Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 43

ÑIEÅM XUAÁT PHAÙT CUÛA LÔØI GIAÛI SAI Cã mét bµi to¸n cïng lêi gi¶i nh­ sau :.. Bµi to¸n.[r]

1 l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 41)

l Kì :

lĐể xác định số chữ số tận A,

ta cần phân tích AB10nB(2 5)n, B khơng có ước 10 Nói cách khác, ta cần xác định số thừa số số thừa số phân tích Ara thừa số nguyên tố

Ta cã A((3!)!)! (6!)! 720!

1 2 3  720

Mặt khác, từ đến 720 có số tự nhiên bội 5kvới < k< :

Sè c¸c bội 54là (cứ 54số tự nhiên liên tiếp lại cã mét sè nh­ vËy) ;

Sè c¸c béi 53mà không bội của

54là

Số bội 52mà không bội 53, 54là

Số bội mà không bội cđa 52, 53, 54lµ

Suy sè thõa sè phân tích

Ara thừa số nguyên tè lµ

1 4 4 3 23 2 116 178 Mặt khác, số số chẵn số tự nhiên từ đến 720 360 > 178 nên số thừa số phân tích Ara thừa số nguyên tố chắn lớn 178

VËy AB10178hay Acã 178 ch÷ sè tËn cïng

       

720 23 116.5      

 

720 23 ;52     

 

720 ;53 

      

720 1

5 lsố phân tích Với lời giải trên, ta xác định số thừaA ra thừa số nguyên tố cơng thức :

và bạn phát biểu, chứng minh công thức trường hợp tổng quỏt

l Tuy toán không khó, cã

khá nhiều bạn mắc phải sai lầm đáng tiếc để đưa kết chưa xác Các bạn thưởng kì Nguyễn Thị Ngọc Huyền, 7A2, THCS II Thị Trấn Thanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ; Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An ; Lê Thanh Nga, 6A1, THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc;

Phùng Mạnh Linh, 7A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định ; Lại Đắc Hợp, 7A, THCS Huyện Thuận Thành, Thuận Thành,

Bắc Ninh

Anh Compa

                    

720 720 720 720 178

5

5 5

Cho bốn bánh xe A, B, C, Dcó đường kính 12 cm, 36 cm, cm, 27 cm liên kết với dây cô-roa hai bánh xe B, Cđồng trục (như hình vẽ đây) Các bạn tính vận tốc quay bánh xe D, biết bánh xe Aquay với vận tốc 450 vòng/phút

2 Bài toán 1.Cho hai số dương x, ythỏa mãn xy2 Chứng minh :

x2y2(x2y2) 2 (1)

Lêi gi¶i

Từ xy2 suy x2y24 2xy; Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si, ta có xy

đẳng thức xảy xy1

C¸ch 1.Ta cã (1) 2 x2y2(x2y2) 0

2 x2y2(4 2xy) 0

(2)

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số

dương ta có

Suy (2) (1) đúng, đpcm

Cách 2.áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương 2xy; x2y2ta có

2xy(x2y2) 4 xy(x2y2) 2, (3) mµ < xy1 suy < x2y2xy1

x2y2(x2y2) (đpcm)

Cách 3.Xét tØ sè

(do < xy1)

(do (3)) x2y2(x2y2) 2

C¸ch 4.XÐt hiƯu Hx2y2(x2y2) 2

x2y2(4 2xy) Đặt txy(0 < t1) ta có Ht2(4 2t) 2

 2t34t22 2(1 t)(t2t1)

2(1 t)[(t21) t] 0

H0 suy x2y2(x2y2) 2

C¸ch 5.XÐt biÓu thøc M xy(x2y2)

Mxy(4 2xy) 2(xy)24xyM0 Nếu coi phương trình bậc hai ẩn xythì phương trình phải có nghiệm

 ’  4  2M  M  suy

x2y2(x2y2) (theo cách 2)

lTừ cách giải toán ta giải toán sau :

Bài tốn 2.Tìm nghiệm dương hệ

Bài toán 3.Cho hai số dương x, ythỏa mãn xya Tìm giá trị lớn biểu thức xy(x2y2)

   

   2 2

2

( )

x y x y x y

  2

2

T

  ( 2)

2

xy x y T

  2 2( 2) :

2

x y x y T

   

    

  

2 2 2

2

2 ( ) ( )

2 ( )

2 ( )

xy x y xy x y

xy x y xy xy

xy x y

    

2 22 2xy 2 22 2xy 4xy

x y x y

0 xy 1

2 22 ; 2xy x y

 2 22 2xy 4

x y

   

2 xy xy xy 1,

Phạm văn vượng (THCS Nam Thái, Nam Trực, Nam Định)

Vâng ! Các bạn làm sau kì thi ? Các bạn có trao đổi, so sánh lời giải với nhau, trình bày với thầy giáo làm khơng ? Các bạn có sưu tầm giải thử đề thi trường, tỉnh khác không ? Theo tôi, chắn có nhiều bạn khơng bỏ qua hội “ngàn vàng” này, việc giúp cho bạn củng cố tự đánh giá lại kiến thức

Sau kết trình suy nghĩ toán đề thi tuyển sinh vào trường THPT Sở GD-ĐT Hà Nội năm học 2006-2007

3 (TiÕp theo trang 19)

AD BC, đồng thời O trung điểm

O1O2 ; O2C// O1A// O1A’ ; O2C O1A

O1A’ Suy O1A’CO2 hình thang cânnên nội tiếp đường tròn Tương tự trường hợp ta thu

suy t1// t2

l B¹n Ngun Ngäc Trung, 9A1, THCS

Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ đưa cách giải độc đáo sau :

Gọi M; N; E; Flần lượt giao điểm

AO1vµ DO2 ; BO1vµ CO2 ; AO1 vµ CD;

BO1 CD Sau chứng minh suy MN song song, cách ABvà CD, tứ giác O1MO2Nnội tiếp, dẫn đến cặp tam giác sau đồng dạng : O1O2Nvà DAM ; O1CN O2AM,

suy Chøng minh

thu t1// t2

Cỏch gii ny ca bạn Ngọc Trungrõ ràng khơng địi hỏi phải xét hai trường hợpnhư Về giải pháp cách nhằm đến chứng minh đẳng thức “góc” (8)

l Lời giải thứ ba bạn Trần Vũ Trung,

nhà số 13 ngõ 289, Lê Hồng Phong, TP Nam Định, Nam Địnhcũng độc đáo, nhiên chưa hồn chỉnh xét thiếu trường hợp ABCD:

Giả sử AB< CD, gọi A’ điểm đối xứng Aqua O1O2và Slà giao điểm AD

vµ BCth× Sthuéc O1O2 Dùng DF// AO1, F

thuộc O1O2suy CF// BO1(bạn đọc tự vẽ hình) Từ AO1 vng góc với DO2và BO1

vng góc với CO2suy CO2DFlà tứ giác nội tiếp tứ giác

AO1O2A’ cịng néi tiÕp

Từ suy

Gọi H; Klần lượt giao điểm t1và AB; t2và CDthì chứng minh

vµ

(do O1và O2lần lượt tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADKvà BCH)

Suy CHAK

hình bình hành CH// AKhay t1// t2

lĐăng quang trận đấu

hai bạn Đỗ Trung Kiên Nguyễn Ngọc Trung có lời giải sáng tạo, ngắn gọn chỈt chÏ

Chú thích.Ngồi ba lời giải đây, tốn cịn lời giải khác, có lời giải sử dụng điều kiện (cần đủ) để tứ giác ngoại tiếp đường tròn, nghĩa chứng minh khơng sử dụng gócmà sử dụng độ dài đoạn thẳng Nếu có điều kiện tơi giới thiệu tiếp để bạn đọc thấy phong phú việc tiếp cận toán mới, toán haynhư kiểu toán thách u ny

Nguyễn Đăng Phất

 

AKC CHA HCD

 o 

1 90 12

BOC  BHC

 o 

2 90 12 AO D  AKD

 2  1 .

AO D BO C

  1 2 1 2 1 2

O AO O AO’ O CO

 1 2 ,

AO S O AS ’

 

DCE BAF

 2 1 ; 22 ,

DCE O CN BAF O AM

 2  1 .

O AM O CN

  90 ,o

BNC AMD 

  , CED FAD

4

l Kết : (TTT2 sè 41)

l Kì naøy :

Hầu hết bạn phát điểm xuất phát lời giải sai, ngộ nhận tứ giác NPRL hình bình hành, sử dụng hình vẽ trường hợp đặc biệt -ngũ giác ABCDEđều

lLời giải

Gäi Llµ trung điểm BE, ta có NPLR

là hình bình hành, suy K trung điểm PLHKlà đường trung bình tam

giác PMLHK// MLvà

Mặt khác, MLlà đường trung bình tam giác BAEsuy ML// AEvà

Vậy HK// AEvà đpcm

l Các bạn thưởng kì Dương Hồng Hưng, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Nguyễn Thùy Linh, 9A, THCS Đồng Phong, Nho Quan, Ninh Bình ; Hồng Phương Thảo, 50/3, Phan Chu Trinh, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ;

Ngun Minh ViƯt, 9D, THCS Nguyễn Tự Tân, Bình Sơn, Quảng NgÃi ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa

Anh kính lúp

1 ,

HK AE

1

ML AE

1

HK ML

KẾT LUẬN NHƯ THẾ ĐƯỢC KHÔNG ?

ĐIỂM XUẤT PHT CA LI GII SAI Có toán lời giải sau :

Bài toán.Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc

Lời giải.Điều kiện xđể Pcó nghĩa

NhËn xÐt :Víi 1 x 5 ta cã

Do đó, với 1 x  nên Pkhơng có giá trị nhỏ

Theo bạn kết luận có kh«ng ?

