = 2d + 45 (*) Đẳng thức (*) xảy vế trái số chẵn vế phải số lẻ Vậy không điền được.

Cách :Theo giả thiÕt ta cã

c + h + k = e + h + f c + k = e + f (1) e + g + d = b + g + k e + d = b + k (2) a + d + b = a + f + c d + b = f + c (3) Céng tõng vÕ cđa (1) vµ (2) : e + d + c + + k = b + k + e + f d + c = b + f (4)

Céng tõng vÕ cđa (3) vµ (4) :

d + c + d + b = b + f + f + c d = f, trái với giả thiết Vậy không điền

lCỏc bn c thng kỡ : Nguyễn thị Kim Oanh, 7/1, THCS Lê Quí Đôn, TP Hải Dương ; Phạm Văn Tiến, 9A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định; Nguyễn Phương Đăng Toàn, 9D, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây ; Nguyễn Thị Lâm Ngọc, 9C, THCS Nguyễn Hữu Tiến, Duy Tiên, Hà Nam; Lê Thùy Linh, 8A, THCS Ba Đình, Bỉm Sơn, Thanh Hóa

Anh Compa 1

n KÕt qu¶ : (TTT2 sè 19)

lKì : Bạn chia không ?

Hãy chia đoạn thẳng cho trước thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với

Nguyễn Văn lạc (phòng Giáo dục Tiên LÃng, Hải Phßng) 2

2 Trong trình học tốn, việc tìm tịi, khai thác mở rộng toán quen thuộc việc làm cần thiết hữu ích Bài viết trao đổi với bạn đọc cách mở rộng toán qua việc thay đổi điều kiện toán

Xin toán sau : Bài toán : Cho tam gi¸c ABC cã nhän Dùng vỊ phía tam giác ABC hình vuông ABDE vµ ACMN

Chøng minh r»ng BN = CE vµ BN CE Lời giải :Với nhọn, ta vẽ hình (phần hình màu) Dễ thấy ABN = AEC (c.g.c) BN = CE vµ

Mặt khác, gọi F giao điểm AB CE ; G giao điểm BN CE ta có (hai góc đối đỉnh)

(tỉng ba gãc mét tam gi¸c)

Suy hay BN CE

VËy BN = CE vµ BN CE

Nhận xét : Bài tốn quen thuộc “loay hoay”với việc kẻ thêm hình phụ nhằm thay đổi điều kiện tốn, tơi phát thêm nhiều kết thú vị

lTrước hết, vẽ thêm phía ngồi tam giác ABC hình vng BCPQ vẽ tiếp hình bình hành CMKP, ta nhận thấy : ABC = CKM theo trường hợp c.g.c (CM = CA ; BC = CP = MK ; -hai góc có cạnh tương ứng vng góc) CK = AB = AE v

hai góc vị trí so le AE // CK tứ giác AECK hình bình hµnh AK // CE vµ AK = CE

Hồn tồn tương tự, vẽ hình bình hành BDIQ ta có AI // BN AI = BN

Từ ta đề xuất toán Bài toán : Cho tam giác ABC có nhọn Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE, ACMN, BCPQ ; hình bình hành CMKP BDIQ Chứng minh AIK tam giác vuông cân l Bài tốn cịn chứng minh cách khác ta chưa dừng lại kết Nếu gọi O tâm hình vng BCPQ ta chứng minh O trung điểm đoạn thẳng IK (chú ý OIQ = OKC) Như AO IK AO 1IK

2 

 A

     

BAC EAB MCK ACM   ACK CAE,

 

 

BAC MCK

 

ACB CMK

  o FAE BGF 90 

      o EFA FAE AEF BFG BGF FBG 180     

 

EFA BFG

 

AEC ABN. 

A

 A

X„Y DúNG CHI B¡I TOŸN

T÷ B¡I TOŸN QUEN THC

tô minh thương (Giáo viên trường THCS Kỳ Tân, Kỳ Anh, Hà Tĩnh)

3 Tiếp tục khai thác mối liên hệ đoạn thẳng IK với đoạn thẳng khác ta thấy KI // DM ; KI = DM ; DM // O1O2 ; DM = 2O1O2 KI // O1O2; KI = 2O1O2 (O1, O2 tâm hình vng ABDE, ACMN - hình 2)

AO O1O2vµ AO = O1O2 (*)

Thay đổi điều kiện toán (bỏ chi tiết gợi ý cho kết (*), ta có tốn khơng dễ

Bài tốn : Cho tam giác ABC có nhọn Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác BOC, AO1B, AO2C vuông cân O, O1, O2 Chứng minh AO O1O2và AO = O1O2 lKhi xem xét, tơi thấy tốn cho trường hợp vuông tù, đề nghị bạn tự kiểm tra Từ ta phát biểu chứng minh toán sau

Bài toán : Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân BOC, AO1B, AO2C O, O1, O2 Chứng minh đường thẳng AO, BO2, CO1đồng quy

lĐến tơi nhớ lại 5(13)và nghĩ có liên hệ với kết Tôi

tìm cách chứng minh lại thành cơng sử dụng kết tốn

Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song nửa CD Điểm M nằm hình thang cho MH vuông góc phần tư CD Bên hình thang, ta dựng tam giác ADE BCF vuông cân E F Chứng minh tam giác MEF vuông cân M

Hướng dẫn : Xét tam giác ADH, dựng phía ngồi tam giác ADH tam giác vuông cân AIH DPH I P ; hình chữ nhật DHMK (hình 3) Theo tốn (với bất kì) ta có EH = PI EH PI

Các bạn chứng minh : - P trung điểm KM

- IPK = EHM KI = EM vµ KI EM - KM // IF KM = IF KIFM hình bình hµnh KI // FM vµ KI = FM

Chúc bạn thành công áp dụng phương pháp để khai thác, mở rộng toán khác

 A

 A

 A H×nh

4

(TTT2 sè 19) l Kết :

T¹i thõa nghiƯm ?

Tất bạn, chí không cần thử lại giá trị x phát điểm mấu chốt sai lầm :

Lưu ý : a 0 b  Do biến đổi thực với điều kiện x  Bởi giá trị phải bị loại nghiệm “từ trời rơi xuống”! Để giải phương trình cần xét riêng khả x 5 ; x -3 Với x -3

V× x -3 nªn

Do khả vơ nghiệm Tóm lại : Phương trình có hai nghiệm x = x =

Xin khen thưởng bạn phân tích hay : Tơ Ngọc Tâm, 89, THCS Trưng Vương, TP Pleiku, Gia Lai; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Mai Thảo Hiền, 9A3, THCS thị trấn Thanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ; Nguyễn Quốc Khải, 9B, THCS Hải Hậu, Hải Hậu, Nam Định ; Mai Diệu Linh, 9G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Trần Thị Minh Hà, 9B, THCS Thành Công, Hà Nội

Anh kÝnh lóp 2 x x.  x 10 0  

x(x 2) x(x 5) x(x 3)

x(2 x) x(5 x) x( x 3)

2 x x x

2 x x 2 x x x 2 x x x 10

    

                

         

    

10 x

3  

ab a b

x(x 2) x(x 5) x(x 3) "Víi x :

x x x 3"

    



      l Kì :

phan bích ngọc (Giáo viên trường THCS Chu Văn An,

Hương Khê, H Tnh)

Chì thặ thỏi ? Bài toán : Cho tam giác ABC có hai phân giác BD CE cắt I Biết ID = IE, tìm mối liên hệ số đo

Lêi gi¶i :

VÏ IH AB ; IK AC Vì I giao điểm hai đường phân giác BD, CE tam giác ABC nên AI phân giác suy IH = IK

Mặt khác, ID = IE nên hai tam giác vuông IHE vµ IDK b»ng Suy

(tÝnh chÊt gãc tam giác)

Các bạn có nhận xét lời giải không ?

  

 

1

Nªn ABC ACB ACB ABC

2

ABC ACB

  

 

    

    

1 L¹i cã IEH ABC BCE ABC ACB ;

2

IDK ACB CBD ACB ABC

2

   

   

  IEH IDK. 

BAC,

 BCA ?



