Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 42

Trong moãi chuû ñeà ñeàu coù nhaán maïnh caùc kieán thöùc vaø kó naêng quan troïng ñöôïc theå hieän qua caùc thí duï choïn loïc (haàu heát khaùc caùc baøi toaùn trong saùch giaùo k[r]

42

HÃY THAM GIA CÁC CUỘC THI

1

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 40)(TTT2 sè 40)

l Kì :

lDo hai mảnh giấy ban đầu có hình tam giác nên sau lần cắt thứ (đường cắt đường trung trực ba cạnh mảnh giấy), chúng chia thành hai mảnh giấy (hình tam giác vng có góc 60o) Vì việc chọn mảnh để cắt tiếp không tác động đến khác kết cuối mảnh để lại khơng cắt mảnh có diện tích lớn ba mảnh c to

lTuy nhiên, sau lần cắt thứ hai kết thu khác nhau, phụ thuộc cách gấp khác

Trng hp :Một hai đỉnh trùng gấp

là đỉnh góc vng (đường cắt đường trung trực hai cạnh bên mảnh giấy hình tam giác vng)

Khi bạn xác định diện tích phần lớn gấp lần diện tích phần nhỏ

Trường hợp :Hai đỉnh trùng gấp không đỉnh góc vng (đường cắt đường trung trực cạnh huyền mảnh giấy hình tam giác vng)

Khi bạn xác định diện tích phần lớn gấp lần diện tích phần nhỏ

Đến bạn có câu trả lời Đó với hai kết khác nhau, Tốn Thơ tính (nếu bạn chọn cách cắt thuộc hai trường hợp trên) l Nhiều bạn suy luận cịn thiếu chặt chẽ Các bạn thưởng kì Đoàn Thanh Hương, 8A, THCS Phú Thái, Kim Thành, Hải Dương ; Nguyễn Ngọc Hạnh Châu, mẹ Hồ Thị Hà, môn Mô Phôi, đại học Y - Huế, Thừa Thiên -Huế; Phan Nghĩa Hiếu, 9G, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh ; Dương Hoàng Hưng, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An

Anh Compa Cho đường tròn có dây cung

ABkhụng qua tâm Bạn xác định điểm M cung lớn AB

sao cho MA =3MBđược không ? Nguyễn đức

2

lBài toán sau đơn giản quen thuộc :

Bài toán 1.Cho tam giác ABCcân A Qua điểm Mbất kì cạnh BC, dựng đoạn MH, MK vng góc với AB,

AC (H thuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thẳng AC) Chứng minh

MHMKcó giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC

Lêi gi¶i

Trước hết ta dựng BD, CElần lượt vng góc với AC, AB(Dthuộc AC, Ethuộc AB), ta nhận thấy BDCEvà M trùng với

Bhoặc Cthì MH  MK BD CE Ta chứng minh điều với điểm Mnằm đoạn BC

ThËt vËy, ta cã SABMSACMSABC

AB(MHMK) ABCE

MHMKCEBD Suy ®pcm

lBây giờ, thử đặt câu

hỏi nghi vấn ! Đầu tiên ta thấy giả thiết cho biết điểm M thuộc cạnh BC, điểm M nằm đường thẳng BC ? Liệu kết có cịn khơng hay biến đổi ?

Tương tự lời giải trên, ta tìm câu trả lời cho câu hỏi này, kết tốn sau :

Bài toán 2.Cho tam giác ABCcân A Qua điểm Mbất kì đường thẳng BCvà nằm cạnh BC, dựng đoạn MH,

MKln lt vuụng góc với AB, AC(Hthuộc đường thẳng AB, K thuộc đường thng

AC) Chứng minh |MHMK| có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm M

Hướng dẫn

Ta cã |SABMSACM| SABC, suy |MHMK| BDCE Suy ®pcm lTa cịng thÊy r»ng nÕu ABC lµ tam

giác kết đương nhiên

 1(    ) 

2 AB MH AC MK 2AB CE

Đặng Văn Biểu (THCS Đông Dư, Gia Lâm, Hà Néi)

Lật lật lại vấn đề cách tự đặt giải câu hỏi nghi vấn, giúp hệ thống, nắm vững mở rộng kiến thức ; tạo cách học tập chủ động, sáng tạo Xin đơn cử ví dụ

3 đúng, khơng chúng cịn M chạy ba cạnh tam giác ba đường thẳng chứa ba cạnh Nhưng M điểm thuộc miền tam giác ABC nh ?

Câu trả lời dễ dàng tìm ta có toán sau :

Bài toán 3.Cho tam giác ABC Qua điểm M thuộc miền tam giác, dựng đoạn MH, MK, MPlần lượt vng góc với cạnh AB, BC, CA(H, K, P

lần lượt thuộc AB, BC, CA) Chứng minh MH MK MP có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC

MHMKMPcó giá trị không đổi, độ dài đường cao tam giác ABC Các bạn tự chứng minh

l TiÕp tơc xem xÐt kÕt qu¶ cđa toán

trờn im M thuc ngoi tam giác ABC, ta tìm kết sau :

Bài toán 4.Cho tam giác ABC Qua điểm M thuộc miền ngồi tam giác, dựng đoạn MH, MK, MPlần lượt vng góc với AB, BC, CA(H, K, Plần lượt thuộc đường thẳng AB, BC, CA) Chứng minh biểu thức sau có giá trị khơng đổi điểm Mthuộc miền tam giác ABC:

Q1|MHMKMP| ;

Q2|MPMHMK| ;

Q3|MKMPMH| Hướng dẫn

Lần lượt xét trường hợp điểm M

thc c¸c miỊn (1), (2), (3), (4), (5), (6)

l ThÕ cßn ABC tam giác

iu xảy đến với kết toỏn v bi toỏn ?

Đề nghị bạn chứng minh toán

v hai toán sau đây, xem tập Bài toán 5.Cho tam giác ABCcó độ dài cạnh ABc, ACb(c b) độ dài đường cao xuất phát từ B, Clần lượt

hb, hc Qua điểm M cạnh BC, dựng đoạn MH, MKlần lượt vng góc với AB, AC (H thuộc đường thẳng AB, K

thuộc đường thẳng AC) Chứng minh

hbMHMKhc

Bài tốn 6.Cho tam giác ABCcó độ dài cạnh ABc, BCa, CAb(cba) độ dài đường cao xuất phát từ A, C

lần lượt ha, hc Qua điểm Mbất kì thuộc miền tam giác, dựng đoạn

4

l Kết : (TTT2 sè 40)

l Kì :

Bài tốn cho : giải phương trình (1) lSai lầm lời giải tốn phép biến đổi phương trình

Thực chất, phép biến đổi (2) sang (3) phép biến đổi hệ không phảp phép biến đổi tương đương, ta sử dụng điều kiện đề tốn, điều chưa với x

Khắc phục điều này, sau tìm nghiệm (3) 1, ta thử trực tiếp vào (1) để loại trường hợp x1 kết luận (1)

cã nghiÖm nhÊt lµ x0

l Có thể giải phương trình (1) cách khác sau : Gọi vế trái vế phải (1) Tvà P

Víi x 0 th× TP0 ;

Với x> T> cịn P< 0, suy T> P; Với x < T< cịn P> 0, suy T< P Vậy (1) có nghiệm x 0 l Các bạn thưởng kì Đặng

Xuân Trường, 6A, THCS Thị Trấn Tiền Hải, Thái Bình; Trần Anh Ngọc, Đội 2, Liên Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Nguyễn Phương Thảo, 8D, THCS Quách Xuân Kì, Bố Trạch, Quảng Bình ; Trần Quốc Luật, 9B, THCS Sơn Hồng, Hương Sơn, Hà Tĩnh

Anh kÝnh lóp

3 3

3 3

3 1 ( 1) (2)

3 1 2 (3)

x x x x x

x x x x

              

33x 1 3x  1 2 x

XEM XÉT MỘT LI GII

Bài toán Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn tâm

O Từ điểm M

chạy cung nhỏ

BC, dng cỏc đường thẳng MH, MKlần lượt vng góc với AB, AC(H, Klần lượt thuộc đường thẳng AB, AC) Tìm vị trí điểm M

để đoạn thẳng HKcó độ dài lớn

Bài toán nằm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, năm học 2005-2006 Một bạn học sinh có lời giải sau :

Lời giải

Ta có nên tứ giác

AHKM nội tiếp đường tròn đường kính AM, suy HKAM

Mặt khác, gọi R bán kính đường tròn tâm Ongoại tiếp tam giác ABCthì dây cung

AM2R Suy HK2R

Đẳng thức xảy AMlà đường kính (O; R) Mđối xứng với Aqua O

Vậy : M đối xứng với A qua Othì HK

đạt độ dài lớn (bằng 2R)

Các bạn hÃy xem xét lời giải cho ý kiến !

tạ thập (TP Hå ChÝ Minh)

  90o

AHM AKM 

5

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 40)

v Kì :

TTT đăng giải bạn Hồ Thị Trâm Anh, xóm 7, Tăng Thành, Yên Thành, Nghệ An:

Lời giải đẹp, nghĩa đen lẫn nghĩa bóng, phải khơng bạn ?