Tạ quang hưng (THCS Nghĩa Hưng, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc)

 28 3  2 4  0,

P x x x x

2

2

5 (4 )(7 ) suy ;

28 (4 )(7 ) suy 28

x x x x x x

x x x x x x

        

        

       

 

    

   



   

       

2

28 (4 )(7 )

(1 )(5 )

5

4 1 5.

1

x x x x

x x

x x

x x

x

 28 3   4 

5

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 41)

v Kì :

Đây làm em Nguyễn Thị Tường Vy, 3A, Yersin, Phan Thiết, Bình Thuận:

Sáng mua Tốn Tuổi thơ Về nhà ngồi đọc, mong chờ đăng

IQ bốn mốt (41) căng

Nhỡn cỏc đơn thức lằng nhằng Số mũ ẩn nháo nhào

Quy luËt bÝ mËt thÕ nµo ë ? Nghĩ đi, nghĩ lại ngất ngây Ai ngờ lóe sáng giây cuối :

Bc đơn thức lại chung Con số 11 chân dung rừ rng

Thế lời giải nhẹ nhàng

Phương án chọn ! Bác Quang cười !

Ngồi bạn Tường Vy, TTT cịn thưởng cho bạn : Nguyễn Văn Bình, tổ khu phố II, thị trấn Hà Lam, Thăng Bình, Quảng Nam; Hà Thị Thanh Bình, số 10 Bảo Quốc, TP Huế, Thừa Thiờn - Hu c bit, bn

Vũ Văn Duy, xãm 3, ViƯt Hång, Thanh Hµ,

Hải Dương, sau giải bạn có viết : “Bác Quang ! Tuy cháu giải mục nhiều lần chưa thưởng lần Nếu lần thưởng, cháu nhờ bác chuyển phần thưởng cháu tới Quỹ nạn nhân bị chất độc màu da cam, không ? Cháu cảm ơn bác nhiều !” Bác đọc xong, cảm động ! Bác gửi phần thưởng đến tận tay để cháu trực tiếp thực hành ng ngha hip ca mỡnh nhộ !

Nguyễn Đăng Quang

Bạn chọn hình thay vào dấu chấm hỏi để hợp lơgic ?

Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn gọi đến số 19001548và làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T IQ2 X Y, Xlà đáp án bạn ;

Ylà số người có đáp án

Chúc mừngbạn Phạm Thị Phương Nhung, mẹ Phạm Thị Thu Dung, Ban Tuyên giáo Tỉnh ủy Gia Lai (số điện thoại 0902157439) trúng thưởngcuộc thi TTT2 số 41

6

SO SÁNH HAI BIỂU THỨC QUA BIỂU THỨC TRUNG GIAN

u u u u u u u u u u u u u u u u u u

Trong thực tế sống, thấy tầm quan trọng yếu tố trung gian việc lựa chọn yếu tố trung gianphù hợp cho trường hợp, đối tượng cụ thể Nhân dịp TTT2 số 42 đề cập đến dạng toán so sánh biểu thức sách giáo khoa, muốn nhắc lại với bạn phương pháp quan trọng để so sánh giá trị hai biểu thức, phương pháp xét biểu thức trung gian Mời bạn theo dõi ví dụ sau

VÝ dơ 1.Víi mäi sè tù nhiªn n2, h·y so

sánh với

Lời giải

Cách 1.Do với n2 nên

Mặt khác,

Vậy A<

Cách Do với n nên

Mặt khác,

Vậy A <

Nhn xét Hai cách giải chọn biểu thức trung gian so sánh trực tiếp với biểu thức A so sánh với qua bước biến đổi đơn giản quen thuc

Trong toán cụ thể này, rõ ràng c¸ch

ngắn gọn đơn giản cách 1, nhiên toán bắt so sánh Avới đương nhiên khơng thể dùng cách

VÝ dơ 2.Víi mäi sè tù nhiªn n2, h·y so sánh

Lời giải

Cỏch 1.Tng t cỏch 1ca vớ d 1, ta cú

Mặt khác, 1

2n1 2 n1 (2 n1)(2n1)

21 21 12

2 (2 )

P Q

n

    

  

2 2

1 1 víi 1

2 (2 )

P

n

    

3

1 1 1 1

1 2 3

1 1 C n n n             

1 1 .

1 2 3 ( 1)

A C n n           1

(n 1)n

n  

1 1

1 ( 1)( 1)

1 1 1 1 1

2 1

1 1 1 1 3 1.

2 2

B n n n n n n                                         

21 21 21 21

2 1

A B n           2 1

n  n 

2 2

1 1

2

A

n

    

2 2

nªn

1 3 (2 1)(2 1)

Q

n n

   

   

7

Suy

Cách 2.Thử nghĩ đến việc sử dụng kết ví dụ 1ta biến đổi Pnhư sau :

Suy

Nhận xét Cách ví dụ lựa chọn tốt, áp dụng vào ví dụ 2thì cơng việc khú khn Khi ú ta cú

và ta phải so s¸nh Rvíi

Nh­ vËy, viƯc chän biĨu thøc trung gian phải thỏa mÃn điều kiện thuận lợi cho việc rút gọn, so sánh gắn kết với biểu thức cần so sánh

Qua ví dụ trên, phần thấy yêu cầu lợi phương pháp sử dụng biểu thức trung gian toán so sánh giá trị hai biểu thức Chúc bạn thành công để kết thúc, đề nghị bạn thử làm tập sau :

H·y so s¸nh :

1 999999 vµ . 8    1000000 1000

1

1 1

1 (2 1)

P R

n n

     

    

2

1 (1 1) 1. 2

P  

2 2 2 2 2

1 1

2 (2 )

1 1 1

2

1 (1 )

P

n n A

    

 

       

 

 

1

P Q 

1 1 1 1

1 3 2

1

1

2

n n

n

       

 

  

 S¶n phÈm míi cđa Hång Hµ

Giúp dễ nhận trường Mọi người tỏ tường

Gọi tên sản phẩm u thương :

§ång phơc häc sinh Hång Hµ

Vải tốt, kiểu dáng thật dễ thương

Kì có nhiều bạn tham gia giải câu đố Tất trả lời đáp án Hồng Hà xin tặng quà cho bạn trả lời thơ hay : Nguyễn Thị Hà, Bưu điện Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ; Lê Thị Hồng Nhung, xóm 6, Thụy Quỳnh, Thái Thụy, Thái Bình; Hồng Văn Đơng, xóm 1, Xn Sơn, Đơ Lương ; Hoàng Thu Phương, mẹ Nguyễn Thị Dương, giáo viên THCS Đông Sơn, Đô Lương ; Trần Thái Sơn, bố Trần Thanh Biên, xóm 7, xã Nghi Hoa, Nghi Lộc, Nghệ An; Phạm Kiều Linh, 140 Trưng Trắc, Phúc Yên ; Lê Thái Sơn, khu 2, xã Tề Lỗ, Yên Lạc ; Nguyễn Thị Ngọc, 7A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ;

Trịnh Việt Hùng, xóm 5, Thọ Trường, Thọ Xuân ; Lê Thị Mai Phương, số nhà 01 đường 30 tháng 4, tiểu khu 4, Thị trấn Hà Trung, Hà Trung, Thanh Hóa ; Đỗ Kiều Linh, đội II, xóm 4, thơn Tảo Khê, xã Tảo Dương Văn, ứng Hòa, Hà Tây; Kiều Hồng Vân, tổ 2, khối 8, Bắc Hồng, Hồng Lĩnh, TX Hà Tĩnh ; Ngô Thu Hường, số 31, Hà Huy Tập, P Nam Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh;

Nguyễn Thị Mỹ Linh, 48D/212, Đà Nẵng, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Nguyễn Diệu Thắm, Đông Lễ, Đông Tảo, Khoái Châu,

Hng Yờn ; Nguyn Kiu My, bố Nguyễn Văn Thức, Ban Dân vận Tỉnh ủy Quảng Ngãi, 146 Lê Trung Đình, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Trần Hoàng Phương Thảo, 50/3 đường Phan Chu Trinh, TP Huế,

Thừa Thiên - Huế; Nguyễn Đình Cương, mẹ Nguyễn Thị Xuân, số Tống Duy Tân, phường Ngọc Châu, TP Hải Dương,

Hải Dương

8

ThS.NGUYÔN V¡N NHO (NXBGD)

Trong số này, tiếp tục giới thiệu với bạn số tốn vịng thi năm 1990, 1991, 1992, phù hợp với kiến thức học sinh giỏi THCS nước ta Hi vọng bạn giải chúng !

