Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 31

Huynh chóc ®Ö trë thµnh nhµ khoa häc næi tiÕng vµ nhµ ho¹t ®éng v¨n häc tµi n¨ng.. Nh÷ng giíi tõ chØ vÞ trÝ trªn thËt quen thuéc víi c¸c b¹n häc sinh THCS, v× vËy bµi göi dù thi rÊt ®«ng[r]

1

l KÕt qu¶ : Không làm tính ! (TTT2 sè 29) lKì :

Lời giải :Trước hết ta thấy

là số lẻ nên không chia hết cho 18 Như vậy, tách thành tổng hai số dương, có số hạng chia hết cho 18 số hạng cịn lại nhỏ 18 số dư cần tìm

Ta lại có 18 2 9 (2, 9) 1 nên số chia hết cho 18 số đồng thời phải chia hết cho

Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9, dễ thấy Mặt khác,

nờn A : 18 dư 11 Nhận xét : 1) Các bạn lưu ý, phân tích phải dùng đến điều kiện (2, 9)  1, phân tích điều kin ny l tha

2) Còn nhiều cách làm khác : + Phân tích

+ Dễ thấy A 9k A lẻ nên k lẻ, suy A 9(2q 1) 2 18q 11 ;

+ áp dụng kết 10k: 18 dư 10 với mäi k kh¸c : A 1010109 10210 1, tổng số dư số hạng chia cho 18 lµ 10 10   10  100 1,

chia tiếp cho 18 có dư 10 1 11 ; 3) Đa số bạn làm đúng, nhiên số bạn làm dài phức tạp ; số bạn lại mắc sai lầm đáng tiếc :

Đề bắt tìm số dư A : 18 nên A không chia hết cho 18 ;

1 100 3 nªn 100 9 ; A + 18 nªn A : 18 d­ ;

1 100 18 ; (11, 18) = A : 18 d­ 11 ; 18 2 32, A : d­ 1, A : d­ A : 18 d­ 2 2 5 ; !

4) Các bạn thưởng kì : Đậu Hồng Giáp, 5B, TH Diễn Phúc, Diễn Châu, Nghệ An; Lương Mai Hoàng, 6B, THCS thị trấn Minh Đức, Thủy Nguyên, Hải Phòng; Nguyễn Quốc Hùng, 6E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ ; Nguyễn Quỳnh Giang, 6/5, THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Nguyễn Đức Khiêm, 6A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Ngô Thị Thùy Dương, 7A, THCS bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh

Anh Compa 10

A 11111111118 ; 

ch÷ sè

9

A 111111111 100 11 

ch÷ sè

9

A 11111111100 11 

ch÷ sè

9

A 11111111100 11 

ch÷ sè

9

11111111100 18 

ch÷ sè

A 111 111

11 ch÷ sè

Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn đồng tâm Hãy vẽ hai đường thẳng song song với số lần thao tác

Nguyễn đức

2

Từ TAM GIÁC đến TỨ GIÁC

Tơi tâm đắc với “Học Tốn cần phải biết thắc mắc” tác giả Đặng Văn Biểu (TTT2 số 24), trình thắc mắc tìm tịi dẫn đến nhiều hệ thức thú vị tam giác Theo mạch viết, tiếp tục tự hỏi : “Liệu tứ giác có hệ thức tương tự khơng ?”và tìm số kết sau

Xét tứ giác lồi ABCD Gọi S, T, U, V, I, J trung điểm cạnh CD, AB, DA, BC v cỏc ng chộo AC, BD

Đặt DA  a, AB  b, BC  c, CD  d, AC m, BD n, UV p, ST q, IJ r

lTa tìm mối liên hệ a, b, c,

d, m, n, p, q, r

áp dụng công thức đường trung tuyến : Xét c¸c tam gi¸c DBC, ABC, víi c¸c trung tun DV, AV, ta cã 4DV22(n2d2) c2; 4AV22(m2b2) c2 Suy :

2(AV2DV2) m2n2b2d2c2 (1) XÐt tam gi¸c VAD, trung tuyÕn VU, ta cã : 4UV22(AV2DV2) a2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy :

4q2m2n2a2b2c2d2 Tương tự ta có :

4p2m2n2a2b2c2d2

Suy : m2n22(p2q2)

XÐt c¸c tam gi¸c ABD, CBD víi c¸c trung tuyÕn AJ, CJ, ta cã 4AJ22(a2b2) n2; 4CJ22(c2d2) n2 Suy :

2(AJ2CJ2) a2b2c2d2n2 (3) XÐt tam gi¸c JAC, trung tuyÕn JI, ta cã : 4IJ22(AJ2CJ2) m2 (4) Tõ (3) vµ (4) suy :

4r2a2b2c2d2m2n2 a2b2c2d2m2n24r2

l Nếu bạn biết sử dụng cơng

thức Hê-rơng (tính diện tích tam giác qua độ dài cạnh) bạn đặt câu hỏi “có cơng thức tứ giác khơng ?” Câu trả lời “có”:

+NhËn xét :Một tam giác có cạnh x, y, z diện tích T :

16T22x2y22y2z22z2x2x4y4z4 Chøng minh : ThËt vËy, theo c«ng thøc

Hê-rơng

suy : 16T2

(x y z)(x y z)(x y z)(x y z) [(y z)2x2][x2 y z)2]

x2[(y z)2 y z)2] x4(y2z2)2 2x2y22y2z22z2x2x4y4z4.

+Nhận xét :Một hình bình hành ABCD có AB a, BC  b, AC  m, BD  n, O giao điểm hai đường chéo, O1là điểm hình bình hành Đặt O1A a1, O1B b1, O1C c1, O1D d1 Khi :

x y z

p ,

2   

T p(p x)(p y)(p z),  

3 a) m2n22(b12d12a12c12) ; b) 16S2ABCD16a2b2(m2n2)2 Chøng minh :

a) XÐt O1BD, trung tuyÕn OO1, ta cã : 4OO122(b12d12) m2; XÐt O1AC, trung tuyÕn OO1, ta cã :

4OO122(a12c12) n2

Suy m2n22(b12d12a12c12) b) Ta cã SABCD4SABOsuy :

S2ABCD16S2ABO

(nhËn xÐt 1) 16S2ABCD

16a2b2(m2n2)2 +Trở lại toán cho

Dựng hình bình hành BDAE BDCF Khi ACFE hình bình hành

Theo nhËn xÐt 2, ta cã :

16S2ACFE16AE2.EF2(CE2AF2)2 16m2n24(BC2BE2BA2BF2)2 16m2n24(c2a2b2d2)2 Suy :

4S2

ACFE4m2n2(c2a2b2d2)2 DƠ dµng chøng minh ®­ỵc 2SABCD  SACFE, suy 16S2ABCD4S2ACFE 4SABCD

SABCD

Đây chắn chưa phải kết cuối Xin chờ kết đẹp từ thắc mắc khác bạn đọc

2 2 2 2

1 4m n (c a b d )

4    

2 2 2 2

4m n (c a b d )

2 2 2 4 2

a m 2m n n

162 2(a b ) a  16  

     

 

 

2 4

2 2

a m n

16 (m n ) m n a

2 16

  

      

 

 

2 4

4

m n m n

2 a

4 16 16

   

2

2 m n

2a 2a

4

   Thi giải toán qua thư

4

l Kì : Một lời giải cho kết !

(TTT2 sè 29) l Kết :

l Lời giải TTT2 số 29

trong trường hợp tam giác ABC nhọn vuông Khi tam giác ABC tù, trực tâm H nằm tam giác, rõ ràng kết (1) khơng cịn Như lời giải xét thiếu trường hợp tù khơng thể cho điểm tối đa Các trường hợp cịn lại :

Nếu tù, :

SHBCSABCSABHSACHsuy , hay :

Nếu tù, tương tự ta có : Nếu tù, ta có :

l Các bạn có lời giải tốt :

Nguyễn Thị Thu Hà, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Mạnh Hưng, 9B, THCS huyện Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Phạm Thị Nga, 8A, THCS Lê Lợi, Gia Lộc, Hải Dương ; Nguyễn Quốc Đại, 9A7, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Nguyễn Khánh Lân, 8D, THCS Võ Trứ, thị trấn Chí Thạnh, Tuy An, Phú Yên

Anh kÝnh lóp

1 1

1 1

HC HB HA 1. (4) CC BB AA 

 C

1 1

1 1

HB HA HC 1. (3) BB AA CC 

B

1 1

1 1

HA HB HC 1. (2) AA BB CC 

1 1

1 1

HA 1 HB HC AA  BB CC

 A

 

A ; B ; C

1 1

1 1

HA HB HC 1 AA BB CC 

Bài toán sau nằm đề kiểm tra học kì học sinh lớp Một học sinh làm xong toán hỏi đáp số bạn khác nên không kiểm tra lại lời giải

Về nhà, bạn học sinh nhận giải sai “tiếc quá”

Hãy theo dõi lời giải bạn học sinh thử tìm sai lm, cỏc bn nhộ !