Ngồi bạn Trâm Anh, TTT cịn thưởng cho bạn : Nguyễn Hồng Thy Vân, tổ 5, thơn I, Đức Chính, Đức Linh, Bình Thuận ; Đồn Thái Quỳnh, 7/3, THCS Lê Q Đơn, TP Hải Dương, Hải Dương; Nhóm ba bạn (Nguyễn Đăng Việt Dương, Ngô Thị Thúy Nga, Nguyễn Kim Hương), 9A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc

Nguyễn Đăng Quang Bạn quan sát hình vẽ số ghi hình để điền chữ số vào dấu chấm hỏi cho hợp lôgic

Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn gọi đến số 19001548và làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T IQ2 X Y, Xlà đáp án bạn ; Ylà số người có đáp án

Chúc mừngbạn Tăng Thị Thúy, đội 11, xã Thanh Lang, Thanh Hà, Hải Dương (số điện thoại 0320510459) trúng thưởngcuộc thi TTT2 số 40

6

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

u u u u u u u u u u u u u u u u u u Trong số trước, đề cập đến

ứng dụng bất đẳng thức giải phương trình Kì này, tiếp tục với ứng dụng bất đẳng thức giải hệ phương trình

lứng dụng bất đẳng thức giải hệ

phương trình

Ví dụ 5.Giải hệ phương trình

Lời giải Từ phương trình thứ nhất, ta nhận thấy x, y dấu, kết hợp phương trình thứ hai suy x, y dương áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có 16 x3yxxxy

Đẳng thức xảy  x  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm (2 ; 2)

Ví dụ 6.Giải hệ phương trình

Lời giải.Cộng theo vế hai phương trình hệ ta

Theo bất đẳng thc Bu-nhi-a-cp-ski ta cú

Suy

Mặt khác y26y21 (y3)212 12 Suy

Thử lại, ta thấy (x ; y)  (16 ; 3) nghiệm hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (16 ; 3)

Ví dụ Tìm số thực dương x, y, z

thỏa mãn hệ phương trình

Lời giải.áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có

suy Tương tự,

Mặt khác, xyz3 nên cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có

x2y2z2 3(xyz)

(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)

suy xyyzzx

Đẳng thức xảy

xyz3 xyz1 Vậy số thực dương (x; y; z)



2 ;

z z

x2  x y;  y ;

  

x y z

  

2( x y z)

   

2 2 3 ; 2 3

y y y z z z

  2 3

x x x

33 2x x x 3x

    

2 2

x x x x x

          

x y z

x y z xy yz zx

                 4 32 16

(*) 32 )

3 x x x x x y y

   4  

( x 32 x) ( x 32 x) 12 ;

 (1 1)( x32x) 4.

       4x 432 x (1 1)( x 32 x)

 32  (1 1)( 32 ) ;

x x x x

         4

2

( 32 ) ( 32 )

6 21 (*)

x x x x

y y              4 32

32 24

x x y

x x y

         4

3 16.

4 4 x y       16 x y x y

Cao minh quang (THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

7 thỏa mãn hệ phương trình (1 ; ; 1)

Ví dụ 8.Giải hệ phng trỡnh

(Phần Lan _ 1997) Lời giải

Ta có bất đẳng thức quen thuộc : 3(x2y2z2) (x yz)2 suy (xyz)2; (1)

3(x2y2y2z2z2x2) (|xy| |yz| |zx|)2 suy

x2y2y2z2z2x2x2|yz| y2|zx| z2|xy| Suy 1(x2y2y2z2z2x2) 

(xyz)2(x2|yz| y2|zx| z2|xy|)  xyz(x yz)3

x2y2y2z2z2x2xyz(xyz)3 (2) Đẳng thức xảy (2) đẳng thức xảy (1)  nghiệm hệ phương trình Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x ; y ; z)

Tác giả viết mong nhận ý kiến đóng góp trao đổi bạn đọc Để kết thúc viết xin nêu số tập rèn luyện

Bài Giải phương trình

Bài Giải hệ phương trình

Bài 3.Tìm số thực dương x, y, zthỏa mãn hệ phương trình

(Đài Loan - 1998) Bài Tìm số thực dương x, y, z, t

thỏa mãn hệ phương trình

(Anh - 1996) Ghi chú.Hướng dẫn giải tập đăng TTT2 số 43

              12 27

x y z t

xyzt xy xz xt yz yt zt

          12

xy yz xz

xyz x y z

                                        

2 2

3 3

2006 2005

2

4 4

( ) 26( )

1)

92 ;

2005 2006

2) 3 (

) ;

1 3)

;

2

4)

2

x y

x y z x y z

x y z

x y

x xy y x y

x y z

x y z xyz

x y                                2 2 2

4

1) 11;

2) 10 27 ;

3) 10 29 ;

4) 17 12

4 13 ;

5) 3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x

   

 

 

1; 1; .

3 3

 

 

 

1 1; ; 3

   1,

3

x y z

    



    



2 2

2 2 2

3( )

( )

x y z

8

ThS.NGUN V¡N NHO (NXBGD)

Cuộc thi Olympic Tốn Quốc gia Ai-len (Irish Mathematical Olympiad) tổ chức lần vào năm 1989 Mỗi thi gồm có hai vịng Thơng thường, đề thi vịng gồm 12 tốn, làm 180 phút Các thí sinh đoạt giải vòng dự thi tiếp vòng hai Đề thi vịng hai khó nhiều, gồm toán, thời gian làm 180 phút Sau đây, giới thiệu số tốn vịng một, phù hợp với trình độ THCS nước ta

Bµi (Problem 3, 1989)

Gọi Elà trung điểm cung BCcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC(Evà Anằm khác phía đường thẳng BC) Cho

DElà đường kính đường tròn nµy Chøng minh r»ng gãc DEAb»ng nưa hiƯu sè cđa hai góc Cvà B(có thể giả sử góc

Clớn góc B)

Bài (Problem 9, 1989)

Với năm 1978, số 1978 có tính chất 19 78 97, nghĩa tổng số tạo hai chữ số (19) số tạo hai chữ số cuối (78) số tạo hai chữ số đứng (97) Hãy tìm hai năm trước sau, gần với năm 1978 nhất, có tính chất

Bµi (Problem 12, 1989)

Cho S hình vuông có cạnh Các điểm A, B, C, Dtheo thứ tự vòng tròn nằm cạnh S, cạnh chứa điểm Chứng minh r»ng :

2 AB2BC2CD2DA24.

Bµi (Problem 4, 1990)

Cho n số nguyên dương Chứng tỏ

r»ng lµ sè

nguyên dương tồn số

nguyên dương m cho

(Kì sau đăng tiếp)

2

( 3)

2

m m

n 

1

2 3 3

(n n 1)  (n n 1)

9

CUỘC THI CHỌN TÀI NĂNG TỐN HỌC

Bài 1.(Problem 5, 14 - - 2004)

ơ ­ ® x ¯

Số thấy phía trước có người đội mũ trắng (số 2) người đội mũ đen (số 3) Vì khơng thể biết màu mũ đội khơng nói

Khi số nhận thấy số khơng biết đội mũ đốn nhìn thấy hai người (số số 3) đội mũ khác màu Mặt khác, số lại nhìn thấy trước có người đội mũ đen (số 3) nên biết chắn phải đội mũ trắng

Như số người biết chắn màu mũ đội

Bµi (Problem 1, 14 - - 2006)

Gọi x x  11 tuổi Thomas Jefferson George Washington vào năm 1770 Như tuổi Jefferson năm 1748 x1748 1770 x22 (tuổi)

Theo gi¶ thiÕt ta cã x11 7(x22) 3

x11 7x154 3

6x 154 11 3 162

x27 (tuæi)

Nh­ vào năm 1770, Jefferson 27 tuổi, có nghĩa vào năm 1776, Jefferson 33 tuổi

Bài 3.(Problem 3, 14 - - 2006)

Gäi Mlµ trung điểm BC, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt CDtại

N di np gấp cần tính độ dài đoạn thẳng MN

Gọi Elà giao điểm ADvà BC; Flà chân đường vuông góc kẻ từ Btới CD

D thy Flà trung điểm CD, từ ta có BC2BF2FC22423221600, suy BC40 (cm) MC20 (cm)

Cịng tõ Flµ trung ®iĨm cđa CD, suy

B Alần lượt trung điểm CEvà

DE, suy DE48 (cm)

Ta nhËn thÊy hai tam gi¸c MCN vµ

DCE đồng dạng nên MCDE  MNDC, suy 2048 MN64 MN15 (cm)

Vậy độ dài nếp gấp 15 cm

10

Hướng dẫn giải đề kì trước :

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10,

THPT chuyên Nguyễn Trãi, tổnh Haỷi Dửụng, naờm hoùc 2005-2006 (Đề đăng TTT2 sè 41)

Bµi 1.1) Ta cã

Suy 2)

(thỏa mãn điều kiện toán) Bài 2.Ta cú h phng trỡnh

Bài 3.Đồ thị hàm sè ®i qua ®iĨm (1 ; 2)  

Đồ thị hàm số y(4m21)x2đi qua điểm (1 ; 2) 24m21 

Vậy với đồ thị hai hàm số qua điểm (1 ; 2)

Với hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số nghiệm phương trình

Từ ta tìm giao điểm thứ hai đồ thị hai hàm số

Bµi 1) Tø gi¸c AEIF néi tiÕp, suy

2) Ta nhËn thÊy :

  ®iĨm

B, H, I, O, Ccùng thuộc đường tròn 3) Ta có BOC cân O, BOC120o

120o

BOC BIC BHC  

  180o  120o

BIC BHC  BAC

 2 120 ;o

BOC BAC

            o o o o 180 180

90 60

2

BAC EIF BAC BIC

ABC ACB BAC IBC ICB

BAC BAC BAC                     

5 25; .            

2

2 2 2 5.

4 x x x x          

1 4 1

2x 4 x

1 m 1 m

 1

2

m

2 0 1;

4

m     m m

   29

2

4

m m

  29

4

y mx m

( 2) ( 2)( 4) ( 3)(2 7) (2 7)( 3)

2

2 21 21

4

0

x y x y

x y x y

xy x xy y x

xy y x xy y x

x y x

x y y

                                         

 4

9

x

 3    2 2

3

P x x x

  

   



2 .