Bµi 1.(Problem 3, 1990)

Giả sử số nguyên tố pcó thể viết thành hiệu hai lập phương hai số nguyên dương khác Chứng minh đem 4p chia cho 3, loại bỏ phần dư nhận số bình phương số ngun lẻ

Bµi 2.(Problem 1, 1991)

Chứng minh tổng bình phương msố tự nhiên liên tiếp số phương, với m {3 ; ; ; 6} Khi

m11, cho ví dụ để chứng tỏ tổng bình phương

msố tự nhiên liên tiếp số phương

Bµi 3.(Problem 3, 1991)

Khi số viết thành tổng Nphân số Ai Cập khác đơi một, ta nói N số chấp nhận

(acceptable) Hãy chứng minh số nguyên dương Nđều chấp nhận được, với N3

Chú thích (của người biên tập) Phân số Ai Cập phân số có tử số Như vậy, ta phát biểu toán theo cách khác : Chứng minh số phân tích thành tổng N phân số Ai Cập khác đơi một, với N số ngun dương

Bµi 4.(Problem 2, 1992)

Cho số nguyên dương Ta lập số cách nhân chữ số số Q trình lặp lại nhiều lần số nhận số có chữ số Lúc đó, ta nói chữ số sau chữ số (digital root) số nguyên dương cho

VÝ dô :24378 1344 48 32 Vậy chữ số 24378

Chứng minh số nguyên dương ncó chữ số nphải có tất chữ số

gIèI THIỴUỴ

9

CUỘC THI OLYMPIC TOÁN QUỐC GIA AI-LEN

Bµi 1.(Problem 3, 1989)

Xét trường hợp tam giác ABCcó điểm A D nằm phía đường thẳng BC

Khi

Mặt khác, suy

(pcm) Cỏc trng hp khỏc chứng minh tương tự

Bµi (Problem 9, 1989) §¸p sè :1868 ; 2307

Gọi năm cần tìm Khi : 10ab10cd10bc

suy 9(b c a)  a da d lµ béi cđa adchØ cã thĨ b»ng hc 18

Nếu a d bc 2, suy năm cần tìm gần trước năm 1978 năm 1868

Nếu a d bc 3, suy năm cần tìm gần sau năm 1978 năm 2307

Bi 3.(Problem 12, 1989)Gi cỏc đỉnh hình vng Slà M, N, P, Qtrong A,

B, C, Dlần lượt thuộc cạnh NM, MQ,

QP, PN(các bạn tự vẽ hình)

Đặt NAa, MBb, QCc, PDd

Khi đó, theo định lí Py-ta-go ta có :

AB2BC2CD2DA2(b2(1 a)2) 

(c2 (1 b)2)  (d2(1 c)2)  (a2(1

d)2) 4 2(a(1 a) b(1 b) c(1 c)

d(1 d))

Từ ta có điều phải chứng minh (áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương có tổng bng 1)

Bài (Problem 4, 1990)Đặt :

Gi¶ sư

ngun dương với mngun dương, suy k2mk1

(vỡ kdng)

Do số vô tØ nªn 8n4m312m

hay

Đảo lại, giả sử tồn số nguyên dương

m thỏa mãn đẳng thức

đó suy

VËy ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh

2

3 2 3

8

(4 12 ) (4 4)

1

( 4)

n n

m m m m

m m k k m

k

  

    

      

   

2 2

8 n (4m 4) m 4,

2

( 3) ,

m m

n 

2

( 3)

m m

n 



2 1 n

       

    

2 3 2

8 8 ( 4)

(4 12 ) (4 4)

n n k m m

m m m m

2k m  m24

k m

k

  

    

3n n2 1 3n n2 1 1 1.

k n n n n

k

       

abcd

   

DEA ACB ABC

 

DEB DEC

      .

ACB AEB DEB DEA

      ;

ABC AEC DEC DEA

  ;

10

Hướng dẫn giải đề kì trước :

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10,

THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, tổnh Vúnh Long, naờm hoùc 2005-2006 (Đề đăng TTT2 sè 42)

Bµi 1.Cã thĨ tÝnh trùc tiÕp rút gọn A:

Với x8, ta tính

Bài 2.a) Với m0, phương trình trở thành

x22x3 0, có hai nghiệm ; 3 b) Phương trình

x22(m1)xm3 0 (1) cã ’ (m1)2(m3) m23m4

với m nên phương trình (1) ln có hai nghiệm x1, x2phân biệt

c) Theo định lí Vi-ét ta có x1x22(m1) x1x2m3, suy mx1x23

x1x22(x1x23 1)

x1x22x1x24 (hƯ thøc gi÷a x1, x2

kh«ng phơ thc m

d) x1 x2x1x22

2(m1)0 m1

Bài 3.Gọi vận tốc ca nơ ngược dịng xkm/h, suy vận tốc ca nơ xi dịng x5 km/h Ta có

Phương trình có hai nghiệm 10 11, thử lại thỏa mãn Vậy vận tốc lúc ca nơ ngược dịng 10 km/h 11 km/h

Bµi 4.Ta cã suy

Bài

a) Dễ thấy nên DMBIlà

tứ giác nội tiếp

b) Ta lại có suy BI// AD

(cïng vu«ng gãc víi CD)

c) Từ giả thiết ta có M đồng thời trung điểm AB DE suy ADBE hình bình hành AD// BEI, B, Ethẳng hàng theo câu b) AD// BI

Bµi

  90o ADC BIC 

  90o

DMB DIB 

        

  

   

  

2 2

2 2

0

a a b b c c a b c

b c c a a b

a b c

b c c a a b

 

       

  

 

(a b c) a b c a b c

b c c a a b

  

  

a b c

b c c a a b

     



48 22 1 21 110 0.

5 x x

x x

      

 

2

3 7 0

2

m

10

3

A

 

  



  

  

  

2

2

2

2

4 4 ( 8 16)

16

( 2) ( 4) | | ( 4)

( 4)( 4)

x x

A x x

x

x x x x

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 (Vòng 2), KHỐI THPT CHUYÊN, ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HAØ NỘI

Năm học 2006-2007 ; Thời gian : 150 phỳt

Câu 1.(2,5 điểm)

Gii phng trỡnh

(3x4)(x1)(6x7)26

Câu 2.(1,5 điểm)

Tỡm tt cặp số nguyên không âm x, ythỏa mãn phng trỡnh

(y1)4y4(x1)2x2

Câu 3.(1,0 điểm)

Gi sử x1và x2là hai số nguyên dương cho ; a b theo thứ tự trung bình cộng trung bình nhân x1và x2 Biết tỉ số số nguyên dương Chứng minh x1x2

Câu 4.(4,0 điểm)

Cho hai đường tròn (C1) (C2) cắt hai điểm A, B Biết (C1) có tâm O1và bán kính r11 cm ; (C2) có tâm

O2và bán kính r2 cm ; AB1 cm hai điểm O1, O2 hai phía đường

thẳng AB

Xột ng thng (d) qua A, cắt (C1) (C2) điểm M Nsao cho

A n»m đoạn MN Tiếp tuyến (C1) Mvà tiếp tuyến (C2) Ncắt điểm E

1) Chứng minh tứ giác EMBNlà tứ giác nội tiếp

2) Tính độ dài cạnh tam giác

AO1O2

3) Chøng minh r»ng

cm 4) Giả thiết thêm ba điểm A, B, E

thẳng hàng Chứng minh (d) đường phân giác

Câu 5.(1,0 điểm)

Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y

sao cho xythc tËp hỵp E{3 ; ; 9}

1 2

O AO

2EM EN 4( 3 15)

a b

a) Hai tam giác AMDvà CDNđồng dạng theo trường hợp g.g có (so

le trong) vµ Suy

CDADAMCN

Mặt khác, dễ thấy ADClà tam giác nên ACADCD, suy AC2AMCN

b) Ta có tam giác ABClà tam giác

u nờn Mt khỏc,

AC2 AMCN nên hai tam giác MAC vµ

ACN đồng dạng theo trường hợp cặp góc có hai cạnh bên tương ứng t l Suy

AEBC tứ giác nội tiÕp

c) Tõ c©u b) suy Ethuéc cung nhỏ AB

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

   AEC ACB ABC  

     AEC ANC ECN ACM ECN   

 

ACM ANC

  60 o

ACB BAC 

  120 o

ADM MNC 

 

12 l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

Bài 1(41) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn iu kin

Tìm giá trị nhỏ x yz

Lời giải áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số dương ta có

(1) (2) Tõ (1) vµ (2) suy

Đẳng thức xảy (1) (2) đồng thời trở thnh ng thc

kết hợp với giả thiết ta

suy

Vậy xyzđạt giá trị nhỏ

Nhận xét Cách phân tích để áp dụng bất đẳng thức Cơ-si tốn quen thuộc, bạn giải làm Sau bạn có lời giải gọn :

Hoàng Văn Công, 8B, THCS Phạm Huy Thông, Ân Thi ; Đào Lê Vy, 8A1, THCS Tăng Bạt Hổ, Hoài Ân, Bình Định; Lê Anh Công, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc ; Lê Văn Tuấn, 8C, THCS Lê Thánh Tông, Thọ Xuân, Thanh Hóa ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa; Nguyễn Ngọc Huy, 7A,

THCS Trn Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng ; Tạ Quang Trung, 8A, THCS Đại Thịnh, Thường Lệ, Mê Linh, Vĩnh Phúc; Lê Duy Tùng; Lê Hồng Thiện; Nguyễn Hoàng Phương, 9E, THCS Chu Vn An, Eakar,

Đắk Lắk

Nguyễn anh quân Bài 2(41).Chứng minh 321224681 chia hết cho 1930

Lời giải.Đặt A321224681

(37)3(28)338281

(37)3(28)313337(2)8(1)

ỏp dụng đẳng thức quen thuộc :

a3b3c33abc

(abc)(a2b2c2abbcca), (1)

ở a37, b 28, c 1, suy Achia hÕt cho 37281 1930

Vậy toán chứng minh

Nhận xét.Một số bạn học sinh không liên hệ đến đẳng thức (1) nên có lời giải dài (phân tích 1930  25193 xét phần dư số 2n, 3n(n *) chia cho 5, chia cho 193) Các bạn có lời giải tốt Triệu Thị Quỳnh Mai, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Lê Thị Tuyết Mai; Nguyễn Thị Ngọc; Phùng Ngọc Quý, 7A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Hoàng Tiến Dũng, 7A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Trần Việt Cường; Trần Phương Thảo, 7C, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh ; Phạm Quang Thịnh ; Phan Long Tri Yên, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hũa, Phỳ Yờn;

Đỗ Thị Thùy Linh, 6A6, THCS Đồng Nai, Cát Tiên, Lâm Đồng

Nguyễn Minh §øc

16 ; ; 1.