Bài toán : Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

P (x21)(x21)

Lêi gi¶i : Ta cã x2  víi mäi x, suy x2   1 vµ x21 1 P (x21)(x21) (1) 1  P

Đẳng thức xảy vµ chØ :

Vậy P đạt giá trị nhỏ 1 x  

t¹ quang h­ng

(THCS Nghĩa Hưng, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc)

2

x 1 x 0. x 1

   

  

5

l KÕt qu¶ :

v Kì : (TTT2 sè 29) Hon chnh hỡnh cui

Xin giải thơ sau : Bµi :

Ba đường tam giác Những đường đồng quy ? Ba đường cao, khó ! Thêm ba đường phân giác Cứ lần theo quy tắc Hình tiếp vẽ Ba trung tuyến mà Chắc bác Quang thưởng

Bµi :

Trăm năm cõi người ta

Tam giác, đoạn thẳng khác Nhưng ta vÉn nhËn mau

Điểm G tên gọi có đâu khác Trọng tâm hình ta suy Hình vng đợi ta vẽ

Hai cặp đỉnh đối nối

Giao nhau, ta gọi điểm : trọng tâm Chữ G kí hiệu đừng nhầm

Trổ tài đâu phải phần thưởng to !

Các bạn thưởng kì : Nguyễn Thị Huyền, 9A2, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Đinh Quang Phú, 6D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Văn Huyên, Ngân Cầu, thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Phạm Trà My, nhà 11, ngõ 12, phố Hai Bà Trưng, TP Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn Giang Nam, 7D, THCS thị trấn Nho Quan, Nho Quan, Ninh Bình

nguyễn đăng quang

Bài :

Bn quan sát “biến hóa” ba hình vẽ để phát quy luật vẽ tiếp hình cuối

6

BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI VÀ BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Bất đẳng thức Cô-si sử dụng phổ biến để chứng minh bất đẳng thức, đánh giá biểu thức từ giải nhiều dạng toán Bài viết xin nêu số thí dụ áp dụng giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đặc biệt giới thiệu với bạn số toán cực trị hình học liên quan tới vấn đề

Trước hết ta nhắc lại kết quen thuộc hệ trực tiếp bất đẳng thức Cô-si :

ThÝ dô :Chøng minh r»ng :

1) Nếu hai số khơng âm có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số

2) Nếu hai số khơng âm có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số

Lêi gi¶i :

1) Với hai số a, b khơng âm có a b k khơng đổi, theo bất đẳng thức Cơ-si ta có :

Đẳng thức xảy

Vậy giá trị lớn ab

2) Với hai số c, d không âm có cd  h khơng đổi, theo bất đẳng thức Cơ-si ta có : Đẳng thức xảy ch

Vậy giá trị nhỏ c d lµ h c d  h c d cd    c d h

k a b

2  

2

k

k a b

2  

2

k a b ab ab

4

   

Nguyễn Văn Tiếp

(Phòng GD-ĐT Hưng Hà, Thái Bình)

Chú ý :+ áp dụng kết ta có kết thú vị hình học : Trong hình chữ nhật có chu vi hình vuông có diện tích lớn Trong hình chữ nhật có diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhÊt”

+ Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số khơng âm ta có kết tương tự thí dụ

Thí dụ :Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

Lêi gi¶i :

Ta có :

A đạt giá trị nhỏ xy đạt giá trị lớn Theo kết ví dụ 1, x y 5 khơng đổi nên xy lớn , giá trị nhỏ A

ThÝ dụ :Tìm giá trị nhỏ biểu thức víi x 3 ; y 2

Lêi gi¶i : Ta cã

Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có :  

 x 3 y M

x y

x y y x

M ,

xy

  



5 4.

5

xy

2

 

 x y

2  

1 x y

A ,

x y xy xy

   

1

A

7 (1) (2) Tõ (1) vµ (2) suy

Đẳng thức xảy (1) (2) đồng thời trở thành đẳng thức x 6 y 4

Do M đạt giá trị lớn

Thí dụ :Tìm giá trị lớn biểu thức A (2 x)(2x y)(2 y) với x ; y [0 ; 2] Lời giải : Ta có 2A (4 2x)(2x y)(2 y) Xét số không âm : 2x, 2x y y ta có tổng chúng khơng đổi nên tích chúng lớn 4 2x 2x y 2 y 2 x 1 y 0 Vậy 2A lớn 8, A đạt giá trị lớn

ThÝ dơ :Trong c¸c tam giác có chu vi tam giác cã diƯn tÝch lín nhÊt ?

Lời giải : Gọi độ dài ba cạnh tam giác a, b, c p nửa chu vi tam giác theo cơng thức Hê-rơng ta có :

Ta thấy p không đổi nên S lớn (p a)(p b)(p c) đạt giá trị lớn Vì p  a, p  b, p  c số dương có tổng 3p khơng đổi nên tích chúng lớn số tức a  b  c hay tam giác tam giác

Thí dụ :Trong hình hộp chữ nhật tích hình có diện tích toàn phần nhỏ ?

Li gii : Gọi kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c thể tích V a.b.c khơng đổi Mặt khác diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Stp2(ab bc ca) Ta thấy số dương ab, bc, ca có tích V2khơng đổi nên tổng chúng nhỏ hay nhỏ ab bc ca a b c

Do Stpđạt giá trị nhỏ hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương Thí dụ :Trong tam giác vng có độ dài đường cao thuộc cạnh huyền tam giác có diện tích nhỏ ?

Lời giải : Ta thấy diện tích tam giác nhỏ độ dài cạnh huyền nhỏ Gọi đỉnh tam giác A, B, C giả sử tam giác vng ABC có góc A 90o Ta hạ đường cao AH AH  h đại lượng khơng đổi Theo tính chất tam giác vng ta có : BH.CH  AH2h2không đổi Vậy BC BH CH đạt giá trị nhỏ BH  CH Đường cao AH lại đường trung tuyến nên tam giác ABC trở thành tam giác vuông cân đỉnh A

Do : Trong tam giác vng có độ dài đường cao thuộc cạnh huyền tam giác vng cân có độ dài cạnh huyền ngắn

Các bạn làm tập sau để rèn luyện thêm :

Thí dụ : (bài 5(29) - Thi giải toán qua thư) Các bạn xem phần Kết thi giải toán qua thư số

Bi : Cho số dương x, y có tổng Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài tập :Tìm giá trị lớn hàm số Bài tập :Trong tam giác có diện tích tam giác có chu vi nh nht ?

Bài tập :Trong hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần hình tích lớn ?

Bài tập :Trong tam giác vng có độ dài cạnh huyền tam giác có diện tích lớn ?

2

y x 2x  

1

A

x y

 

 

tp

S

S p(p a)(p b)(p c).    3  

M

4 y

y

2(y 2)

2 y

   

x x 3

3(x 3)

2 x

8

Cuộc thi Toán liên quốc gia

kU-sắc

Như chúng tơi giới thiệu TTT2 số 29, thi Toán liên quốc gia ốt-vốt đổi tên thành Ku-sắc kể từ năm 1947 Cho đến thời kì này, tốn khó nhiều so với năm trước, nhiên chọn số phù hợp với học sinh THCS nước ta Sau chứng xin giới thiệu năm bài, lấy từ năm 1947 đến 1950

Bài (năm 1947) : Để phủ đĩa trịn bán kính 1, cần bao nhiờu a trũn bỏn kớnh

Bài (năm 1947) : Cho tứ giác ABCD có bốn cạnh vµ cã

Gọi là đường thẳng qua D khơng cắt tứ giác điểm khác ngồi D Giả sử E F giao điểm  với AB BC tương ứng ; M giao điểm CE AF Chứng minh : CA2CM CE

Bài (năm 1948) : Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu đen đỏ Chứng minh ta tìm ba điểm màu mà cặp điểm có khoảng cách tìm ba điểm màu mà cặp điểm có khoảng cách

Bài (năm 1949) : Chứng minh lũy thừa biểu diễn thành tổng hai hay nhiều số nguyên dương liên tiếp

Ghi :Bài cải biên cho dễ Bài toán gốc sau :

Những số nguyên dương biểu diễn thành tổng hai hay nhiều số nguyên dương liên tiếp ?

Bài (năm 1950) : Trong mặt phẳng cho ba đường trịn 1, 2, 3đơi tiếp xúc ba điểm khác Nối tiếp điểm 1và 2với hai tiếp điểm lại tạo thành hai đường thẳng Chứng minh : hai đường thẳng cắt 3tại hai điểm đối xứng qua tâm 3

3

 o

ABC 60  ?

2

9

CUỘC THI TOÁN LIÊN QUỐC GIA ỐT-VỐT

Bài (năm 1897) : Theo giả thiết, cạnh hình chữ nhật (HCN) qua C có độ dài k nên có ba khả xảy :

Cặp cạnh có độ dài k qua C A ; qua C B qua C D

Xét trường hợp cặp cạnh có độ dài k qua C D Giả sử dựng HCN theo yêu cầu Qua B kẻ đường thẳng song song với cạnh có độ dài k HCN Giả sử đường thẳng cắt cạnh qua A ti X

Ta có BX k Vì : Nếu AB k dựng HCN Nếu AB > k X giao đường tròn đường kính AB đường tròn (B, k) Sau dựng X, ta dễ dàng dựng HCN theo yêu cầu Ta nhận dựng HCN

Hon ton tng tự với hai trường hợp lại Đến đây, ta cần so sánh k với độ dài đoạn thẳng AB, BD, AD để xác định số HCN dựng trường hợp cụ thể (0 ; ; hình)

Bµi (năm 1898) : Ta có

2n1 (3 1)n1 3.K  (1)n1 nên 2n1 chia hết cho n số nguyên dương lẻ

Bài (năm 1898) : Giả sử dựng hình vuụng theo yờu cu

Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh hình vuông qua D, cắt cạnh X ;

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với (L), cắt cạnh hình vuông qua A Y ;