5 Bài :Hệ đếm số : ; 10 ; 11 ; 100 ; 101 ; 110 ; 111 ; 1000 ; 1001 ; 1010 ;

Hệ đếm số 10 : ; ; ; ; ; ; ; ; ; 10 ;

Đến rõ kết : 1001

Bn Tụ Ngc Tâm, 8G, THCS Trưng Vương, Pleiku, Gia Laicó lời giải :

Thoạt nhìn nghĩ khơng Nhưng nghĩ kĩ lại dễ thật mà Dãy dãy không Của hệ nhị phân thật mà Nếu ta đổi thập phân Là một, ba, năm, bảy không sai Tiếp theo chắn phải chín Đổi nhị phân số :

Một - khơng - khơng - Bài :Bạn Nguyễn Mạnh Dũng, số nhà 68B, tổ 13, phường Đề Thám, TP Thái Bình, Thái Bìnhcó giải trực quan, dễ nhìn (đối xứng liên tiếp qua cỏc trc) :

Kết trở lại chữ a

Bạn Lê Thanh Nguyên, 8A6, THCS Độc Lập, TP Thái Nguyên, Thái Nguyêncó giải :

C bốn hình từ chữ a Chỉ có lộn, xoay, đảo thơi mà

Hình trịn trái phải ln thay đổi Móc ngược để thách

Biến chuyển xoay quanh vòng mà Vậy đáp án khơng cịn xa

Chữ a cho xuống cuối Bác Quang thưởng cho cháu mà Xin thưởng cho ba bạn thưởng thêm cho : Lê Thuyên, khối 2, thị trấn Đức Phổ, Đức Phổ, Quảng Ngãi ; Trần Văn Ngọc Hưng, 61, THCS Phan Thúc Duyên, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam; Nguyễn Diệu Thuần, 9A8, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định

Các bạn “gần” thưởng : Đào Anh Tuấn, khu 36, thôn Hội Xuyên, thị trấn Gia Lộc, Gia Lộc ; Phạm Hồng Sơn, mẹ Nguyễn Thị Tĩnh, GV trng THPT Kim Thnh, Hi Dng

nguyễn đăng quang

lKÕt qu¶ :

v Kì :

(TTT2 số 19)

Bài :Đồ dùng thầy cô lên lớp Bài :Đối với thầy cô, cần

NHân ngày Nhà gi¸o ViƯt Nam

Giáo án Thước kẻ Giáo khoa ? Biết ơn Vâng lời Tin tưởng ?

6 Hệ phương trình dạng tốn thường gặp kì thi học sinh lớp Có nhiều hệ phương trình giải trực tiếp phức tạp, chí khơng giải Trong số trường hợp vậy, ta tìm cách đánh giá ẩn ẩn với số, từ xác định nghiệm hệ Phương pháp gọi

“phương pháp đánh giá ẩn” Đánh giá ẩn

Ví dụ (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, ĐHQG Hà Nội năm 1996) :

Giải hệ phương trình

Lời giải : Điều kiện :

Ta chứng minh x = y ThËt vËy :

Vậy nghiệm hệ phương trình (thỏa mãn điều kiện) : x = y =

Ví dụ (đề thi vào khối chuyên, ĐHSPHN năm 2004) :Tìm nghiệm dương hệ

Lêi gi¶i :Ta sÏ chøng minh x = y = z Do x, y, z có vai trò nên không tổng quát, giả sử x y x z (4)

V× x > 0, y > 0, z > nªn :

Tõ (1), (2), (4) 2x2004= y6+ z6x6+ z6 = 2y20042x20042y2004x y (5) Tõ (1), (3), (4) 2x2004= y6+ z6y6+ x6 = 2z20042x20042z2004x z (6)

Tõ (4), (5), (6) suy x = y = z

Thay vµo (1) ta cã 2x2004= x6+ x6= 2x6 suy x = (do x > 0)

Vậy hệ có nghiệm dương : x = y = z =

VÝ dơ :T×m a, b, c biÕt

4a - b2= 4b - c2= 4c - a2= (*) Lêi gi¶i :Ta thÊy a > 0, b > 0, c > Gi¶ sư a > b, tõ (*) ta cã :

4a - 4b = b2- c2> b > c (>0) ; 4b - 4c = c2- a2> c > a (>0).

2004 6 2004 6 2004 6

2x y z (1)

2y x z (2)

2z x y (3)

  

  



  



2

2

1 1 1 0

x x x

x x

1 1 0 1 x 1.

x x

         

         

4

VËy 2 x y Ta cã :

x   y   

1 2 2 1 2. x x y

y y

1 2 2 2 2

y y

x x

1 1

2

y x x x y x

Tương tự,       

               

1

x ; y

2

 

1 2 2

y x

1 2 2

x y



   

 

    



1 2 2 1

x y  x    x x   x x

trịnh ngọc tú (Thanh Oai, Hà Tây)

7 b > c > a trái với giả thiết a > b a b

Tương tự trên, a < b dẫn đến điều vơ lí Vậy a = b, suy : 4a - 4b = b2- c2= b = c a = b = c

Thay vµo (*) ta cã :

4a - b2= 4a - a2= a2- 4a + = Giải phương trình bậc hai ẩn a ta hai nghiệm 

Vậy hệ phương trình (*) có hai nghiệm : Đánh giá ẩn với số

Ví dụ (đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐHQG Hà Nội 2004):Biết a > 0, b > a100+ b100= a101+ b101= a102+ b102 (1) Tính giá trị biểu thức P = a2004+ b2004 Lời giải :Ta chứng minh a = 1, b = 1, từ tính P Thật vậy, từ (1) ta có :

a100.(1 - a) = b100.(b - 1) (2) a101.(1 - a) = b101.(b - 1) (3) Trõ (2) cho (3) theo tõng vÕ ta cã : (a100- a101)(1 - a) = (b100- b101)(b - 1) a100.(1 - a)2= b100.(1 - b)(b - 1) a100.(1 - a)2= - b100.(1 - b)2 (4)

NÕu a 1, a > suy :

a100.(1 - a)2> - b100.(1 - b)2 tr¸i víi (4) a = b = (thay vµo (2), b >0)

Vậy P = 12004+ 12004= Ví dụ :Giải hệ phương trình

Lời giải :Ta chứng minh x = Nhận xét : x, y, z khác

Gi¶ sư x > (4)

Tương tự, x < dẫn đến điều vơ lí Suy x = 1, thay vào (1) (2) ta có :

Vậy hệ có nghiệm : x = y = z = Các bạn thử giải hệ phương trình sau :

Ghi : Bạn Trịnh Ngọc Tú học sinh lớp 9, mẹ Trương Thị Đường, giáo viên trường TH Đồng Mai B, Thanh Oai, Hà Tây 2 2 y

20 2 11y 2005 x

z

20 2 11z 2005 y

x

20 2 11x 2005 z

x 2x y y 2y z

; ;

z 2z t t 2t x

                                  

x y

y z ;

z x

          

x 9y 27y 27

3

yx 9z 27z 27 ;

3

z 9x 27x 27

    

    



    



x y 4z

y z 4x ;

z x 4y

        

    

3 2

x (y 3y 3) 3y

3 2

y (z 3z 3) 3z ;

3 2

z (x 3x 3) 3x

   

    

   



2y y

2z 2 z 1

 

   

 

x 1, m©u thn víi (4)  

5

2 2

2 z z

Tõ (3) x

2z 2z z

 

    

5

2 2

2 y y

Tõ (2) z

2y 2y y

z 1;  

    

 

5

2 2

2 x x

Tõ (1) y

2x 2x x

y 1;  

    

 

5 5

x x 2x y (1) y y 2y z (2) z z 2z x (3)

   

    

   



a b c 2    ; a b c 2    3

2 2

2004(x 4) 2005 3y 2003 2004(y 4) 2005 3z 2003 2004(z 4) 2005 3x 2003

    

    



    

8

gIốI THIẻU

ThS Nguyễn Văn Nho(NXBGD)

Ỵ

Cuộc thi tốn Pa-xcan (the Pascal contest) thi học sinh giỏi lớp Ca-na-đa dành cho học sinh 15 tuổi toàn quốc, trường đại học Oa-téc-lô, bang On-ta-ri-o tổ chức năm

Đây thi trắc nghiệm gồm 25 câu hỏi làm 60 phút, năm 2003 có 43841 học sinh từ 1064 trường trung học khắp Ca-na-đa tham dự

Kì chúng tơi tuyển chọn giới thiệu với bạn số câu hỏi năm 2003 Bài (Câu 7) : Trong biểu đồ đây, số 1, 2, 4, 5, 6, thay vào chữ A, B, C, D, E, F cho số nằm hàng hai số hàng hiệu số dương hai số Khi giá trị tổng A + C ?

(A) ; (B) 12 ; (C) ; (D) 10 ; (E) 14 Bài (Câu 13) :Trong biểu đồ đây,

mỗi hình vng 15 hình vng nhỏ tơ màu Hai hình vng có đỉnh (hoặc cạnh) chung phải tơ hai màu khác Hỏi số màu dùng để tô ? (A) ; (B) ; (C) ; (D) ; (E)

Bài (Câu 20) :Người Evenland không sử dụng chữ số lẻ Thay đếm 1, 2, 3, 4, 5, 6, họ đếm 2, 4, 6, 8, 20, 22, Như số 111 người Evenland đếm ?

(A) 822 ; (B) 828 ; (C) 840 ; (D) 842 ; (E) 824 Bài (Câu 24) :Một họa sĩ muốn dùng hình vng để dán đầy hình chữ nhật cho khơng có hai hình vng có phần chung cạnh hình chữ nhật khơng bị phủ Nếu kích thước hình chữ nhật l v

thì phải dùng hình vuông ?