1

A x x x

P

B x x x

1 ;

1 1

1

x x x x

x x x

x x B x x x                       1 1

x x x

A

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10, THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM, TỈNH VĨNH LONG

Năm học 2005-2006 ; Thời gian : 150 phỳt

Bài 1.(1 điểm)

Tính giá trị biểu thức

với x8 Bài 2.(2 điểm)

Cho phương trình bậc hai x:

x22(m1)xm3 0 (1) a) Giải phương trình (1) với m0 b) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm x1, x2với m

c) T×m mét hƯ thức liên hệ x1, x2

không phụ thuộc m

d) Xác định giá trị m cho phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu

Bµi 3.(2 ®iĨm)

Một ca nơ xi dịng 48 km ngược dòng 22 km Biết thời gian xi dịng lớn thời gian ngược dịng vận tốc xuôi lớn vận tốc ngược km/h Tính vận tốc ca nụ lỳc i ngc dũng

Bài 4.(1 điểm)

Chứng minh

thì

Bài (2 điểm)

Cho đường tròn tâm Ođường kính AC Trên đoạn OClấy điểm Bvà vẽ đường tròn tâm Ođường kính BC Gọi Mlà trung điểm AB, từ M kẻ dây cung DEvuông góc với AB; DCcắt đường tròn tâm Oở I

a) Chứng minh tứ giác DMBI nội tiếp đường tròn

b) Chøng minh BI// AD

c) Chøng minh ba ®iĨm I, B, Ethẳng hàng Bài (2 điểm)

Cho h×nh thoi ABCD cã gãc A b»ng 120o Gäi M điểm cạnh AB Các đường thẳng DMvà BCcắt N a) Chứng minh hai tam giác AMD vµ

CDN đồng dạng, từ suy h thc :

AC2AMCN

b) Hai đường thẳng CMvà ANcắt E Chứng minh tứ giác AEBC nội tiếp đường tròn

c) Khi hình thoi ABCD cố định, M

chuyển động cạnh AB Chứng minh điểm E chuyển động cung tròn cố định

2 2

0

a b c

b c c a a b     

1

a b c

b c c a a b     

2

2 416 ( 16)

x x

A x x

x

 

   



nªn suy

; (vì tứ giác BHOCnội tiếp)

Mặt khác,

Suy MBHcân M, NCHcân N

MBMH, NCNHMBNCMN Bài 5.Theo định lí Vi-ét ta có

suy

Do :

Suy M0

x32x26(x2x22 3) 3(x2x x2 22 3) 0    

           

2

3

M c c b b c

a a a a a

a

             

1 2 2

2

1 2 2

( )

;

b c

x x x x x x x x

a a

b c

x x x x x

a a

    b; c,

x x x x

a a

  90o  30 o

ABH ACH  BAC

  30 o

CHO CBO    30 ;o

BHM BCO 

  30 ,o

12 l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

Bài 1(40) Cho ba số nguyên dương (a ; b ; c) thỏa mãn a2  b2  c2 (bộ ba Py-ta-go) Chứng minh :

a) ;

b) Không tồn số nguyên dương nsao cho tìm ba Py-ta-go (a; b; c) thỏa mãn

Lêi gi¶i (theo bạn Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)

a) T cỏc bt ng thức quen thuộc :

a2b22abvµ (ab)24ab

suy

Đẳng thức xảy ab Khi (điều khơng xảy với

a, clà số nguyên dương)

NghÜa lµ

b) Giả sử tồn số nguyên dương nsao

cho Ta cã

Từ điều giả sử ta suy số nguyên dương

Gi¶ sư (a, b) d, ta cã aa1.d; bb1.d, víi a1, b1* vµ (a1, b1) 1 (d*)

Từ số

nguyên dương Suy , mà (a1, b1) 1 a1b11 abd

Theo câu a) ta thấy điều vơ lí Do khơng tồn số nguyên dương n thỏa

m·n (®pcm)

Nhận xét Ngồi bạn Nguyệt, bạn sau có lời giải tốt : Nguyễn Xuân Hùng, 9B, THCS Thị Trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Văn Linh, 7A1, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh ; Nguyễn Ngọc Trung, 8A1 ; Tạ Đức Thành, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Phạm Việt Hùng, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ;

Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Nguyễn Trung Thành, 8B, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Xuân Thảo, 8A1, THCS Nhơn Lộc, An Nhơn, Bình Định Nguyễn Văn Mạnh Bài 2(40).Tìm giá trị nhỏ biểu thức Pa3b3c3, a, b, clà số thực thỏa mãn a 1, b 1, c 1

abc 

Lời giải Trước hết ta chứng minh nhận xét sau : Nếu x, y số thực thỏa mãn

xy0 th× (1) ThËt vËy

áp dụng vào toán : vai trò a, b, cnên giả sử abc

2 2

2

( )(4( ) ( ))

8

3 ( )( )

8

x y x xy y x xy y

x y x y

           3 2

x y x y       3

2

x y  x y     34 1

2

c c n

a b

       

2

1 vµ 1

a b b a

2 2

1 1 1

a b

a b ab

ab a b

   

  2

a b ab

ab

2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) 1.

a b ab a b a b a b

a b

a b ab

a b           c c a b        

c c n

a b         c c a b          

c a

 

    

   

2 2

2

( )( ) 8

c c a b a b

a b a b

2

c c n

13 Do 3(ab) 2(ab) (ab) 

2(abc)2 >

Suy ab> theo bất đẳng thức (1) ta có

Chú ý : Từ suy

Bởi P0 Đẳng thức xảy chØ c 1, ab

Tóm lại : a, b, c có vai trị nên ba số có số 1 hai số lại

Nhận xét Đây tốn hay, khơng q khó Các bạn sau có lời giải : Tạ Đức Thành, 8A3; Nguyễn Ngọc Trung, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Trung Thành, 8B, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh

Nguyễn Minh Đức Bài 3(40) Chứng minh không tồn số nguyên dương phân biệt cho tổng số tùy ý chúng chia hết cho tổng hai số lại

Lời giải Giả sử tồn số nguyên dương phân biệt a > b> c> d> e> fthỏa mãn điều kiện toán Theo giả thiết ta cú

cdefchia hết cho ab Mặt khác, c d < a b vµ e f< a b

suy cdef< 2(ab)

cdefab (1) Tương tự ta có bdefac (2) Trừ theo vế hai đẳng thức (1) (2) suy cbbcbc, mâu thuẫn với giả thiết b> c

Vậy không tồn số nguyên dương

phân biệt thỏa mãn điều kiện tốn Nhận xét Khơng có nhiều gửi tòa soạn, hầu hết lời giải Có nhiều cách lập luận để chứng minh, cách ngắn số bạn

Các bạn có lời giải ngắn gọn, chặt chẽ Nguyễn Mạnh Tuấn ; Dương Hoàng Hưng, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Nguyễn Hoàng Hiệp, số nhà 127B, Tiểu Khu 3, thị trấn Neo, Yên Dũng, Bắc Giang ; Vương Thị Mỵ, đội 16, Đồng Đài, Đại Đồng Thành, Thuận Thành ;

Nguyễn Văn Linh, 7A1, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP B¾c Ninh, B¾c Ninh ;

Ngun Ngäc Trung, 8A1; Tạ Đức Thành, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thä;

Nguyễn Doãn Tiến Đạt, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương ; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Bùi Thị Hiền, 9A1, THCS Nguyễn Trực, Kim Bài, Thanh Oai, Hà Tây Nguyễn anh quân Bài 4(40) Cho tam giác ABCcó đường tròn nội tiếp (I, r) đường tròn bàng tiếp (Ia) góc A Gọi D tiếp điểm cạnh BCvới (Ia) Dựng đường tròn () tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC tiếp xúc với DA, DBlần lượt E,

F Chứng minh : 1) E, I, Fthẳng hàng ; 2) B¸n kÝnh pcđa () b»ng r

LTS Bài tốn khó, khơng có bạn gửi lời giải tòa soạn Tuy nhiên kết toán lại hệ định lí tiếng quen thuộc Các bạn tìm thấy lời giải tốn viết TS Nguyễn Minh Hà (trang 24, 25)

Bài 5(40) Cho tam giác ABCcó điểm E

thuộc trung tuyến AMvà Flà hình chiếu

E BC Gọi X, Y hình chiếu E, Ftrên AB; Z, Tlần lượt hình chiếu E, F AC Chứng minh tam giác EXYv tam giỏc EZTng dng

Lời giải (của bạn Tăng Văn Bình, 8B,

34

2

34

2

3

3 3

( ) ( )

2

a b c

a b  c       

 

3

( 1) ( 1) (v× c c 1)

      

34 34 1 34

a b   c   c  c

3

3 3

3 3

2 (( ) ( ) )

a b

P a b c c

a b c

  

         

14 THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An)

Qua E kẻ đường thẳng HK song song với BC(Hthuộc AB ; Kthuộc AC)

Vì HK// BC; EFBCnên HKEF (1) Chó ý r»ng (v× HK// EF)

1 (v× MBMC)

EHEK (2) Tõ (1), (2) suy : FHKcân F

(3)

Mặt khác, nên

t giỏc EHYFni tip (4) Tương tự vậy, (5) Từ (3), (4), (5) suy :

 EXY EZT

Nhận xét 1) Bài toán không khó nh­ng chØ cã 16 b¹n tham gia

2) ChØ có bạn phát đường kẻ

HK, đường kẻ tự nhiên 3) Xin nêu tên số bạn có lời giải tốt :

Nguyễn Trung Thành, 8B, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh ; Đinh Văn Học, 9C, THCS Sơn Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh; Vũ Thanh Tú, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ; Đồn Thu Hà, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Trịnh Quang Thanh, 9B, THCS Hàm Rồng, Thanh Hóa

Ngun Minh Hµ

 

EYH ETK  

ETK EFK

 

EYH EFH

 

 90 ;o  90o

HEF  HYF 

 