Qua Y kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh hình vuông qua B, cắt cạnh Z Ta chứng minh BYZ DCX, suy BY CD Đến đây, bạn hÃy tự hoàn thiện nốt lời giải to¸n

Bài (năm 1899) :Theo định lí Vi-ét ta có    a d ; . ad bc, suy :  a3d33bc(a d) ; . (ad bc)3

Theo định lí Vi-ét đảo ta suy đpcm Bài (năm 1906) :Xét hình thoi ABCD, tâm O Gọi P, Q, R, S tâm bốn hình vng nằm phía ngồi hình thoi, có cạnh bốn cạnh hình thoi Ta có :

AOP  AOS (c.g.c) suy OS OP ; suy AODS nội tiếp Tương tự trên, ta suy

OP OQ OR OS ; suy PQRS hình vuông

o

SOP POQ QOR ROS 90   

   o  o

AOP AOS ADS 45 SOP 90

     

  o

AOD ASD 90 

 

AOS AOP.

 o

AXB 90

10

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TP HẢI PHÒNG Năm học 2004-2005

Môn thi : Toán lớp - Bảng A - Thêi gian lµm bµi : 150 phót

Bài :(2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức : b) Giải phương trình : Bài :(3,0 điểm)

a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phương trình bậc hai (m 2)x22(m 1)x m 0 Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền tam giác

b) Vẽ đường thẳng x 6 ; x 42 ; y 2 ; y 17 hệ trục tọa độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn đường thẳng khơng có điểm ngun thuộc đường thẳng 3x 5y

(Điểm M(x, y) gọi điểm nguyên x, y số nguyên)

Bài :(2,0 ®iĨm)

Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E AB cắt CD F Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn : EA.ED FA.FB EF2

Bµi :(2,5 điểm)

Cho tam giác ABC cân A, AB BC, đường cao AE Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F

a) Chøng minh r»ng BF lµ tiÕp tun cđa đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF

b) Gọi M giao điểm BF với đường tròn (O) Chứng minh BMOC tứ giác nội tiếp

Bài :(0,5 điểm)

Mi im ca mt phng gắn với hai màu : xanh trắng Chứng minh tồn tam giác đều, với cạnh (đơn vị dài), có ba đỉnh màu

2

5

2 x x 2.

2 x 2 x

   

   

2 2 2

x y (x y) x y

P

xy x y x y

 

  

    

11

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TP HI PHềNG Nm hc 2004-2005

Môn thi : Toán lớp - Bảng B - Thời gian làm : 150 phót

Bài :(2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức : b) Giải phương trình : Bài :(3,0 điểm)

a) Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phương trình bậc hai (m 2)x22(m 1)x m 0 Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền tam giác

b) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : Bài :(2,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có

Đường trịn đường kính AB cắt cạnh AC BC M N

a) Chøng minh MN vu«ng gãc víi OC b) Chøng minh

Bài :(2,0 điểm)

Cho hỡnh thoi ABCD cú Một đường thẳng qua D khơng cắt hình thoi, cắt đường thẳng AB, BC E F Gọi M giao điểm AF CE Chứng minh đường thẳng AD tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác MDF

Bµi :(0,5 ®iĨm)

Mỗi điểm mặt phẳng gắn với hai màu : xanh trắng Chứng minh tồn tam giác đều, với cạnh (đơn vị dài), có ba đỉnh màu

 o

B 60  MN AB. 

 o

C 45 

2

4x

y

x  



5

x x

(5 6)  (5 6) 10

2 2 2

x y (x y) x y

P

xy x y x y

 

  

    

12 l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

Bài 1(29) :Chứng minh số 20052 22005nguyên tố cïng víi sè 2005

Lời giải :Giả sử d ước số nguyên dương hai số 2005222005v 2005

Vì hai số 2005222005và 2005 chia hÕt cho d, suy 22005chia hÕt cho d

Chú ý, hai số 2005 nguyên tố nhau, d 1

VËy hai sè 20052 22005 2005 nguyên tố

Nhận xét : Đây toán số học đơn giản Có nhiều bạn học sinh lớp tham gia gửi Sau bạn trình bày tốt : Phạm Quang Thịnh, 6H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên; Phan Anh Trúc, 6/1, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Thùy Dung, 6A, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Lê Thị Tuyết Mai, 6A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Văn Linh, 6A1, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh; Nguyễn Phước Vĩnh, 6M, THCS Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị; Lê Thị Thu Huyền, 6/3, THCS Lê Quý Đôn, Hải Dương ; Lê Mạnh Thắng, 6A9, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phịng

Ngun Minh §øc

Bài 2(29) : Cho ba số dương a, b, c Chứng minh :

Lêi gi¶i :

Cách (của bạn Trần Quốc Luật) : Với x, y dương, ta cú :

Đẳng thức xảy x y

áp dụng bất đẳng thức (*) ta có :

Céng theo tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta suy điều phải chứng minh

ng thc xy a b c Cách (của bạn Trần Quốc Tưởng) : Với x, y, z dương, áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương, ta có :

Đẳng thức xảy

ỏp dng bt ng thức (**) ta có :

Céng theo tõng vÕ (1), (2), (3) ta suy điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy a b c

Cách (của bạn Quản Phương Thúy) :

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, ta có :

3

2

a ab 2a ;a bc 2a ac ;

b   b  

3

3

3

a c

3 2b ba 6a ac ; (1') b a

b a

3 2c cb 6b ba ; (2 ') c b

c b

3 2a ac 6c cb (3 ') a c

  

  

  

3

3 5

x z y yx x y z y x

(do x y yx x y )

     

  

3

3

3

3

x z x z

3 2y yx .y x

y x y x

x z

3 2y yx 6x xz (**) y x        2 2 2

a b a b ba ; (1) b

b c b c cb ; (2) c

c a c a ac. (3) a

  

  

  

2

3 2

3

2

(x y)( x y)( x y)( x y) x y x y y yx

x y x y yx. (*)

y

    

   

   

3 3

13 Cộng theo vế bất đẳng thức trên, suy :

Cộng theo vế bất đẳng thức với bất đẳng thức quen thuộc sau, suy đpcm : (với a, b, c) Nhận xét : 1) Đa số bạn giải với nhiều lời giải đa dạng, linh hoạt Phần lớn chứng minh bất đẳng thức kép sau (đặt

) :

A ab bc ca B ; A a2b2c2B ; A  (ab bc ca a2b2c2) B

2) Một số bạn giải sai, chủ yếu cho a, b, c có vai trò (đây sai lầm phổ biến, xem mục Ơrêka, trang 18)

3) Các bạn có lời giải tốt : Trần Quốc Luật, 9B, THCS Sơn Hồng, Hương Sơn, Hà Tĩnh ; Trần Quốc Tưởng, 9C, THCS Thái Thành, Thái Thụy, Thái Bình ; Quản Phương Thúy, 7A1, THCS Giấy Phong Châu, thị trấn Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ ; Hoàng Đức ý, 9E, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa ; Trần Anh Ngọc, 9A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Trần Quang Sự, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Bùi Ngọc Trịnh, thôn Nhơn Phước, Phổ Nhơn, Đức Phổ, Quảng Ngãi ; Phạm Đăng Lộc, 814, THCS Thái Nguyên, TP Nha Trang, Khánh Hòa; Mạc Thanh Hải, 9H1, THCS Trần Phú, Bắc Giang ; Đinh Huy Hồng Quân, 6/1, THCS Hoa Lư, Quận 9, TP Hồ Chí Minh; Võ Văn

Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, Krơng Buk, Đắk Lắk; Hồng Tiến Đạt, 9A1, THCS Ngơ Gia Tự, TP Hải Dương, Hải Dương ; Vũ Như Ngọc, 91, THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu; Nguyễn Thanh Hoàng, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An

ngun anh qu©n

Bài 3(29) :Giải phương trình : x4x3x2x  0

Lời giải : Bài có nhiều cách chứng minh phương trình vơ nghiệm Gọi vế trái phương trình f(x) cách biểu diễn f(x) để dẫn tới kết luận f(x) > với x cho cách giải Xin giới thiệu số cách biểu diễn f(x) :

C¸ch :f(x) 

C¸ch :4f(x) x2(2x 1)22(x1)2x2 C¸ch :2f(x) x4(x21)(x 1)2

C¸ch :f(x) 

Nhận xét :Một số bạn xét q dài dịng khơng tinh ý biến đổi f(x) Thậm chí có bạn dùng cơng cụ đạo hàm thuộc chương trình lớp 12 Các bạn có nhiều cách giải giải tốt : Lê Tiến Hảo, 8B, THCS Hành Phước, Nghĩa Hành, Quảng Ngãi ; Vương Bằng Việt, 8/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Tường Vy, 8/3, THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, TP Biên Hòa, Đồng Nai ; Phạm Minh Quân, 7A2, THCS Nguyễn Du, Phan Thiết, Bình Thuận ; Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, KRơng Buk, Đắk Lắk; Hồng Tiến Dũng, 7A, THCS Lê Hữu Lập, TT Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Trần Chính Nghĩa, 9, THCS Lê Q Đôn, TX Tuyên Quang, Tuyên Quang ; Nguyễn Thị Tuyết Chinh, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao ; Lã Thị Kim Dung, 8E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ ; Lưu Khánh Duy, 6C, THCS Quế Xuân, Quế Sơn, Quảng Nam ; Lê

 2  2

1 x x x 1 x  2  

2

2 x x 1

x

2

                2

B a ac b ba c cb  

3 3

a b c

A ;

b c a

  