(A) 429 ; (B) 858 ; (C) 1573 ; (D) 1716 ; (E) 5148

Bài (Câu 25) :Cho hình lập phương ABCDEFGH Gọi L K trung điểm AD AB Khoảng cách từ F đến LK 10 Tính thể tích hình lập phương, làm tròn đến số nguyên gần

(A) 323 ; (B) 324 ; (C) 325 ; (D) 326 ; (E) 327 47 cm

3

9 Bài : Hai người đàn ông đổi nghề Từ chi tiết việc ta thấy :

+ Số tiền bán lạc đà bình phương số lạc đà (số không vượt 300)

+ Số cừu phải số lẻ lớn + Giá dê phần dư phép chia nguyên số tiền bán lạc đà cho 10 (giỏ ca mt cu)

Với kiện ta lập bảng sau :

Nh có khả xảy ra, trường hợp giá dê (đi-na) Suy tồn số chó Ali có giá trị 10 - = (đi-na)

Số chó Ali lớn nên :

2 (giá đi-na) (giá đi-na)

Bài : Những hầm chứa ngũ cốc Cách chuyển cho bảng sau :

Bµi : TÊt vµ giµy

Bạn phải lấy ba tất bốn giày Đây ứng dụng ngun lí Đi-rích-lê Thật vậy, có hai màu tất (đen nâu) nên lấy ba chiếc, bạn chắn có hai màu, tạo thành đơi ; cịn bạn lấy bốn giày, có ba màu khác nên chắn có hai màu (là đôi)

Bài : Ai lấy kẹo

Vì có ba cậu ln ln trung thực nên câu trả lời ba cậu khơng mâu thuẫn với Nói cách khác, với người nói thật câu trả lời khơng mâu thuẫn với hai câu trả lời người khác

Từ nhận xét trên, suy luận Rex, Jack, Earl người ln nói thật cịn Abe Dan người ln nói dối

Dựa vào câu trả lời Rex Jack, suy Abe người lấy kẹo

Cuéc thi Toán gau-xơ ca-na-đa (CáC BàI Tự LUậN lớp & 8)

10

o Bµi :(5,5 ®iĨm)

1) Cho biĨu thøc

a) Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b) Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên

2) T×m x biÕt :

a) x 12 ; x 25 ; x 30 ; x 500 b) (3x - 24).73= 2.74.

c) |x - 5| = 16 + 2.(-3)

3) Bạn Đức đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Đức sử dụng tất chữ số ? Trong chữ số sử dụng có chữ số ?

o Bài :(2 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối

tia AB lấy điểm M, tia đối tia BA lấy điểm N cho AM = BN So sánh độ dài đoạn thẳng BM AN

o Bài :(2,5 điểm) Cho Vẽ tia phân giác

Oz cña ; VÏ tia Ot n»m cho 1) Chøng tá tia Ot n»m gi÷a hai tia Oz, Oy 2) TÝnh sè ®o

3) Chøng tá r»ng Ot tia phân giác zOy.

zOt

 o

yOt 25  

xOy 

xOy

 o

xOy 100 

A

n 2 

Môn Toán lớp 6

(Thời gian : 90 phót)

11

o Bµi :(3 ®iĨm)

a) TÝnh

b) BiÕt 13+ 23+ + 103= 3025 TÝnh S = 23+ 43+ 63+ + 203

c) Tính giá trị A biết y

số nguyên âm lớn

o Bài :(1 điểm) Tìm x biết : 3x+ 3x + 1+ 3x + 2= 117 o Bµi :(1 điểm) Một thỏ chạy ®­êng mµ hai

phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ đồng cỏ nửa thời gian đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ chạy đoạn đường qua đầm lầy hay vận tốc thỏ chạy đoạn đường qua đồng cỏ lớn lớn lần ?

o Bài :(2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC VÏ vỊ phÝa ngoµi

tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh :

a) ABE = ADC b)

o Bài :(3 điểm) Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm,

BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường th¼ng BC LÊy A thuéc tia Hx cho HA = cm

a) Tam giác ABC tam giác ? Chứng minh điều b) Trên tia HC, lấy HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh : AE = AB

 o

BMC 120 

1

x ;

2  

3 2

x 3x 0,25xy

A

x y

  





1 1 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



Môn Toán lớp 7

(Thêi gian : 90 phót)

12 Bµi 1(19) :Cho

Chøng minh r»ng A < 0,4

Lời giải : Xét phân số với n số tự nhiên khác Do (n + 1) + n > nªn

áp dụng bất đẳng thức (*) ta có :

VËy A < 0,4

Nhận xét : 1) Cũng suy cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương khác n + n.

2) Từ cách giải trên, ta có kết mở rộng toán : Với n số tự nhiên khác

3) Các bạn có lời giải tốt : Nguyễn Đức Vương, 9/11, THCS Nguyễn Du, Gị Vấp, TP Hồ Chí Minh; Mạc Văn Việt, 8E, Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dương; Nguyễn Quốc Minh, 9A4, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Phan Thành Lộc, 7C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương ; Đặng Tân Tiến, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Trần Hòa Bình, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Văn Ngọc, 8E, THCS Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị; Trịnh Quang Thanh, 8B, THCS Hàm Rồng, TP Thanh Húa

nguyễn Anh quân Bài 2(19) :Cho số x1, x2, x3, , x11 tháa m·n : x1< x2< x3< < x111000 Chøng minh r»ng, tån t¹i i {1, 2, 3, , 10} cho

Lêi gi¶i : Ta cã a3+ b3+ c3- 3abc = = (a + b + c)(a2+ b2+ c2- ab - bc - ca) = (a + b + c)((a - b)2+ (b - c)2+ (c - a)2) (1)

Suy a3 + b3 + c3 < 3abc  a, b, c không đồng thời a + b + c <

¸p dơng víi ta cã

Do x1< x2< x3< < x111000 suy

3 1 2 11

3 2 1 3 2 11 10

1 x x x 10

x x ; x x ; ; x x

    

   

3 3

i i i i i i

x  x < x x  x  x 1(2).

3 i 1 i

a x , b   x , c 1

2

3 i i i i

x   x x x 

2 n n

A

2 1 2 (n 1) n 

   

   

n 1

A ,

2 n   

 (n 1) n (n 1).n   

1 + 1 + + 1 2 2 2 24 25

2 25 24

A

2 25 24

1 1 4 0,4.

2 10 10 2 25

  

  

   

  



     

2

n+1 n n+1 n (do n+1 n 0) (n+1)+n (n+1).n

(n+1)+n 4n +4n+1 4n +4n (n+1).n (n 1) n (n 1).n

1

(n 1) n (n 1).n

n n 1 (*).

(n 1) n n n

    

  

    

 

  



 

  

  

n n

(n 1) n  

2 25 24

A

2 1 2 25 24

   

13 10 số dương có tổng :

Do tồn i {1, 2, 3, , 10} cho Từ (2), (3) suy điều phải chứng minh Nhận xét : (1) đẳng thức quen thuộc lớp Các bạn sau có lời giải tốt : Phạm Văn Giang, 9A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Lan, 9B, THCS Thái Hịa, Bình Giang, Hải Dương; Hồng Đức ý, 9E, THCS Trần Mai Ninh, Thanh Hóa; Hồng Minh Thắng, mẹ Trần Thị Hương, khối 13, phường Cửa Nam, TP Vinh, Nghệ An; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Cam Nghĩa, Khánh Hòa ; Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk; Trần Mỹ Linh, 9/1, THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu

nguyễn minh đức Bài 3(19) :Giải phương trình :

Lêi gi¶i :

Có nhiều cách giải phương trình

Cách :Viết phương trình dạng : với x42 áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : - x4= + + + (2 - x4) = = 4(x2 - 3x + 3) = (4x2 + 4) + - 12x   8x + - 12x = - 4x  - (2x2 + 2) = = - 2x26 - (x4+ 1) = - x4

Từ dẫn đến tất bất đẳng thức đồng thời trở thành đẳng thức, suy x = Thử x = vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x =

Cách :Với x42 áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có :

Tõ (1), (2) suy :

Do x thỏa mãn phương trình (1) (2) đồng thời trở thành đẳng thức : Vậy phương trình có nghiệm x =

Cách :Viết phương trình dạng :

DƠ dµng thÊy nghiƯm x =

Cách :

2 - x4= (x2- 3x + 3)4 (x2- 3x + 3)4+ x4=

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski :

Phương trình thỏa mãn :

Nhận xét : Các bạn có lời giải tốt : Phí Quốc Tuân, 9D, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây; Bùi Hoàng Đan, 9/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Lê Thắng, 70 Trần Hưng Đạo,

2 2

2

(x 3x 3) x

x 3x x x

(x 1)

   

      

   

2 4 2 2 2 2 2 2

(x 3x 3) x [(x 3x 3) x ]

2 1 (x 3x x) 2

1 (x 1) 2 1(2) 2.

2 2

                                      

42 x x23x 3

2

4 4

2 2

2 x x

(x 1) 6(x 1)         

   

   

    

4

1 x x 1.

x

     

 

42 x x23x 3.