EFH EFK

EH MB EK MC

Thi giaỷi toaựn qua thử Các bạn thưởng kì này

Ngun Ngäc Trung, 8A1 ; Tạ Đức Thành, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Trung Thành, 8B, THCS Thị Trấn Kú Anh, Kú Anh ;

Đinh Văn Học, 9C, THCS Sơn Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Nguyễn Văn Linh, 7A1, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh ; Nguyễn Mạnh Tuấn ; Tăng Văn Bình, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Nguyễn Xuân Hùng, 9B, THCS Thị Trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang ; Vũ Thanh Tú, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương;

15

Kết thiTHẾ GIỚI QUANH TA

Sau đáp án câu hỏi kì - Điền vào chỗ trống “lời dịng sơng” : Tớ sông NIN-CAGHÊRA Tớ dài giới Chiều dài tớ 6695 km Tớ đổ biển ĐịA TRUNG HảIvà tạo nên đồng châu thổ sông NIN Tớ có hai nhánh NIN trắng,NIN xanh

Nhiều bạn cịn sưu tầm thêm nhiều thơng tin, hình ảnh sơng lớn giới trình bày ấn tượng Các cá nhân tập thể xuất sắc trao tặng phẩm kì Hoàng Minh Tuấn- Trịnh Văn Phong, 374/77 phố Hải Thượng Lãn Ơng, phường Đơng Vệ, TP Thanh Hóa; Lê Thị Thảo, đội 8, thôn Quảng Giang, Đại Hợp, Tứ Kì, Hải Dương;

Nguyễn Anh Phúc, số nhà 40, đường Bùi Thị Xuân, TX An Khê, Gia Lai ; Nguyễn Minh Thúy, số nhà 347, tổ 11, phường Trần Phú, TX Hà Giang, Hà Giang ;

Nguyễn Hữu Trang, 15 Biệt Thự, Nha Trang, Khánh Hòa ; Đặng Thị Quỳnh Trang, 15/142 Nguyễn Thái Học, phường 5, TP Tuy Hòa, Phú Yên ; Đặng Huy Việt, số nhà 10 Lê Hồng Phong, TP Nam Định ; Lê Thị Hồng Nhung, xóm 6, Thụy Quỳnh, Thái Thụy, Thái Bình ; Lưu Quang Thắng, 96 Nguyễn Lương Bằng, Kiến An, Hải Phịng ; Nguyễn Huy Hồng, 19 Nguyễn Phi Khanh, TP Quy Nhơn, Bình Định ; Phịng Giáo dục TX An Khê, Gia Lai

Kì có nhiều bạn tham gia giải câu đố Hồng Hà Hầu hết bạn có đáp án Dãy số cho địa hệ thống cửa hàng giới thiệu bán sản phẩm công ty nước Bốn chữ số cuối 2729 - địa Trung tâm Thương mại PLAZA Thanh Hóamới khai trương Bạn Vương Thúy Nga, khu Xuất khẩu, cạnh sân vận động, Gia Lộc, Hải Dương cịn có lời chúc : “Chúc cho sản phẩm Hồng Hà bền đẹp để sát cánh với chúng cháu năm học tới” Bạn Lê Phong Vũ, thơn 1b, Hịa Tiến, KRơng Pắc, Đắk Lắklại chúc :

“Chóc cho d·y số ngày dài ! Sau giải thơ bạn

Hoàng Thị Yến, 7A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc:

Nhng số

Phần đầu địa Hồng Hà, đoán ! Nơi mà học sinh say

Mua văn phòng phẩm, thường ngày ghé qua “Bốn số cuối

2, 7, 2, mà ! phải không ?

Ngoài bạn có tên nêu trên, Hồng

H xin tặng quà cho bạn sau : Lê Thanh Loan, 13 Hồng Văn Thụ, thị trấn Vân Đình, ứng Hịa, Hà Tây ; Ngơ Tuấn Anh, số nhà 316, tổ 11, phường Xuân Hòa, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Phạm Xn Đức, xóm 7, thơn Do Nghĩa, xã Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ; Lê Thị Hồng Nhung, xóm 6, Thụy Quỳnh, Thái Thụy ; Lưu Mạnh Hùng, thôn Kim Sơn 1, xã Kim Trung, Hưng Hà, Thái Bình;

Nguyễn Thị ánh Nguyệt, thơn Nàng Đồng, xã Ngọc Lý, Tân Yên ; Hoàng Thị Giáng Thu, 8A, THCS Quang Thịnh, Lạng Giang, Bắc Giang ; Lương Xuân Huy, 9A1, THCS Tiên Lữ, Tiên Lữ ; Vũ Cơng Cương, bố Vũ Văn Lục, đội 3, xóm Chợ, Dị Chế, Tiên Lữ, Hưng Yên; Nguyễn Thị Nga, bố Hùng, xóm 6, Đơng Sơn, Đơ Lương ; Hà Thị Hương Trà, 9C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ;

Dương Thị Thu Hà, tiểu khu 3, thị trấn Hồn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình ;

Nguyễn Quang Vĩnh, bố Nguyễn Văn Nhung, thôn An Điềm, xà Cát Lâm, Phù Cát, Bình Định

(TTT2 sè 40)

16 Vũ Minh thành viên đội đặc nhiệm thành phố Trong chuyên án đây, đội anh giao nhiệm vụ phá đường dây trộm cắp, vận chuyển ô tô qua hải cảng Đường dây hoạt động tinh vi, chúng đánh cắp xe đắt tiền, thay biển số giả xuất nước đường biển

Tuy khoanh vùng địa bàn hoạt động kẻ tình nghi, song chúng hoạt động khôn ngoan nên mà chiến sĩ đặc nhiệm chưa bắt chúng Cuối cùng, đội trưởng định cài Vũ Minh vào băng nhóm tội phạm với hi vọng anh tìm chứng kết tội chúng

Vốn thông minh, nhanh nhẹn, lại có võ nghệ cao cường nên chẳng sau Vũ Minh nhóm tên đầu đảng Bắc Đại Bàng tin tưởng Do thường xuyên tiếp cận với Bắc Đại Bàng nên Vũ Minh biết thông tin ô tô đắt tiền thành phố lưu giữ máy tính Hắn ln ghi chép cẩn thận lưu máy phi vụ làm ăn quan trọng Tất nhiên, máy tính Bắc Đại Bàng cất giữ cẩn thận không gần máy

Một hôm, rình có hội Bắc Đại Bàng sơ hở Vũ Minh đến, bật máy tính Lập tức máy yêu cầu mật Trước đó, có lần Vũ Minh nhìn Bắc Đại Bàng nhập mật Tuy nhiên, đứng ngồi nên anh biết dãy số gồm chữ số Vũ Minh đốn Bắc Đại Bàng khơng thể nhớ mật thường xuyên phải quan tâm đến số biển số ô tô Chắc chắn mật phải ghi lại chỗ dễ thấy quanh bàn làm việc Bất giác, anh ngẩng lên phát có mảnh giấy dán tường Trên mảnh giấy dòng chữ đánh máy vi tính : Hoa Kì, áo, Anh, Nhật Bản, Pháp, Tây Ban Nha

Vũ Minh thầm nghĩ : “Chắc tên nước có liên quan đến mật Có nước tất Hơm thấy nhập hay chữ số Như vậy, tên nước tương ứng với chữ số ? Hay ta thử lấy tổng chữ tên nước xem ? Hoa Kì có chữ, áo chữ 523749”

Mừng quá, Vũ Minh thử tiếc thay, máy tính khơng nhận Vì cịn thời gian nên Vũ Minh đành tắt máy, chép lại hàng chữ rời khỏi phòng

Về đến nhà, Vũ Minh gọi điện cho Nguyn Xuõn Quý

(K53D, Toán-Tin, ĐHSP Hà Nội)

Một hơm, rình có hội Bắc Đại Một hơm, rình có hội Bắc Đại Một hơm, rình có hội Bắc Đại Vũ Minh thành viên đội đặc nhiệm

17

l Kết : TEÂN TROÄM Kè QUAậC (TTT2 số 40) Lấy trộm đồ để chứng tỏ “vỏ quýt

dày có móng tay nhọn” cịn bắt “khổ chủ” giải tốn tên trộm kì quặc Chắc thời cịn học, tên trộm thích tốn Bài toán đặt làm đau đầu vợ chồng ông Giôn làm khó dễ cho thám tử Sê-Lốc-Cốc cộng Tuổi Hồng ông ẩn số tìm ra, số nhà 13 số phòng 31 :

NÕu gäi sè nhà số phòng ta có suy 10 n21 (vì n3là số có chữ số) Mặt khác có tổng chữ số hàng chẵn tổng chữ số hàng lẻ nên chia hÕt cho 11,

suy n3chia hÕt cho 11 (là số nguyên tố)

n chia hết cho 11  n  11 

Phần thưởng kì trao cho năm bạn Hoàng Văn Sáng, xóm 14, xã Quang Trung, Kiến Xương, Thái Bình ;

Nguyễn Minh Hiếu, đội 4, xã Thái Học, Bình Giang, Hải Dương; Đậu Thế Vũ, 7B, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An ; Nguyễn Anh Tuấn, 7B, THCS Hồng Quang, Ân Thi, Hưng Yên; Trần Thị Hồng Nhung, 8A1, THCS Nguyễn Khuyến, tiểu khu Bình Thắng, Bĩnh M, Bỡnh Lc, H Nam

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

11 1331.3

abba

abba

 3, abba n

ba ab

thám tử Sê-Lốc-Cốc Sau nghe Vũ Minh trình bày cụ thể chuyện, thám tö nãi “Anh thö nhËp sè 6238411 xem nhÐ !” Vũ Minh ghi lại số thấp chờ hội vào bật máy tính Bắc Đại Bàng

My hụm sau, thi c ó n Vũ Minh vui mừng khơn xiết số mật Anh thu thập nhiều thông tin để làm chứng kết tội bọn tội phạm Khi gọi điện cảm ơn thám tử Sê-Lốc-Cốc, anh nghe ơng nói “Lúc đọc mảnh giấy, anh suy luận “đếm” chưa hết nên chưa tìm thơi Để

c¸c th¸m tư “Ti Hång” gi¶i thÝch cho anh nhÐ !”