2 2

a b  c ab bc ca 

3 3

2 2

a b c ab bc ca

b c a

a b c a ac ba cb

     

     

3

2

3 2

b bc 2b ;b ca 2b ba ;

c c

c ca 2c ; c ab 2c cb.

a a

   

14

lTrong Đ3 chương Hệ thức lượng

trong tam giác vuông, dựa vào quan sát bảng sin tang, SGK Toán nêu nhận xét sau : “Khi góc  tăng từ 0ođến 90othì sinvà tgtăng”

Có thể chứng minh nhận xét định lí

Định lí :Cho , là góc nhọn Nếu < thì tg< tg, đảo lại tg< tgthì < 

Chøng minh : Xét ABC vuông A, điểm D nằm A C, ta có :

Do AD < AC nên tức Bạn đọc tự chứng minh điều ngược lại phản chứng

Định lí :Cho , là góc nhọn Nếu < thì sin< sin, đảo lại sin< sin < 

Chứng minh : Xét ABC vuông A, điểm D nằm A C, ta có :

K đường thẳng qua C song song với DB, cắt tia đối tia BA E Ta có :

; ;

CE > CB (v× h×nh chiếu AE lớn hình chiếu AB)

Suy

Điều ngược lại chứng minh phản chứng

lTrong Đ5 chương Hàm số bậc nhất,

sau xét đồ thị hàm số

y x 2 ; y 2x 2 có hệ số a dương tăng dần, hàm số y  2x 2 ; y  x 2 ;

1 y x ;

2

 

 

sinABD sinABC.

 AC

s in ABC CB 

 AD AC

sin ABD

DB CE

 

 

ABD ABC.

 

tgABD tgABC. AD AC , AB AB

 

ABD ABC. Thanh Lâm, 710 ; Nguyễn Phú Đức, 65,

THCS Nguyn Du, Pleiku, Gia Lai; Thân Văn Chính, 7A, THCS Nguyên Hồng, Tân Yên, Bắc Giang ; Bùi Văn Cường, 9A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định ; Nguyễn Thu Trang, 8A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Bùi Ngọc Thuận, 8A5, THCS Đống Đa, TP Quy Nhơn, Bình Định; Nguyễn Thúc Vũ Hồng Nguyễn Phước Vĩnh, 6M, THCS Nguyễn Huệ, TX Đông Hà, Quảng Trị ; Lê Thị Huyền Trang, 5C, TH Tràng Sơn 2, Đơ Lương, Nghệ An; Trần Mạnh Linhvà Đồn Thu Hà, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Lê Thị An, 7A, THCS Lê Văn Thinh, Gia Bình, Bắc Ninh; Phạm Văn Huy, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng ; Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ; Nguyễn Lâm Phúc, 7C, trường Hà Nội -Amsterdam, Hà Nội; Phạm Quang Thịnh, 6H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên ; Phan Hồng Sơn, 7A, THCS Hoàn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình

LTN

Bài 4(29) : Giả sử O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD, BE, CF đường cao tam giác Đường thẳng EF cắt (O) P Q Gọi M trung điểm BC

Chøng minh r»ng AP2AQ22.AD.OM Lêi gi¶i :

Ta cã

, suy , hay OA PQ

Từ AP = AQ (1) Mặt khác, (cùng bù với góc

) nªn APB AFP 

hay AP2= AB.AF = AD.AH (2) (v× AFH ADB)

(Xem tiÕp trang 26) AP AB AF AP



ACB

 

APB AFP

  o

OAC AEF 90 

 

o

o

180 2AEF 90 AEF



  

 180o AOC 180 o 2ABC OAC

2

 

15

DÙNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI THÍCH MỘT SỐ NHẬN XÉT TRONG SGK TON 9

NGND Vũ hữu bình (Hà Nội) có hệ số a âm tăng dần,

SGK Toán nêu nhận xét : Gọi góc tạo đường thẳng y ax b (a 0) trục Ox, a lớn góc lớn

Cú thể dùng định lí để chứng minh nhận xét Do đường thẳng y ax b y ax (a 0) song song với nên ta cần xét đường thẳng y ax

Gọi T điểm thuộc đường thẳng y ax có tung độ dương, giả sử T(xo, yo) với yo> Gọi H hình chiếu T Ox, ta có :

TH yovµ OH |xo|

+ Xét trường hợp a > ta có xo > 0,

  nªn

Như vậy, a lớn tg lớn, theo định lí góc càng lớn

+ Xét trường hợp a < ta có xo < 0,

Ta cã

Như vậy, a lớn a nhỏ hay nhỏ, theo định lí nhỏ, suy góc càng lớn

lTrong Đ2 chương Góc với đường

trịncó định lí sau không chứng minh : “Với hai cung nhỏ đường trịn, cung lớn căng dây lớn hơn, dây lớn căng cung lớn hơn”

Có thể dùng định lí để chứng minh định lí trờn

Xét đường tròn (O ; R) dây AB, CD Kẻ OH AB, OK CD, ta có :

AB 2HB  CD 2KC  Do

(theo định lí 2)

 

AOB COD

2R sin 2R sin AB CD

2

     

 

AOB COD

sin sin

2

 

   

AB CD AOB COD

 COD 2R sin

2 

 AOB 2R sin ;

2 



TOH



tgTOH

o o

y

TH a.

OH x

   





tgTOH

 o

TOH 180

  

 o

o

y TH

tg tgTOH a

OH x

    



TOH

y x

16

Ơng Giơn nhà nghiên cứu sưu tầm tranh cổ Trong “kho tàng” tranh q giá mình, ơng đặc biệt ý đến “Tuyết trắng” Trước khi mất bệnh tim, ơng Giơn cất tranh vào két sắt Ngồi ơng Giơn, mật mã két khơng biết

Sau chết chồng, bà Ma-ri định mời thám tử Sê-Lốc-Cốc tới nhà để tìm mật mã két sắt Trong di chúc để lại, ơng Giơn nói lo bức tranh bị nên ông cất vào két cách duy nhất để mở két giải mật thư “Tuyết trắng”. Suốt buổi sáng,Thám tử Sê-Lốc-Cốc nghiên cứu kĩ chưa tìm cách giải mật thư “Tuyết trắng” Gần trưa, bà Ma-ri mời thám tử dùng cơm với gia đình Vừa ăn, bà vừa kể về người chồng cố Chợt điện thoại di động bàn nhỏ góc phịng ăn reo vang Bà Ma-ri vội chạy tới nhấc máy :

- A l« vâng, ngày mai tới

- Máy điện thoại bà đẹp ! Bà mua lâu chưa ? - Thám tử Sê-Lốc-Cốc trầm trồ.

- Cám ơn ông ! Máy máy chồng tôi, ông vừa mua vài ngày Tội !

aọt maừ keựt sắt

Ph¹m Kim Trung

17

Chiếc vòng đắt giá

(TTT2 sè 29)

l KÕt qu¶ :

- Thế ? Máy chồng bà ? Thế tơi phải xem ngay, biết đâu mọi điều bí mật nằm đấy ! - Thám tử nói sốt sắng cầm máy lên ngắm nghía.

Quả nhiên, nhìn lướt qua bàn phím thám tử núi vi b Ma-ri :

- Theo mật mà két sắt là 8893887264 Bà thử mở xem có được không !

B Ma-ri tr v phũng riêng, hồi hộp tiến đến bên két sắt Vài phút trôi qua, nhiên cánh cửa két đã bật mở Bà phấn khởi quay ra phòng ăn :

- Thưa thám tử, cảm ơn ông đã giúp đỡ Tôi mở ! Thật may !

Rồi bà Ma-ri mở tủ kê ở gần cưa sỉ, lÊy mét gãi quµ :

- Thưa thám tử ! Tơi muốn tặng ơng q nhỏ để bày tỏ tình cảm Xin ơng vui lòng nhận !

- Cảm ơn bà ! Tôi nghĩ chúng ta nên dành năm phần quà cho năm thám tử “Tuổi Hồng” trả lời được câu hỏi “Tại nhìn bàn phím máy điện thoại di động tơi lại đốn ngay mật mã két sắt ?”

Bà Ma-ri vui vẻ đồng ý ngay. Nào, thám tử “Tuổi Hồng”, hãy mau mau trổ tài để nhận q !

Mi-ta ¬i hìi Mi-ta !

Cô nghỉ mát ba ngày liền Vậy mà phích nước nóng ngun Chuyện bịa thế, tin ?