2 2

5 x

MỈt kh¸c : x 3x (2)

4

(x 1) [(x 1) 6] (đúng với x) 

  

    

4 42 x4 1 (2 x ) x (1)

4

    

  

4

4 x

 

42 x x23x 3

2

x 3x x

     

3xi 1 3xi 1 (3)

10

   

Đồng Hới, Quảng Bình; Hồng Thị Lý, 9B, THCS Trần Quốc Toản, Đông Hà, Quảng Trị; Nguyễn Thị Lan, 9B, THCS Thái Hịa, Bình Giang, Hải Dương; Hồng Đức Trung, 117 đường Xương Giang, TX Bắc Giang, Bắc Giang; Trần Mỹ Linh, 9/1, THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu ; Đỗ Anh Minh, 9E, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa ; Lê Văn Hịa, 9A, THCS Nghĩa Liên, Nghĩa Đàn, Nghệ An; Nguyễn Đức Vương, 9/11, THCS Nguyễn Du, Gị Vấp, TP Hồ Chí Minh; ng Sỹ Phong, 8B, THCS Thái Xuyên, Thái Thụy, Thái Bình ; Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk

ltn Bài 4(19) :Cho hình vuông ABCD Gọi E trung điểm AD Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với BE, cắt CD F Tính tỉ sè

Lời giải (của bạn Đậu Thị Kiều Oanh): Qua A kẻ đường thẳng vng góc với BE, cắt CD M Ta thấy : (hai góc có cạnh tng ng vuụng gúc)

Mặt khác, ABCD hình vuông nên AB = AD ABE = DAM BE = AM

Lại có EF AM vuông góc với BE nên EF // AM ; E trung điểm AD nên EF đường trung b×nh DAM Suy

Nhận xét : 1) Bài tốn khơng khó nên bạn tham gia giải có lời giải đúng, Tuy nhiên có nhiều lời giải dài

2) Từ nhận xét DEF đồng dạng với ABE theo tỉ số cho ta lời giải khác ngắn gọn

3) Các bạn có lời giải tốt : Đậu Thị Kiều Oanh, 8A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Nguyễn Thị Lan, 9B, THCS Thái Hịa, Bình Giang, Hải Dương; Nguyễn Quốc Minh; Phạm Lê Quang, 9A4, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Như Đức Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, Hải Châu, TP Đà Nẵng ; Nguyễn Ngọc Trường, 8A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định

nguyễn minh hà Bài 5(19) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R D điểm di động cạnh BC AD cắt (O) E (E khác A) Gọi R1, R2lần lượt bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD, ECD Xác định vị trí điểm D để R1.R2đạt giá trị lớn

Lời giải : Ta có nhận xét rằng, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giỏc u cnh a thỡ

Trở lại toán

Dựng hai tam giác BDF CDG phía ngồi tam giác ABC,

suy BDEF CDEG tứ giác nội tiếp hay R1, R2lần lượt bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF CDG Theo (*) ta cú :

Mặt khác (BD + CD)2 4.BD.CD suy

1 BD CD BD.CD

R ; R R R

3 3

   

  o   o

BFD BED 60 ; CGD CED 60    a

R (*)

3  1,

1 EF

EF AM BE hay

2 BE

  

  ABE DAM EF

EB

15 Đẳng thức xảy BD = CD, nghĩa R1.R2đạt giá trị lớn D trung điểm BC

Nhận xét :1) Nhiều bạn chưa để ý đến nhận xét (*) nên lời giải dài Một số bạn giải cách sử dụng định lí hàm số sin (của lp 10) cho BDE v CDE

2) Các bạn sau có lời giải tốt : Nguyễn Trung KiênB, 9C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Uông Sỹ Phong, 8B, THCS Thái Xuyên, Thái Thụy, Thái Bình ; Nguyễn Hiền, 9D, THCS Lý Tự Trọng ; Hoàng Đức

ý, 9E, THCS TrÇn Mai Ninh, TP Thanh Hãa ; Bïi Hoàng Đan, 8/4, THCS Lê Văn Thiêm, Hà Tĩnh; Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa

nguyễn văn mạnh

2

R

2 2

1

(BD CD) BC 3R

BD.CD

4 4

R

R R

4 

  

 

Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk; Nguyễn Thị Lan, 9B, THCS Thái Hịa, Bình Giang, Hải Dương; Nguyễn Đức Vương, 9/11, THCS Nguyễn Du, Gò Vấp, TP Hồ Chí Minh ; Nguyễn Quốc Minh, 9A4, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc; Hoàng Đức ý, 9E, THCS Trần Mai Ninh, Thanh Hóa; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Cam Nghĩa, Khánh Hòa; Trần Mỹ Linh, 9/1, THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu ; Bùi Hoàng Đan, 9/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Uông Sỹ Phong, 8B, THCS Thái Xuyên, Thái Thụy, Thái Bình; Đậu Thị Kiều Oanh, 8A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu ; Phan Thành Lộc, 7C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương Nghệ An; Trần Hịa Bình, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Văn Ngọc, 8E, THCS Nguyễn Huệ, Đơng Hà, Quảng Trị ; Phí Quốc Tn, 9D, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây; Nguyễn Như Đức Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, Hải Châu, TP Đà Nẵng

Các bạn thưởng kì này

16

Ca trực hôm thám tử Sê-Lốc-Cốc yên ắng đến ngạc nhiên Suốt ngày chẳng có chuyện xảy Buổi tối Đến gần nửa đêm, thám tử định ngả mình chút đi-văng thì chng điện thoại reo vang.

- Xin chào thám tử ! Tôi giám đốc vườn thú thành phố Xin lỗi làm phiền ngài vào lúc khuya này.

- Khơng ! Có chuyện ơng cứ nói ! Tơi sẵn lịng giúp đỡ mà ! -Thám tử trả lời.

- Chúng vừa bị đà điểu ba tháng tuổi nhận từ nước về. Do bất cẩn nhân viên nên những chim trốn đâu Tuy không phải vụ trộm chúng tôi muốn nhờ thám tử giúp đỡ để sớm tìm chim quý ấy.

Ơng n tâm ! Tơi đến -Thám tử Sê-Lốc-Cốc đặt máy vội vã lên xe tới vườn thú thành phố.

Chỉ phút sau, ơng gặp trị chuyện với người lái xe tải vườn thú Đó chàng trai mặc áo liền quần vải bò xanh, đầu đội mũ lưỡi

trai quay ngược sau gáy Qua câu chuyện, thám tử biết con đà điểu chưa kịp tới vườn thú. Chúng bị đường từ sân bay thành phố

- Thưa thám tử ! Tất bóng đá thơi ! - chàng trai thừa nhận - Lúc 11h20 đêm nay, đài truyền hình truyền trực tiếp trận đấu Bra-zin Ac-hen-ti-na Tôi người nghiện bóng đá khủng khiếp, nói khơng thể sống thiếu Vậy mà ơng Moóc-giơ - giám đốc vườn thú - lại yêu cầu sân bay chở đà điểu Tôi đành phải nhận lời khơng cịn cách nào khác Khi làm xong thủ tục nhận hàng sân bay thời gian hầu như chẳng cịn bao Tôi đánh liều quyết định lái xe đường tắt cho nhanh, may kịp xem bóng đá. Tơi đặt lồng chim vào thùng xe, cài chốt cẩn thận lái xe vào đường đất xuyên qua cánh rừng Tôi không ngờ con đường lại xóc thế, ổ gà Nhưng quay lại ngại nên tơi cố lái xe Đi đoạn, dừng xe xem lũ chim nào, có chịu xóc khơng.

17

l KÕt qu¶ :

Ơng giáo sư bất hạnh Trước chết thảm thương Vẫn để lại ám hiệu

Vạch trần kẻ bất lương Chiếc bánh nướng ngon lành Tiếng Anh đọc “pai” Sê-Lốc-Cốc thật tài Hiểu : số Pi đó Mọi chuyện sáng tỏ Mi-ke : kẻ sát nhân Tầng ba, phịng mười bốn Gã đừng hịng thân.

Trên đáp án thơ của bạn Hồng Tuyết Nga Các bạn khác khơng trả lời thơ nhưng đưa đáp án đúng.

Xin trao quà cho năm bạn có bài làm xuất sắc : Trịnh Thanh Thư, 7C2, THCS Quang Trung, Ngơ Quyền, Hải Phịng ; Hồng Tuyết Nga, 8A, THCS Hà Huy Tập, TP Vinh, Nghệ An; Phạm Thị Cẩm Nhung, 6A, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Võ Thị Mai Hương, 8E, THCS Nguyễn Huệ, Đơng Hà, Quảng Trị; Nguyễn Ngọc Anh, 1/3/10 Trần Bình Trọng, TP Vũng Tàu, Bà Rịa - Vũng Tàu.

Thám tử Sê-Lốc-Cốc ĐIềU Bí MậTCủA CHIếC BáNH

(TTT2 sè 19)

Không ngờ vừa mở chốt cửa thùng xe thì ba chim bay vọt ngồi Tơi chỉ kịp ngẩng đầu nhìn theo chúng Có lẽ là xóc nên cánh cửa lồng chim đã bị bật từ trước mở thùng xe. Ngay sau đó, tơi cố tìm chắc thám tử hiểu, tìm chim rừng giữa ban đêm điều không đơn giản. Tuy nhiên, nhớ địa điểm xảy sự việc cho ngài.