Nào, bạn mau gửi lời giải thích tịa soạn TTT ! Theo bạn thám tử Sê-Lốc-Cốc vào đâu để “giải mã” hàng chữ tờ giấy ?

18 Bất đẳng thức chúng tơi muốn nói đến :

|ab| |ab| 2 (*) (với  0 a; b[; ]) Sử dụng bất đẳng thức ta chứng minh nhiều kết thú vị Xin giới thiệu với bạn phép chứng minh bất đẳng thức (*) ứng dụng

Chứng minh.Gọi max {x; y} giá trị lớn hai số x; y, trước hết ta có

xy|xy|

nªn xy|xy| 2max {x; y} (1) ¸p dơng (1) ta cã (|ab| |ab|)2 (ab)2(ab)22|ab||ab|

2(a2b2|a2b2|) 4max {a2; b2}, suy

|ab| |ab| 2max {|a| ; |b|} (2) Từ (2) suy bất ng thc (*)

Bài toán Cho đa thức f(x) ax2bxc

tháa m·n ®iỊu kiƯn |f(x)|   víi mäi 

dương x[1 ; 1] Chứng minh rng : |a| |b| |c|

Lời giải.Đặt f(1) M; f(1) N; f(0) P

ta cã |M| ; |N| ; |P|   vµ suy

|a| |b| |c|      

2

M N P M N P

 

M N2  ; M N2 ; 

a P b c P

   

    

  

M a b c N a b c P c

2 víi víi

x x y

y x y

 

   

(áp dụng bất đẳng thức (*))

|| 2|| 3|| 3 |a| |b| |c| 3(®pcm)

Bài toán Cho đa thức

f(x) ax3bx2cxd

tháa m·n ®iỊu kiƯn |f(x)|   víi mäi 

dương x[1 ; 1] Chứng minh : |a| |b| |c| |d|

Lời giải.Đặt

ta cã |M| ; |N| ; |P| ; |P|  vµ

M = abcd; N= abcd;

6(|a| |b| |c| |d|) 

4|MN2P2Q| 4|MNPQ|  |MN8P8Q| |MN4P4Q|

4|MN| 8|PQ| 4|MN| 4|PQ|

|MN| 8|PQ| |MN| 4|PQ|

5(|M N| |MN|) 

8(|PQ| |PQ|) 8|PQ|

52 82 8|P| 8|Q| 26 1642 |a| |b| |c| |d| 7(®pcm)

Hẹn gặp lại bạn với dụng khác bất đẳng thức (*)

            



     

             

;

8

6 4( 2 )

6 4( )

6 8

6 4

a b c a b c

P d Q d

a M N P Q

b M N P Q

c M N P Q

d M N P Q

          

   

1

(1) ; ( 1) ; ;

2

f M f N f P f Q

  

  2 2 2

2 2

M N M N P P

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI HAI

19

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI TƯ

l Người thách đấu Trần Tuấn Anh, khoa Toán-Tin, trường ĐHKHTN, ĐHQG TP Hồ Chí Minh

lBài tốn thách đấu Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : Có thể thay số lớn không ? lXuất xứ Sáng tác

lThời hạn nhận thách đấu Trước ngày 15 - - 2006

1

1 1.

2 2 a ba 2b cb 2c ac 

(TTT2 sè 40)

Bài tốn khơng khó Có tới 37 võ sĩ bước lên sàn đấu Tất võ sĩ có lời giải nhận thấy thực chất toán định lí Ta-lét Có 36 võ sĩ sử dụng định lí Ta-lét theo cách Có võ sĩ Phạm Mạnh Cường, 9C, THCS Thị Trấn Quỳnh Cơi, Quỳnh Phụ, Thái Bình, sử dụng định lí Ta-lét theo cách khác ngắn gọn Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải võ sĩ Cường

Để bạn đọc tiện theo dõi, xin nhắc lại định lí Ta-lét dạng tổng quát :

Cho hai đường thẳng , ’ Ba đường thẳng a, b, ccắt lần lượt A, B, C; cắt

’ A’, B’, C’và a// b Khi :

a// b// c (hình 1) Trở lại việc giải toán

Đặt PBHAC; QCHAB (hình 2)

Ta cú (i nh)

(giả thiết)

ADEcân AAKlà đường kính đường tròn ngoại tiếp tam gi¸c ADE KDA90 ; o KEA 90o

 

QDH PEH

 



PHE



 

QHD CHE

AB A B BC B C

  ’ ’

’ ’

KD// HQ; KE// HP (1) Qua B kẻ đường thẳng song song với

KD, HQ gọi L giao điểm đường thẳng với HK

Theo nh lớ Ta-lột ta có (2) Dễ thấy, HBQ HCP Từ đó, theo tính chất đường phân giác ta có

(3)

Tõ (2), (3) suy (4)

Từ (1), (4), theo định lí Ta-lét ta có

CL// KE// HP

Tãm l¹i : BL// HC; CL// HBsuy HBLC

là hình bình hành HLđi qua trung ®iĨm cđa BCHK®i qua trung ®iĨm cđa BC

Đương nhiên, Phạm Mạnh Cườnglà võ sĩ đăng quang trận đấu

Ngun Minh Hµ

KL EC KH EP DB HB HP EC DQ HQ HC EP  

KL DB KH DQ H×nh

20 Một nội dung phổ biến kì thi cuối cấp THCS, l so sỏnh biu thc

Sách tập Toán 9, tËp cã bµi 29 (trang 7), néi dung sau :

Bài toán So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

lBi tốn có nhiều lời giải, nhiên viết muốn nhắc đến lời giải sử dụng

đẳng thức (*)

(đã đề cập tạp chí TTT2 số 38) : Lời giải áp dụng đẳng thức (*) ta cú

Mặt khác,

lKhai thác, mở rộng toán 1sẽ củng cố rèn luyện thêm cho dạng toán

Trc ht ta mở rộng toán 1:

Bài toán Với số nguyên dương a, so sánh

Tương tự lời giải tốn 1, ta có kết (1) Với a2nthì (1) trở thành

(2) Lần lượt cho ncác giá trị 1, 2, 3, từ (2) ta có

Cộng theo vế bất đẳng thức ta có

Từ ta có toán :

Bài toán Với số nguyên dương n, chứng minh

Víi a2n1 th× (1) trë thµnh

(3) Lần lượt cho ncác giá trị 0, 1, 2, từ (3) ta có

Cộng theo vế bất đẳng thức ta có 2 2   n 2n 2

   

2n 2n 2 2n

   

0 2 ; ; ;

   

2n 2n 2 2n

 

 

 

1 1

2

2

n

n n

 

 

1

1

           

     

2 2( )

2

2 1

2

2

n n n

n

n n

  

1

   

2 1n 2n 2 n

   

1 2 ; ; ;

   

2 1n 2n 2 n

 1  1

a a a

 1 1 vµ

a a a

  

 

 

   

  

2005 2004 2004 2003

1

2005 2004 2004 2003

2005 2004 2004 2003

2005 2003 2004

 



 



1

2005 2004 ;

2005 2004

2004 2003

2004 2003

  

 

1

1

n n

n n



2003 2005 vµ 2004

Nguyễn cơng chuẩn (THPT Phúc Trạch, Hương Khê, Hà Tĩnh)

s s s s s s s s s s s s s s s

MỘT DẠNG TOÁN

21 Từ ú ta cú bi toỏn :

Bài toán Víi mäi sè tù nhiªn n, chøng minh r»ng

Đặc biệt hóa kết cho ta nhiều toán thú vị

Bài toán So sánh giá trị hai biểu

thức

Lời giải áp dụng bất đẳng thức

víi n49 ta có A < B

Bài toán Tìm phần nguyên tổng : Lời giải áp dụng toán 3và toán

ta có , suy

phần nguyên Abằng

9 100 101 100 5 2     A 

   101 100

2 A

1 .

1 99 100

A   

  

2( 1 2 n1)

     

2 2 2n 2n

2( 1   99)

B

2( 2   98) 100

A



 

  

1 2

2

2 2

n

n n

 

 

1

1

2( 1)

2

2

2

2

n

n

n n

   

    



     trúng thưởng thi “Nhà tiên tri WorldNhiệt liệt chúc mừng bạn may mắn Cup 2006” Tạp Toỏn Tui th t chc

Nhà tiên tri thức :

Nguyễn Văn Sơn, 8A4, THCS Hai Bà Trưng, thị xà Phúc Yên, Vĩnh Phúc (số điện thoại 0211871224)

Các nhà tiên tri có triển vọng :

1) Trần Thị Trúc, 26/10 khu phố 4, phường Tân Chánh Hiệp, quận 12, TP Hồ Chí Minh (s in thoi 0903133959) ;

2) Văn Ngọc Duy, 146 đường 9B, Đông Hà, Quảng Trị (số điện thoại 053853672) ;

3) Hoàng Quốc Vĩnh, bố Hoàng Tiến Dũng, Bác sĩ bệnh viện Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định (số điện thoại 0350886551)

Ngày 20/7/2006, trường THCS Hai Bà Trưng, Phúc Yên, Vĩnh Phúc, Tạp chí Tốn Tuổi thơ long trọng tổ chức Lễ Trao giải cho em Nguyễn Văn Sơn Dự lễ trao giải có đại diện cơng ty 3E ; nhà giáo Phạm Văn Dũng, Phó Chủ tịch UBND thị xã Phúc Yên kiêm Trưởng Phòng Giáo dục ; Ban Giám hiệu Nhà trường, thầy cô giáo, phụ huynh học sinh nhiều học sinh có thành tích tham gia giải tạp chí Phó Tổng biên tập Tạp chí, TS Lê Thống Nhất cơng bố định khen thưởng trao giải gồm : xe đạp, máy Gia sư điện tử đa năng, Kim từ điển, sách giáo khoa lớp 9, văn phịng phẩm, trái bóng có in quốc kì 32 nước tham dự vịng chung kết World Cup 2006 Bằng Chứng nhận Tạp chí