Kì nhiều thám tử “Tuổi Hồng” phát điểm mâu thuẫn lời khai Mi-ta Trở sau ba ngày nghỉ, cô Mi-ta “thấy phích nước cịn nóng, tơi vội pha gói mì tơm ăn tạm” Có số bạn lại cho Bi-ca thủ phạm điện gọi điện thoại Đây câu trả lời chưa xác

Phần thưởng kì trao cho năm bạn có làm xuất sắc : Mai Tiến Khải, xóm 1, Ba Đơng, Phan Sào Nam, Phù Cừ, Hưng Yên ; Phạm Thị Thanh Nga, 8B, THCS Thành Nhân, TT Ninh Giang, Hải Dương; Phạm Thị Thiên Hương, 8A, THCS Lý Nhật Quang, Đà Sơn, Đô Lương, Nghệ An; Phạm Thị Thu Thảo, bố Phạm Tây, GV TH số I Phổ Thạnh, Đức Phổ, Quảng Ngãi; Lê Nam Anh Tuấn, 103 Bùi Thị Xuân, TP Phan Thiết, Bình Thuận

18

GIẢI PHÁP CHO NHỮNG SAI LẦM

LTS :Trên TTT2 số 29 có đăng bạn Thân Ngọc Thành, phân tích lời giải mắc sai lầm đề xuất lời giải khác Trong lời giải đó, tịa soạn cố ý đưa vào sai lầm nhỏ để tiếp tục thử sức bạn đọc Đây sai lầm mà nhiều bạn hay mắc phải, đề cập TTT2 số 14

Sau trao đổi bạn Khuê :

lPh©n tích sai lầm lời giải TTT2

s 29 :Lời giải sai từ đầu giả sử x y z Điều phép thực x, y, z có vai trị nhau, rõ ràng, hệ phương trình cho x, y, z hốn vị vịng quanh :

lKhắc phục lời giải TTT2 số 21 :

Thay phần biến đổi sai :

“Tõ (2)

thành : Từ (2)

lKhắc phục lời giải TTT2 số 29 :

+ Thay giả sử x y z thành : giả sử x y x z + Tóm tắt phần lời gi¶i tiÕp theo :

Nhận xét x, y, z khác ; Nếu x > suy y < < x, mâu thuẫn với x y ; Suy x  y 1 z  x   x 1 ; Lần lượt thay x  vào hai phương trình (1) (2) ta tìm nghiệm hệ l x y z

lĐề xuất lời giải míi :Ta cã

(1) x5x42x22 2x22x2y (x x42x 2) 2x2(1 y) ; Biến đổi tương tự (2) (3) ta có hệ phương trình cho tương đương với hệ :

Dễ thấy x, y, z khác nên x42x 2 ; 2x2; y42y 2 ; 2y2; z42z 2 ; 2z2đều dương Từ hệ phương trình ta có : + Nếu x > y < z > x < 1, vô lí + Nếu x < y > z < x > 1, vơ lí

Suy x 1

Hoàn toàn tương tự, suy y z 1 Vậy hệ có nghiệm : x y z 1

lNhận xét :Các cách giải dựa

vào biến đổi “then chốt” : với t, t5t42t22 (t t42t 2) >

Tuy nhiên cách giải cuối sáng sủa

4

4

4

(x 1)(x 2x 2) 2x (1 y) (y 1)(y 2y 2) 2y (1 z) (z 1)(z 2z 2) 2z (1 x)

     

     



     



5

2

2

2 y y 2y 1 2y

(1 y)(y 2y 2) 1". 2y

  

 

  

  

5

2

2 y y z

2y

 

 

5

2 2

2 y y z

2y 2y y

 

  

5

5

5

x x 2x y (1) y y 2y z (2) z z 2z x (3)

   

   



   



lª hữu điền khuê

19

(TTT2 sè 29)

lNgười thách đấu :

TS NguyÔn Minh Hà, ĐHSP Hà Nội

lBi toỏn thỏch u :Cho tam giỏc u

ABC Các cặp điểm A1, A2; B1, B2; C1, C2 theo thø tù thuéc c¸c cạnh BC, CA, AB cho lục giác A1A2B1B2C1C2lồi cã

các cạnh Chứng minh đường thng A1B2, B1C2, C1A2ng quy

lXuất xứ :Bài toán 1, kì thi Toán quốc tế

lần thứ 46, Mê-hi-cô (13,14 - - 2005)

lThi hn nhn thách đấu :

Trước ngày 15 - 10 - 2005

Thật đáng tiếc khơng có võ sĩ đăng quang trận đấu lí sau :

+ Hoặc lời giải chứng minh điều kiện cần, không chứng minh điều kiện đủ

+ Hoặc lời giải phụ thuộc hình vẽ nên phải xét nhiều trường hợp

+ Hoặc lời giải sử dụng kiến thức vượt q chương trình THCS (định lí hàm số sin) + Có vài võ sĩ cho lời giải đúng, tương đối gọn gàng không đẹp

Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải đẹp Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp ABC A2, B2, C2lần lượt giao điểm AO, BO, CO với (I)

Theo gi¶ thiÕt, suy tø gi¸c OA1BC1néi tiÕp 

 (do

cùng chắn ) Tương tự

Suy Tương tự, suy A1B1C1 A2B2C2 (1)

Mặt khác dƠ thÊy

(do OAC OC2A2vµ OBC OC2B2)

(2) Tõ (1) vµ (2) suy :

(3) Tõ (3) ta cã :

B1C1= C1A1= A1B1 A1B1C1đều Lời bình :+ Cái hay lời giải dãy đẳng thức (3) Nhờ nó, phép chứng minh điều kiện cần đủ tiến hành đồng thời ngắn gọn

+ Lời giải tự nhiên lẽ dãy đẳng thức (2) có “Những mở rộng ban đầu từ toán sách giáo khoa”, TTT2 số 12

Ngun Minh Hµ

OA BC OB CA OC AB    

1 1 1

OA BC OB CA OC AB B C  C A  A B

2 2 2

OA BC OB CA OC AB B C  C A  A B

2 2 2

2 2

OA OB AC BC

Suy : : OC OC C A C B OA BC OB CA Tương tự, ta có :B C C A



 

 

2 2 2

OA AC ; OB BC OC C A OC C B

1 1 1

2 2 2

B C C A A B B C C A  A B

 1 1 2 2

A B C A B C

 1 1 2 2

B A C B A C

 1 1 2 2

OA B OA C

2

AB

 1 2 2

OBC OA B ,

 1 1 2 2

OA C OA B

 1 1 1

OA C OBC

  o

1

OA B OC B 90 , 

20 Các bạn lớp hẳn nắm định lí Vi-ét nghiệm phương trình bậc hai : “Nếu phương trình bậc hai ax2bx c 0 có hai nghiệm x1và x2thì :

” Qua đó, ta biểu diễn lũy thừa bậc cao nghiệm qua lũy thừa bậc thấp nghiệm sau :

x12(x1x2)x1x1x2Sx1P ; x13x1x12x1(Sx1P) Sx12Px1

S(Sx1P) Px1(S2P)x1SP ; x14x

1x13(S32SP)x1P(S2P) ; Hoàn toàn tương tự nghiệm x2 Với tính chất trên, việc xác định biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai thuận lợi nhiều

Sau số ví dụ minh họa : Ví dụ :Cho phương trình x22x 1 0 có hai nghiệm x1, x2(x2< 0)

Tính giá trị biểu thức : A x142x233x128x28 ;

C x15x248x19x210

Lời giải :Theo định lí Vi-ét S 2 ; P  1, áp dụng hệ thức ta có :

x122x11 ; x222x21 ; x23(4 1)x22.1 = 5x22 ;

x14(8 2.2.1)x11(4 1) 12x15 ;

x2412x25 ;

x15x1x14x1(12x15) 12x125x1 12(2x11) 5x129x112 Ta cã : A x142x233x128x28 12x15 2(5x22) 3(2x11) 8x28 18x118x2418S 4 40 ;

(phương trình có ac  1 < nên x1và x2 trái dấu, mà x2< nên x1> 0)

C x15x248x19x210 29x112 12x25 8x19x210 21x121x27 21S 7 49

Ví dụ (đề thi vào 10 trường THPT Lê Hồng Phong, Nam Định, năm học 2003 - 2004): Cho phương trình x2x 1 0

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x1là nghiệm âm phương trình, tính giá trị biểu thức :

8

1 1

P x 10x 13 x  

1 1 11

3(x x ) 3S ;

2

     

1 3

3x 2x 3x (2x 1)

2

       

5

1 1 2

2

1 1

2

2

2

1 2

3

B x 3x x x 8x

12x 5x 3x x

3 (2x 1) 8x

3

9x 6x 4x 4x

           

        

5

1 1 2

B x 3x x x 8x ;

2

     

1 b c

S x x ; P x x

a a

      

Phạm văn đảm

21 Lời giải :a) Do ac  1 < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x1và x2là hai nghiệm phương trình Theo định lí Vi-ét S P  1, áp dụng hệ thức ta có :

x12x11 ; x143x12 ; x18(3x12)29x1212x14

9(x11) 12x14 21x113 VËy

NhÈm nghiÖm ta cã suy :

VËy P 5

Ví dụ (đề thi vào 10 trường THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương, năm học 2003 - 2004) : Cho phương trình x25mx 4m 0 có hai nghiệm phân biệt x1và x2

a) Chứng minh x125mx24m 0 b) Xác định m để biểu thức A sau đạt giá trị nhỏ :

Lời giải : Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt :

> 25m216m > (*) Theo định lí Vi-ét S  5m, P  4m, áp dụng hệ thức ta có :

x125mx14m ; x225mx24m a) Ta cã x125mx24m 5mx14m  5mx24m 5mS 25m2> (theo (*))

b) Ta cã : x125mx212m 5mx14m  5mx212m 5mS 16m 5m216m ; x225mx

112m  5m216m VËy :

Do nªn

áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai s dng ny ta cú :

Đẳng thức xảy

chỉ có thỏa mÃn điều kiện Vậy : Giá trị nhỏ A Bài tập áp dụng :

Bi :Cho phng trình x22x 3 m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn :

2x13(m 1)x2216

Bài : Cho phương trình x2 x 1 0 có hai nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức : A x13x2; B x18x2613x2

Bài :Cho phương trình : x22(m 1)x 2m 5 0

có hai nghiệm x1và x2 Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A x122(m 1)x24 m   m   m (24m 16)(26m 16)

8 m , 13              

m 25m 16 25m 16 m

 

 m 25m 16

A 2

25m 16 m

  



m 0

25m 16 25m 16

m          m 16 m 25        2 2 2 2 2

x 5mx 12m m

A

m x 5mx 12m

m 25m 16m

25m 16m m

m 25m 16 25m 16 m

              m 16 m 25        2 2 2

x 5mx 12m m

A

m x 5mx 12m

 

 

 

1 5 P 26 11

2

126 22 5

4

11 5 5.