- Có lẽ khơng cần đâu, anh niên ạ - Thám tử trả lời - Tôi tin rằng mấy đà điểu không khu rừng đó đâu Hãy cho tơi biết, có phải anh say mê bóng đá từ cịn nhỏ không ?

Vâng, chàng trai trả lời -Nhưng ngài lại đoán điều ? - Giá ngày bé anh bớt đá bóng và học tốt chắn bây giờ anh “sáng tác” câu chuyện nghe hợp lí nhiều Tơi khơng tin vào lời câu chuyện anh vừa kể Tốt anh nên khai thật chuyện !

18

Tìm lời giải

Trong “Croatian National Mathematics Competition Kraljevica, May-1996” gặp toán bất đẳng thức thú vị : Bài toán :Cho số a, b, c, d khác thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d =

Đặt S1= ab + bc + cd ; S2= ac + ad + bd Chøng minh r»ng :

Ban đầu, tơi chưa tìm lời giải trực tiếp cho tốn Khi tơi tự hỏi : “Bài toán bắt nguồn từ đâu ?”

Trả lời câu hỏi này, tơi tìm lời giải cho toán Ta xét toán sau :

Bài toán :Cho số a, b, c, d khác thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d = Đặt S1= ab + bc + cd ; S2= ac + ad + bd Xác định điều kiện cho cặp số dương (, ) để S = S1+ S20

Lêi gi¶i : Đặt

Ta có : S = S1+ S2

= (ab + bc + cd) + (ac + ad + bd) = (ab + b(-M - b) + (-M - b)(M - a)) +

+ (a(-M - b) + a(M - a) + b(M - a)) = (ab - bM - b2- M2- bM + aM + ab) +

+ (-aM - ab + aM - a2+ bM - ab) = 2ab - 2bM - b2- M2+ aM 2ab a2+ bM = -M2+ (a + b - 2b)M + 2ab - b2

2ab a2

Coi S = f(M) lµ tam thøc bËc hai theo M, ta cã S 0 f(M) 0  M0 (v× -< 0)  (a + b - 2b)2 + 4(2ab - b2 - - 2ab - a2) 0

 2a2+ 2b2+ 42b2+ 2ab - 42ab - - 4b2+ 82ab - 42b2- 8ab - 4a20  (2 - 4)a2 + (42 - 6)ab + (2 - - 4)b20

 (- 4)a2+ (4- 6)ab + (- 4)b2 0 (*) lXét trường hợp <   : Chia hai vế (*) cho b2  đặt ta có : f(t) = (- 4)t2+ (4- 6)t + (- 4) 0, f(t) tam thức bậc hai theo t

Vì ( - 4) < nên f(t)  ’t 0  2(2- 3)2- (- 4)(- 4) 0  2(42 - 12 + 92) - ( - 42 - - 42+ 16) 0

 44 - 123 + 922 - 22 + 43 + + 43- 16220

44- 83- 822+ 430  3- 22- 22+ 30

(chia hai vế cho 30) x3- 2x2- 2x + 0 (đặt < x 1)

(xem tiÕp trang 26) x,

  

3

2

            

  

   

a t

b 

d M a

N M

c M b 

       

a d M M N 0

b c N  

   

   

1 2

5S 8S

8S 5S

 



  



BẰNG CÁCH MỞ RỘNG BÀI TỐN

Bài toán mở rộng tiếp tục toán Steiner-Leimus (TTT2 số 1, 2, 3)

Đây tốn khó, có năm võ sĩ nhận lời thách đấu có tới bốn võ sĩ giải sai thiếu xác

Lời giải lại thuộc Nhà giáo Nguyễn Đức Trường, THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội

Lời giải(của võ sĩ Trường, có sửa chữa) : Bổ đề : Cho tam giác ABC, M điểm thuộc đoạn BC

Khi AM < max {AB, AC}

Bổ đề : Cho tam giác ABC (AB > AC), phân giác AD Điểm N thuộc đoạn AD, N khác A N khác D BN, CN theo thứ tự cắt AC, AB B’, C’ Khi BB’> CC’

(Các bạn xem chứng minh bổ đề bổ đề TTT2 số 2)

Bổ đề : Cho tam giác ABC (AB > AC), trung tuyến AM Điểm N thuộc đoạn AM, N khác A N khác M BN, CN theo thứ tự cắt AC, AB B’, C’ Khi BB’> CC’

Chøng minh : Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, theo thứ tự cắt đường thẳng BB,CCtại E, F (h×nh 1)

Theo định lí Ta-lét ta có :

Từ (1), (2) suy :

Mặt khác, AB > AC nên

(xét hai tam giác ABM, ACM) suy : (xÐt hai tam gi¸c NBM, NCM) Tõ (3), (4) suy : BB’> CC’

(xem tiÕp trang 26)  

NMB NMC NB NC (4)

  AMB AMC B'A C'A B'C' // BC BB' CC' (3)

B'C C'B   BN  CN

B'A EA C'A FA; (1)

B'C BC C'B BC

EA MB EA FA (2)

FA MC

 

   

19

lNgười thách đấu :Nguyễn Thái Hòa, giáo viên trường Trung học Thực hành, ĐHSP TP Hồ Chí Minh

lBài tốn thách đấu : Cho tứ giác lồi ABCD, đường chéo BD khơng phải đường phân giác Giả sử P điểm nằm bên tứ giác cho Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn AP = CP

lXuất xứ :Kì thi tốn quốc tế lần thứ 45 (2003 - 2004) lThời hạn nhận thách đấu :Trước ngày 15 - 12 - 2004

 

PDC BDA.

 

PBC DBA

 

ABC vµ CDA

(TTT2 sè 19)

Phản chứng phương pháp chứng minh gián tiếp hiệu quả, ta phải chứng minh mệnh đề phủ định sai Trong trình giảng dạy trường phổ thơng, tơi nhận thấy học sinh chưa thục áp dụng phương pháp để chứng minh tốn hình học

Hi vọng qua ví dụ đây, bạn nắm vững phương pháp chứng minh đặc biệt

VÝ dô :Chøng minh r»ng tứ giác ABCD, AD < BC

Lời giải :Ta chứng minh AD BC sai Thật vậy, gọi giao điểm AD BC E ta cã :

(gi¶ thiÕt) suy EAB cân E EA = EB

Giả sử AD = BC AD + EA = BC + EB  ED = EC EDC cân E trái víi gi¶ thiÕt

Gi¶ sư AD > BC AD + EA > BC + EB ED > EC  trái với giả thiết

Vậy lµ AD < BC

Ghi chó : Ta hoµn toàn chứng minh trực tiếp kết

Ví dụ :Cho hình vuông ABCD có cạnh a ; M trung điểm cạnh AD ;

điểm E nằm BC thỏa mÃn điều kiện Qua M kẻ đường thẳng song song với AE, cắt cạnh CD F Chứng minh hình thang AMFE hình thang cân

Lời giải : Giả sử AMFE hình thang cân AM = FE (*) mà

EA phân giác cđa (gãc ngoµi cđa EFC)

Mặt khác CA phân giác (tính chất đường chéo hình vng), suy A tâm đường tròn bàng tiếp EFC (đường tròn tiếp xúc với CE CF lầ lượt B D)

L¹i cã

EF = BE + DF > BE > EF > AM, mâu thuẫn với (*)

Vậy AMFE hình thang cân Ví dụ : Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB CD vu«ng gãc víi

a AM 

a a

0 CE BE

2

    



ECF



BCD



FEB

   

MAE BEA FEA BEA 

 

MAE FEA, a

0 CE

2  

 

C D,

 

D C,

 

EAB EBA

 

DAB ABC

  

A B ; D C 

cao bá hưng (Số Thành Bắc, Ninh Xá, Bắc Ninh)

20

21 Gọi I K trung điểm OA, OB Tia CK cắt (O) F Chứng minh góc vng

Lời giải :Giả sử suy : Như gọi E giao điểm tia CI với (O) ; P Q giao điểm tia FI với (O) ng kớnh CD thỡ

Mặt khác AB, CD hai đường kính vuông góc (O) nên

OI = OK (bằng nửa bán kính (O)) nên CD trung trực đoạn IK CD phân giác

cđa  Suy :

Tõ (1) vµ (2) CE

phân giác lại có CI PQ nên CPQ cân C IP = IQ Ta dễ dàng chứng minh AIP = OIQ (c.g.c)

Suy  BAP cã

là điều vơ lí Vậy khơng phải góc vng lVí dụ sau toán thách đấu số (TTT2 số 12) quen thuộc với bạn, toán có nhiều cách chứng minh Nhân viết tơi xin trình bày thêm cách chứng minh khác

Ví dụ :Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộc miền hình vuông, thỏa mÃn điều kiện

Chứng minh MBC tam giác Lời giải :Theo giả thiết ta suy : MAD cân M MA = MD  BMA = CMD

(c.g.c)  MB = MC (4)

 MBC c©n t¹i M 

Giả sử MBC khơng đều, từ (4) suy : MB > BC MB < BC

NÕu MB > BC MB > AB

tõ (1), (2), (3) ta cã :

tõ (5) , mâu

thuẫn với giả thiết ban đầu

Tương tự trên, từ MB < BC ta lại chứng minh MB > BC, điều vô lí

Vậy BC = MB = MC hay MBC tam giác

Bµi tËp vËn dông

Bài : Cho tam giác ABC Chứng minh nhọn, a malần lượt độ dài cạnh BC đường trung tuyến kẻ từ A)

Bài : Cho đường tròn (O) I, K trung điểm dây cung AB, CD Biết AB > CD tia AB cắt tia CD P, chứng minh PI > PK

 A a a m   

MBC BMC MB BC

   

   o  o

AMD BMA CMD 300   BMC 60 ,

 o

BMA 75 ,  

 

BMA BAM

 

  MBC MCB (5).  