21 21 21

x y z

 3 

3

x xy xyz

  4 ,

x y z

   

        

   

      

1 2 4

2

4 ( )

3

x x

x y y z

x y z x y z

  3

4

3 x xy xyz

 

       

 

3 4 4

4

x x

xyz y z y z

 

     

 

1

2 ;

2 2

x x

xy y y

 3 4

3

13 Bài 3(41) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình :

Lời giải.Với a, b, c, ddng, ta cú

Mặt khác :

2(a2b2c2 d2ab ad bc cd)

(abc d)2a2b2c2d22ac

2bd(ac)2(bd)20 (3) Kết hợp (2) (3) ta suy F2 (4) Đẳng thức xảy ac, bd

áp dơng víi a  2005, b  x, c  y,

d2004 ta có

Đẳng thức xảy y2005, x2004

Kết luận :Phương trình (1) có nghiệm (x; y) nguyên dương (2004 ; 2005)

Nhận xét Các bạn có lời giải tốt Lê Phương, 8A6, THCS Ngô Sĩ Liên, TP Bắc Giang, Bắc Giang ; Vũ Thị Thu Hà, 8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc;

TrÇn Thu Thđy, 8A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định ; Nguyễn Văn Tuân, 8/1, THCS Hợp Tiến, Nam Sách ;

Nguyễn Sơn Tùng, bố Nguyễn Văn

c, thôn Nghĩa Xã, Đại Đồng, Tứ Kỳ, Hải Dương; Nguyễn Thị Trang, 8B, THCS Nam Hưng, Tiền Hải, Thái Bình ; Hoàng Tiến Dũng, 7A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lc,

Thanh Hóa ; Lê Công Minh, 7A, THCS Bình An, Can Lộc ; Nguyễn Trung Thành, 8B, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ;

Phạm Việt Hùng; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Huỳnh Văn Nhật Huy, 61, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế; Đào Lê Vy, 8A1, THCS Tăng Bạt Hổ, Hoài n, Bỡnh nh

Nguyễn Minh Đức Bài 4(41) Cho tam giác vuông ABC

( ), BCa, ACb, ABc Gọi hclà độ dài đường cao tam giác k t C

Chứng minh

Đẳng thức xảy ?

Lời giải Do tam giác ABC vuông C

nên c2a2b22ab, hay

Ta nhận thấy abchc(2SABC), suy Do

Vậy bất đẳng thức chứng minh

        

 

  

2

( ) ( )

2 2 2( 1).

c

a b c a b c c a b c c

h ab ab

ab ab ab

ab  c ab h c  c ab 2(1 2) c a b c

h

     90o

C

2005 2004 2.

2004 4009 2005

   

 x y 

x y y x

2 2 2

4( ) (2)

( )

       

  

a b c d ab ad bc cd

a b c d 2 2

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

1( ) 1( )

4

1

(theo bất đẳng thức ( ) )                                                        

a b c d

F

b c c d d a a b

a c b d

b c d a c d a b

a d a c b c b a b d c d

b c d a c d a b

a c ad bc b d ab cd

b c d a c d a b

xy x y

2005 2004 2 (1)

2004 4009 2005

   

 x y 

14

Đẳng thức xảy abhay tam giác ABCvuông cân đỉnh C

Nhận xét 1) Từ toán trên, bạn Đỗ Việt Hùng, số nhà 11, ngõ 1/1, đường Trường Chinh, TX Phủ Lý, Hà Namđã đề xuất giải toán mạnh : “Cho tam giác ABCcó ; BCa, ACb,

AB  c ; R, rlần lượt bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp Chứng minh

”

L­u ý :

2) Ngồi bạn Hùng, bạn sau có lời giải gọn : Nguyễn Hữu Thanh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ;

Nguyễn Văn Tú, 9B, THCS Lập Thạch ; Lê Sơn Hải, 9B, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng; Nguyễn Lâm Phúc, 8A, trường Hà Nội - Amsterdam,

Hµ Néi ; Đoàn Thu Hà, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, H­ng Yªn ;

Nguyễn Duy Cường, 24D Tam Giang, P Trần Hưng Đạo, TP Hải Dương, Hải Dương ;

Hoàng Văn Công, 8B, THCS Phạm Huy Thông, Ân Thi, Hưng Yên ; Nguyễn Mạnh Quyết, 9A2, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định ; Hoàng Tiến Dịng, 7A ;

Lê Anh Cơng, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Cao Thị Thanh Hoa, 8C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu ; Dương Hồng Hưng, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Nguyễn Quốc Đạt, 91, THCS Kim Đồng, Q Hải Châu, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng ; Phạm Quang Thịnh, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên ; Đào Lê Vy, 8A1, THCS Tăng Bạt Hổ, Hoài Ân, Bỡnh nh

Nguyễn Văn Mạnh

Bi 5(41).Cho tam giác ABCcó Đường trịn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC, BClần lượt điểm D, E, F Đường thẳng DEcắt đường thẳng BO, CO điểm N, M Tính diện tích tam giác MNF

theo diƯn tÝch tam gi¸c ABC

Lời giải (của bạn Phan Long Tri Yên, 7H, THCS Hùng Vương, Tuy Hòa, Phú Yên) Trong lời giải này, kí hiệu S(.), r(.) diện tích, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

Trường hợp : AB  AC Ta có ABC

đều, dễ thấy S(FMN)  S(ABC), bạn đọc tự kiểm tra

Trường hợp :ABAC

Vì ; ADAEnên ADEđều 

DMOBlµ tứ giác nội tiếp

(1)

Mặt khác , suy

BDOFlà tứ giác nội tiếp BDMOFnéi tiÕp (2) Tõ (1) vµ (2) suy NMF B 

  

  

2

B FMO FBO

  ( 90 )o BDO BFO    

  

2

B NMO DBO

       

o o

60 (v× 120 )

2

B C

ADE B C

OBC OCB MOB

    

  

 60o A

1

 60o A

;

2

c a b c

R r   

(2 2)( )

15

Tương tự, ta có Vậy FMN ABC(g.g), suy

(3) Dễ thấy hai tam giác có Olà tâm đường trịn nội tiếp Gọi Hlà hình chiếu

Otrªn FM, suy r(FMN) OH

(v× )

 (4)

Tõ (3) vµ (4) suy

Nhận xét.1) Bài tốn khơng khó, có 30 bạn tham gia giải giải

2) Xin nªu tªn số bạn có lời giải tốt :

Nguyễn Hữu Thanh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Thị Ngọc Mai, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh; Hoàng Lan Phương, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Hoàng Văn Sáng, 9A1, Phân hiệu học sinh giỏi Kiến Xương, Thái Bình ; Vũ Thanh Tú, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương

Ngun Minh Hµ

1

( ) ( )

4

S FMN  S ABC

( )

( )

r FMN r ABC

  

 

 

 1 1 30o

2

HFO MFN  BAC 

( )

( )

r FMN OH r ABC OF

  

2

( ) ( )

( ) ( )

S FMN r FMN S ABC  r ABC 

 

MNF C

Thi giaỷi toaựn qua thử Các bạn thưởng kì này Phan Long Tri Yên, 7H, THCS Hùng Vương, Tuy Hòa, Phú Yên ; Nguyễn Hữu Thanh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đào Lê Vy, 8A1, THCS Tăng Bạt Hổ, Hoài Ân, Bình Định ;

Hồng Tiến Dũng, 7A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng,Hải Phòng; Hồ Hữu Quân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu,

Nghệ An; Đỗ Việt Hùng, số 11 ngõ 1/1, đường Trường Chinh, TX Phủ Lý, Hà Nam ; Lê Phương, 8A6, THCS Ngô Sĩ Liên, TP Bắc Giang, Bắc Giang ; Vũ Thị Thu Hà, 8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Ngọc Mai, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Hoàng Lan Phương, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội;

TrÇn Thu Thủy, 8A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam §Þnh

Vì giá vật tư cước vận chuyển tăng, đồng ý quan quản lí, kể từ tháng 10-2006, giá bán lẻ Tạp chí Tốn Tuổi thơ ngày 15 hàng tháng 3000 đồng(ba nghìn đồng) / số

Rất mong bạn đọc xa gần thông cảm tiếp tục ủng hộ Tạp chí

16

Đêm qua, Sở Công an thành phố phá đường dây buôn lậu đồ trang sức Qua xét hỏi, công an biết bọn buôn lậu cất giấu tang vật thị trấn nhỏ ngoại ô Biết tên tội phạm khôn ngoan gian giảo nên quan công an nhờ thám tử Sê-Lốc-Cốc với hai chiến sĩ trinh sát Triệu Ngôn Vũ Hân đến thị trấn để tiếp tục điều tra

Tranh thủ từng phút, với tâm khơng để bọn chúng tẩu thốt, nên sáng hôm sau, thám tử Sê-Lốc-Cốc hai chiến sĩ tới bến xe thị trấn Ngay lập tức, Triệu Ngôn phát hai tên đường dây bn lậu bình thản dạo vườn hoa phía bên phải bến xe Vũ Hân nhận xét :

- Có lẽ chúng muốn thủ tiêu tang vật trước rời khỏi Cấp báo đêm qua chúng nghỉ khách sạn nhỏ vừa rời khách sạn lúc 30 sáng - Như chúng rời khách sạn trời cịn tối, cách có nửa tiếng - thám tử nói

Triệu Ngơn bước nhanh đến trước mặt hai tờn buụn lu :

- Đừng diễn kịch nữa, anh hÃy mau giao nộp hàng lậu !

Nhưng, thật bất ngờ, hai tên lại hÊt hµm hái :

- Anh đùa ? Ai buôn lậu ? Đừng đổ

oan cho ngi tt !

Tên nói thêm vào :

- Các ông phải bắt tận tay nói Khơng có chứng cớ dám vu vạ cho người khác ?