2               

1

x ,

2   

1

26 11x x

  

1 1

22

phiặu dỳ thi

Cuộc thi giải toán máy tính CASIO

Họ tên :

Địa :

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005

ẵậ thi kệ thö chÏn

(Bài giải gửi trước ngày 16-10-2005)

đơn vị tài trợ : công ty cổ phần xuất nhập bình tây

KẾT QUẢ KÌ THỨ BẢY

Suy

Tính máy : a BC 51,834957495 ;

b CA 43,541364296 ; c AB 93,302923492

1.2 TÝnh a : Thùc hiÖn phÐp chia

9 21

c a ; b a

5 25

 

91a 10000 hay a 250000 ; 25  53  4823 c a b ; a b c 10000.

5

3 53

3

    

Bài 1.1.1 Vì AB c, BC a, CA b tØ lƯ nghÞch víi ;

c a b AB BC CA  (cm) nªn ta cã :

10000 53 5, ,

3

Bài Bàn cờ quốc tế hình vuông có dòng, dòng có ô vuông b»ng

1) Hỏi bàn cờ có hình vng ? 2) Người ta ghép hai bàn cờ liền với tạo thành hình chữ nhật Hỏi có hình vng hình chữ nht ú

3) Tổng quát hóa toán

Nguyễn Đình Thế

(GV THCS Ninh Xá, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh) Bài 2.Tính A

Võ Thị Hun Tr©n

(9A, THCS Võ Văn Tần, Đức Hịa, Long An) Bài Hãy hai số nguyên dương khác x y cho xy x xy y

là bình phương hai số ngun dương Có hay khơng hai số ngun dương khác x y khoảng (998, 1994) cho xy x xy  y bình phương hai số nguyên dương

Cao HuyÒn Trang

(HTX Quyết Tiến, Giao Tiến, Giao Thủy, Nam Định) Bµi 4.Cho d·y sè : u11, u22, , un12003un2004un1(n 2, 3, )

1) TÝnh u5

2) Lập quy trình bấm phím tính un1 Bài Xác định phần dư R(x) chia đa thức P(x) 1 x x9x25x49x81 cho Q(x) x3x Tính R(701,4)

(§Ị thi HSG lớp 9, Sở GD-ĐT Tiền Giang, năm 2004)

3 .

0,020052005 0,0020052005

 

3

23 250000 4823 (51.8349575)

Sáu chữ số thập phân a lµ 834957

BÊm tiÕp 250000 51.834957  4823 (0.002389)

250000 51,834957 4823 0,002389 Chia 2389 4823 (0.495334853) ChÝn chữ số thập phân 495334853

Vy a BC 51,834957495334853 ; Chữ số thứ 15 a Tương tự, b CA 43,541364296081277 ; c AB 93,302923491602736 Chữ số thứ 15 b số Chữ số thứ 15 c số

1.3 SABF SABC126,7675621 cm2 Bµi 2.Ta cã :

a11 2  n 

Sna1(a11)  (a1n) (n 1)a1 (1 2  n) (n 2) a1

Đáp số : S50 66300 ; S60 113460 ; S80265680 ; S100515100 Bµi 3.Ta cã : n210n 1964 m2  m2(n 5)21939

(m n 5)(m n 5) 1939 Mµ 1939 1939.1 277.7 Suy n 964 n 130 Bài 4.r11099 ; r287 ; r311 Ta có : 21996(24)49916499

Vì 16 1(mod 5) nên 16499 1(mod 5) hay 219961(mod 5)

Suy 219965k 1

VËy 35k13.243k(v× 35243) Ta cã 243 22.11 1

Do 243 1(mod 11) Vậy 3.243k3(mod 11)

KÕt luËn :Sè d­ cña phÐp chia cña

cho r311 lµ Bµi Ta cã : Suy :

Vậy SABCSADESEFCSBDEF

Đáp số :SABC484,3580662 cm2 Bài 6.Thùc hiÖn :

20052006 2008 (9986.058765) BÊm tiÕp :

20052006 2008 9986 (118)

Nhận xét : Nhiều bạn làm tương đối tốt Một số bạn đạt điểm tối đa Một số bạn tháng tham gia thi Đề nghị bạn trình bày có lí luận, khơng có đáp số

TTT2 số 29 in nhầm đề Đề gốc tác giả : “Tìm số dư phép chia 200520062007cho 2008” Thành thật xin lỗi tác giả bạn đọc

Các bạn đoạt giải kì : Hồng Khánh Tờ, 8D, THCS Thân Nhân Trung, Việt Yên, Bắc Giang; Nguyễn Thị Lan Hương, THCS Trung Sơn, Gio Linh, Quảng Trị ; Nguyễn Thành Hải, 10 Toán, THPT chuyên Bắc Giang, Bắc Giang; Trần Huy Hưng, 10 Tin, THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam ; Nguyễn Việt Anh, 9C, THCS Hoàng Liệt, Hoàng Mai, Hà Nội ; Lưu Khánh Tường, 10/1, THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam; Trần Bá Quang, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Mạnh Hưng, 9B, THCS Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh; Lê Võ Châu Anh, Tiểu khu 3, khu phố 2, thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh

Tạ Duy Phượng

 



 

 2

1 2 1

S S S S S S

    

2

BDEF ADE

1

S S

S 2S 2S S S

S S

   

BDEF BDE

ADE ADE

S 2S 2BD 2CE 2 S .

S  S  AD  EA  S

1996 1996

24

Vĩnh biệt “giới hạn” !

TS Nguyễn Minh Hà(ĐHSP Hà Nội) (Tiếp theo kì trước)

Phương án :(khơng sử dụng thao tác “giới hạn”)

Hoàn toàn giống phương án 1, ta có Z thuộc tia cố định Oz, vẽ góc (1) Vẽ tam giác X1OZ1, X3Y3Z3 tam giác ABC thỏa mãn : X1  Ox ; Z1Oz ; Z3Oz ; X3, Y3lần lượt hình chiếu Z3trên Ox, Oy

Khi Z Z1, ta thấy : Vì CA > CB nên < , suy

OZ > YZ OZ > OZ1(vì OZ1YZ) Vậy kể trường hợp Z trùng Z1, ta có OZ OZ1 Suy Z thuộc tia Z1z (4) Mặt khác, XY đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác XZYO nên ta có : OZ XY OZ OZ3(vì OZ3XY)

Suy Z thuộc đoạn OZ3 (5)

T (1), (4), (5) ta có : Z thuộc đoạn Z1Z3 Lời bình :Vì khơng bị ám ảnh thao tác “giới hạn” nên đến kết luận : Z thuộc đoạn Z1Z3 Cần ý OZ2CA < AB  OZ3 Suy đoạn Z1Z2 nằm hẳn đoạn Z1Z3 Vì vậy, theo phương án 1, người ta làm phần đảo cách “trơi chảy”

Đảo :Lấy Z thuộc đoạn Z1Z3 Gọi H hình chiếu Z tia Oy

Vì ZH Z3Y3CB nên đường tròn tâm Z bán kính CB cắt tia HO điểm mà ta kí hiệu Y Vì ZY CB Z1O ZO nên Y thuộc đoạn HO

Mặt khác, Y thuộc đoạn OH nên Do đó, đường thẳng qua Z, vng góc với OZ Z cắt tia Ox điểm mà ta kí hiệu X

XÐt tam gi¸c XYZ, ta thÊy :

  o

OZY OZH 90 

 

ZOY ZYO



zOy 



25 ZY CB (c¸ch dùng) (1’)

(cách dựng) (2’) Từ (2’) suy tứ giác XZYO nội tiếp Vậy (3’) Từ (1’), (2’), (3’) suy : XYZ  ABC Từ đó, với ý X Ox, Y Oy, Z thuộc nửa mặt phẳng bờ XY không chứa O (theo cách dựng), ta thấy phần đảo chứng minh

Kết luận : Quỹ tích điểm Z thỏa mãn điều kiện đề đoạn Z1Z3

Qua lời giải toán 1, bạn đọc thấy rõ khơng có khơng cần có gọi thao tác “giới hạn” lời giải tốn quỹ tích PPTĐ

Từ lâu, giới người quan tâm tới toán sơ cấp có tranh luận âm ỉ dai dẳng xung quanh vấn đề : Trong lời giải tốn quỹ tích PPTĐ, thao tác “giới hạn” nằm phần thuận hay phần đảo ? Lạ lùng q, tranh luận có khác tranh luận : ma trời hay ma đất ? Có ma đâu mà tranh luận ! Tóm lại, tơi bạn, nói lời vĩnh biệt “giới hạn” Trước kết thúc, xin giới thiệu vài toán để bạn đọc rèn luyện kĩ giải tốn quỹ tích PPTĐ mà không sử dụng thao tác giới hạn

Bài toán :Cho tam giác ABC nhọn Các điểm M, N thay đổi cạnh BC, điểm P, Q theo thứ tự thay đổi cạnh CA, AB cho MNPQ hình chữ nhật Tìm quỹ tích tâm hình chữ nhật MNPQ

Bài tốn : Cho tam giác ABC Điểm M thay đổi cạnh BC O1, O2theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM, ACM Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn O1O2