BMA CMD (3),

 o

AMD 150 (2) ;

  o

BAM CDM 75 (1) ; 

  o

MAD MDA 15  



CIF

  o

PAB APB 90 

  o

PAI QOI 90   PCD,   s®DE s®EP           

s® AE s® AD - s®DE s®DB - s®DF s®FB

s® AE s®FB (2)

  

 

 

s®DE s®DF.



ECF

 

s® AD s®DB ;

  

s®ED s® AP s®FB  (1)

    o  

OIF OIC ICD OIC 90    OIF ICD.

 o

CIF 90 ,



Dạng Toán tăng trưởng, phần trăm Thí dụ 1(Thi Khu vực, 2002, lớp 9) :Hiện dân số quốc gia B a người ; tỉ lệ tăng dân số năm m%

1) Hãy xây dựng cơng thức tính số dân quốc gia B đến hết năm thứ n

2) Dân số nước ta tính đến năm 2001 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta tỉ lệ tăng dân số trung bình năm 1,2% ?

3) Đến năm 2020, dân số nước ta có khoảng 100 triệu người Hỏi tỉ lệ tăng dân số trung bình năm ?

Lêi gi¶i :1) Gọi Ailà số dân sau năm thứ i Sau năm, dân số quốc gia B : A1= a + ma = a(1 + m)

Sau năm, dân số quốc gia B : A2= a(1 + m) + m(1 + m)a = a(1 + m)2 Tương tự, sau n năm, dân số : An= a(1 + m)n-1+ m.a.(a + m)n-1= a(1 + m)n(1)

2) Tính máy Casio fx-500A : 76.3

1 0

(84.94721606) 84,947216 triệu người 3) Từ công thức (1) suy : (2) Tính máy Casio fx-500A :

100 76.3 19

100 (1.433852166) Làm trịn : m 1,4% Thí dụ (Khu vực, 2001, lớp 6-7) : 1) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 100 đôla với lãi suất 0,35% / tháng Hỏi sau 12 tháng người nhận tiền gốc lẫn lãi ?

2) Một người muốn sau năm phải có 20000 đơla Hỏi phải gửi vào ngân hàng khoản tiền (như nhau) hàng tháng bao nhiêu, biết lãi suất tiết kiệm 0,27% / tháng Nếu tính tiền Việt tháng người phải gửi tiền, biết 100 đô la 1489500 đồng

Lời giải :1) Giả sử người gửi a đồng vào ngân hàng từ đầu tháng giêng với lãi suất m% Cuối tháng giêng số tiền người T1= a(1 + m) Vì hàng tháng người tiếp tục gửi tiết kiệm a đồng nên số tiền gốc đầu tháng hai :

Số tiền cuối tháng hai :

Số tiền gốc lẫn lÃi vào cuối tháng thứ n

là : (3)

áp dụngvới n = 12 ; a = 100 ; m = 0,35% :

100 0.0035 0.0035

12 1 0.0035

(1227.653434) 1227,65 đơla

2) Giả sử người gửi vào ngân hàng tháng a đôla Từ công thức (3) suy :

(4)

¸p dơngvíi T = 20000 ; m = 0,27% ; n = 12 : 0.27 100  Min  20000   [( 

n n

T m a

[(1 m) 1](1 m)       )]  [(  )]  y x SHIFT )]  [( [(   n n a

T [(1 m) 1](1 m) m

   

2 a

T m[(1 m) 1](1 m).  

2

a(1 m) a a[(1 m) 1]

a [(1 m) 1] a[(1 m) 1].

(1 m) m

                  1/ y x SHIFT   n n A m a    y x SHIFT )]   [( 

mét số dạng toán thi học sinh giỏi

giải toán máy tính điện tử

T Duy Phng (Vin Toán học)

22

23

12 (1637.639629)

Đổi tiền Việt : 1489500 100 (24392642.28) 24392642 đồng

Nhận xét :Hai thí dụ cho thấy : 1) Tuy phát biểu khác nhau, hai dạng toán dân số gửi tiền tiết kiệm : dạng tốn tng trng

2) Hai công thức (1) (3) cho ta cách thiết lập công thức vàmô hình toán học cho toán thực tế Một công thức toán mô hình nhiều toán thực tế có chất toán học giống

3) Từ (1) (3) suy nhiều công thức khác (thí dụ, công thức (2) (4))

4) Máy tính giúp giải tốn thực tế (tăng trưởng dân số, gửi tiền tiết kiệm, ) với liệu thật (thường số to lẻ)

Bài tập 1(Hà Nội, 1996 ; Thanh Hóa, 2000 ; Thái Nguyên, 2003) : Dân số nước 65 triệu người, mức tăng dân số 1,2% / năm Tính dân số nước sau 15 năm

Bài tập (TP HCM, 1996 ; Hà Nội, 1996) : Một số tiền 58000 đồng gửi tiết kiệm theo lãi suất kép (mỗi tháng tiền lãi cộng thành vốn) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84155 đồng Tính lãi suất

Bài tập (Cần Thơ, 2002) :Dân số nước năm 1976 55 triệu người với mức tăng 2,2% Tính số dân nước sau 10 năm

Bài tập (Hải Phòng, 2003, lớp 8) : Một người gửi tiền vào ngân hàng số tiền x đồng với lãi suất r% / tháng (lãi suất kép) Biết người không rút tiền lãi Hỏi sau n tháng người nhận tiền gốc lẫn lãi ?

áp dụng : x = 75000000 đồng ; r = 0,62 ; n = 12

2) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi suất m% / tháng (lãi suất kép) Hỏi cuối tháng thứ n người

nhận tiền gốc lẫn lãi ? áp dụng : a = 1000000 đồng ; m = 0,8 ; n = 12 (chính xác đến đồng)

Bài tập (Hải Phòng, 2004) :Dân số nước 65 triệu người, mức tăng dân số năm bình qn 1,2%

1) ViÕt c«ng thøc tính dân số sau n năm 2) Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm

3) Dân số nước sau k năm vượt 100 triệu Tìm số k bé

Bài tập (Cần Thơ, 2002) :Một người sử dụng xe có giá trị ban đầu 10 triệu Sau năm, giá trị xe giảm 10% so với năm trước

1) Tính giá trị xe sau năm

2) Tính số năm để giá trị xe cịn nhỏ triệu

Bài tập (Thái Nguyên, 2003, lớp 9) : Một người muốn sau năm phải có hai mươi triệu đồng để mua xe Hỏi phải gửi vào ngân hàng khoản tiền hàng tháng bao nhiêu, biết lãi suất tiết kiệm 0,075% / tháng

Bài tập (Thi Khu vực, 2004 Đề dự bị) : Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla vào ngân hàng khoảng thời gian 10 năm với lãi suất 5% / năm Hỏi người nhận số tiền nhiều hay ngân hàng trả lãi suất % tháng

Bài tập (Hải Phòng, 2004, lớp 9) :Một người vào bưu điện để gửi tiền cho người thân, túi có triệu đồng Chi phí dịch vụ hết 0,9% tổng số tiền gửi Hỏi người thân nhận tiền

Kết luận :Toán phần trăm, tăng trưởng dạng toán hay gặp thực tế Toán học giúp ta lập cơng thức (xây dựng mơ hình), máy tính giúp ta dễ dàng tính tốn với số liệu thật (thường số lớn lẻ), tức gắn toán với thực tế

5 12 

 

 )] 

y

x SHIFT )]

24

Tạ minh hiếu (Giáo viên trường THCS Yên Lạc, Yên Lạc,

VÜnh Phóc Việc sử dụng phép quy nạp toán học

trong chứng minh toán đại số số học hẳn quen thuộc với nhiều bạn

Nhiều tốn hình học phức tạp chứng minh nhờ vào phép quy nạp Sau xin giới thiệu với bạn số toán

Bài toán : Chứng minh đa giác lồi n cạnh (n 5) chia thành số hữu hạn ngũ giác lồi

Lêi gi¶i :

Với n = hiển nhiên ta có ngũ giác lồi Giả sử tốn với n = k > 5, ta chứng minh toán với n = k +

Thật với A1A2 Ak + 1là đa giác lồi k + cạnh, lấy điểm M nằm cạnh A1A2(M khác A1và M khác A2) ; điểm N nằm cạnh A4A5(N khác A1và N khác A5) Ta thấy MN chia A1A2 Ak + 1thành hai đa giác lồi MA2A3A4N A1MNA5A6 Ak + 1 có cạnh k cạnh Theo giả thiết

quy nạp, A1MNA5A6 Ak + 1luôn chia thành số hữu hạn ngũ giác lồi Vậy A1A2 Ak + 1cũng chia thành số hữu hạn ngũ giác lồi