22

giải toán máy tính điện tử

TH TAỉI

Bài Đáp số : m576 ; n676 Giả sử mcó dạng Theo bµi ra, nchØ cã thĨ lµ mét ba sè ,

vµ

Vì m, n số phương nên

mp2vµ nq2(10 < q< p< 32) Ta có nmq2p2(qp)(qp) Vì qp (qp) 2pnên qpvà qp

cùng chẵn lẻ

Nếu

1 nmq2p2(qp)(qp) Suy

p0 ; q1 kh«ng thỏa mÃn

Nếu

10 nmq2p2(qp)(qp) Suy

qp10 ; qp1 hc qp5 ; qp

2 u khụng tha

Nếu

100 nmq2p2(qp)(qp) Mặt khác, q p q p tính chẵn lẻ nên :

hoặc qp10 ; qp10 suy q10 ;

p0 không thỏa mÃn ;

hoặc qp50 ; qp2 suy q26 ; p

 24 tháa m·n (n 262 676 ; m 242

576)

Bài a) Thay x giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 vào P(x) ta hệ :

Vào chương trình giải hệ phương trình bậc nht ba n trờn Casio fx-500MS :

hoặc Sharp EL-506W :

Lần lượt khai báo hệ số bấm phím để a, b, c(trên hai máy) : 1.44 1.2 1993 6.25 2.5 2045 13.69 3.7 2123 (x10)

(y 3) (z 1975)

Vậy P(x) x310x23x1975 Lời bình.Sau tìm x, y, zta bấm Sharp EL-506W định thức

3,9 (det  3.9) Do Sharp EL-506Wrất thuận tiện tính định thức giải phương trình bậc ba

b) Sè d­ cña phÐp chia P(x) cho 2x giá trị P(2,5) P(x) x 2,5 Tính P(2,5) máy giá trị lµ 2014,375

c) Phương trình P(x) 1989 hay

x310x23x14 0 cã c¸c nghiƯm x11 ;

Dùng chương trình giải phương trình bậc ba Sharp 506Whoặc Casio fx-500MS

cũng x1 ; x2 9,531128874 ;

x3 1,468871126

Bài a) Đáp sè : U1  ; U2  20 ;

U3303 ; U44120

b) Gi¶ sư Un2aUn1bUn

Ta cã U3aU2bU1vµ U4aU3bU2

hay 303 20abvµ 4120 303a20b Giải máy a20 ; b 97

 

2, 112 65

x                  MODE MODE MODE              

1,44 1,2 1993

6,25 2,5 2045

13,69 3,7 2123

a b c

a b c

a b c

 ( 1) 

n a bc q

 

m abc p

 ( 1) 

n a b c q

 

m abc p

 ( 1) 

n ab c q

 

m abc p

(a1)bc



( 1)

a b c

( 1)

ab c

abc

23

lTrong thời gian qua, hưởng ứng chủ trương đưa máy tính điện tử vào nhà

trường Bộ Giáo dục Đào tạo, Tạp chí Tốn Tuổi thơ mở chun mục

“Giải tốn máy tính điện tử”, cung cấp cho bạn đọc từ kiến thức mở đầu đến nhiều dạng tốn thơng qua viết đề thi có hướng dẫn lời giải Đến nay, nội dung giải tốn máy tính điện tử đăng Tạp chí tương đối đầy đủ để bạn tiếp tục tự nghiên cứu Vì kể từ số Tạp chí tạm dừng chuyên mục hẹn gặp lại bạn thời gian sớm

lThay vào đó, để phục vụ bạn đọc tốt hơn, tăng cường

viết hướng dẫn giải tập áp dụng viết đăng Tạp chí (đây yêu cầu nhiều bạn đọc)

lVì vậy, để nghị tác giả viết có lời giải đầy đủ cho phần tập áp dụng

Mong tác giả bạn đọc tiếp tục ủng h Tp

Ban biên tập tạp chí toán tuổi thơ THONG BAO

Vậy Un220Un197Un c) Khai báo U11 ; U220 :

1 20

Khai b¸o vµ tÝnh Un220Un197Un:

20 97

(303)20 97

(4120) (*) Liên tiếp dùng để U3, , U9

vµ U101,38300481 1010

Để đáp số xác, ta bấm tiếp : 1.38 10 (30048100)

Vậy U1013830048100

Trở công thức (*) tÝnh U11: (1.6374754571011) 1.63 11 (747545743)

VËy U11163747545743 Trë công thức (*) tính U12:

(1.9334362491012) 1.93 12 (3436249160)

Tiếp tục tính U12ta :

U553009 ; U6660540 ; U78068927 ;

U897306160 ; U91163437281 ;

U1013830048100 ; U11163747545743 ;

U121933436249160 ;

U1322785213046129 ;

U14268160944754060 ;

U15315305329606687 ;

U1637049452950989920

Nhận xét Nhiều bạn không đến đáp số xác khơng biết làm tiếp

1.38 10,

Các bạn đoạt giải kì Tạ Đức Thành, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Hoàng Minh Thắng, 10A1, THPT Phan Bội Châu, TP Vinh, NghƯ An ;

Ngun Ngäc Long, 7A, THCS hun Thuận Thành, Thuận Thành, Bắc Ninh ;

Nguyễn Minh Công, 7A11, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội

ts tạ phượng EXP





EXP

 

  



EXP

 

 



EXP



 

B STO SHIFT B

ALPHA



A ALPHA A

STO

SHIFT A

ALPHA



B ALPHA

B STO SHIFT A

24 Trong hình học phẳng có định lí khỏ ni ting v quen thuc

Định lí Lyness Nếu đường tròn () tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvà tiếp xúc với cạnh AB, AC

của tam giác Evà Fthì EFđi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Định lí Lyness có cách mở rộng tự nhiên hấp dẫn

Định lí Lyness mở rộng.Nếu đường tròn () tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác nội tiếp ABCDvà tiếp xúc với đoạn OB, OC(Olà giao điểm

ACvà BD) E, Fthì EFđi qua tâm đường tròn nội tiếp tam gi¸c ABC, DBC

Để chứng minh định lí Lyness mở rộng, ta cần có hai bổ đề

Bổ đề 1.ABlà dây đường tròn (O) Đường trũn (I) tip xỳc vi on AB

tại Kvà tiếp xúc với (O) T; KTcắt (O) L(Lkhác T) Ta có

a) Llà trung điểm cung AB(kh«ng chøa T)

b) LA2LKLT

Chøng minh.Ta có O, I, Tthẳng hàng

T ú, vi ý tam giác KTI,

LTO theo thứ tự cân I, O, ta có , suy KI// LO(hai góc đồng vị nhau) LOAB(vì KIAB)

Llà trung điểm cung AB(không chứa T) Suy

hai tam giác ATL, KALđồng dạng

LA2LKLT

  hay  

LAB LTA LAK LTA

 

TKI TLO

 

KTI LTO

 

25 Bổ đề Điểm M trung điểm cung

BC(không chứa A) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Điểm Ithuộc đoạn MA

và thỏa mÃn điều kiện MIMB Ta có Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Chứng minh.Vì MIMBnên ,

suy

Từ với ý góc

cïng b»ng , ta cã

Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Trở lại việc chứng minh định lí Lyness m rng

Gọi () đường tròn ngoại tiếp tứ giác

ABCD ; T tiếp điểm () vµ (’) ;

Plà giao điểm TEvà (’) (Pkhác T) Theo bổ đề 1, CPlà phân giác góc

BCD (1)

Gäi Qlµ giao ®iĨm cđa CPvµ EF; Tx

lµ tiÕp tun chung cđa () vµ (’) Ta cã :

Từ đó, với ý , ta có suy QFCTlà tứ giác nội tiếp

Từ đó, với ý , ta có suy PQT PEQ

PQ2PTPEPD2(theo

bổ đề 1)PQPD (2) Từ (1), (2), theo bổ đề 2ta có Qlà tâm đường trịn nội tiếp tam giác BCD Điều có nghĩa EFđi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác DBC

Tương tự EF qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Định lí Lyness mở rộngđã chứng minh

Ta thấy kết luận “E, I, F thẳng hàng” 4(40)là hệ trực tiếp định lí (bạn đọc tự kiểm tra)

Những hệ đáng ý định lí Lyness mở rộng giới thiệu

Hệ 1.Tam giác ABCnội tiếp đường tròn (O), (Ia) đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh Acủa tam giác (Ia) tiếp xúc với BCtại D Các đường tròn (I1), (I2) tiếp xúc với (O) ; tiếp xúc với đoạn DA theo thứ tự tiếp xúc với đoạn DB, DC; ta có đường trịn (I1), (I2) có bán kính

Tác giả hệ nhà giáo Hạ Vũ Anh, THPT chuyên Vĩnh Phúc

(Kì sau đăng tiếp) PQ PE

PT PQ

 

TQC TEF

 

TFC TEF

 

TQC TFC

 

 

QFT QCT

 

ETx PTx

     

QFT EFT ETx QCT PCT PTx

  

 

  

 

CBI IBA



1 2BAC

 ,

CBM IAB

   

CBI CBM IBA IAB  

 

Solution E16 Denote by x the number of balls in the bag at first (x is a natural number, x> 2)

By hypothesis, if one red ball is removed, then the red balls make up of the balls left Hence the number of red balls at first is (1) Similarly, if two blue balls are removed,

of the remaining are red

So the number of red balls is (2) From (1) and (2), we have the equation :