Chứng ? Bằng kinh nghiệm nghề nghiệp, Triệu Ngôn biết chắn tang vật buôn lậu nằm chậu hoa hồng đặt vườn hoa kia, hàng trăm chậu, biết chậu có giấu đồ trang sức ? Không thể đập vỡ tất chậu hoa Triệu Ngôn hỏi ý Vũ Hân Vũ Hân lúng túng, chưa biết phải làm

- Chúng ta phải hỏi thám tử Sê-Lốc-Cốc ! - hai anh bàn Nhưng họ quay lại tìm thám tử thấy ơng thong thả dạo bước bên chậu hoa hồng vườn hoa Trời ! Sao lúc mà thám tử lại ung dung ngắm hoa ? Triệu Ngôn Vũ Hân cảm thấy vô sốt ruột lo lắng

Đúng lúc đó, hai anh thấy thám tử cúi người xuống, bưng chậu hoa lên Rồi ơng nhanh phía hai tên bn lậu

- Các người địi chứng ? Đây, chậu hoa chứng - Vừa nói, thám tử vừa ném chậu hoa xuống đất

Chậu vỡ, đồ trang sức bên rơi tung tóe Sắc mặt hai tên bn lậu biến sắc - Các người chuẩn bị sẵn chậu hoa

17

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)(TTT2 sè 41)

Căn vào lông chim bãi phân chim nhà vệ sinh, thám tử Sê-Lốc-Cốc đoán thủ phạm lấy cắp viên đá quý Tên Péc lợi dụng khả đưa thư chim bồ câu để phục vụ ý đồ ăn cắp viên đá Hắn giấu chim hộp đựng thức ăn để mang vào phòng trưng bày Sau lấy viên đá, buộc viên đá vào chân chim thả Chim bồ câu khôn ngoan bay nhà

Phần thưởng kì trao cho năm

bạn sau : Lê Ngọc Bích, bố Lê Duy Lợi, đội 4, Hùng Sơn, Đại Từ, Thái Nguyên ; Mai Thị Hà, 7A2, THCS II Thị trấn Thanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ;

Nguyễn Ngọc Minh, bố Nguyễn Ngọc Tới, khu II, Thị trấn Bích Động, Việt Yên, Bắc Giang ; Phạm Thị Vân Nga, 8C, THCS Chu Văn An, Chí Linh, Hải Dương ; Nguyễn Đức Thắng, bố Nguyễn Minh Tấn, xóm 1, Thiệu Đơ, Thiệu Hóa, Thanh Hóa

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

ny, giu tang vt vo õy từ đêm qua Sáng sớm nay, trời tối, người đem chậu trà trộn vào vườn hoa Đúng không ?

- Thưa !

Sau bắt xong hai tên buôn lậu tinh ranh, Triệu Ngôn Vũ Hân hỏi thám tử Sê-Lốc-Cốc :

- Trong hàng trăm chậu hoa vườn hoa, ơng tìm chậu có giấu tang

vËt ?

Thám tử cười :

18

Các kí hiệu dùng : S(.) : diện tích đa giác ;

m(.) : miền đa giác ; mt(.) : miền đa giác Trước hết ta xét hai tốn quỹ tích có điểm

Bài tốn 1.Cho ABCcó Omt(ABC) ; K, Hlần lượt giao điểm COvà AB, BOvà AC Tìm quỹ tích điểm Osao cho S(ABH) S(ACK)

Lời giải

Gọi D trung điểm BC ; L giao điểm AO BC Qua O kỴ MN // BC

(MAB, NAC) Ta thÊy :

S(ABH) S(ACK) S(BOK) S(COH)

LBDOm(ABD) VËy quü tích điểm Othỏa mÃn điều kiện S(ABH) S(ACK) m(ABD) trừ hai đoạn AB, BDvới Dlà trung điểm cña BC

Ghi Trong lời giải sử dụng kết quen thuộc sau : “Nếu ABC

A’B’C’ có ta có ”

Bài tốn Cho ABC Tìm quỹ tích điểm Onằm tam giác cho tồn hai điểm E, F nằm hai cạnh AB, ACsao cho Olà trung điểm EF

Lêi gi¶i

Gọi A1, B1, C1lần lượt trung điểm cạnh BC, CA, AB Ta chứng minh quỹ tích điểm Othỏa mãn điều kiện đề m(AB1A1C1)

Thuận.Giả sử tồn hai điểm E, F nằm hai cạnh AB, ACsao cho Olà trung điểm EF Qua O, kẻ đường thẳng song song với AC, cắt ABtại I

Suy OIlµ đường trung bình EFA

Đảo Qua điểm O bất khì thuộc m(AB1A1C1), kẻ OI// AC(I AB) ; lấy ®iÓm

Eđối xứng với A qua I (E AB) ; ni EO

kéo dài, cắt ACtại F(F AC) Ta dễ dàng chứng minh Olà trung điểm EF

Đến đây, bạn đốn tốn in Tạp chí mở rộng nhờ hai tốn quỹ tích chưa ?

(Kì sau đăng tiếp)



  

 

1 1 1

1 ;

2

1

2

m( )

IA EA AB AC

IO AF AC AB

O AB A C

( ) .

( )

S BAC AB AC

S B AC’ ’ ’  A B AC’ ’ ’ ’  

BAC B AC ’ ’ ’

1

BL CL

  

( ) 1 1

( )

1

S BOK BO OK BO CO

S COH CO OH OH OK

BH CK BC BC OM

OH OK ON OM ON



     



   

Lê hữu điền khuê (Lớp 12 Toán, THPT Quèc häc HuÕ, Thõa Thiªn - HuÕ)

TỪ HAI BÀI TỐN QUỸ TÍCH

19

(TTT2 sè 41) TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI BA

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI LĂM

l Người thách đấu Nguyễn Thụy

H­ng, 9H, THCS Lª Quý Đôn, Cầu Giấy, Hà Nội

l Bi toỏn thỏch đấu Cho tam giác

đều ABC Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB Chứng minh

r»ng c¸c tam gi¸c ANP, BPM, CMNb»ng nhau, biÕt r»ng chóng cã chu vi b»ng

lXuÊt xø S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu

Trước ngày 15 - 10 - 2006

l Lần Tòa soạn nhận ba lời

giải ba bạn lại lời giải khác nhau, ngắn gọn Sau lời giải đầy đủ, dựa theo bạn Đỗ Trung Kiên, 9B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây

Trước tiên, ta đưa vào kí hiệu sau :

Axlµ tia thuéc t2vµ n»m

Cylµ tia thc t1vµ n»m

Cycắt DAtại Ecịn Axcắt BCtại F; độ lớn góc A, B, C, D hình thang

ABCDlần lượt 2, 2, 2, 2 Thế ta có :

(1) (2) V× hai tiÕp tuyÕn chung ngoµi ADvµ BC

của hai đường tròn (O1) (O2) đối xứng với qua đường nối tâm O1O2nên điểm

A’ đối xứng với Aqua O1O2phải thuộc BC, đồng thời ta có :

(3) Xét hai trường hợp xảy :

Trường hợp ABCD: Như ABCD

lµ hình thang thực (không hình bình hành) Không tính tổng quát, giả sử AB> CD(hình bên)

Gọi S giao điểm ADvà BC ; đặt

ThÕ th× dƠ thÊy r»ng :

             90o (4)

Từ (4) định lí góc ngồi tam giác

suy (5)

Tõ (3) vµ (5) suy O1A’CO2 lµ mét tø

gi¸c néi tiÕp (6)

Từ (3) (6) suy (7) Từ (1), (2) (7) suy (8) Cuối cùng, từ (8) định lí góc ngồi

tam gi¸c suy 

t1// t2(®pcm)

Trường hợp ABCD: Như ABCD

là hình bình hành Gọi Olà giao điểm hai đường chéo AC, BD(bạn đọc tự vẽ hình) Ta thấy O1O2 song song, cách

(Xem tiÕp trang 3)

   //

CED FAD CE AF

  .

DCE BAF

 1 2 1 2.

O CO O AO

 1 2 1 2.

O CO O AO

  ’

2      .

CO S

   2

ASB DSC

   1 ' 2  1 2; ' 1 1 .

O A O O AO CA O DAO

 

DCE2O CO1

    2( 2  1 )

DCE DCB ECB O CB O CB

 

BAF 2O AO1 ;

    2( 1  2 )

BAF BAD FAD O AD O AD

;

DCB

;

20

Trong nội dung hàm số đồ thị có dạng tốn hay đề cập đến kì thi cuối cấp, xác định khoảng cách hai điểm ; hai đường thẳng song song mặt phẳng tọa độ

lTrên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm

A(xA ; yA), B(xB ; yB) Khoảng cách A

và Bđược tÝnh bëi c«ng thøc :

(*)

Chøng minh

Gọi Clà giao điểm AyAvà BxB Ta có

ABC vuông C AC |xB xA| ;

BC|yByA| Suy AB2AC2BC2

lKhoảng cách hai đường thẳng d1// d2

chớnh l khong cách hai điểm Avà B, A thuộc d1, B thuộc d2 AB

vu«ng gãc víi d1vµ d2

VÝ dơ 1.Cho A(3 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 4) Chøng minh r»ng tam gi¸c ABCvuông cân

và tính diện tích

Lời giải.áp dụng (*) ta có

AB2(1 3)2(3 1)220

CA2(3 2)2(1 4)210

CB2(1 2)2(3 4)210

Suy CACBvà AB2CA2CB2hay tam giác ABCvuông cân C

Ví dụ (đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định, 1997-1998) Cho đường thẳng (d) có phương trình ymxm1 parabol (P) có phương trình yx2 Tìm giá trị mđể (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Avà Bsao

cho

Lời giải.Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình :

mxm 1 x2x2mxm1 0, có hai nghiệm x11 ; x2m1

Giả sử xAx1và xBx2thì ta có

A(1 ; 1) v B(m1 ; (m1)2) Từ đó, với giả thiết áp dụng (*) ta có AB2(m2)2[(m1)21]2 m44m35m24m4 3

Suy m44m35m24m1 0,

m0 khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho m2ta phương trình tương đương :

 3,

AB



AB

    10 10 5. 