Bài toán :Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm (O) Điểm M thay đổi (O) Điểm N nằm đường gấp khúc AMB chia đường gấp khúc thành hai phần có độ dài Tìm quỹ tích điểm N

  

YXZ YOZ   BAC

 o

XZY 90

Tất bạn phát sản phẩm Hồng Hà mà yêu thích nằm cột dọc, : BúT NộT HOA

Các hàng ngang :

+ hàng : bồ câu, bồ các, bói cá

+ hµng : Cót

+ hµng : VĐt

+ hµng 4: Ỹn

+ hµng : Ðn

+ hµng : Tu hó

+ hàng : khách, chích

+ hàng : chào mào, chèo bẻo

Cụng ty VPP Hng H xin trao quà cho 20 bạn xuất sắc : Trần Văn Thành, 9A2, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Trần Thị Ngọc Hoa, 9A, THCS Vũ Hội, Vũ Thư, Thái Bình ; Ngơ Thị Mỹ Liên, 27 Đống Đa, TP Quy Nhơn, Bình Định ; Vương Bằng Việt, 8/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nhóm Hồng Yến - Thùy Linh - Thu Phương, 6A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Hải Yến, 9A, THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa ; Nguyễn Yến Nhi, cửa hàng Internet Hà Phan, khối 7, thị trấn Khâm Đức, Phước Sơn, Quảng Nam ; Trần Thị Phúc, chợ Đức Hợp, Đức Hợp, Kim Động ; Lê Thị Nguyệt, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Phạm Trà My, số 11 ngõ 12 Hai Bà Trưng, TP Hải Dương ; Phạm Thị Vân Nga, cháu dì Nguyễn Thị Việt, Bưu điện Chí Linh, Hải Dương ; Trần Xuân Trí, 8C, THCS Hưng Bình, TP Vinh ; Nguyễn Thị An Ly, 7B, THCS Vân Diên, Nam Đàn ; Nguyễn Thị Kim Chi, 7B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Lương Minh Thu, 6A, THCS Tân Mỹ, Yên Dũng, Bắc Giang ; Bùi Mỹ Hạnh, 72, THCS Nguyễn

26 (TiÕp theo trang 14)

Nối CO kéo dài cắt (O) K tứ giác AHBK hình bình hành (AH // BK BH // AK), dẫn đến AH = BK = 2OM (3)

Tõ (1), (2), (3) ta cã :

AP2= AQ2= 2AD.OM (đpcm) Nhận xét : 1) Để chứng minh AP = AQ số bạn kẻ tiếp tuyến () qua A với đường tròn (O), sau chứng minh () // PQ 2) Muốn giải toán, phải chứng minh hệ thức AP2= AB.AF AQ2= AC.AE Hầu hết giải gửi tòa soạn chứng minh hệ thức thông qua kiến thức tam giác đồng dạng Các bạn sau có lời giải gọn : Đặng Thanh Tùng, 9I, THCS Lê Quý Đôn, Nguyễn Văn Huyên, Cầu Giấy, Hà Nội; Phí Quốc Tuân, 9D, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây; Đặng Minh Toàn, 26 Nguyễn Du, TP Hải Dương, Hải Dương ; Phạm Phương Thanh, 9A7, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định ; Hoàng Đức ý, 9E, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa ; Lê Ngọc ánh, 80 Lê Văn Hưu, phường Tân Sơn, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Phạm Hải Dương, 8A, THCS Đội Cung, TP Vinh, Nghệ An; Phan Hồng Sơn, 8A, THCS Hoàn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình ; Trần Thị Quỳnh Giao, 8A3, THCS Ngơ Mõy, Phự Cỏt, Bỡnh nh

Nguyễn Văn Mạnh

Bài 5(29) : Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giá trị lớn

Lời giải :(của bạn Tăng Văn Bình, 7B, THCS Lý Nht Quang, ụ Lng, Ngh An)

Đặt BC a ; CA b ; AB c

Gọi x, y, z khoảng cách từ M tới BC, CA, AB Ta có :

2S(ABC) 2S(MBC) 2S(MCA) 2S(MAB)  ax  by  cz (bất đẳng thức Cụ-si)

Suy

Đẳng thức xảy  ax  by  cz  S(MBC)  S(MCA) S(MAB) M trọng tâm tam giác ABC

Vậy tích khoảng cách từ M tới ba cạnh tam giác ABC lớn M trọng tâm tam giác ABC giá trị lớn

Nhận xét : 1) Rất nhiều bạn tham gia giải giải Tuy nhiên, số bạn giải dài

2) Các bạn giải tương đối tốt : Lê Ngọc

ánh, 80 Lê Văn Hưu, phường Tân Sơn, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Phạm Xuân Hinh, 9C, THCS Diễn Lộc, Diễn Châu, Nghệ An ; Tạ Triều Dương, 70 tổ 23, phường Kỳ Bá, TP Thái Bình ; Trương Vũ Nha Trang, 50 khu 4A, thị trấn Quỳnh Côi, Quỳnh Phụ, Thái Bình

Ngun Minh Hµ

8 S (ABC) 27

3

8 S (ABC)

xyz

27 abc

 

3

3 abc xyz

 

3

3 ax by cz

27

lKÕt qu¶ :

l Kì : Ai ghép ?

Tửứ tửụùng thanh (TTT2 số 29) Bạn NTPL (Hải Phịng) mơ tả tiếng

trống chèo tiếng chim, tiếng gà nối tiếp xao động cảnh không gian tĩnh lặng viết : “Trống chèo xao xác sân đình” Ngược lại, bạn PTMH (Quảng Ngãi) lại mơ tả tiếng nước bị khuấy động mạnh dội, ghê sợ “Trống chèo sùng sụcsân đình” Từ tượng mơ tả tiếng trống chèo phải có ý nghĩa giục giã, mời gọi Từ mô tả âm điệu lí khơng thể xập xình bạn PPT(Thái Bình) Nó mơ tả tiếng nhạc to nhỏ, lúc cao thấp Và khơng thể dùng từ líu lo NTP (Hải Dương) líu lo mơ tả tiếng hót, giọng nói cao, trong, xen lẫn ríu vào nghe vui tai Bài thơ sửa sau :

HÌ vỊ r¶tiÕng ve

Đồn tàu xình xịch ga Bập bùnglửa trại sáng lòa Loa đài thánh thótlời ca trữ tình

Trống chèo rậm rịchsân đình Líu lochim hót cành cao

Suối tn róc ráchlưng đèo Bi bơ tiếng trẻ đáng u vơ

Xe bị lóc cócngồi đường Thương bì bõmlội đồng bắt cua

ào trời đổ mưa

Tiếng gà xao xácgiữa trưa oi nồng Xập xình tiếng nhạc hội Véo von điệu lí vấn vương bồi hồi

Nước sơi sùng sụctrong ni Súng v ỡ op ni mn thuyn

Năm bạn trao giải : Trần Văn Ngọc Hưng, thôn Phong Thử 1, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam ; Nguyễn Khánh Quỳnh, 212D Ngô Gia Tự, TT Bình Định, An Nhơn, Bình Định ; Ngô Ngọc Mai, Hà Ngọc Châu, K1, P2, TX Sóc Trăng, Sóc Trăng ; Hoàng Thị Thanh Hoa, số 351, tổ 12, Trần Phó, TX Hµ Giang, Hµ Giang ; Ngun Quang Tïng, 12, ngách 38, ngõ 515, Hoàng Hoa Thám, Hà Nội

Phó B×nh

Rất nhiều từ ghép có tên vật “tụ tập” thơ này, chúng bị ghép sai vị trí hết Bạn sửa lại để có thơ thú vị từ ghép thú vị !

Tóc mực đẹp yêu kiều Hổ dân tố sóc điều xu xa

Bố báo tác xa nhà

Chơi tổ cáo tốn tiền hại thân Ân cần chăm vắt bệnh nhân Gấu độ bác thằng bần anh !

Giät m­a c¸ long lanh

Mải chơi, lười biếng, học hành bỏ tôm Cái hang công hoắm tối ghê Sâu tai - phận giúp nghe rõ ràng

Người bn tìm ốc hàng Binh sĩ cị nịt gọn gàng tiến cơng

Xấu nai đỏ mặt thẹn thùng Nông dân vất vả mi lng cy cy

Bút công em viết hàng ngày Gà cáo thành tích việc hay điển hình

Tôm mồi lừa người tin Mặt bà nứt nẻ chân nai buồn rầu

Đầu chim gây gổ đánh Mì cị tiện lợi : nấu mau, ăn liền

Trần Thu Phương

28

Hơm nay, “thí chủ” Đỗ Thị Hồng Huệ thức ngỏ lời, xin “gia nhập môn quy” bái “trụ trì’ Trần Đăng Khoa làm “sư phụ” Như nói, hôm đẹp giời, đẹp đất, đẹp ngày, đẹp giờ, đẹp phút, đẹp giây, đẹp lòng người, đệ tử phương xa xin bái kiến sư phụ

Sư phụ ! Quả thật đứng trước ngưỡng cửa tương lai chào đón, đệ tử khơng biết lựa chọn lối cho phù hợp với Chả đệ tử thích học Văn Về thành tích, đệ tử đoạt giải Văn, giải Tiếng Anh, hai giải Toán Ước mơ : Đỗ thủ khoa Đại học, vào đời đường chân Đệ tử muốn theo đường Văn, gia đình người lại khơng muốn đệ tử theo đường Văn Vì thứ nhất, kiến thức văn rộng, bao la, người ý, phải nói khơng có chân lí xác Tốn Thứ hai, thi, Văn khơng hợp với chất Văn người chấm, khơng đạt kết cao Và nhiều, nhiều nguyên nhân khác Đó ý kiến gia đình Cịn thầy lại bảo đệ tử có khiếu Văn, lại Toán, Lý, theo đường Văn thuận lợi Đệ tử phải làm ? Thực tình đệ tử muốn giỏi Văn, Anh, Tốn để sau thi khối D Đệ tử muốn nhờ sư phụ photocopy cho đệ tử “7 mẹo đọc văn ” Tiến sĩ Đỗ Ngọc Thống biên soạn Đệ tử muốn có để củng cố cách viết ca mỡnh

Đệ tử :Đỗ Thị Hồng Huệ

Tên thường gọi :én nhỏ (Xóm Đình, n Hậu, Hũa Tin, Yờn Phong, Bc Ninh)

Trần Đăng Khoa :

Khiếp, xem đệ khua đường đao mà huynh chóng hết mặt Đệ giỏi Văn Tốn, biết hết mẹo mà cịn vờ hỏi huynh Người đâu mà quái chiêu ! Huynh run sợ Trước quái nhân ẩn đệ, huynh muốn sư thôi, không dám làm sư phụ đâu Thật mà ! Hổng dám đâu !