Solving this equation, we have : the only root is x22 (satisfied)

In conclusion, there is a total of 22 balls in the bag at first

Nhận xét Mặc dù diễn World Cup, kì Tòa soạn nhận số lượng giải khổng lồ phải thực cơng việc khó khăn làm chọn tốt để khen thưởng Đó phải ngắn gọn, xác tốn (có đặt điều kiện kiểm tra điều kiện), cách diễn đạt tiếng Anh chuẩn xác (kể chi tiết dùng a hay the, is hay are, )

Lưu ý số cách viết không :

“The number of remaining red balls are ” (The number of remaining red balls is ) ;

“x is the natural number” (x isa natural number) ;

“sum of red balls” (total number of red balls)

Các bạn sau có làm tương đối tốt :

Ngun Văn Linh, 7A1, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh ; Trần Văn Khang, 8A, THCS Từ Sơn, huyện Từ Sơn, Bắc Ninh ;

Nguyn Ngc Hnh Chõu, m Hồ Thị Hà, Bộ môn Mô phôi, Trường Đại học Y khoa, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Đào Minh Hằng, chị Đào Thu Hiền, số 34, ngách 49/46, phố Huỳnh Thúc Kháng, P Láng Hạ, Q Đống Đa, Hà Nội; Hà Thị Phương Hồng, tổ 19, P Tân Giang, TX Cao Bằng, Cao Bằng ; Nguyễn Thị Lý, Xóm Trại, Văn Lơi, Tam Đồng, Mê Linh, Vnh Phỳc

ts ngô ánh tuyết (NXBGD)

1( 1) 1 1( 2) x  5 x

1( 2) x

5

1( 1) x 

1

26

lremaining :cịn lại (tính từ) lmake up :chiếm (động từ)

lconcyclic : (các điểm) nằm

một ®­êng trßn (tÝnh tõ)

lconvex :låi (tÝnh tõ)

lquadrilateral :tứ giác (động từ) l concyclic quadrilateral : tứ giác nội

tiÕp (danh tõ)

linscribe :nội tiếp (động từ)

Problem E18

(Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi Education Publishing House) There are 10 points on the sides of a

rectangle as shown How many triangles can be

27

lKết : (TTT2 số 40) Chỉ cần nắm đặc điểm, cơng dụng đồ vật có Cây mà không câylà bạn sửa thơ Bài giải kì nhiều trao giải phải viết sáng tạo (Viết tiếp vài đồ vật gọi “cây”) Ví dụ :

Cây rơm sợi vàng tươi Cây bút giỳp bn ghi li thy cụ

Cây cầu nối gi÷a hai bê

Cây súng gìn giữ đất trời quê hương Cây nến tỏa sáng đêm đông

Cây đàn thánh thót, vang ngân, êm đềm Cây số báo hiệu xa gần

Cây cột xây dựng phải cần dùng Cây kem mát lạnh thật ngon Cây sáo thổi véo von đồng

Cây đèn điều khiển giao thông Cây then cài cửa không nh

Cây văn nghệ chuyên hát ca Cây chổi em quét nhà sân

Năm bạn thưởng kì Đỗ Thanh Bình(con bố Đỗ Minh Tiến), đội 2, thôn Phương Thượng, xã Lê Hồ, Kim Bảng, Hà Nam; Nguyễn Ngọc Anh(con bố Nguyễn Trung Kiên), khu 4, xã Đồng Xuân, Thanh Ba, Phú Thọ; Nguyễn Văn Chung(con bố Nguyễn Văn Tấn), đội 5, thôn Hiệp An, xã Cư An, huyện ĐăkPơ, Gia Lai ; Cao Thị Hiền Thương (mẹ Cao Thị Thoan), xóm 14, Diễn An, Diễn Châu, Nghệ An ; Dương Khánh Linh, xóm 11, thơn Minh Khai, xã Đại Tập, Khối Châu, Hưng n

Phú Bình Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn tìm từ thích hợp để thay từ “cày” câu “Cái cày đựng nước có quai”, cách gọi đến số 19001548và làm theo hướng dẫn nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T V2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

Chúc mừngbạn Nguyễn Trần Quốc Thị Kim Dương, 66/2, khu phố 1, phường Thới An, Q.12, TP Hồ Chí Minh (số điện thoại 087173502) trúng thưởng thi TTT2 số 40

l Kì : XIN

Đồ vật tên có vần cờ (c)

Đứng nhầm chỗ hết, xin nhờ sửa Cái cóp cßn gäi quay

Đoạt giải vơ địch, nhận cù vàng Tài xế mua cặp xăng

Cái ca đựng sách mang tới trường Cưỡi ngựa cần có dây cung

Cái cương giúp nước có đường chảy qua Cái cống bắn tên xa

Cần câu chống đỡ cho nhà thẳng Cái cày đựng nước có quai

Con trâu trước còi sau Cái cuốc xay giã giỏi Câu cá phải có cân với mồi

Träng tài điều khiển cồng Quả còng tung ném trời hội xuân

Cái tra tay phạm nhân

Muốn định khối lượng dùng can biết liền Cái cột - nhạc cụ Tây Nguyên Dây cối nhiều sợi thộp bn bờn

Trăm nhát cót giật vào

Cái cáp quây thóc gọn góc buồng Nông Thị Hà (35 tổ 17 Quan Hoa, Cầu Giấy, Hµ Néi)

NHỜ SỬA

28 Trần Đăng Khoa :

n tng nht i vi ngày đầu vào lớp Khi Mỹ bắt đầu mở rộng chiến tranh không quân miền Bắc Lúc bom chưa rơi xuống quê chú, Quảng Ninh, Hải Phòng, Hà Nội bị bom Chú nhớ học thầy dạy bọn cách tránh bom, cách băng bó vết thương Bọn “thuộc” nhanh, thao tác thực hành thục Buổi học vui lắm, chơi trận giả, nên đứa cười Học trò cười, cịn thầy khóc Vì thầy khơng nghĩ lại phải dạy em học chưa kịp có giáo án Tình nghiêm trọng Quả sau bom đạn mù trời Thầy lên đường nhập ngũ Lúc lớp khóc có đám ma, cịn thầy lại cười, lại múa hát làm trò cho em vui Sau thầy hi sinh anh dũng bắn đến viên đạn cuối cùng, mở đường máu cứu đồng đội mặt trận Chú làm nhiều thơ thầy có lần kể thầy tạp chí Tốn Tuổi thơ

Håi líp mét, líp hai, nhớ thầy, nhớ cô, lớn hơn, học THCS, THPT, lại nhớ bạn

Chú Khoa ¬i !

Chú có ấn tượng ngày đến lớp ? Buổi học ? Còn cháu nhớ hồi học lớp 7A Đến năm lớp 8, nhà trường lại chia thành nhiều lớp hồi lớp 6, nên chúng cháu buồn nhớ bạn bè Tuy học với năm có tình cảm đặc biệt Giờ đây, lần nhớ đến hai chữ 7A, cháu lại nhớ cồn cào, nhớ da diết Có lần cháu khóc nhắc đến Cháu biết thả hồn vào câu thơ để xoa dịu nỗi nhớ Cháu viết này, thơ tuổi học trị Chú “tham mưu” cho cháu xem có cách lưu giữ kỉ niệm khơng ?

Tuổi học trị Tuổi học trò người Biết yêu thương biết quý trọng Rồi mai từ giã mái trường

Ơn thầy, nhớ bạn vấn vương cõi lòng Trần Văn Đức (8B, THCS Mỹ Phúc, Mỹ Lộc, Nam Định)

29

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 40)

TÊN CÁC NƯỚC

l Kì :

Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn đốn từ hàng ngang thứ ba từ xuống, cách gọi đến số 19001548và làm theo hướng dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T VA2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án Chúc mừng bạn Hồ Thị Thịnh Khương, 12/3A, tổ 5, ấp Tân Thành, xã Tân Quy Tây, TX Sa Đéc, Đồng Tháp (số điện thoại 067762709) trúng thưởngcuộc thi TTT2 số 40

- What you get if you cross a cow whit an octopus ?

- Something that can milk itself Hång B¾c(st)

CƯỜI TRONG VƯỜN ANH

Trên hàng ngang ô chữ tên nước giới Bn s tỡm c ch ?

Phạm Thành Quốc Huy (47 Lê Lai, Đà Nẵng)

O ch : HÓA HOẽC Hình bạn học sinh

THCS chúng mình, Hóa học mơn học mẻ trừu tượng phải ! Có khơng nhiều bạn gửi tham dự Vườn Anh kì Trong số bạn có đáp án Chủ Vườn xin tặng quà cho ba bạn : Phạm Thị Như Quý, xóm 12, xã Quỳnh Mĩ, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Đoàn Xuân Trung, số 51 Dân Lập, P Dư Hàng

Kênh, Lê Chân, Hải Phòng ; Nguyễn Thị Tường Vy, số 3A, Yersin, TP Phan Thit, Bỡnh Thun

Chỉ cần học chăm chỉ, bạn thấy Hóa học không khó bạn nghĩ đâu

Giải nghĩa từ (từ xuống) : MOLECULE - Ph©n tư ; HALOGEN - Nhãm mét sè nguyªn tè phi kim ; REFINE - Läc, tinh chÕ ; ATOM - Nguyên tử ; MIX - Hỗn hợp ; SOLUTION Dung dịch ; METAL -Kim loại ; ARGON - KhÝ tr¬ agon ; WATERY - ThĨ láng

30

(TTT2 sè 40) L¸ cê cã giã tung bay

Lá thăm phân định rủi may rõ ràng Lá chắn phòng vệ che ngang Lá phiếu cử tri mang bầu

L¸ th­ tình cảm dạt

Lỏ n nguyn vng ghi vào gửi Lá buồm giúp thuyền chuyển di Lá cà giáp trận cận kề tay đôi