Theo nguyên lí quy nạp, toán chứng minh

Bài toán :Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh : chia hình vuông thành n hình vuông nhỏ (các hình vuông sau chia không thiết phải nhau)

Li gii :Theo dõi hình vẽ ta thấy tốn với n 6, 7,

Như theo ngun lí quy nạp, giả sử tốn với n = k > ta cần phải chứng minh toán với n = k + tốn với trường hợp liên tiếp 6, 7, Thật :

Ta nhận thấy, sau chia hình vng thành k hình vng nhỏ mà ta lấy hình vng số k hình vng nhỏ đó, chia thành hình vng (ln thực được) hình vng ban đầu chia thành k + hình vng nhỏ Bài tốn chứng minh

25 Bài toán : Trên mặt phẳng, cho n đường thẳng, khơng có hai đường thẳng song song khơng có ba đường thẳng đồng quy Hãy tính số miền rời mặt phẳng đường thẳng chia

Lêi gi¶i :Gäi f(n) số miền rời mặt phẳng chia n đường thẳng nói

Trc hết, trực quan ta đếm : f(1) = ; f(2) = ; f(3) = ; f(4) = 11 Với kết ban đầu này, ta có nhận xét quan trọng sau :

f(1) = ; f(3) = f(2) + = ; f(2) = f(1) + = ; f(4) = f(3) + = 11 Từ ta có dự đốn : f(n) = f(n - 1) + n f(n) = f(n - 2) + (n - 1) + n

f(n) = f(1) + + + + + n f(n) = + + + + + n f(n) = + + + + + + n

ta dùng phép quy nạp để chứng minh :

Với n = 1,

Giả sử (*) với n = k > 1, ta cần chứng minh (*) với n = k + :

Thật vậy, gọi k + đường thẳng d1, d2, , dk, dk + 1 Theo giả thiết quy nạp, k đường thẳng d1, d2, , dkchia mặt phẳng

thµnh miỊn rêi

Xét đường thẳng dk + 1, đường thẳng phải cắt k đường thẳng lại k điểm phân biệt hay dk + 1bị chia thành k + phần khác nhau, phần qua miền mặt phẳng chia miền thành hai miền nhỏ Tóm lại số miền rời tăng thêm k + miền thêm đường thẳng dk + 1

Vậy số miền rời mặt phẳng chia n đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề

Bài toán mở rộng tốn Tơ màu đồ (cuộc thi Olympic tốn học Cơ-lơ-ra-đơ, Mỹ, 1998 - TTT2 số 16)

Bài toán :Trên mặt phẳng, cho số đường thẳng số đường tròn, chúng chia mặt phẳng thành miền rời (chỉ chung điểm biên) Chứng minh cần hai màu để tô miền thu cho hai miền kề (chung đoạn biên) có màu khác Bài tốn có cách chứng minh khác hay - sử dụng phép quy nạp

Hướng dẫn : Với k + đường thẳng đường tròn d1, d2, , dk + 1(dk + 1là đường thẳng) : Tô miền mà k đường thẳng đường tròn d1, d2, , dkchia ; giữ nguyên màu tô hai nửa mặt phẳng đường thẳng dk + 1chia ra, nửa cịn lại ta đổi màu tồn miền

Đề nghị bạn giải toán tập cách sử dụng phép quy nạp

Bµi : Trên mặt phẳng, cho n điểm không thuộc đường thẳng Qua hai điểm bất kì, ta kẻ đường thẳng Chứng minh có không n đường thẳng khác kẻ (n 3)

Bi : Cho đa giác lồi 2n cạnh nội tiếp đường trịn, có n - cặp cạnh đối song song với Chứng minh :

a) Cặp cạnh đối lại song song với n lẻ ;

b) Cặp cạnh đối lại n chẵn

n(n 1)

1

2  

k(k 1) VËy f(k 1) f(k) k 1 2 k

(k 1)(k 2)

f(k 1) 2 ,

        

     

k(k 1) f(k)

2   

k(k 1) (k 1)(k 2)

f(k) f(k 1)

2

  

     

1(1 1)

(*) f(1) 2,

2 

   

n(n 1)

f(n) (*),

26

Tìm lời giải

(TiÕp theo trang 18) (x + 1)(x2- 3x + 1) 0

x2- 3x + 0 (x + > 0) (tính x) Kết hợp với điều kiện < x 1 ta suy : VËy víi < S = S1+ S20

khi chØ (1)

lXét trường hợp <   , tương tự trường hợp : Chia hai vế (*) cho a20 đặt ta có :

f(u) = (- 4)u2+ (4- 6)u + (- 4) Vì (- 4) < nên f(u) 0  ’u  2(2- 3)2- (- 4)(- 4) 0  3- 22- 22+ 30

y3- 2y2- 2y + 0 (đặt < y 1),

bất phương trình có nghiệm :

VËy víi < S = S1+ S20

khi chØ (2)

Từ (1) (2) suy : Với và  số dương, điều kiện để S = S1+ S20

Trở lại tốn Ta thấy trường hợp đặc biệt kết :

Víi = =

ỳng, suy S = 5S1+ 8S20 Với = =

đúng, suy S = 8S1+ 5S20 Vậy :

Qua toán ta thấy rằng, việc lựa chọn hướng chứng minh cho nhiều tốn hồn tồn khơng đơn giản số trường hợp, đặt vấn đề tìm lời giải cho tốn mở rộng lại đem đến thành cơng bất ngờ

1 2

5S 8S

8S 5S

 



  



3 5 1

2

    

3 5 1

2

    

3 1 hc 1.

2

     

 

3 1

2

   

3 5 y 1

2

  

y,   

3

2

  

   

       

  

    b u

a 

3 1

2

   

3 5 x 1

2

  

3 x

2

 

  

(Tiếp theo trang 19) Trở lại toán thách đấu, lời giải kết hợp cách khéo léo kết có bổ đề ; ; (hỡnh 2)

Đặt : N1= BBAD ; N2= BB’AM ; C1’= CN1AB ; C2’= CN2AB

Vì N1thuộc đoạn AD nên theo bổ đề ta có : CC1’< BB’(5) Vì N2thuộc đoạn AM nên theo bổ đề ta có : CC2’< BB’(6)

Vì N thuộc đoạn N1N2nên C’thuộc đoạn C1’C2’, theo bổ đề ta có : CC’< max { CC1’, CC2’} (7)

Tõ (5), (6), (7) suy : BB’> CC’

27

Sửa thơ cho

động từ !

l SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

Chun du lÙch cða tái (TTT2 số 19) l KÕt qu¶ :

Ra vườn chọc lá, chích cành Vào bếp gọt thịt, vót hành, lọc khoai

Tờ giấy to đẽo làm đôi Mổ cây, xắt gốc đồi làm nương

Giết lợn tỉa tiết, chặt lông Thái bụng, n tht, khớa xng,

chẻ bì Sách báo tiện mép phẳng lì Cạo cành sung nhựa tức

chảy “u cau sáu rọc ba” Dóng mía lng v, tc khỳc trũn

Xắt tre, đầu mặt khắc Chọc khúc, xén mỏng, bổ trơn

đan sề Bác thợ cày róc say mê Người chích dấu tay nghề

phải cao Dưa chuột pha lát Thầy thuốc thận trọng phát vào

khối u Mai Đình Phẩm (45 Tân Lâm, ýYên, Nam §Þnh)

Chuyến du lịch tơimắc nhiều lỗi sai :

1.Nhầm lẫn địa danh

- Hải dương khơng có hội chọi trâu (Hội chọi trâu Đồ Sơn, Hải Phịng)

- ë§iƯn Biên khu du lịch Sa Pa (Khu du lịch Sa Pa Lào Cai)

- Nng khơng có động Phong Nha (Động Phong Nha Quảng Bình)

- Khu cỉ Héi An kh«ng cã cầu Tràng Tiền (cầu Tràng Tiền Huế)

- Ngà ba Đồng Lộc không phía nam Đà Nẵng (ở Hà Tĩnh)

- Đà Lạt không mệnh danh thị trấn mây (Thị trấn mây Tam Đảo, Vĩnh Phúc)

- Gia Lai Buôn Đôn (Buôn Đôn Đắk Lắk)

2.Một số nhầm lẫn khác

- Sụng Hng khụng “cuồn cuộn” chảy (mà “êm đềm” chảy)

- Ng· ba Đồng Lộc nơi cô gái giao liên hi sinh (mà nơi

cụ gái “thanh niên xung phong” hi sinh) - Chuyến du lịch qua nhiều địa danh xuyên suốt Bắc - Trung - Nam kéo dài 5-6 ngày (mà phải 10 ngày)

- Hành trình khơng hợp lí : Khơng thể từ Đà Nẵng “vào” Quảng Bình từ Huế “ra” Hà Tĩnh, “lên” Đà Lạt, “sang” Đắk Lắk, “về” Vũng Tàu, “tới” TP Hồ Chí Minh Bạn phải lên Lào Cai, Hải Dương, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Đắk Lắk, Đà Lạt, TP Hồ Chí Minh, Vũng Tàu

Năm bạn trao giải kì : Lê Nguyễn Minh, 29 Nguyễn Thị Lý, TX Quảng Trị, Quảng Trị; Cao Thu Trang (con ông Cao Xuân Hiền) tổ 25, Tân Quang, TX Tuyên Quang, Tuyên Quang; Vũ Thị Phương Thảo, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành ; Hồ Thị Quỳnh Trang B, 8A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Trần Văn Ngọc Hưng, 6/1, THCS Phan Thúc Duyện, Điện Thọ, Điện Bàn, Qung Nam

Phú Bình Dao công

cụ làm nhiều việc

28

Chú Khoa ! Tại nhà thơ mà lại xuất tờ tạp chí tốn dành cho thiếu nhi ? Có phải trái tim ln dành cho thiếu nhi chúng cháu tình cảm tt p khụng ?