Người giỏi toàn diện đệ, ngả đường tốt Huynh tin đệ có nghiệp vững vàng Đệ nên theo Tốn, đừng bỏ Văn Nghề Văn tự học, cần tập giấy, bút làm nên tác phẩm lớn, người viết thực có tài Cịn Tốn tài chưa đủ, cịn phải có thầy, phải có trung tâm nghiên cứu lớn, phịng thí nghiệm đại thành nghiệp lớn Công đổi đất nước cho niềm hi vọng vào phát triển khoa học

Việt Nam Huynh chúc đệ trở thành nhà khoa học tiếng nhà hoạt động văn học tài Bởi thực tế, có khơng nhà toán học xuất sắc, đồng thời, họ nhà thơ tài năng, ví thi sĩ Đặng Hấn, hay thi sĩ Vương Trọng chẳng hạn

29

l KÕt qu¶ : Ơ chữ : V v trớ

l Kì :

ễ chữ : Hoa Vườn Anh

(TTT2 số 29) Trên hàng ngang ô chữ tên loài hoa Bạn giải thật để xem loài hoa đua nở khu vườn đặc biệt !

Bên trái - bên phải ; phía - phía dưới, nội dung Ơ chữ vị trí lần Những giới từ vị trí thật quen thuộc với bạn học sinh THCS, gửi dự thi đông Chủ vườn Tiếng Anh ban thưởng cho bạn có lời giải thật hay chữ viết thật đẹp

Xin đăng đáp án sau :

Giải nghĩa : Opposite : đối diện ; On : ; Outside: bên ; Beside : bên cạnh ; Between : ; Behind : phía sau ; Above : phía ; Under :

Những bạn thưởng kì : Nguyễn Thị Hương, 7C, THCS Quỳnh Bảng, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Nguyễn Thị Thu Hằng, số 19, ngõ 251 phố Trần Phú, Ba Đình, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Đinh Thị Hải Anh, 8A, THCS Hồ Tùng Mậu, Sơn Bình, Hương Sơn, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Thu Hà, bố Nguyễn Đức Hoạt, xóm 38 xã ỷ La, TX Tuyên Quang, Tuyên Quang ; Dương Thị Hồng Tâm, bố Thanh, xóm Mộ Thượng, Bạch Hạc, TP Việt Trì, Phú Thọ

Chủ Vườn

Trần Thị Kiều Oanh

30

Trung hậu tình cảm thủy chung Trung tâm vùng mênh mông

Trung thc thng tht lòng Trung niên vượt khỏi vòng tuổi xuân

Trung trực sau trước đồng tâm Trung thu bầy cỗ sân trăng trịn

Trung bình khơng khơng Trung du giáp núi non đồng

Trung tu sửa chữa phải Trung tuần tháng giảm tăng vài ngày

Trung gian mua bán qua tay Trung lập không bên bên

Lần Trẫm thức đến khuya Năm phần quà thật khó chia cho

Ban thưởng :Lã Trung Hiếu, 82 Lê Lợi, thị trấn Kbang, Gia Lai ; Lê Anh Hoan, 6C, THCS Tôn Quang Phiệt, thị trấn Thanh Chương, Nghệ An ; Trương Lê Ngọc Trâm, 40 Thi Sỏch, Hi Chõu,

Đà Nẵng; Hoàng Thị Lê ThưHoàng Thị Lê ThưHoàng Thị Lê Thư, 29 Bạch, 29 Bạch Đằng, Núi Đèo, Thủy Nguyên, Hải Phòng ; Nguyễn Thị Hạnh, mẹ Ngô Thị Kim, Thọ Khê, Đông Thọ, Yên Phong, Bắc Ninh

Vua Tếu

(TTT2 số 29)

Hỏi : Em nóng tính sinh nhật em chúc “Đừng !” Em tâm không 10 ngày đến ngày thứ em lại Anh có cách giúp em khơng ?

Em gái nóng tính (lớp 74, THCS Trần Hưng Đạo, Đông Hà, Quảng Trị) Đáp :

Con gỏi m d kì Hay mang máu Trương Phi người ?

Anh cho thuốc tạm thời : Khẩu trang đeo lúc chơi, lúc đùa ! Hỏi :Dạo nghỉ hè nên em hay ngủ trưa (nếu khơng ngủ mắt em díp vào) ln bị “bóng đè” Làm để khỏi bị “bóng đè” ? Mong anh cứu giúp !

Em g¸i anh (9A, THCS Lê Lợi, Gia Lộc,

Hi Dương) Đáp :

Chẳng qua mệt mỏi mà “Bóng đè” em lịm

chiỊu råi ch­a tha Khi ngủ nhớ dặn mẹ cha Đúng gọi dậy

chẳng ma đè ! Hỏi : Một bạn nam thích em em thích bạn Nhưng em chẳng nói với ai, kể người tuổi bọn

em cịn q bé Anh thấy em nghĩ có khơng ?

Bóp bª nhá xinh TTT (Di Trạch, Hoài Đức, Hà Tây)

Đáp :

Em nghĩ giỏi anh Họ thích, thích thành bạn thân Giúp rèn luyện

chuyờn cn Nói khơng khéo lạc chân vũng lầy Hỏi : Nhiều em có Tốn Tuổi thơ chưa kịp đọc mà bạn thân em hỏi mượn Anh ! Em x s õy ?

Hồ Hữu Quân

(Xãm 4, lµng 1A, Qnh Hång, Qnh L­u, NghƯ An) Đáp :

Thôi bạn quên Cứ đưa cho hi sinh

cng nh Mình có lịng thành “Hắn” có đức tính

“chuyên canh đọc nhờ”

Hỏi : Em học lớp không muốn rời xa TTT1 Em gửi viết cho TTT1 khơng ?

Lê Nhật Linh

(Tiểu khu Bắc Giang, Nông Cống, Thanh Hóa) Đáp :

Cảm ơn bạn chẳng muốn xa Toán Tuổi thơ vui Muốn viết bạn viết thui Cứ bầy tui

đăng liền !

Hỏi :Anh cho em biết tên thật anh !

Thúy Hoa

(THCS Trần Huy Liệu, Nam Định) §¸p :

Trời ! Em q tị mị Nói tên thật lo em cười

Cần phân biệt với người Cứ gọi Phó Gỡ tức thời

anh th­a

anh phã

32 Bµi 1(31) :

Cho sè cã

12 chữ số Chứng minh thay dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1, 2, cách tùy ý số ln chia hết cho 396

Đỗ Việt Cường

(phường Nơng Trang, TP Việt Trì, Phú Thọ) 155 * 710 * *16

Bài 2(31) :Giải hệ phương trình

Trần phương nam

(TP.Mü Tho, TiÒn Giang)

2

2

x xy y z yz     



  



Bµi 4(31) :Cho a, b, c lµ ba cạnh tam giác Chứng minh :

nguyễn anh vũ

(THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Hoài Ân, Bình Định)

3a b c 3b c a  3c a b  3a3b3c.

Bài 5(31) :Cho tam giác ABC Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, BC theo thứ tự P, Q Phân giác cắt tia PQ E Chứng minh AE vuông gúc vi CE

nguyễn văn Tiến

(THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ)

A Bài 3(31) : Tìm giá trị lớn biểu thức :

ngun Anh hoµng

(THCS Ngun Du, Qn 1, TP Hå ChÝ Minh)

2

2

2004x 6006x x 2x x 8003

A

x 3x

     



 

1(31) : We are given a 12-digit number of the form Show that if the asterisks are arbitrarily replaced by three distinct digits from the set {1,2,3}, then the resulting number is divisible by 396

2(31) :Solve the simultaneous equations

3(31) :Find the maximum value of the expression

4(31) :Prove that if a,b, andcare side lengths of a triangle, then

5(31) : Let ABC be a triangle with incircle (O) The incircle is tangent to the sides ABand BCat P and Qrespectively; the internal angle bisector from vertex A intersects the ray PQat E Prove that AE is perpendicular to CE

          

3a b c 3b c a 3c a b 3a 3b 3c.

     



 

2

2

2004x 6006x x 2x x 8003

A

x 3x

   

 

  



2

2

x xy y

z yz 155 *710 * *16