Lá lúc rỗi cầm chơi Lá gió đẩy kéo đóng mở

Lá mía mũi người ta Lá phổi khơng khí đẩy hít vào

L¸ l¸ch tím, tạo hồng cầu Lá gan tiết mật, lọc bầu m¸u qua

Thảo dân nhanh trí đốn Hãy vui vẻ nhận quà trẫm trao Ban thưởng : Nguyễn Hồi Đức, cháu ơng Nguyễn Xn Vy, xóm Lương Ninh, Xuân Đan, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn Anh Phúc, 7A, THCS Đề Thám, An Khê, Gia Lai ; Hoàng Lan Phương, số 80 ngõ 75 đường Hồng Hà, phường Phúc Xá, Ba Đình, Hà Nội ; Nguyễn Thảo Ngọc, số 4, ngõ 6, tổ 12, Trưng Trắc, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Phạm Thị Hồng Nhung, số 1/10, ngõ 162, tổ 41b, phường Kì Bá, TP Thái Bình, Thái Bình

Vua TÕu l KÕt qu¶ :

Thánh : Ngoài cách gửi dự thi t¹p chÝ,

các bạn giải đáp câu “Đồng khơng trước khơng sau tí ?”, cách gọi đến số 19001548 làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T RC2 X Y, X đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

Chúc mừng bạn Nguyễn Hùng Linh, số 07, ngõ 05, tổ 13, phường Bắc Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh (số điện thoại 039858654) trúng thưởng thi TTT2 số 40

l Kỡ naứy :

Đồng ca hát vui chơi ? Đồng vất vả thời làm ?

Đồng màu mỡ phù sa ? Đồng lịch sử ngà ba oai hùng ?

Đồng khăng khít đến ?

Đồng người có chung nghề ? Đồng người quê ?

Đồng giấc dễ bề biết ? Đồng giúp tay ? Đồng tươi tốt cấy cày lúa rau ?

Đồng tương tự giống ?

Đồng khơng trước, khơng sau tí ? Đồng lng ly phong tro ?

Đồng tốp vào ngân nga ? Đồng tuổi mà ? Đồng - khái niệm ta học hình ?

Trần Thị Thanh Tâm (8C, THCS Di Trạch, Hoài Đức, Hà Tây) NG Gè ?

Hái :T¹i tơi trai chóng em lại viết chữ xấu gái ? Có phải số IQ gái cao trai không anh ?

Đào Văn Toại (8D, THCS Lạc Đạo, Văn Lâm, Hưng Yên) Đáp :

C gỡ gái hay trai Chữ đẹp nhờ luyện miệt mài,

em ¬i ! Xin em h·y bít giê ch¬i Chịu khó luyện chữ, chữ thời

p ! Hỏi :Ngày xưa ngày tặng em kẹo Từ em thân Nhưng sau tặng em đến hẳn Em gọi vờ khơng nghe thấy Anh khuyên em điều

Vũ Thị Mai Uyên (Phúc Thành, Kim Thành, Hải Dương) Đáp :

Xưa kẹo Tình thân bắc cầu

rung rinh Bây kẹo chẳng tíi m×nh DÉu thÌm th× cịng døt t×nh

cai !

Hỏi : Trong viết em dïng bót xãa chót xÝu cã kh«ng anh ?

Nhóc Xứ Nghệ (xin giấu địa tên) Đáp :

Giá khơng xóa Lỡ xóa chút bình thường, chẳng Quan trọng viết Dù xóa phải lọt vào

mắt anh Hỏi : Tủ sách Toán Tuổi thơ có cho Tiểu học mà có cho THCS Sao anh thiên vị Tiểu học ? Chúng em hâm mộ “Tuyển tập đề thi mơn Tốn THCS” Chúng em mong có nhiều dành cho chúng em Liệu anh có “can thiệp” khơng ? Phạm Thị Ngọc Anh (9B, THCS An Thanh,

Tứ Kỳ, Hải Dương) Đáp :

Ước mơ em thành Có tỏm cun na phỏt hnh

đầu năm : Ôn kiÕn thøc -

Luyện kĩ năng” Tên hay, sách viết trang tuyệt vời ! Hỏi : Các câu hỏi chúng em anh trả lời , có phải khơng ? Nhỡ anh khơng trả lời thỡ

sao ?

Nguyễn Thị Thanh Tâm (7B, THCS Thị trấn Anh Sơn, Nghệ An) Đáp :

Bí anh hỏi ông Trời : Tuổi hồng hỏi thÕ xin mêi «ng xem !” Trêi r»ng : “Trêi

chẳng quen Phó Gỡ mà chịu “em”

cũng hàng !” Hỏi :Mọi người bảo em : “Khi gửi nên gửi chung phong bì cho đỡ tốn tiền tem” Liệu có khơng anh ?

Nhất Địa Kê Mao (7C, THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc) Đáp :

Li khuyờn y quý nh vng Giỳp em phi

viêm màng túi Phong bì nặng chút bay Bài anh vÉn nhËn

chẳng thay đổi

32

Bài 2(42).Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : Trần Xuân Đáng (THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định)

3

1 1 .

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

a b b c c a  abc  abc

Bµi 3(42).Chøng minh r»ng :

Nếu phương trình x2  ax  b  có nghiệm nghiệm thỏa mãn |x| <

Trần Phương Nam (TP Mỹ Tho, Tiền Giang)

2 1

a b 

Bài 4(42).Cho ABCđều Các điểm M, N, Ptheo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB Biết S(ANP) S(BMP)

S(CMN) Chøng minh : ANP BPM CMN Thái Thị Thanh Hoa (Khối THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội)

Bài 1(42) Có số tự nhiên ncó chữ số, thỏa m·n : lµ ­íc cđa n; lµ ­íc cđa n ; lµ ­íc cđa n vµ lµ ­íc cđa n3 ?

Nguyễn Trọng Tuấn (THPT Hùng Vương, Pleiku, Gia Lai)

English version translated by Pham Van Thuan

1(42) Find the number of natural five digit numbers nthat has the property that

ndivides 2, n1 divides 3, n2 divides 4, and n3 divides

2(42).Let a, b, cbe positive real numbers, prove that

3(42).Prove that if the equation

x2axb0 has real root x, then |x| <

4(42) Points M, N, and P are chosen on the sides BC, CA, ABof an equilateral triangle ABCsuch that S(ANP) S(BMP)

 S(CMN), where S(XYZ) denotes the area of triangle XYZ Prove that triangle (ANP) triangle (BPM) triangle (CMN) 5(42) Prove that if a concyclic convex quadrilateral is inscribed in an equilateral triangle of side length 2006, then it’s impossible that all of its four sides are greater than 1003

2 1

a b 

3

1 1 .

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

a b b c c   a  abc  abc

Bài 5(42) Chứng minh tứ giác lồi nội tiếp tam giác có cạnh 2006 khơng thể có bốn cạnh lớn 1003

* Biên tập : Nguyễn Anh Quân, Phan Hương

* Kĩ thuật vi tính : Đỗ Trung Kiên * Mĩ thuật : Ngọc Linh

* Trị - Phát hành : Trịnh Đình Tài, Trịnh Thị Tuyết Trang, Mạc Thanh Huyền

* Địa liên lạc : số 38, ngõ 61, Trần Duy Hưng, Q Cầu Giấy, Hà Nội * ĐT : 04.5567125

* Fax : 04.5567124 * Đường dây nóng : 0903436757

* Website :http://toantuoitho.nxbgd.com.vn E-mail : toantt@ fpt.vn

* Giấy phép xuất : 31/GPBVHTT ngày 23/1/2003 -Bộ Văn hóa Thông tin

* In : Công ti cổ phần in Sách giáo khoa TP Hà Nội Nộp lưu chiểu tháng naêm 2006

CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc : NGƠ TRẦN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập : NGUYỄN QUÝ THAO NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT VỀ BỘ SÁCH MỚI

Sau Toán Tuổi thơ số 41 giới thiệu sách "Ôn kiến thức - Luyện kĩ năng", nhiều bạn đọc điện trực tiếp hỏi tịa soạn Tốn Tuổi thơ xin trả lời bạn :

l Điều sách ? o Các sách sách có

nhiều điểm Cấu trúc bám sát chương sách giáo khoa chương chia thành chủ đề Trong chủ đề có nhấn mạnh kiến thức kĩ quan trọng thể qua thí dụ chọn lọc (hầu hết khác tốn sách giáo khoa) Mỗi thí dụ ngồi việc đưa lời giải cịn có lưu ý cần thiết việc phát triển toán đặc biệt sai lầm thường mắc phải Mỗi vấn đề có thêm tập tự luyện có hướng dẫn giải đáp số Kết thúc chương hai đề kiểm tra (trắc nghiệm tự luận) để bạn đọc tự đánh giá Tập thể tác giả đề cao tính sư phạm thể nội dung sách : trang sách

những giảng dễ hiểu, đơn vị kiến thức từ thấp tới cao cách lôgic, trao đổi nhiều kinh nghiệm giải toán dạy toán, cách viết thống từ lớp lên lớp

l Thời điểm phát hành sách ?

o Hai Đại số 9, Hình học

phát hành vào đầu năm học sau lớp 8, lớp 7, lớp

l Các địa phát hành ?

o Tạp chí Tốn Tuổi thơ đơn vị độc

quyền phân phối cho đơn vị phát hành Bạn đọc mua cửa hàng sách Công ty Sách Thiết bị trường học địa phương đăng kí mua tập thể theo đơn vị trường, Phòng Giáo dục, Sở Giáo dục Đào tạo Các phiếu đăng kí mua tập thể đăng kí phát hành xin gửi :

Tạp chí Tốn Tuổi thơ, số 38 ngõ 61, Trần Duy Hưng, Hà Nội.

Có thể hỏi thêm chi tiết qua số máy

0903436757 số máy 19001548