2

ABC

S CA CB

AB (xBxA)2(yByA)

 ( B A)2( B  A)

AB x x y y

21 Ví dụ 3.Cho đường thẳng (d) có phương trình y mx 2 parabol (P) có phương trình Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm A, Bphân biệt Với giá trị m đoạn thẳng ABcó độ dài ngắn ? Tìm giá trị

Lời giải.Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình :

có ’ 4m28 > với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Nói cách khác, (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Theo định lí Vi-ét ta có xB  xA  4m ;

xBxA8 Từ phương trình đường thẳng (d) ta có yB  yA  (mxB  2)  (mxA  2) 

m(xBxA) nªn theo (*), AB2(xBxA)2

(yByA)2(xBxA)2(1 m2) [(xBxA)2

4xBxA](1 m2) [(4m)24(8)](1 m2)

(16m232)(1 m2) Suy

Vậy AB có độ dài ngắn m0

VÝ dơ Cho hai ®­êng thẳng d1 d2

ln lt cú phng trỡnh :

yx2 y(2m2m)xm2m a) Xác định giá trị mđể d1// d2 b) Biết A thuộc d1có hồnh độ Viết phương trình đường thẳng d3đi qua A

vuông góc với d1và d2

c) Tính khoảng cách d1và d2

Lời giải

a) d1// d2

b) Ta cã A(2 ; 4) ; d3vuông góc với d1và qua A suy d3cã d¹ng y xb

4  2 bb6 d3: y x6 c) Gọi B giao điểm d3 d2

(l nghim ca h hai phng

trình ) Khoảng cách

gia d1v d2chớnh l di on AB:

Các bạn làm thêm sè bµi tËp sau :

Bài Cho parabol (P) : hai điểm I(0 ; 2), M(m ; 0) Viết phương trình đường thẳng (d) qua Ivà M Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt

A, Bvµ AB>

Bµi Cho (P) : ; (d) :

a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài đoạn thẳng AB b) Tìm điểm Mtrên cung ABcủa (P) cho tam giác MABcó diện tích lớn

c) Tìm trục hồnh Ox điểm N cho NANBcó độ dài nhỏ

Bài 3.Cho (P) : y x2và đường thẳng (d) cã hƯ sè gãc k, ®i qua I(0 ; 1) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, Bvà tam giác AOBvuông

Bài 4.Cho hai đường thẳng y x2

y 2mxm24 Tỡm giá trị mđể hai đường thẳng song song với Tính khoảng cách hai đường thẳng

  2 x y  x y  2 x y                 2

25 2 23 4 2.

8 8

AB

 1 ;   6

y x y x

25 23

( ; )

8

B

 1  1

(víi th× d : )

2

m y x

           2

2 1

2

m m m

m m



32 2,

 (16 232)(1 2) 32

AB m m

  2  24  8 0,

x

mx x mx

 

x y

      3

2

t m m

m

   t2 víi t t m  ; t 2

m              2

1 4 5 0

m m

22 Bài Giải phương trình

1)áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta cú

2 (x3)22 x26x11 Đẳng thức

xảy

Phương trình có nghiệm x3

2)Hồn tồn tương tự 1.1 Phương

tr×nh cã

nghiÖm nhÊt x5

3)Từ bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho bốn số a, b, c, d ta dễ dàng suy

đẳng thức xảy Do

đẳng thức xảy

Phương trình có nghiệm

4)Ta cã

đẳng thức xảy x  Vậy phương trình có nghiệm x2

5)Ta cã

¸p dơng bÊt

đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski :

 (x 1)2 x22x + 3, đẳng thức

x¶y

Phương trình có nghiệm x1

Bài Giải hệ phương trình

1)áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có (x  3y  4z)2  26(x2  y2  z2), đẳng thức xảy

Kết hợp với phương trình thứ hai hệ x3y3z392, ta tìm nghiệm hệ : (x; y; z) (1 ; ; 4)

2)Biến đổi vế trái phương trình hệ :

đẳng thức xảy

xy0

Do phương trình hệ trở thành : 2005x20062006x20051 0 x1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1)

3)áp dụng bất đẳng thức

a2b2c2abbcca,

  

    00

x y x y

2 2

2

1 3( ) ( )

2

1 3( ) 3( ),

2 2

x xy y x y x y

x y x y x y

      

     

x y z

                   

4 4 4 1. x

x x x

x x

x

    

     

      

4 4 4

4 4 2

2

2( ) 2( )

2 ( 1) 2 3,

x x x x

x x x x

x x x

 x 42x4 x22x3,

   

42 x4 x2 3x 3

       

     

2

2

25 2( 2) 16 3( 2)

( 2) 13,

x x

x x x

    

17 8x 2x 12x 3x

1

x 

1 1.

1xx x

   



     

        

2 2 2

(1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (2 3) 29,

x x

x x

     

2 2 5 2 10

x x x x

a b c d

 2   2  2

(a c) (b d) a b c d ,

    2 

6 x x x 10x 27

    

  

  

2 3.

3

x x x

x

 2 4  2(   2 )

x x x x

23

ta cã x4 y4 z4 (xy)2 (yz)2 (zx)2 xyyzyzzxzxxyxyz(xyz) xyz

(vì xyz1), đẳng thức xảy Vậy hệ phương trình có nghiệm

4)áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có

đẳng thức xảy

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1)

Bài 3.áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có hay xyz8 ; hay xyz8 Suy xyz8, xảy xyyzzxvà xyz Vậy số thực dương cần tìm (x; y; z) (2 ; ; 2)

Bài 4.Hoàn toàn tương tự Các số thực dương thỏa mãn hệ phương trình (3 ; ; ; 3)

    

        

12 27

x y z t

xyzt xy xz xt yz yt zt

    2 4 24

xyz x y z xyz

   

12 xy yz xz (xyz)

      

   

2 1.

2

x y

x y x y

 

     

1 2x 2y 2 2x y 2x y 2 1,

1 1; ; . 3

 

 

 

1

x y z  

Kết thi

THẾ GIỚI QUANH TA

Câu hỏi kì :

hồ s©u nhÊt ?

Đó hồ Bai-can Hồ sâu giới nằm trung tâm Si-bia-ri (có tọa độ địa lí 52o45’B 107o15’Đ) Nó vốn chỗ lõm sâu 7000 m bị lớp trầm tích lấp 25 triệu năm, trầm tích nước Đến nay, chỗ sâu hồ đo 1637 m, gấp lần độ sâu biển Bắc gấp lần chiều cao tòa cao ốc Canary Whart - cao châu Âu

Hồ Bai-can dài 636 km, rộng 80 km, chứa nhiều nước hồ nước khác với trữ lượng 23000 km3, 336 nhánh sông cung cấp, dự trữ 20% nước Trái Đất, nhiều tổng số nước Ngũ Hồcộng lại

Các cá nhân tập thể xuất sắc trao tặng phẩm kì nàylà Lê Thùy Dung, số 34, ngõ 01, đường Tản Đà, Đông Sơn, TP Thanh Hóa; Nguyễn Mạnh Khôi, 11 Toán, THPT chuyên Bắc Giang, Bắc Giang; Lê Thanh Thủy, 74 Trần Phú, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa; Nguyễn Thùy Linh, mẹ Đặng Thị Mai Lanh, phòng khám Nội Khoa, BV Tâm Thần TWII, Biên Hòa, Đồng Nai; Lê Nam Anh Tuấn, 103 Bùi Thị Xuân, TP Phan Thiết,

Bình Thuận; Thiều Thị Thanh Vân, thôn Trung, An Vỹ, Khoái Châu, Hưng Yên ;

Lờ Vn Phng, s 20 đường Bùi Thị Xuân, TP Quảng Ngãi; Nguyễn Thị Mơ, 9A2, THCS Thị Trấn Tiên Lãng, Tiên Lãng, Hải Phòng ; Lê Nguyễn Hạnh Vy, 9A5, THCS Thị Trấn Bình Định, An Nhơn,

Bình Định ; Tập thể trường THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế

(TiÕp theo b×a 4)

Ngồi cách gửi Công ty Bản đồ - Tranh ảnh Giáo khoa, bạn gọi đến số 19001548 làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T TG2 X Y, Xlà đáp án bạn cho cột dọc (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

Chúc mừng bạn Lin Mỹ Lệ, 6A10, THCS Tân Thới Hịa, đường Lê Văn Quới, phường Bình Trị Đơng A, Q Bình Tân, TP Hồ Chí Minh (số điện thoại

084260194) trúng thưởng thi TTT2 số 41

24

Để chứng minh hệ 1, ta cần có bổ đề

Bổ đề 3.Tam giác ABCcó (I) đường tròn nội tiếp, (Ia) đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A (I), (Ia) theo thứ tự tiếp xúc với BC M, N L điểm đối xứng Mqua I Khi A, L, Nthẳng hàng

Chứng minh

Dễ thấy A, I, Iathẳng hàng (1) Mặt khác ta có :

(2) Gọi H, Klà tiếp điểm (I), (Ia) với AB

Ta cã : (3)

(v× IH// IaK)

Từ (1), (2), (3), theo định lí Ta-lét, dễ dàng suy A, L, Nthẳng hàng

Trë l¹i viƯc chøng minh hệ

Gọi (I) đường tròn néi tiÕp tam gi¸c

ABC ; gäi E, Ftheo thứ tự tiếp điểm (I1) với BD, BA; Mlà tiếp điểm (I) với

BC; Ll im đối xứng Mqua I Qua L, kẻ tiếp xúc với (I) Đặt K  EF; H  EI1 Theo bổ đề 3, LAD Suy :

LFLK (1) Theo định lí Lyness mở rộng, I  EF Suy (vì // BC)