Lê Võ Châu Anh (9A, THCS Nguyễn Trọng Bình, Kì Anh, Hà Tĩnh)

Trần Đăng Khoa :

29

Kì :

l Kết : ễ ch CÁC LOÀI CHIM (TTT2 số 19)

vƯ ?

Ghế tựa trông dáng xinh xinh Chặt đầu lại đầu mình, ?

Lê Thanh Nguyên

(8A6, THCS Độc Lập, TP Thái Nguyên)

Vn Anh kì thực trở thành nơi tổ chức ngày hội loài chim Các loại chim, từ lồi tít rừng sâu nhiệt đới đến loài tận Bắc cực lạnh giá xa xôi ; từ chim hiền lành kiếm mồi mặt nước đến chim dũng mãnh bay lượn không trung ; từ chim xinh đẹp thiên nga đến chim xấu xí quạ đen bạn đọc TTT đem đến tham dự “Thăm Vườn Tiếng Anh” kì Với 12 lồng, bạn Phạm Thị Yên, 9A1, THCS Trưng Vương, ng Bí, Quảng Ninh mang đến tận 45 lồi chim Thật đáng bái phục ! bái phục ! Chủ vườn xin cử số đại diện Ngoài ra, bạn tiếp tục tìm kiếm, xem có bạn phá kỉ lục bạn Yênkhông

Từ xuống : thiên nga ; chim ác ; chim cắt ; chim cánh cụt ; chim khướu ; chim ó ; bồ nơng ; chim én ; quạ ; gà gô ; đại bàng ; chim chèo bẻo

Ngồi bạn n, bạn có tên sau người thắng kì : Lê Thanh

Nguyên, 8A6, THCS Độc Lập, TP Thái Nguyên, Thái Nguyên ; Lê Nguyệt Hàn Giang, 9E, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ; Nguyễn Duy Cương, 8A,THCS Tô Hiệu, TX Nghĩa Lộ, Yên Bái ; Nguyễn Quang Vinh, thôn Bắc Phương Danh, thị trấn Đập Đá, An Nhơn, Bình Định

30

(TTT2 sè 19)

KÌ GÌ ?

lKÕKÕKÕÕKÕKÕÕKÕKÕtÕtÕttÕtÕttÕtÕt ququ¶quququuququu¶u¶u¶u¶¶u¶u¶¶ :

VAấN Gè ?

Kì lạ thấy Kì ảo khó thấy mờ mờ bạn

Kì nghỉ sung sướng đời Kì diệu nón người chơi

Kì tài danh tiếng mn nơi Kì cục trơng thấy cười

Kì vọng trơng đợi hơm Kì thi sốt sắng đến ngày thi

Kì quan giới cịn ghi Kì đà động vật khác kì nhơng

Kì vĩ rộng lớn mênh mông Kì tích lập chiến công oai hùng

Tho dõn oỏn ỳng kì phùng Trẫm xin đánh trống “tùng tùng”

thưởng to

Ban thưởng : Vũ Thị Thu Hương, 6A3, THCS Nam Cao, Lí Nhân, Hà Nam; Vũ Lê Trang Anh, 9D, THCS Trần Hưng Đạo, thị xã Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Nguyễn Duy Cương, 8A, THCS Tô Hiệu, thị xã Nghĩa Lộ, Yên Bái ; Võ Tuấn Anh, bố Võ Hồng Lam, xóm 6, thị trấn Đức Thọ ;

NguyÔn CÈm Trang, 9D, THCS Phan Huy Chú, Thạch Hà, Hà Tĩnh

Vua Tếu

Văn lưu trữ giấy tờ ?

Văn chứng nhận bạn vừa học xong ? Văn nếp sống xung quanh ? Văn ca hát trở thành niỊmvui ?

Văn khơng nói lời ? Văn cam kết người với ta ?

Văn nức tiếng gần xa ? Văn hội họp nhà văn nhân ?

Văn ghép lại thành vần ? Văn xây dựng thành thêi x­a ?

Các bạn đoán chưa ? Nhanh tay gửi để “vua” ban quà !

Đặng Thị Quyên Anh

(9G, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, NghÖ An)

31 Hỏi : Hơm trước em có

đến 57 Giảng Võ lị rèn Mong q báo ghi lại xác địa để em cịn gửi

Đào Duy Toán (9A, THCS Lương Yên, Hà Nội)

Đáp :

57 Giảng Võ, em Một nơi Tòa báo, nơi lò rèn

Cỏc bỏc Bu điện quen Do thư em

Sè míi 187 B

Mong em tích cực mải mê gửi Hỏi : Từ em lên tuổi giờ, người đặt cho em biệt danh kinh khủng : “ếch ộp” Làm để người đừng gọi nữa, anh

Õch ép

(7E, THCS B×nh An, Bình Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh) Đáp :

Mỗi lần nghe “ếch ộp !” Xin em đừng giật thột Cứ cười hết cỡ môi Và cảm ơn : “ốp ! ốp !” Hỏi : Có lần nhà vừa ăn cơm xong bố đưa cho TTT bảo : “Này 000 đồng !” Mình nghĩ : Có lẽ bố khơng muốn mua mà bố phải mua, bố thương Mình có nên bảo bố mua

TTT cho khơng ? Ngơ Thị Hương (thôn Bảo Tháp, Kim Hoa, Mê Linh, Vĩnh Phúc) Đáp :

Bố em nói ý : Năm nghìn hai phải

say c vo Hc hnh cố gắng điểm cao Nếu khơng tài bị “hao” năm nghìn Hỏi : Em đọc lời “gỡ” anh em thấy anh trả lời thơ hay Chắc ngày học sinh anh bút tài ba Trần Đăng Khoa ?

Nhãm Lan Rõng

(8B, THCS Xu©n Lĩnh, Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh) Đáp :

Cm n em “tôn thờ” Ngày xưa thơ thẩn “ngẩn ngơ”

cực kì Học bác Khoa tí ti Đọc thơ anh, bác cười phì

nhiỊu phen ! Hỏi :Tại anh trả lời thơ mà không trả lời toán học ? Có bao giê anh thÊy bÝ ch­a ?

Ngun Khỉng Thanh Thảo (352/1 tổ 13, khu phố 2, Bình Đa, TP Biên Hòa) Đáp :

Cú nhiu ờm a thc Chng nghim c

điều

Ch nhỡn đường “trung trực” “Quỹ tích” đầu bút bi Chỉ khổ hai hàng mi Đã bao lần “hạ xuống” Đêm “đi qua” thật uổng Đã “bao lần” em Hỏi :Em phải làm ? Các số TTT2 từ số đến số 10 em bị thằng em “cuỗm” theo vào Ninh Thuận !!! Nó thật nhẫn tâm anh ?

Bå câu gái mong hồi âm

(289 Bà Triệu, P 7, TX Tuy Hòa, Phú Yên) Đáp :

Thằng em “l¸o” thËt ! Nã lÌn “u” ? B¸o mÊt chồng,

khéo tu Thôi thích

như u thích Tớ tặng lại cho

kÖ “nã” xï !!!

32

Bµi 2(21) :Chøng minh r»ng :

mai văn quảng (GV trường THCS thị trấn Tiên Lãng, Hải Phòng)

3 32 1 31 32 34.

9 9

   

j

Bài 1(21) :Cho ba số phương A, B, C Chứng tỏ : (A - B)(B - C)(C - A) chia hết cho 12

nguyễn Văn đĩnh (GV trường THCS Nghĩa Hưng, Nghĩa Hưng, Nam Định)

Bµi 3(21) :Cho a -b, a -c, b -c Chøng minh r»ng :

nguyễn đức trường (GV trường THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội)

2 2 2

b c c a a b b c c a a b.

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b c c a a b                

j j

Bài 5(21) :Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chøng minh r»ng :

TS Ngun Minh Hµ (Hµ Néi) HB.HC HC.HA HA.HB AB.AC BC.BA CA.CB  

j

Bài 4(21) :Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c a + b + c = ; x, y, z độ dài phân giác góc A, B, C

Chøng minh r»ng :

lê thị liễu (GV trường THCS Lê Lợi, Quy Nhơn, Bình Định)

1 1 x y z  