1 (v× ILIM)

KL IL EM IM

    

(đối đỉnh) ( cân D) ( // )

LFK AFK DFE DEF DEF

FKL BC

 

 

 

a a a

IL IH IA I N I K I A 

// a

a

IL BC IL I N I N BC



 

 

ts.Nguyễn Minh Hà (ĐHSP Hà Nội)

25

KLEM (2) Mặt khác, dễ thấy EMLH hình chữ nhật Suy EMLH (3)

Tõ (1), (2), (3) suy LFLH

 LFI1 LHI1FI1HI1DtiÕp xóc víi (I1) t¹i H

Gọi r, r1, r2là bán kính (I), (I1), (I2) Ta có 2r1EHML2rr1r Tương tự r2r Vậy r1r2

Hệ 1đã chứng minh Dễ thấy kết luận “bán kính pcủa () r”

bài 4(40)đã chứng minh phép chứng minh hệ

So với hệ 1, hệ sau thú vị nhiều

Hệ 2.Tam giác ABCnội tiếp đường tròn (O), Dlà điểm cạnh BC

của tam giác Các đường tròn (O1), (O2) cïng tiÕp xóc víi (O) ; cïng tiÕp xúc với đoạn DA theo thứ tự tiếp xúc với đoạn DB, DC Ta có O1O2 qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Tác giả hệ 2là nhà toán học Mĩ, tiếc không nhớ tên Để chứng minh hệ 2, ta cần có bổ đề

Bổ đề 4.MN, PQtheo thứ tự tiếp tuyến chung ngồi, tiếp tuyến chung đường trịn (O1), (O2) (M, P(O1) ;

N, Q(O2)) Ta có MP, NQ, O1O2ng quy

Chứng minh

Đặt K MP  NO2; L  NQ MO1;

RMNPQ DÔ thấy RO1RO2 (1) (phân giác hai góc kề bù)

Tõ (1), víi chó ý r»ng NQ  RO2,

MPRO1, ta cã RO1// NQ; RO2// MP

(2) Mặt khác ta có :

LM// KN (3) Từ (2), (3), theo định lí chùm đường thẳng đồng quy, ta có MP, NQ, O1O2

đồng quy

Trở lại việc chứng minh hệ

Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; gọi E1, F1là tiếp điểm (O1) với đoạn DB, DA ; gọi E2, F2là tiếp điểm (O2) với đoạn DC, DA

Theo nh lí Lyness mở rộng, ta có

IE1F1vµ IE2F2 Suy :

IE1F1E2F2 (1) Theo bổ đề ta có E1F1, E2F2, O1O2

đồng quy (2) Từ (1), (2) suy I  O1O2 Nói cách khác, O1O2đi qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC

LM MN KN MN

   

1 2 O M RM O K

O L RN O N

Solution E17

The pupils on the right of Chold 23 flags altogether and Cis the first on the left, so

Cholds a number of 30 23 7 (flags)

Notice that the number of flags held by pupils on the left of Dis less than that of flags held by pupils on the left of B, which implies that Bis on the right of D, together with E

We have so far the following order C D B E

Pupils on the left of D(excluding C) hold 12 7 5 (flags) Thus, there is at least one person between Cand D That can be no one but A

In conclusion : Aholds flags

Nhận xét 1) Với giả thiết cho tính số cờ bạn cầm 2) Chỉ có bạn không làm đáp số, đa số bạn trình bày tiếng Anh mức trung bình Một số lỗi bạn hay mắc :

lDon the left of B(thiếu động từ is) lThe pupils on the left D(thiếu giới từ of)

lThe number … is smaller(bigger) than the number … (dïng tõ ch­a chuÈn,

trong trường hợp cần dùng less(greater))

3) Các bạn sau có làm tương đối tốt : Nguyễn Thị Hồng Na, 8A ; Bạch Nguyễn Trà My, 6C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Nguyễn Thị Thái Hà, mẹ Hoàn Thị Thường, giáo viên tổ Mác - Lê, trường CĐSP Nghệ An, Nghệ An; Đồn Khánh Huyền, bố Đồn Văn Tốn, 12B khu phố Tư Môi, thị trấn An Bài, Quỳnh Phụ, Thái Bỡnh

TS Ngô ánh Tuyết(NXBGD)

26

lflag :l¸ cê (danh tõ)

laltogether :tổng số (trạng từ) lexclude :trừ ra, không kể (động từ) lhypotenuse :cạnh huyền (danh từ) lcentroid :trọng tâm (danh từ) lintersect :cắt (động từ)

Problem E19 (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi Education Publishing House)

27

lKÕt qu¶ : (TTT2 sè 41)

l Kì : CÂY TRÁI CŨNG NHẦM

CHỖ !

Trong thơ sau có nhiều từ ghép có tên ăn Tuy nhiên, chúng đứng nhầm chỗ hết Bạn xếp lại cho thật để thấy hay tiếng Việt thân yêu !

Vượt qua thử thách caugo Ăn uống mít độ, vừa no, khỏe người

Nét mặt camcó khó cười

Đầu óc điềuđặc, biếng lười đáng chê La lêngồi ph quờn v

Hơi đâu nghe chuyện càthê dông dài Chân sáo nhảy quýtsuốt ngày Sửa chữa qua nhótsơ sài cốt xong

Rối rắm mớ bíbong

Hành động bỉ táokhó lịng dung tha

Bịngmật chẳng để lộ

Chuột bọ lẩn cócquanh nhà kiếm ăn Bọn cướp ổitợn, hăng Đời sống nhotúc, khó khăn qua

Sungnhoe tính chuyện học địi Tiếng mừ lúc quttng hi vang xa

Hồngvóc nhà máy dệt Mặt bé vảibĩnh, sắc da nahào

Chị em mơná giống

Bầu màng nhớ lại ngày thơ

Trng Hi (33A, quc l 60, khu phố I, phường 6, TP Mỹ Tho, Tiền Giang)

Nếu em nắm đặc điểm địa lí lịch sử địa danh Chuyến du lịch thú vịlà em xếp (Dĩ nhiên cần đến hiểu biết em luật ăn vần thơ 6-8) Bạn NTH (Hà Tây) viết : “Đồi A1 rừng núi mây / Núi cao nước bạn à”đã sai đặc điểm địa lí, lịch sử lẫn luật ăn vần (Thơ 6-8 bạn sửa sai 7-8 ; Đồi núi khác ; Và “núi cao nước” phải gắn với địa danh Lào Cai - núi Phan-xi-păng Bài thơ sửa :

Cao B»ngcã si Lª-nin Cã nói Các Mác tên in sử vàng

Lng Sncú i Chi Lăng Quân xâm lược bao lần bỏ thây

Lào Cairừng núi mây Núi cao nước bạn

Cà Maumảnh đất thật xa

Ba bề biển bạc mặn mà yêu thương

Phú Thọsâu nặng quê hương Một miền đất tổ thiêng liêng bao đời

Điện Biên- Tây Bắc xa vời Đồi A1 thời lừng vang

Quảng Ninhmiền đất than

Vùng mỏ bất khuất muôn ngàn chiến cơng Năm bạn thưởng kì : Nguyễn Hồng Hạnh, phịng 305, nhà NƠ14B, khu Định Cơng, Hà Nội; Nguyễn Thị Tường Vi, 74, THCS Trần Hưng Đạo, TX ụng H,

Quảng Trị ; Hà Thị Thanh Bình, 10, Bảo Quốc, TP Huế, Thừa Thiên - Huế; Nguyễn Thị Khánh An, 77 đường số 3, khóm Thánh Gia, Vĩnh Nguyên, Nha Trang, Khánh Hòa;

Trn Vn Khang, đội 12, Vĩnh Kiều, Đồng Nguyên, Từ Sơn, Bắc Ninh

Phó B×nh

Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn tìm từ thích hợp để thay từ “cau”

trong câu “Vượt qua thử thách cau go”, cách gọi đến số 19001548 làm theo hướng dẫn nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T V2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án ỳng

28 Trần Đăng Khoa :

Muội người xứ quan họ tiếng, mà đa nghi quá, hậu duệ cụ Tào Tháo

Thực tình huynh trả lời tất câu hỏi bạn đọc, không bỏ sót Chỉ tiếc câu hỏi trùng lặp với câu hỏi huynh trả lời huynh đành phải để lại Vì lặp điều nói bạn đọc thấy kinh hồng, khơng dám nhìn vào mặt huynh: “Ơi dào, tưởng lão người, hóa lão bò già, nhai nhai lại điều cũ rích”

Nếu có băn khoăn, điều đáng tiếc, tháng có số Tốn Tuổi thơ Câu hỏi lại nhiều, dạt nước biển Đông, nên lại phải chờ đợi Nhiều đợi chờ lâu, nên huynh hầu chuyện người hỏi chuyện quên câu chuyện Buồn ! Có lẽ mà bạn bè muội nghi ngờ huynh ?

Cuộc hát đúm với độc giả, huynh gom lại vi tính, thành sách dày đến ngàn trang Huynh định công bố sách Cuốn sách có tên : “Hầu chuyện Thượng Đế”

Hầu Thượng Đế chuyện Bởi Thượng Đế qi chiêu Muội có cơng nhận với huynh điều khơng : Mọi

cuộc trị chuyện, muốn hay, phải nhờ người “mồi chuyện” Câu hỏi hay có câu trả lời hay Câu hỏi nhạt thếch, hỏi khơng có nội dung người hầu chuyện không lèo lái cho câu chuyện mặn mà May Thượng Đế huynh thông minh, nên huynh cắp tráp chạy theo vã mồ hôi

Muội nghi ngờ huynh, nên đến với huynh, muội đem theo nỗi nghi ngờ mà lại bỏ quên câu hỏi, nhân tố quan trọng làm nên câu chuyện Vậy huynh cịn biết xoay sở ? Thơi đành đóng tráp chờ muội

Anh Khoa ! Mấy lần, muội định viết thư “tâm sự” huynh, bạn bè muội bảo huynh chẳng trả lời câu hỏi “bình thường” muội mà trả lời câu hỏi chung chung Nhưng hôm muội định viết thư gửi huynh Nếu bạn bè nói muội thất vọng huynh khơng, ý muội muốn nói rằng, muội lấy làm tủi thân (Mà khơng biết có phải khơng ?) Nếu huynh có ý định trả lời muội trả lời nhanh nhanh lên

29

ĐƠN VỊ ĐO

l Kì :

Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn đốn từ hàng ngang thứ ba từ xuống, cách gọi đến số 19001548và làm theo hướng dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T VA2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

Chúc mừngbạn Vương Phương, nhà 15L, đường Quang Trung, TX An Khê, Gia Lai (số điện thoại 0913450818) trúng thưởng thi TTT2 số 41

- What is black and white and has sixteen wheels ?

- A zerba on roller stakes

Hång B¾c(st)

Trên hàng ngang ô chữ tên đơn vị đo Bạn tìm khơng ?

Nguyễn Quang Diệu (Khu tập thể trường THPT Vũ Tiên, Vũ Thư, Thái Bình)

Với bạn đọc Tốn Tuổi thơ, hẳn khái niệm TRIANGLE - Tam giác quen thuộc Ô chữ lần nhiều bạn quan tâm gửi tham dự gần tất có đáp án Chủ Vườn xin tặng quà cho năm bạn may mắn : Phan Quốc Việt, 8A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định; Nguyễn Văn Quyết, 9A, THCS Lý Tự Trọng, Hương Canh, Vĩnh Phúc; Lê Minh Trí,17/7, quốc lộ 1, phường 2, Tuy Hòa, Phú Yên; Nguyễn Thị Lan Hương, 8A, THCS Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam;

Ngun Kim Ngäc Kh¸nh, 7/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh

Giải nghĩa từ hàng ngang : ALTITUDE - Đường cao ; BISECTOR - Đường phân giác ; SIDE - Cạnh ; MEDIAN - Đường trung tuyến ; ORTHOCENTER - Trùc t©m ; ANGLE - Gãc ; SIMILAR - §ång d¹ng ; VERTEX - §Ønh

30

(TTT2 sè 41)

Chim chích nghiện ngập đáng chê Chim cắt dao kéo tay nghề tinh thông

Chim ­ng rÊt dƠ b»ng lßng Chim kÐt cÊt giữ tiền không lo

Chim cút bị đuổi Chim câu bắt cá thả mồi

Chim khách thăm viếng nơi Chim cò mách mối lừa người kiếm ăn

Chim yến nặng hàng chục cân Chim ác gây chuyện bất nhân hại người

Chim cú cay đắng ngậm ngùi

Chim quyên kêu gọi giúp người khó khăn Chim khuyên nhắn nhủ ân cần Chim trả chẳng để nợ nần dây dưa

Chim sáo tấu nhạc say sưa

Chim lợn ăn cám sớm trưa chuồng Ôi ! Tên loại chim muông

ựa vui din ngha cng bun cười ghê Năm thảo dân, Trẫm phê

Được quà Trẫm, chưa ? Ban thưởng :Vũ Bảo Linh, số nhà 42, tổ 7, P Hùng Vương, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc;

Nguyễn Thùy Dương, 7C, THCS Hoàng Liệt, Hoàng Mai, Hà Nội; Mai Thị Hà, 7A2, THCS thị trấn Thanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ; Hoàng Hà Trang, 8H, THCS Vạn Thắng, Ba Vì, Hà Tây; Đinh Phương Dung, 10A, THPT Lý Nhân,Hà Nam

Vua Tếu l Kết :

Thánh chØ :

Ngoài cách gửi dự thi tạp chí, bạn giải đáp câu “Hoa thu hoạch vui mừng ?”, cách gọi đến số

19001548và làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T RC2 X Y, Xlà đáp án bạn, chữ viết liền nhau, khơng có dấu ; Y số người có đáp án

Chúc mừng bạn Phan Thị Linh Chi, nhà 20/10, đường Lê Lợi, TX Trà Vinh, Trà Vinh (số điện thoại 074851190)

trúng thưởngcuộc thi TTT2 số 41

l Kì : Hoa dẫn tàu ?

Hoa muội than bấc tàn ? Hoa thi chän mÜ nh©n ?

Hoa đeo để làm duyên cho ? Hoa đêm hội sáng đèn ? Hoa mái tóc bà em nhuốm màu ?

Hoa vẽ tranh đẹp ?

Hoa thu hoạch vui mừng ? Hoa choáng váng khó nhìn ? Hoa trang trí gạch men ?

Trn Th Thu Hng (10 Anh, THPT chuyên Lương Văn Tụy, TX Ninh Bình, Ninh Bình)

HOA GÌ ?

31 Hỏi : Năm ngoái, em

c gii nhỡ học sinh giỏi cấp huyện Em vui số bạn lại nói sau lưng em : “Từ ngày giải đến giờ, mặt vênh hẳn lên !” Em buồn ! Có em đâu Hu hu

The girl is heartfelt

Đáp :

Bit l em chẳng “vênh” Cứ vui lên để nhẹ

trong lòng Thua người, lo học cho xong Cớ ghen tị nói vịng

sau lưng ? Hỏi : Nhà em khơng có điện thoại di động để nhắn tin em gửi qua thư khơng ?

G-B-T (6B, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh) Đáp :

Xin em gửi tưng bừng Mở thêm Tin nhắn,

chng dng nhn th Mong em giải giỏi, giải cừ Vào danh sách thưởng,

vui mùa Hỏi : Khi ngồi vào học em tồn tập trung thơi Phải làm để chữa bệnh ?

T« Minh Đức (8D, THCS Nguyễn Công Trứ, Tiền Hải, Thái Bình)

Đáp :

Bệnh bác sĩ thua Nên anh chẳng biết phân bua kiểu Mọi chuyện khác

phải quên Chỉ chuyện học

chắc tập trung ! Hỏi :Dì em bảo : “Ai khen Tốn Tuổi thơ khơng khen !” Điều có khơng anh ?

Hnh Ng« Loan (81, THCS Ngun Du, Phan Thiết, Bình Thuận) Đáp :

Dỡ i ! Thưa với dì Hay thưởng, s trựng

tên đâu ! Dì xem thật kĩ, thật lâu Nhiều bạn nhận

cả xâu quà

Hỏi :Huynh ! ĐÃ có bao giê huynh thÊy bn phiỊn lßng ch­a ? Cßn muội Huynh giải tỏa nỗi buồn muội không ?

Nguyễn Thị Thanh Tâm (7B, THCS Thị trấn Anh Sơn, Nghệ An)

Đáp :

Buồn qua Khuyên em xin chí cã ngåi nghÜ quanh SỴ chia kinh nghiƯm

của anh Thấy buồn cười nói thả

phanh, hÕt buån ! Hái : Khi muèn trò chuyện với anh mà không muốn gửi thư em phải làm ?

Em gái Phú Yên

(kid1993-py2006@yahoo.com) Đáp :

Thế em việc phôn Số đường dây nóng anh

sn sàng Nhưng mà nhớ nói gọn gàng Đường xa, phí đắt

tiền dễ hao Hỏi : Mọi người nói sống có vơ vàn khó khăn em thấy đạt thành đáng kể mà lại chưa gặp “ thách thức” Như có tt khụng ?

Nguyễn Văn Thành (7B, THCS Võng Xuyên, Hà Tây)

Đáp :

Như tốt Mừng em gặp ngào

xưa Nhớ rèn luyện hàng ngày Kẻo vướng lăn quay

32

Bài 2(43).Cho ba số dương a, b, cthỏa mãn a2b2c21 Chng minh rng :

nguyễn khánh nguyên(THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)

   

2 2

1 ab a bc b ca c

Bài 3(43).Cho x1; x2là hai nghiệm phương trình x2pxq x3; x4là hai nghiệm phương trình x2rxs0, p, r, q, slà số thực khác

Chøng minh r»ng, nÕu x1x4x2x3th×

Đường thị liên phượng(THCS Nam Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)

p q

r s

      

Bài 4(43) Cho tam giác ABC, (J) đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A (J) tiếp xúc với AB, AClần lượt E, F; JB, JCcắt EFlần lượt K, L; BLvà CKcắt H

Chøng minh r»ng Hlà trực tâm tam giác JBC

Trn minh hiền(THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước) Bài 1(43).Giải phương trình

Cao Xuân Nam(THPT chuyên Hà Giang, Hà Giang)

   

3

3

2 x

x

English version translated by Pham Van Thuan 1(43).Solve the equation

2(43).Let a, b, cbe positive real numbers such that a2b2c21 Prove that

3(43) Let x1; x2be roots of equation

x2pxq0 and x3; x4roots of equation

x2rxs0, where p, r, q, sare nonzero real numbers Prove that if x1x4  x2x3

then

4(43).ABCis a triangle, (J)is the excircle in the angle A (J)is tangent to AB,ACat

E,Frespectively ; JB, JCintersects EFat

K,L, respectively ; BLmeets CKat H Prove that His the orthocenter of triangle JBC

5(43).Triangle ABCis right-angled with hypotenuse BC A line d passes the centroid G of the triangle and intersects the sides AB, AC at M, N, respectively

Prove that 12  12  2

AM AN BC

2

p q

r s

      

  

     

2 2

1 ab a bc b ca c

   

3

3

2 x

x

Bài 5(43).Cho tam giác ABCvuông A Một đường thẳng dđi qua trọng tâm Gcủa tam giác cắt cạnh AB, AClần lượt M, N Chứng minh

Cao minh quang(THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

 

2 2

1 9